Неравенства · урок 15 из 20 · практикум

Практикум: числовые неравенства

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG8U-015

1 мин · теория (орг. момент)
Паспорт: R01 «Уравнения и неравенства: неравенства» (20 ч), урок 15/20, единицы R01.1 «Числовые неравенства», R01.2 «Свойства числовых неравенств». Тип урока — П (практикум).
Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %) — всего 45 мин.
Хронометраж: орг. момент и цели 2 мин (сл. 1–2) · разминка 4 (сл. 3–4) · опорный конспект 2 (сл. 5) · четыре типа заданий «образец → сами» 18 (сл. 6–13: образцы 3+2+2+2 — теория, «сами» 3+2+2+2 — практика) · задания с самопроверкой 5 (сл. 14–15) · задачи из жизни 2 (сл. 16) · найди ошибку 2 (сл. 17) · закрепление 3 (сл. 18) · самостоятельная работа 4 (сл. 19) · ОГЭ 2 (сл. 20) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 21).
Новый материал на уроке 001 (ALG8U-001) — определение через разность и свойства; сегодня их применяем в задачах повышенной трудности. Следующий урок ALG8U-016 — практикум «Доказательство неравенств».

R01.1–R01.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Сравнивать через разность

дроби с большими числами — без калькулятора (ПР-24)

Читать координатную прямую

знаки суммы, произведения, обратных чисел (ПР-4)

Применять свойства

сравнивать выражения, если известно $a < b$ (ПР-24)

Исследовать

когда дробь растёт, если к ней прибавить по единице (ПР-13)

1 мин · теория
ПР-24 (дословно ФРП): «Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств» — сл. 3–19.
ПР-4: «Использовать начальные представления о множестве действительных чисел для сравнения… изображать действительные числа точками на координатной прямой» — сл. 8–9, 20. ПР-13: «Применять преобразования выражений для решения различных задач…» — сл. 6–7, 12–16, 18–19.
Вид деятельности ФРП (R01): «Формулировать свойства числовых неравенств, иллюстрировать их на координатной прямой, доказывать алгебраически… Применять свойства неравенств в ходе решения задач».

разминка

Разминка · устно

Поставьте знак $>$ , $<$ или $=$ — или вычислите

сравните

- \frac{3}{4} □ - \frac{4}{5}

>

сравните

0, 3^{2} □ 0, 3

<

сравните

\frac{5}{7} □ \frac{5}{8}

>

сравните

(- 2)^{3} □ (- 3)^{2}

<

$a - b = - 0, 1$

a □ b

<

сравните

\frac{1}{0 , 2} □ 5

=

вычислите

49 \cdot 51

2499

упростите

n^{2} - (n - 1) (n + 1)

1

повторение: R01.2

Разминка · верно или нет?

Известно: $a < b$ . Что отсюда следует?

Утверждение	Ответ
$a + 7 < b + 7$	верно
$- 2 a < - 2 b$	неверно
$\frac{a}{5} < \frac{b}{5}$	верно
$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$	не всегда

R01.1–R01.2

Опорный конспект

Чем пользуемся сегодня

Определение

$a > b \Leftrightarrow a - b > 0$

$a < b \Leftrightarrow a - b < 0$

знак разности решает всё

Свойства

$a > b, b > c \Rightarrow a > c$

$a > b \Rightarrow a + c > b + c$

$a > b, c > 0 \Rightarrow a c > b c$

$a > b, c < 0 \Rightarrow a c < b c$

Осторожно

$a > b, ab > 0 \Rightarrow \frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

для чисел разных знаков — неверно

$a < b \neq \Rightarrow a^{2} < b^{2}$

проверяйте отрицательные числа

R01.1

Тип 1 · образец · сравнение через разность

Сравните $\frac{2024}{2025}$ и $\frac{2025}{2026}$

\frac{2024}{2025} - \frac{2025}{2026} = \frac{2024 \cdot 2026 - 202 5 ^{2}}{2025 \cdot 2026}

n = 2025

:

(n - 1) (n + 1) - n^{2} = - 1

= - \frac{1}{2025 \cdot 2026} < 0

Ответ:

\frac{2024}{2025} < \frac{2025}{2026}

3 мин · теория (учитель разбирает образец)
Алгоритм: 1) составить разность; 2) упростить (общий знаменатель, формулы сокращённого умножения); 3) определить знак; 4) вывод по определению: $a - b < 0 \Leftrightarrow a < b$ .
Вопрос классу: зачем ввели $n$ ? Чтобы увидеть разность квадратов $(n - 1) (n + 1) = n^{2} - 1$ и не умножать четырёхзначные числа.
Рисунок — второй способ: $\frac{2024}{2025} = 1 - \frac{1}{2025}$ , $\frac{2025}{2026} = 1 - \frac{1}{2026}$ ; $\frac{1}{2025} > \frac{1}{2026}$ , значит, первая дробь дальше от 1 и меньше. Масштаб на рисунке условный (на самом деле точки почти совпадают).

R01.1

Тип 1 · решите сами

Сравните, не вычисляя значений

база $\frac{17}{19}$ и $\frac{19}{21}$
повыш. $\frac{n}{n + 1}$ и $\frac{n + 1}{n + 2}$ , $n$ — натуральное
повыш. $\frac{1 0 ^{8} + 1}{1 0 ^{9} + 1}$ и $\frac{1 0 ^{9} + 1}{1 0 ^{10} + 1}$

Подсказка к № 3

Обозначьте $x = 1 0^{8}$ : тогда $1 0^{9} = 10 x$ , $1 0^{10} = 100 x$ .

Знаменатель разности положителен — знак решает числитель.

R01.1–R01.2

Тип 2 · образец · числа на координатной прямой

Какое утверждение верно?

Утверждение	Рассуждение	Вывод
$a + b > 0$	$- 2 < a < - 1$ , $0 < b < 1$ : $∣ a ∣ > ∣ b ∣$ , сумма имеет знак $a$	неверно
$ab < 0$	множители разных знаков	верно
$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$	$\frac{1}{a} < 0$ , а $\frac{1}{b} > 0$	неверно
$a^{2} < b^{2}$	$a^{2} > 1$ , $b^{2} < 1$	неверно

R01.1–R01.2

Тип 2 · решите сами

Верно или неверно? Обоснуйте

$y - x > 1$
$\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$
$x^{2} > x$

$x y < 0$
$x - y < 0$
$x^{3} > x$

R01.2

Тип 3 · образец · доказываем свойствами

Известно: $a < b < 0$ . Сравните $a^{2}$ и $b^{2}$

1

a < b \cdot a < 0

знак меняется

a^{2} > ab

2

a < b \cdot b < 0

знак меняется

ab > b^{2}

Транзитивность:

a^{2} > ab > b^{2}

, значит,

a^{2} > b^{2}

R01.2

Тип 3 · решите сами

Сравните, используя свойства неравенств

база $a < b$ . Сравните $5 - \frac{a}{4}$ и $5 - \frac{b}{4}$
база $0 < a < b$ . Сравните $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$
повыш. $a < b < 0$ . Сравните $\frac{a}{b}$ и $1$

повыш. № 4. $- 1 < a < 0$

Расположите по возрастанию: $a, a^{2}, a^{3}, \frac{1}{a}$

проверка при $a = - \frac{1}{2}$ — а теперь докажите

R01.1

Тип 4 · образец · исследование

Что больше: $\frac{a}{b}$ или $\frac{a + 1}{b + 1}$ ? ( $a > 0, b > 0$ )

\frac{a}{b} - \frac{a + 1}{b + 1} = \frac{a ( b + 1 ) - b ( a + 1 )}{b ( b + 1 )} = \frac{a - b}{b ( b + 1 )}

a < b

дробь растёт

\frac{2}{5} < \frac{3}{6}

$0, 4 < 0, 5$

a = b

равны

\frac{4}{4} = \frac{5}{5}

обе равны $1$

a > b

дробь убывает

\frac{5}{2} > \frac{6}{3}

$2, 5 > 2$

R01.1–R01.2

Тип 4 · решите сами

Применяем вывод и обобщаем

базаНе вычисляя, сравните $\frac{37}{53}$ и $\frac{38}{54}$
повыш.Сравните $\frac{a}{b}$ и $\frac{a + c}{b + c}$ , если $a, b, c > 0$

параметрПри каких $a > 0$ верно $\frac{a}{4} > \frac{a + 1}{5}$ ?
практикаВ классе 25 учеников, из них 7 отличников. Пришёл ещё один отличник. Доля отличников выросла?

R01.1–R01.2

Задания с самопроверкой · база

Сравните и проверьте себя

база 1)

\frac{8}{9}

и

\frac{9}{10}

\frac{8}{9} < \frac{9}{10}

база 2)

\frac{5}{6}

и

\frac{7}{9}

\frac{5}{6} > \frac{7}{9}

база 3)

a = - 1, 5

:

a^{2}

и

a^{3}

a^{2} > a^{3}

база 4)

a < b

:

3 a - 1

и

3 b - 1

<

база 5)

a < b

:

2 - \frac{a}{3}

и

2 - \frac{b}{3}

>

база 6)

a > b > 0

:

\frac{1}{a}

и

\frac{1}{b}

<

R01.1–R01.2

Задания с самопроверкой · повышенный

Сравните и обоснуйте

повыш. 1)

\frac{999}{1000}

и

\frac{1000}{1001}

\frac{999}{1000} < \frac{1000}{1001}

повыш. 2)

a < b < 0

:

\frac{1}{a}

и

\frac{1}{b}

\frac{1}{a} > \frac{1}{b}

повыш. 3)

a > b > 0

:

\frac{a}{b}

и

\frac{a + 2}{b + 2}

\frac{a}{b} > \frac{a + 2}{b + 2}

повыш. 4)

a > 1

: по возрастанию

a, a^{2}, \frac{1}{a}

\frac{1}{a} < a < a^{2}

R01.1

Задачи из жизни · сравниваем доли

Ответьте и обоснуйте сравнением

практика

1. Сок: 0,9 л за 99 ₽ или 1,1 л за 120 ₽. Где литр дешевле?

1,1 л: $109 \frac{1}{11} < 110$ ₽/л

практика

2. В 200 г раствора 30 г соли. Добавили 10 г соли. Концентрация выросла?

да: $\frac{30}{200} < \frac{40}{210}$

практика

3. Игрок А: 17 попаданий из 20, игрок Б: 25 из 29. Кто точнее?

Б: $\frac{17}{20} < \frac{25}{29}$

R01.2

Типичные ошибки

Найдите ошибку — приведите контрпример

Рассуждение	Почему неверно
$a < b \Rightarrow - 3 a < - 3 b$	при умножении на $- 3$ знак меняется: $- 3 a > - 3 b$
$a < b \Rightarrow a^{2} < b^{2}$	$a = - 3, b = 1$ : $9 > 1$
$a < b \Rightarrow \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$	$a = - 1, b = 2$ : $- 1 < \frac{1}{2}$ — нужно $ab > 0$
$7 < 8, 9 < 11 \Rightarrow \frac{7}{9} < \frac{8}{11}$	$7 \cdot 11 - 8 \cdot 9 = 5 > 0$ , значит, $\frac{7}{9} > \frac{8}{11}$

R01.1–R01.2

Закрепление · решаем в парах

Решите в тетради

базаСравните $\frac{11}{12}$ и $\frac{12}{13}$ .
базаИзвестно, что $a > b$ . Сравните $7 - 4 a$ и $7 - 4 b$ .
повыш. $0 < a < 1$ . Расположите по возрастанию: $a, a^{2}, \frac{1}{a}$ .

повыш.Сравните $\frac{a + 2}{a + 3}$ и $\frac{a + 3}{a + 4}$ при $a > 0$ .
практикаСкидка 100 ₽ на товар за 900 ₽ или 120 ₽ на товар за 1100 ₽. Где выгоднее в процентах?
параметрПри каких $a$ верно $\frac{a}{a + 1} < \frac{a + 1}{a + 2}$ ?

3 мин · практика
Ответы: 1) $\frac{11}{12} < \frac{12}{13}$ (разность $\frac{143 - 144}{156} = - \frac{1}{156}$ ). 2) $- 4 a < - 4 b$ → $7 - 4 a < 7 - 4 b$ . 3) $a^{2} < a < \frac{1}{a}$ ( $a \cdot a < a \cdot 1$ ; $\frac{1}{a} > 1 > a$ ).
4) Разность $= \frac{( a + 2 ) ( a + 4 ) - ( a + 3 ) ^{2}}{( a + 3 ) ( a + 4 )} = - \frac{1}{( a + 3 ) ( a + 4 )} < 0$ → первая меньше. 5) Сравнить $\frac{100}{900} = \frac{1}{9}$ и $\frac{120}{1100} = \frac{6}{55}$ : $55 - 54 = 1 > 0$ → $\frac{1}{9} > \frac{6}{55}$ , первая скидка выгоднее (≈11,1 % и ≈10,9 %).
6) Разность $\frac{a}{a + 1} - \frac{a + 1}{a + 2} = - \frac{1}{( a + 1 ) ( a + 2 )}$ ; неравенство верно, когда $(a + 1) (a + 2) > 0$ : $a < - 2$ или $a > - 1$ ( $a \neq = - 1, - 2$ ). Задание 6 — для сильных, можно перенести в ДЗ.
Работа в парах 3 мин: решить № 1–5, затем один ученик у доски называет ответы; № 6 — сильным или в ДЗ.

R01.1–R01.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

1)

\frac{13}{14}

и

\frac{14}{15}

<

2)

a < b

:

5 - 2 a

и

5 - 2 b

>

3)

a < b < 0

:

a^{2}

и

ab

a^{2} > ab

4)

0 < a < b

:

\frac{a}{b}

и

\frac{a + 3}{b + 3}

<

Вариант 2

1)

\frac{15}{16}

и

\frac{16}{17}

<

2)

a > b

:

3 - 5 a

и

3 - 5 b

<

3)

a < b < 0

:

ab

и

b^{2}

ab > b^{2}

4)

a > b > 0

:

\frac{a}{b}

и

\frac{a + 4}{b + 4}

>

R01.1–R01.2

Формат ОГЭ · линия 7

На координатной прямой отмечено число $a$ . Какое из чисел наибольшее?

1)

a

2)

a^{2}

3)

- \frac{1}{a}

4)

a^{3}

Запишите в ответ номер выбранного варианта.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как сравнить два числа через разность?
Когда при умножении меняется знак?
Когда $a < b \Rightarrow \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ?

Домашнее задание

Сравните $\frac{1 0 ^{7} + 1}{1 0 ^{8} + 1}$ и $\frac{1 0 ^{8} + 1}{1 0 ^{9} + 1}$
$a < b < 0$ . Сравните $a^{2}$ и $ab$ ; $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$
Сравните $\frac{a}{b}$ и $\frac{a + 5}{b + 5}$ при $0 < a < b$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-015 · Практикум: Числовые неравенства

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R01 «Уравнения и неравенства: неравенства», 20 ч · урок 15/20 · тип П · теория 13 мин / практика 32 мин (71 %)
Единицы → слайды	R01.1 «Числовые неравенства» → 3, 5–9, 12–16, 18–20 · R01.2 «Свойства числовых неравенств» → 4–5, 8–11, 14–15, 17–21
Результаты	ПР-24 (свойства числовых неравенств для сравнения) → 3–19, 21 · ПР-4 (сравнение действительных чисел, координатная прямая) → 3, 8–9, 20 · ПР-13 (преобразования выражений в задачах) → 6–7, 12–16, 18–19 · кодификатора REQ у курса нет
Виды деятельности	«Формулировать свойства числовых неравенств, иллюстрировать их на координатной прямой, доказывать алгебраически» → 4–5, 8–11 · «Применять свойства неравенств в ходе решения задач» → 7, 9, 11, 13–19
Вне урока	доказательство неравенств — ALG8U-016; сложение и умножение неравенств — ALG8U-005, ALG8U-019; оценивание значения выражения — ALG8U-006; квадратные корни — ALG8U-021
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: числовые неравенства

Сегодня вы научитесь

Сравнивать через разность

Читать координатную прямую

Применять свойства

Исследовать

Поставьте знак >, < или = — или вычислите

Известно: a<b. Что отсюда следует?

Чем пользуемся сегодня

Определение

Свойства

Осторожно

Сравните 20252024​ и 20262025​

Сравните, не вычисляя значений

Подсказка к № 3

Какое утверждение верно?

Верно или неверно? Обоснуйте

Известно: a<b<0. Сравните a2 и b2

Сравните, используя свойства неравенств

повыш. № 4. −1<a<0

Что больше: ba​ или b+1a+1​? (a>0, b>0)

Применяем вывод и обобщаем

Сравните и проверьте себя

Сравните и обоснуйте

Ответьте и обоснуйте сравнением

Найдите ошибку — приведите контрпример

Решите в тетради

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

На координатной прямой отмечено число a. Какое из чисел наибольшее?

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-015 · Практикум: Числовые неравенства

Поставьте знак $>$ , $<$ или $=$ — или вычислите

Известно: $a < b$ . Что отсюда следует?

Сравните $\frac{2024}{2025}$ и $\frac{2025}{2026}$

Известно: $a < b < 0$ . Сравните $a^{2}$ и $b^{2}$

повыш. № 4. $- 1 < a < 0$

Что больше: $\frac{a}{b}$ или $\frac{a + 1}{b + 1}$ ? ( $a > 0, b > 0$ )

На координатной прямой отмечено число $a$ . Какое из чисел наибольшее?