Неравенства · урок 16 из 20 · практикум

Практикум:
доказательство
неравенств

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG8U-016

1 мин · теория (вступление). Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), всего 45 мин.
Паспорт: R01 «Уравнения и неравенства: неравенства» (20 ч), урок 16/20, единица R01.3 «Доказательство неравенств». Тип урока — П (практикум). Новый материал по теме был на уроке ALG8U-002; сегодня — новые типы задач и более сложные случаи.
Хронометраж: вступление и цели 2 мин (сл. 1–2) · разминка и актуализация 4 (сл. 3–4) · тип 1 — 5 (сл. 5–6) · тип 2 — 5 (сл. 7–8) · тип 3 — 5 (сл. 9–10) · тип 4 — 4 (сл. 11–12) · параметр 2 (сл. 13) · задания с самопроверкой 5 (сл. 14–15) · ошибки 2 (сл. 16) · ОГЭ 2 (сл. 17) · закрепление 3 (сл. 18) · самостоятельная 4 (сл. 19) · рефлексия и ДЗ 2 (сл. 20).
Рисунок на титуле — к сл. 11: прямоугольник $(n - 1) \times (n + 1)$ меньше квадрата $n \times n$ ровно на одну клетку.

R01.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Раскладывать на квадраты

выражения с двумя и тремя переменными (ПР-24)

Доказывать неравенства с дробями

и следить за знаком знаменателя (ПР-24)

Комбинировать опорные неравенства

складывать, перемножать, делать подстановку (ПР-24)

Сравнивать и исследовать

большие числа без вычислений; неравенство с параметром (ПР-24)

разминка: R01.3

Разминка · устно

Квадраты, дроби, знаки

(a - 3)^{2}

a^{2} - 6 a + 9

x^{2} + 10 x + 25

(x + 5)^{2}

4 y^{2} - 4 y + 1

(2 y - 1)^{2}

x^{2} - 6 x + □

9

:

(x - 3)^{2}

(n - 1) (n + 1)

n^{2} - 1

\frac{1}{a} + \frac{1}{b}

\frac{a + b}{ab}

(x - 2)^{2} + 3 □ 0

>

min ((x + 1)^{2} - 4)

- 4

повторение: R01.2–R01.3, R01.6

Вспомним · набор инструментов

Доказать $A \geq B$ — значит показать $A - B \geq 0$

Устно: какой знак?

$- (a - 3)^{2}$
$\frac{( a - b ) ^{2}}{a ^{2} + 1}$
$a^{2} - 2 a + 2$

R01.3

Тип 1 · образец · группировка в квадраты

Докажем: $x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} - 2 y + 1 \geq 0$

2 y^{2} = y^{2} + y^{2}

делим «лишний» квадрат

(x^{2} + 2 x y + y^{2}) + (y^{2} - 2 y + 1)

= (x + y)^{2} + (y - 1)^{2} \geq 0

= 0 ⟺ y = 1, x = - 1

R01.3

Тип 1 · сделайте сами

Докажите и найдите, когда достигается равенство

база $5 x^{2} - 4 x y + y^{2} + 2 x + 1 \geq 0$
повыш. $a^{2} + b^{2} + 1 \geq ab + a + b$

Подсказка к 2: умножьте разность на 2

R01.3

Тип 2 · образец · неравенство с дробью

Докажем: $\frac{x ^{2}}{x ^{4} + 1} \leq \frac{1}{2}$ при любом $x$

\frac{1}{2} - \frac{x ^{2}}{x ^{4} + 1} = \frac{x ^{4} + 1 - 2 x ^{2}}{2 ( x ^{4} + 1 )}

= \frac{( x ^{2} - 1 ) ^{2}}{2 ( x ^{4} + 1 )}

\frac{\geq 0}{> 0} \Rightarrow \geq 0

равенство при

x = \pm 1

R01.3

Тип 2 · сделайте сами

Докажите при $a > 0, b > 0$

база $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}$
повыш. $\frac{a + b}{2} \geq \frac{2 ab}{a + b}$

R01.3 · опора R01.6

Тип 3 · образец · из опорных неравенств

Докажем: $(a + b) (b + c) (c + a) \geq 8 ab c$ при $a, b, c \geq 0$

P^{2} \geq (8 ab c)^{2}

P \geq 0, 8 ab c \geq 0

P \geq 8 ab c

равенство при $a = b = c$

3 мин · теория (демонстрационный пример)
Опорное неравенство $(a + b)^{2} \geq 4 ab$ доказано на уроке ALG8U-002. Перемножать неравенства одного знака можно, только если все части неотрицательны (урок ALG8U-005) — здесь левые и правые части ≥ 0 при a, b, c ≥ 0.
Последний шаг: для неотрицательных P и Q из $P^{2} \geq Q^{2}$ следует $P \geq Q$ , так как $P^{2} - Q^{2} = (P - Q) (P + Q)$ и при $P + Q > 0$ знак разности квадратов совпадает со знаком P − Q (случай P = Q = 0 очевиден).
Вопрос: почему нельзя без условия a, b, c ≥ 0? Без условия перемножать нельзя, и само неравенство может нарушаться: a = −1, b = −1, c = −2 дают (−2)(−3)(−3) = −18, а 8abc = −16; −18 < −16.

R01.3 · опора R01.6

Тип 3 · сделайте сами

Опорное неравенство + сложение, умножение, подстановка

база $(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (c^{2} + 1) \geq 8 ab c$ при $a, b, c \geq 0$
повыш. $a^{4} + b^{4} + c^{4} \geq a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}$

Опоры

x^{2} + 1 \geq 2 x

x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq x y + yz + z x

Подстановка:

x = a^{2}, y = b^{2}, z = c^{2}

R01.3 · опора R01.1

Тип 4 · образец · сравнение без вычислений

Что больше: $1234567 \cdot 1234569$ или $123456 8^{2}$ ?

Пусть

n = 1234568

(n - 1) (n + 1) = n^{2} - 1

n^{2} - (n^{2} - 1) = 1 > 0

1234567 \cdot 1234569 < 123456 8^{2}

R01.3 · опора R01.1

Тип 4 · сделайте сами

Сравните, обозначив число буквой

база $202 5^{2} + 202 7^{2}$ и $2 \cdot 202 6^{2}$
повыш. $\frac{2026}{2027}$ и $\frac{2027}{2028}$

R01.3 · исследование

Углубление · неравенство с параметром

При каких $a$ верно $x^{2} + 2 x + a > 0$ при всех $x$ ?

x^{2} + 2 x + a = (x + 1)^{2} + (a - 1)

наименьшее:

a - 1

при

x = - 1

a - 1 > 0

Ответ:

a > 1

2 мин · теория (учитель разбирает пример)
Исследование с параметром — вид деятельности ФРП по строке R01. Графики $y = x^{2} + 2 x + a$ (парабола $y = x^{2}$ из 7 класса, сдвинутая): при a = 0 часть графика ниже оси — неравенство верно не при всех x; при a = 1 касание в точке x = −1 (значение 0, а знак строгий) — не подходит; при a = 2 весь график выше оси.
Вопрос классу: что изменится, если знак нестрогий, $\geq 0$ ? (Ответ $a \geq 1$ .)
Проверка: a = 0, x = −1: 1 − 2 + 0 = −1 < 0 — контрпример; a = 1: $(x + 1)^{2} > 0$ ложно при x = −1.

R01.3

Задания с самопроверкой · 1

Докажите или сравните

база $a^{2} + 9 \geq 6 a$ $(a - 3)^{2} \geq 0$
база $(x + 3)^{2} > x (x + 6)$ разность $= 9 > 0$
база $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 5 \geq 0$ $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2}$
база $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ при $a, b > 0$ $\frac{( a - b ) ^{2}}{ab} \geq 0$
повыш.Сравните $3001 \cdot 2999$ и $300 0^{2}$ $<$ , на 1

R01.3 · опора R01.6

Задания с самопроверкой · 2

Повышенный уровень и задача из жизни

повыш. $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 3 \geq 2 (a + b + c)$ $(a - 1)^{2} + (b - 1)^{2} + (c - 1)^{2}$
повыш. $\frac{4 x}{x ^{2} + 4} \leq 1$ $1 - \frac{4 x}{x ^{2} + 4} = \frac{( x - 2 ) ^{2}}{x ^{2} + 4}$
повыш. $(a^{2} + 4) (b^{2} + 9) \geq 24 ab$ при $a, b \geq 0$ $a^{2} + 4 \geq 4 a, b^{2} + 9 \geq 6 b$
параметрПри каких $a$ верно $x^{2} - 6 x + a \geq 0$ при всех $x$ ? $a \geq 9$
практикаЗабором 40 м огородили прямоугольник. Докажите: $S \leq 100$ м². $S = 100 - (x - 10)^{2}$

2 мин · практика
Классу — выбрать любые два задания; ответы открываются по клику, решение одного-двух заданий выписывает у доски ученик.
Ответы: 1) $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 3 - 2 a - 2 b - 2 c = (a - 1)^{2} + (b - 1)^{2} + (c - 1)^{2} \geq 0$ , равенство при a = b = c = 1. 2) $1 - \frac{4 x}{x ^{2} + 4} = \frac{x ^{2} - 4 x + 4}{x ^{2} + 4} = \frac{( x - 2 ) ^{2}}{x ^{2} + 4} \geq 0$ (знаменатель > 0), равенство при x = 2: $\frac{8}{8} = 1$ ✓.
3) $a^{2} + 4 - 4 a = (a - 2)^{2} \geq 0$ , $b^{2} + 9 - 6 b = (b - 3)^{2} \geq 0$ ; при a, b ≥ 0 все части неотрицательны — перемножаем: $(a^{2} + 4) (b^{2} + 9) \geq 24 ab$ ; равенство при a = 2, b = 3: 8 · 18 = 144 = 24 · 6 ✓. 4) $(x - 3)^{2} + a - 9 \geq 0$ при всех x ⇔ $a \geq 9$ .
5) Стороны x и 20 − x (полупериметр 20 м): $S = x (20 - x) = 20 x - x^{2} = 100 - (x - 10)^{2} \leq 100$ ; максимум — квадрат 10 × 10 м. Пример: 12 × 8 = 96 < 100.

R01.3

Типичные ошибки

Найдите ошибку в «доказательстве»

✗ Умножили «вслепую»

- 1 > - 3, 2 > 1

\Rightarrow - 2 > - 3

?

Здесь верно случайно; при $- 1 > - 3, 5 > 1$ : $- 5 > - 3$ — ложь.

✗ Разделили на букву

a^{2} \geq a \Rightarrow a \geq 1

?

Делить можно только на число известного знака. При $a = - 2$ : $4 \geq - 2$ .

✗ Проверили примеры

n = 1, 2, 3 \Rightarrow

верно

Примеры не доказывают. Один контрпример — опровергает.

Перемножать неравенства одного знака — только когда все части неотрицательны.

R01.3 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 13

Укажите неравенство, которое не имеет решений

1)	$x^{2} + 4 x + 5 < 0$
2)	$x^{2} + 4 x - 5 < 0$
3)	$x^{2} + 4 x + 5 > 0$
4)	$x^{2} - 4 x - 5 > 0$

Метод

выделите полный квадрат:

x^{2} + 4 x + 5 = (x + 2)^{2} + ?

или найдите одно подходящее $x$

R01.3

Закрепление

Докажите

база $(a - 2) (a + 4) < (a + 1)^{2}$
база $4 x^{2} + 1 \geq 4 x$
повыш. $(a + b + c)^{2} \geq 3 (ab + b c + c a)$

практикаАвтомобиль ехал туда со скоростью $u$ , обратно — со скоростью $v$ . Докажите, что средняя скорость не больше $\frac{u + v}{2}$ .

R01.3

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

$(a + 3) (a - 5) < (a - 1)^{2}$ разность $= - 16$
$9 x^{2} + 1 \geq 6 x$ $(3 x - 1)^{2} \geq 0$
$x^{2} + 4 y^{2} + 2 x - 4 y + 2 \geq 0$ $(x + 1)^{2} + (2 y - 1)^{2} \geq 0$
Сравните $\frac{99}{100}$ и $\frac{100}{101}$ $\frac{99}{100} < \frac{100}{101}$

Вариант 2

$(a - 4) (a + 6) < (a + 1)^{2}$ разность $= - 25$
$16 x^{2} + 1 \geq 8 x$ $(4 x - 1)^{2} \geq 0$
$4 x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 10 \geq 0$ $(2 x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} \geq 0$
Сравните $100 1^{2} + 99 9^{2}$ и $2 \cdot 100 0^{2}$ первое больше на 2

4 мин · практика
Варианты по партам: 3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам на слайде (открыть по клику).
Вариант 1: 1) $(a + 3) (a - 5) - (a - 1)^{2} = a^{2} - 2 a - 15 - a^{2} + 2 a - 1 = - 16 < 0$ ✓. 2) $9 x^{2} - 6 x + 1 = (3 x - 1)^{2} \geq 0$ , равенство при $x = \frac{1}{3}$ . 3) $(x^{2} + 2 x + 1) + (4 y^{2} - 4 y + 1) = (x + 1)^{2} + (2 y - 1)^{2} \geq 0$ (1 + 1 = 2 ✓), равенство при x = −1, y = 0,5. 4) n = 100: $\frac{n - 1}{n} - \frac{n}{n + 1} = \frac{( n - 1 ) ( n + 1 ) - n ^{2}}{n ( n + 1 )} = \frac{- 1}{n ( n + 1 )} < 0$ , значит $\frac{99}{100} < \frac{100}{101}$ .
Вариант 2: 1) $(a - 4) (a + 6) - (a + 1)^{2} = a^{2} + 2 a - 24 - a^{2} - 2 a - 1 = - 25 < 0$ ✓. 2) $16 x^{2} - 8 x + 1 = (4 x - 1)^{2} \geq 0$ , равенство при x = 0,25. 3) $(4 x^{2} - 4 x + 1) + (y^{2} + 6 y + 9) = (2 x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} \geq 0$ (1 + 9 = 10 ✓), равенство при x = 0,5, y = −3. 4) n = 1000: $(n + 1)^{2} + (n - 1)^{2} = 2 n^{2} + 2$ — первое больше на 2 (1 002 001 + 998 001 = 2 000 002 ✓).
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какой из 4 приёмов был труднее?
Когда можно перемножать неравенства?
Как сравнить числа, не вычисляя их?

Домашнее задание

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + 14 > 0$
$\frac{a ^{2} + 2}{2} \geq a$ ; сравните $99 9^{2}$ и $998 \cdot 1000$
При каких $a$ верно $x^{2} - 4 x + a \geq 0$ при всех $x$ ?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-016 · Практикум: Доказательство неравенств

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R01 «Уравнения и неравенства: неравенства», 20 ч · урок 16/20 · тип П
Единицы → слайды	R01.3 «Доказательство неравенств» → 2–20 · опора R01.1, R01.2, R01.6 → 4, 9–12, 15, 16
Результаты	ПР-24 (применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки) → 2–20 · кодификатора REQ у курса нет
Хронометраж	теория 13 мин (сл. 1, 2, 5, 7, 9, 11, 13) · практика 32 мин (сл. 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14–20) · 71 %
Вне урока	неравенство с переменной — ALG8U-017; строгие и нестрогие — ALG8U-018; дискриминант (к сл. 17) — строка R03; неравенство Коши со средним геометрическим — строка R02
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:доказательствонеравенств

Сегодня вы научитесь

Раскладывать на квадраты

Доказывать неравенства с дробями

Комбинировать опорные неравенства

Сравнивать и исследовать

Квадраты, дроби, знаки

Доказать A≥B — значит показать A−B≥0

Докажем: x2+2xy+2y2−2y+1≥0

Докажите и найдите, когда достигается равенство

Докажем: x4+1x2​≤21​ при любом x

Докажите при a>0, b>0

Докажем: (a+b)(b+c)(c+a)≥8abc при a,b,c≥0

Опорное неравенство + сложение, умножение, подстановка

Опоры

Что больше: 1234567⋅1234569 или 12345682?

Сравните, обозначив число буквой

При каких a верно x2+2x+a>0 при всех x?

Докажите или сравните

Повышенный уровень и задача из жизни

Найдите ошибку в «доказательстве»

✗ Умножили «вслепую»

✗ Разделили на букву

✗ Проверили примеры

Укажите неравенство, которое не имеет решений

Метод

Докажите

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-016 · Практикум: Доказательство неравенств

Практикум:
доказательство
неравенств

Доказать $A \geq B$ — значит показать $A - B \geq 0$

Докажем: $x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} - 2 y + 1 \geq 0$

Докажем: $\frac{x ^{2}}{x ^{4} + 1} \leq \frac{1}{2}$ при любом $x$

Докажите при $a > 0, b > 0$

Докажем: $(a + b) (b + c) (c + a) \geq 8 ab c$ при $a, b, c \geq 0$

Что больше: $1234567 \cdot 1234569$ или $123456 8^{2}$ ?

При каких $a$ верно $x^{2} + 2 x + a > 0$ при всех $x$ ?