Неравенства · урок 14 из 20

Решение текстовых задач с помощью линейных неравенств

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG8U-014

0 мин · титул. Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), всего 45 мин.
Паспорт: R01 «Уравнения и неравенства: неравенства» (20 ч), урок 14/20, единица R01.16 «Решение текстовых задач с помощью линейных неравенств с одной переменной». Тип урока — Н.
Теория (13 мин): цели 1 (сл. 2) · проблема 2 (сл. 5) · словарь 2 (сл. 6) · алгоритм 1 (сл. 8) · разборы примеров 1–4 учителем 7 (сл. 9, 11, 13, 15).
Практика (32 мин): разминка 2 и актуализация 2 (сл. 3–4) · «образец → сам» после каждого правила 10 (сл. 7, 10, 12, 14, 16) · найди ошибку 2 (сл. 17) · задания с самопроверкой 7 (сл. 18–19) · ОГЭ 2 (сл. 20) · самостоятельная работа 6 (сл. 21) · рефлексия 1 (сл. 22).
Предыдущий урок ALG8U-013 — системы линейных неравенств; следующий ALG8U-015 — практикум «Числовые неравенства». Сегодня главное — модель задачи и отбор решений по смыслу.

R01.16

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Переводить условие

«не более», «не менее», «хотя бы» — в знаки $\leq, \geq, >, <$

Составлять модель

неравенство или систему неравенств по условию задачи (ПР-24)

Отбирать по смыслу

целые, положительные, допустимые значения величин

Исследовать с параметром

как ответ задачи зависит от данных

1 мин · теория
ПР-24 (дословно ФРП): «Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств» — сл. 3–4, 9–21.
Близкий результат ПР-23 «Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели… интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат» (сформулирован для уравнений; здесь — тот же навык для неравенств) — сл. 5–21.
Вид деятельности ФРП (R01): «Решать текстовые задачи с помощью линейных неравенств с одной переменной… Исследовать линейное неравенство с одной переменной с параметром» — сл. 5–21 (параметр — сл. 15–16, 18).

разминка

Разминка · устно

Запишите знаком и решите

«

x

не более 5»

x \leq 5

«

x

хотя бы 3»

x \geq 3

«

x

дешевле 100»

x < 100

«от 2 до 9 включ.»

2 \leq x \leq 9

4 x \leq 18

x \leq 4, 5

20 - 3 x > 2

x < 6

наибольшее целое

x \leq 4, 5

4

наименьшее целое

x > 7, 2

8

повторение: R01.14–R01.15

Вспомним

Решите систему и найдите её целые решения

{2 x - 3 > 5, x + 1 \leq 9

{x > 4, x \leq 8 \Leftrightarrow 4 < x \leq 8

Ответ:

(4; 8]

— точка 4 выколота, 8 закрашена.

R01.16

Проблема

Грузчик весит 85 кг, ящик — 30 кг. Лифт выдерживает не более 400 кг. Сколько ящиков взять за раз?

85 + 30 x \leq 400

модель: «не более» →

\leq

30 x \leq 315, x \leq 10, 5

решение неравенства

x \in N \Rightarrow x_{m a x} = 10

отбор по смыслу

R01.16

Перевод с русского на математический

Слова условия → знак неравенства

В условии	Запись	На прямой
«не более», «не превышает», «самое большее»	$x \leq a$
«не менее», «хотя бы», «как минимум»	$x \geq a$
«больше», «дороже», «превосходит»	$x > a$
«меньше», «дешевле», «не хватает до»	$x < a$
«от a до b включительно»	$a \leq x \leq b$

R01.16

Образец → сам

Составьте неравенство по условию и решите его

Образец

Груз $x$ кг вместе с тележкой 15 кг не превышает 100 кг.

x + 15 \leq 100

x \leq 85

и по смыслу $x > 0$ : $0 < x \leq 85$

Сам

Три тетради по $x$ ₽ стоят не меньше 120 ₽. $3 x \geq 120, x \geq 40$
Скорость $v$ увеличили на 10 км/ч — стала больше 70 км/ч. $v + 10 > 70, v > 60$
Пять взносов по $x$ ₽ не дотягивают до 1000 ₽. $5 x < 1000, 0 < x < 200$
Возраст $x$ — от 7 до 12 лет включительно. $7 \leq x \leq 12$

R01.16

Алгоритм

Как решать задачу с помощью неравенства

Количество

$x \in N$ или $x \in Z, x \geq 0$

Длина, время, масса

$x > 0$ (иногда $x \geq 0$ )

Деление на $x$

знак выражения известен из смысла: $x > 0$

1 мин · теория
Шаг 4 — то, что отличает задачу от «голого» неравенства: ограничения на величины добавляются в систему (явно или устно).
Углублённый уровень: на шаге 3 каждый переход обосновываем свойствами (умножение на положительное число — знак сохраняется, на отрицательное — меняется; умножение на выражение — только если знак выражения известен).
Вопрос: какие ограничения у скорости? у числа учеников? у концентрации раствора (от 0 до 100 %)?

R01.16

Пример 1 · сравнение тарифов

А: 300 ₽ в месяц + 2 ₽/мин. Б: 5 ₽/мин. Когда выгоднее А?

x

— минут в месяц,

x \geq 0

300 + 2 x < 5 x

300 < 3 x \Leftrightarrow x > 100

Тариф А выгоднее, если говорить больше 100 мин; при 100 мин — одинаково (500 ₽).

R01.16

Образец → сам · сравнение тарифов

Решите по образцу примера 1

Тариф А: 200 ₽ в месяц + 4 ₽/мин, тариф Б: 6 ₽/мин. При каком числе минут выгоднее А? $200 + 4 x < 6 x \Rightarrow x > 100$ мин
Такси А: посадка 150 ₽ + 20 ₽/км, такси Б: посадка 100 ₽ + 25 ₽/км. Когда А дешевле? $150 + 20 x < 100 + 25 x \Rightarrow x > 10$ км
Абонемент в бассейн — 1800 ₽ в месяц, разовое посещение — 250 ₽. С какого числа посещений абонемент выгоднее? $250 n > 1800 \Rightarrow n > 7, 2$ → с 8 посещений

к заданию 3: $n$ — натуральное

При 7 посещениях 1750 ₽ — абонемент ещё невыгоден; при 8 — 2000 ₽ > 1800 ₽.

R01.16

Пример 2 · система неравенств

Натуральное число утроили и вычли 7 — получилось больше 20; удвоили и прибавили 5 — меньше 33. Какое число?

{3 n - 7 > 20, 2 n + 5 < 33

{n > 9, n < 14

Ответ: 10, 11, 12 или 13 — однозначно число не определяется.

1 мин · теория (демонстрационный пример)
Два условия, выполняющиеся одновременно, — система. $3 n > 27 \Leftrightarrow n > 9$ ; $2 n < 28 \Leftrightarrow n < 14$ .
Важный вывод углублённого уровня: текстовая задача на неравенства может иметь несколько ответов — надо указать все. Проверка: $n = 13$ : $32 > 20$ и $31 < 33$ — верно; $n = 14$ : $33 < 33$ — неверно.
Вопрос-продолжение: какое условие добавить, чтобы ответ стал единственным? Например, «число нечётное и делится на 3» → нет; «число простое и больше 12» → 13.

R01.16

Образец → сам · система неравенств

Составьте систему и найдите все ответы

Натуральное число удвоили и прибавили 3 — получилось больше 15; утроили и вычли 4 — меньше 26. $6 < n < 10$ : 7, 8 или 9
Периметр квадрата больше 20 см, но не больше 36 см. Какой может быть сторона, если она — целое число сантиметров? $5 < a \leq 9$ : 6, 7, 8 или 9 см
Если сажать учеников по 2 за парту, 12 парт не хватит; если по 3 — хватит 9 парт. Сколько учеников? $24 < x \leq 27$ : 25, 26 или 27

к заданию 1

{2 n + 3 > 15, 3 n - 4 < 26

R01.16

Пример 3 · концентрация

Сколько воды добавить к 12 л 30 %-го раствора соли, чтобы концентрация стала от 20 % до 25 %?

соли:

12 \cdot 0, 3 = 3, 6

л;

x \geq 0

0, 2 \leq \frac{3 , 6}{12 + x} \leq 0, 25

0, 2 (12 + x) \leq 3, 6 \leq 0, 25 (12 + x)

умножили на

12 + x > 0

— знаки сохраняются

x \leq 6, x \geq 2, 4 \Rightarrow 2, 4 \leq x \leq 6

R01.16

Образец → сам · концентрация и движение

Решите по образцу примера 3

К 10 л 40 %-го раствора соли добавляют $x$ л воды. Концентрация должна остаться не меньше 25 %. Сколько воды можно добавить? соли 4 л: $\frac{4}{10 + x} \geq 0, 25 \Rightarrow 4 \geq 2, 5 + 0, 25 x \Rightarrow 0 \leq x \leq 6$ л
Поезд должен пройти 240 км не более чем за 3 ч. С какой наименьшей скоростью ему ехать? $\frac{240}{v} \leq 3, v > 0 \Rightarrow 240 \leq 3 v \Rightarrow v \geq 80$ км/ч
повыш.К 6 кг сплава с 50 % олова добавляют $x$ кг олова. Доля олова должна стать не менее 70 %. Сколько олова добавить? олова 3 кг: $\frac{3 + x}{6 + x} \geq 0, 7 \Rightarrow 3 + x \geq 4, 2 + 0, 7 x \Rightarrow x \geq 4$ кг

R01.16 · исследование

Пример 4 · задача с параметром

Экскурсия: автобус 6000 ₽, билет 250 ₽ на человека. С каждого собирают $p$ ₽. Сколько нужно участников?

p n \geq 6000 + 250 n \Leftrightarrow (p - 250) n \geq 6000

$p \leq 250$

левая часть $\leq 0$ — денег не хватит никогда

$p > 250$

$n \geq \frac{6000}{p - 250}$ , $n$ — натуральное

$p$ , ₽	$p - 250$	$\frac{6000}{p - 250}$	$n_{m i n}$
400	150	$40$	40
500	250	$24$	24
700	450	$13, 3 \dots$	14
850	600	$10$	10

R01.16 · исследование

Образец → сам · задача с параметром

Зал для праздника — 4000 ₽, угощение — 300 ₽ на гостя. С каждого собирают $p$ ₽. Сколько нужно гостей?

p n \geq 4000 + 300 n \Leftrightarrow (p - 300) n \geq 4000

p = 500

n \geq 20

p = 620

n \geq 13

p = 300

никогда

n = 16, p = ?

p \geq 550

R01.16

Типичные ошибки

Найдите ошибку

«Не менее 12 ч»

$t > 12$

$t \geq 12$ — 12 ч подходит

Ящики: $x \leq 10, 5$

ответ: 11

10 — округляем вниз, к допустимому

$\frac{3 , 6}{12 + x} \geq 0, 2$

$\Rightarrow 3, 6 \leq 0, 2 (12 + x)$

$12 + x > 0$ — знак сохраняется: $3, 6 \geq 0, 2 (12 + x)$

Проверка ответа подстановкой в условие, а не только в неравенство.

R01.16

Задания с самопроверкой · 1

Решите с помощью неравенств

базаСумма трёх последовательных натуральных чисел не больше 75. Каким может быть наибольшее из них (найдите максимум)? 26
базаОдна сторона прямоугольника 7 см, периметр не превышает 40 см, а площадь больше 42 см². Какой может быть вторая сторона? $6 < b \leq 13$ см
повыш.Велосипедист хочет проехать 45 км не быстрее чем за 2,5 ч и не дольше чем за 3 ч. С какой скоростью ему ехать? $15 \leq v \leq 18$ км/ч
повыш.К 20 кг сплава с 40 % меди добавляют чистую медь. Сколько меди добавить, чтобы её доля стала от 50 % до 60 %? от 4 до 10 кг
параметрТариф А: 400 ₽ + 3 ₽/мин, тариф Б: $a$ ₽/мин. При каких $a$ тариф А выгоднее уже при 100 мин разговора? $a > 7$

4 мин · практика
Задания с самопроверкой: ученики решают в тетрадях, ответ по каждому заданию открывается кликом для проверки всем классом.
1) $n + (n + 1) + (n + 2) \leq 75 \Leftrightarrow 3 n \leq 72 \Leftrightarrow n \leq 24$ → наибольшее число $n + 2 \leq 26$ . Ответ: 26 (24 + 25 + 26 = 75).
2) $2 (7 + b) \leq 40 \Rightarrow b \leq 13$ ; $7 b > 42 \Rightarrow b > 6$ . Ответ: $6 < b \leq 13$ см.
3) $v > 0$ : $2, 5 \leq \frac{45}{v} \leq 3 \Leftrightarrow 2, 5 v \leq 45 \leq 3 v \Leftrightarrow 15 \leq v \leq 18$ км/ч.
4) Меди 8 кг; $0, 5 \leq \frac{8 + x}{20 + x} \leq 0, 6$ , $20 + x > 0$ : $10 + 0, 5 x \leq 8 + x \Rightarrow x \geq 4$ ; $8 + x \leq 12 + 0, 6 x \Rightarrow x \leq 10$ . Ответ: от 4 до 10 кг.
5) $400 + 3 \cdot 100 < 100 a \Leftrightarrow a > 7$ . Ответ: $a > 7$ . Если не успели — 4 и 5 в ДЗ. Проверка 4): $x = 4$ : $12/24 = 0, 5$ ; $x = 10$ : $18/30 = 0, 6$ .

R01.16

Задания с самопроверкой · 2

База и повышенный уровень

базаНа наушники нужно 4500 ₽. У Саши есть 1200 ₽, он откладывает по 400 ₽ в неделю. Через сколько недель денег хватит? 9 недель
базаШирина прямоугольника на 3 см меньше длины, периметр не больше 30 см. Какой может быть длина? $3 < a \leq 9$ см
повыш.Скорость течения 2 км/ч. Лодка должна пройти 24 км против течения не более чем за 3 ч. Какой должна быть её собственная скорость? $v \geq 10$ км/ч
повыш.Сумма двух последовательных чётных чисел больше 50, но меньше 60. Найдите эти числа. 26 и 28 или 28 и 30

R01.16

Формат ОГЭ · линия 21 (развёрнутый ответ)

Турист должен пройти 20 км не более чем за 5 ч. Первые 2 ч он шёл со скоростью 3,5 км/ч. С какой наименьшей скоростью ему идти остаток пути?

\frac{13}{v} \leq 3, v > 0

13 \leq 3 v

v \geq \frac{13}{3} = 4 \frac{1}{3}

2 мин · практика
Ученики решают сами с оформлением, затем по клику — опорные шаги решения. Решение: за 2 ч пройдено $2 \cdot 3, 5 = 7$ км, осталось 13 км; времени осталось не более 3 ч. $\frac{13}{v} \leq 3$ , при $v > 0$ умножаем на $v$ : $13 \leq 3 v$ , $v \geq \frac{13}{3}$ . Ответ: $4 \frac{1}{3}$ км/ч.
Критерии (как в линии 21): 2 балла — ход решения верный, получен верный ответ; 1 балл — верная модель, арифметическая ошибка; 0 — иначе. Обязательно: обоснование умножения на $v$ (знак $v$ ).
Ошибка: делить 20 км на 5 ч (4 км/ч) — не учтён уже пройденный путь; или записать $\frac{13}{v} < 3$ («не более» — нестрогое).

R01.16

Самостоятельная работа · 6 минут

Решите с помощью неравенств

Вариант 1

Лифт: не более 500 кг. Пассажир 70 кг, мешки по 25 кг. Сколько мешков можно взять наибольшее? 17
А: 250 ₽ + 3 ₽/мин, Б: 8 ₽/мин. Когда выгоднее А? $x > 50$
К 8 л 25 %-го раствора добавляют воду, чтобы концентрация стала от 10 % до 20 %. Сколько воды? $2 \leq x \leq 12$
Натуральное $n$ : $3 n + 2 > 20$ и $2 n - 1 < 17$ . 7; 8

Вариант 2

Лодка: не более 420 кг. Рыбак 90 кг, ящики по 20 кг. Сколько ящиков можно взять наибольшее? 16
А: 400 ₽ + 2 ₽/мин, Б: 6 ₽/мин. Когда выгоднее А? $x > 100$
К 15 л 20 %-го раствора добавляют воду, чтобы концентрация стала от 8 % до 12 %. Сколько воды? $10 \leq x \leq 22, 5$
Натуральное $n$ : $4 n - 3 > 17$ и $3 n + 1 < 28$ . 6; 7; 8

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем «не более» отличается от «меньше»?
Зачем нужен шаг «отбор по смыслу»?
Когда можно умножить неравенство на $x$ ?

Домашнее задание

Лодка везёт не более 500 кг; рыбак 80 кг, мешки по 32 кг. Сколько мешков можно взять?
При каких $p$ в задаче об экскурсии хватит 12 участников?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-014 · Решение текстовых задач с помощью линейных неравенств с одной переменной

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R01 «Уравнения и неравенства: неравенства», 20 ч · урок 14/20 · тип Н
Единицы → слайды	R01.16 «Решение текстовых задач с помощью линейных неравенств с одной переменной» → 3, 5–22 (повторение R01.14–R01.15 → 4)
Результаты	ПР-24 (решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений) → 3–4, 9–21 · ПР-23 (переход от словесной формулировки к алгебраической модели, интерпретация результата) → 5–21 · кодификатора REQ у курса нет
Виды деятельности	«Решать текстовые задачи с помощью линейных неравенств с одной переменной» → 5–14, 17–21 · «Исследовать линейное неравенство с одной переменной с параметром» → 15–16, 18
Вне урока	свойства и доказательство числовых неравенств — ALG8U-015, ALG8U-016; неравенство с переменной (практикум) — ALG8U-017; дробно-рациональные неравенства — вне 8 класса (здесь только линейные после умножения на положительный знаменатель)
Хронометраж	теория 13 мин (сл. 2, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 15) · практика 32 мин (сл. 3, 4, 7, 10, 12, 14, 16–22) — 71 %
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Решение текстовых задач с помощью линейных неравенств

Сегодня вы научитесь

Переводить условие

Составлять модель

Отбирать по смыслу

Исследовать с параметром

Запишите знаком и решите

Решите систему и найдите её целые решения

Грузчик весит 85 кг, ящик — 30 кг. Лифт выдерживает не более 400 кг. Сколько ящиков взять за раз?

Слова условия → знак неравенства

Составьте неравенство по условию и решите его

Образец

Сам

Как решать задачу с помощью неравенства

Количество

Длина, время, масса

Деление на x

А: 300 ₽ в месяц + 2 ₽/мин. Б: 5 ₽/мин. Когда выгоднее А?

Решите по образцу примера 1

Натуральное число утроили и вычли 7 — получилось больше 20; удвоили и прибавили 5 — меньше 33. Какое число?

Составьте систему и найдите все ответы

Сколько воды добавить к 12 л 30 %-го раствора соли, чтобы концентрация стала от 20 % до 25 %?

Решите по образцу примера 3

Экскурсия: автобус 6000 ₽, билет 250 ₽ на человека. С каждого собирают p ₽. Сколько нужно участников?

p≤250

p>250

Зал для праздника — 4000 ₽, угощение — 300 ₽ на гостя. С каждого собирают p ₽. Сколько нужно гостей?

Найдите ошибку

«Не менее 12 ч»

Ящики: x≤10,5

12+x3,6​≥0,2

Решите с помощью неравенств

База и повышенный уровень

Турист должен пройти 20 км не более чем за 5 ч. Первые 2 ч он шёл со скоростью 3,5 км/ч. С какой наименьшей скоростью ему идти остаток пути?

Решите с помощью неравенств

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-014 · Решение текстовых задач с помощью линейных неравенств с одной переменной

Деление на $x$

Экскурсия: автобус 6000 ₽, билет 250 ₽ на человека. С каждого собирают $p$ ₽. Сколько нужно участников?

$p \leq 250$

$p > 250$

Зал для праздника — 4000 ₽, угощение — 300 ₽ на гостя. С каждого собирают $p$ ₽. Сколько нужно гостей?

Ящики: $x \leq 10, 5$

$\frac{3 , 6}{12 + x} \geq 0, 2$