Неравенства · урок 13 из 20

Системы линейных неравенств с одной переменной

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG8U-013

1 мин · теория (орг. момент)
Паспорт: R01 «Уравнения и неравенства: неравенства» (20 ч), урок 13/20, единица R01.15 «Системы линейных неравенств с одной переменной». Тип урока — Н.
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Хронометраж: орг. момент и цели 2 мин (сл. 1–2) · разминка и актуализация 4 (сл. 3–4) · определение, пересечение, алгоритм, образец 5 (сл. 5–8) · образец → сам 3 (сл. 9) · четыре случая 4 (сл. 10–11: теория 2, практика 2) · двойные неравенства 4 (сл. 12–13: теория 1, практика 3) · углублённо: три неравенства, модуль, параметр, ошибки 4 (сл. 14–17) · найдите ошибку 2 (сл. 18) · закрепление, самопроверка, ОГЭ 11 (сл. 19–22) · самостоятельная работа 4 (сл. 23) · итог и ДЗ 2 (сл. 24).
Предыдущий урок ALG8U-012 — решение линейных неравенств; ALG8U-010 — числовые промежутки (запись $(2; 4]$ уже знакома). Следующий ALG8U-014 — текстовые задачи с помощью неравенств.

R01.15

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Решать системы

линейных неравенств с одной переменной (ПР-24)

Изображать решение

как пересечение множеств на координатной прямой (ПР-24)

Решать двойные неравенства

и находить целые решения системы

Исследовать с параметром

когда система имеет решения и сколько целых

1 мин · теория
ПР-24 (дословно ФРП): «Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств» — сл. 4–23.
Виды деятельности ФРП (R01): «Решать линейные неравенства с одной переменной, системы линейных неравенств, изображать решение на числовой прямой… Исследовать линейное неравенство с одной переменной с параметром» — сл. 8–16, 21, 23.

разминка

Разминка · устно

Решите устно и запишите ответ промежутком

2 x > 8

(4; + \infty)

- x \leq 3

[- 3; + \infty)

3 x < - 6

(- \infty; - 2)

\frac{x}{4} \geq 1

[4; + \infty)

5 - x > 5

(- \infty; 0)

- 2 x \geq - 10

(- \infty; 5]

4 \in (2; 4]

?

да

2 \in (2; 4]

?

нет

повторение: R01.12–R01.14

Вспомним

Решите и запишите ответ промежутком

а)

3 x - 2 > 4

\Leftrightarrow x > 2

$x \in (2; + \infty)$

б)

5 - x \geq 1

\Leftrightarrow x \leq 4

$x \in (- \infty; 4]$

Почему в б) знак поменялся?
Почему 2 — «пустая» точка, а 4 — закрашенная?
Проблема: какие числа удовлетворяют обоим неравенствам сразу?
Сколько среди них целых?

R01.15

Определение

Система неравенств

{3 x - 2 > 4 5 - x \geq 1

фигурная скобка = «и»

Решение системы — значение переменной, при котором верно каждое неравенство.

Решить систему — найти все её решения или доказать, что их нет.

$x$	$- 1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$3 x - 2 > 4$	✗	✗	✓	✓	✓
$5 - x \geq 1$	✓	✓	✓	✓	✗
система	✗	✗	✓	✓	✗

Решение системы — только там, где ✓ в обеих строках.

R01.15

Геометрический смысл

Решение системы — пересечение множеств

{x \geq - 1 x < 3

M = M_{1} \cap M_{2}

«

\cap

» — пересечение

сверху —

M_{1}

:

x \geq - 1

снизу —

M_{2}

:

x < 3

обе штриховки — решение

Ответ:

x \in [- 1; 3)

R01.15

Алгоритм

Как решить систему линейных неравенств

R01.15

Образец решения

Решите систему ${5 x - 3 > 2 x + 6 4 - 3 x \geq - 11$

первоевторое

5 x - 2 x > 6 + 3

- 3 x \geq - 11 - 4

3 x > 9

- 3 x \geq - 15

x > 3

x \leq 5

знак сменился

Ответ:

x \in (3; 5]

Целые решения: $4; 5$

R01.15

Образец → сам

Решите систему по алгоритму

1)

{2 x + 1 > 7 x - 3 \leq 2

$x > 3$ и $x \leq 5$

$(3; 5]$

2)

{4 x - 8 \geq 0 3 - x > - 4

$x \geq 2$ и $x < 7$

$[2; 7)$

3)

{5 x + 2 < 3 x - 4 x + 6 > 0

$x < - 3$ и $x > - 6$

$(- 6; - 3)$

4)

{6 - 2 x \leq 0 3 x - 1 > 8

$x \geq 3$ и $x > 3$

$(3; + \infty)$

R01.15

Четыре случая расположения лучей

Больше большего, меньше меньшего

{x > 2 x < 4

$(2; 4)$

лучи навстречу — отрезок между ними

{x > 2 x > 4

$(4; + \infty)$

оба вправо — «больше большего»

{x < 2 x < 4

$(- \infty; 2)$

оба влево — «меньше меньшего»

{x > 4 x < 2

$\emptyset$

лучи врозь — общей части нет

R01.15

Устно · четыре случая

Где общая часть? Назовите ответ

{x > 1 x < 6

(1; 6)

{x \geq - 2 x \geq 3

[3; + \infty)

{x < 0 x \leq - 4

(- \infty; - 4]

{x > 5 x < 2

\emptyset

{x \leq 7 x > - 1

(- 1; 7]

{x \geq 3 x \leq 3

x = 3

{x < - 2 x < 1

(- \infty; - 2)

{x > 3 x \leq 3

\emptyset

R01.15

Двойное неравенство — тоже система

Решите $- 3 < 2 x + 1 \leq 7$

- 3 < 2 x + 1 \leq 7 \Leftrightarrow {2 x + 1 > - 3 2 x + 1 \leq 7

Короче — действуем сразу над тремя частями:

- 3 - 1 < 2 x \leq 7 - 1

- 1

из всех частей

\Leftrightarrow

- 4 < 2 x \leq 6

\Leftrightarrow

- 2 < x \leq 3

делим все части на

2

Ответ:

x \in (- 2; 3]

Делим на отрицательное — оба знака меняются:

- 6 < - 2 x \leq 4 \Leftrightarrow - 2 \leq x < 3

R01.15

Образец → сам

Решите двойное неравенство

1)

- 1 < x + 3 \leq 5

$- 1 - 3 < x \leq 5 - 3$

$(- 4; 2]$

2)

1 \leq 2 x - 3 < 9

$4 \leq 2 x < 12$

$[2; 6)$

3)

- 4 \leq 3 x + 2 \leq 11

$- 6 \leq 3 x \leq 9$

$[- 2; 3]$

4)

1 < 5 - 2 x \leq 9

$- 4 < - 2 x \leq 4$ — делим на $- 2$

$[- 2; 2)$

R01.15

Углублённо · три неравенства, дроби

Сколько целых решений у системы?

⎩ ⎨ ⎧ \frac{x - 1}{2} - \frac{x + 2}{3} < 1 2 (x - 3) \geq 5 x - 18 x + 7 > 0

① $\cdot 6$ : $3 x - 3 - 2 x - 4 < 6 \Rightarrow x < 13$

② $2 x - 6 \geq 5 x - 18 \Rightarrow - 3 x \geq - 12 \Rightarrow x \leq 4$

③ $x > - 7$

x \in (- 7; 4]

: целые

- 6; - 5; \dots; 4

— всего 11 чисел

R01.15

Углублённо · неравенство с модулем

$∣2 x - 3∣ \leq 5$ — это двойное неравенство

∣2 x - 3∣ \leq 5

\Leftrightarrow

- 5 \leq 2 x - 3 \leq 5

расстояние до 0 не больше 5

\Leftrightarrow

- 2 \leq 2 x \leq 8

\Leftrightarrow

- 1 \leq x \leq 4

Ответ:

x \in [- 1; 4]

Иначе: $∣ x - 1, 5∣ \leq 2, 5$ — точки не дальше $2, 5$ от $1, 5$ .

R01.15

Исследование с параметром

При каких $a$ система ${x > 2 x \leq a$ имеет ровно 3 целых решения?

a \leq 2

: лучи врозь →

\emptyset

a > 2

: решение

(2; a]

целые должны быть

3; 4; 5

— и не

6

Ответ:

5 \leq a < 6

R01.15

Осторожно

Типичные ошибки

Система	Ошибка	Верно
${x > 2 x \leq 4$	«все числа» — объединили	пересечение: $(2; 4]$
${x \geq 3 x < 3$	$x = 3$	$3 < 3$ неверно → $\emptyset$
${- 2 x < 6 x < 1$	$x < - 3$ → $(- \infty; - 3)$	$x > - 3$ → $(- 3; 1)$

Проверяйте ответ числом изнутри промежутка и границами.

R01.15

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Два луча вправо

${x > - 1 x > 4$

$(- 1; + \infty)$

$(4; + \infty)$

«больше большего»: $x = 0$ — не решение, $0 > 4$ ✗

Двойное с минусом

$- 2 < 1 - x < 3$

$- 3 < x < 2$

$- 2 < x < 3$

умножили на $- 1$ , но знаки не сменили

Целые решения

$x \in (- 2; 3]$

6 чисел: $- 2; \dots; 3$

5 чисел: $- 1; \dots; 3$

$- 2$ не входит — скобка круглая

R01.15

Закрепление

Решите

база ${2 x - 6 > 0 x + 1 \leq 9$
базаЯвляется ли $x = - 1$ решением системы ${3 x + 5 > 0 1 - 2 x \geq 4$ ?
повыш. $- 1 \leq \frac{3 - 2 x}{5} < 3$

повыш.Наибольшее целое решение: ${5 (x - 2) - 3 (x + 1) < 1 4 x + 9 > 1$
практикаШирина прямоугольника 5 см, периметр больше 22 см, но не больше 36 см. Какой может быть длина?
параметрПри каких $a$ система ${x \geq a x < 4$ не имеет решений?

R01.15

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте ответ

Решите систему

база ${x - 4 < 0 x + 2 \geq 0$ $[- 2; 4)$
база ${3 x \geq 12 x - 1 > 5$ $(6; + \infty)$
база ${2 x < - 8 - x \geq 0$ $(- \infty; - 4)$

Решите двойное неравенство

база $- 3 \leq x - 2 < 1$ $[- 1; 3)$
база $0 < 4 x \leq 12$ $(0; 3]$
база $- 6 < - 3 x \leq 3$ $[- 1; 2)$

R01.15

Задания с самопроверкой · повышенный

Решите и обоснуйте

повыш.Сколько целых решений у системы $⎩ ⎨ ⎧ \frac{x + 1}{2} \geq x - 2 3 x + 7 > 1$ ? 7
повыш.Решите неравенство $∣3 x + 1∣ < 5$ . $(- 2; \frac{4}{3})$
повыш.Найдите сумму целых решений $- 3 \leq \frac{2 x - 1}{3} < 2$ . $- 4$
параметрПри каких $a$ система ${x \geq a x < 3$ имеет ровно 2 целых решения? $0 < a \leq 1$
из жизниТакси: посадка 100 ₽ и 25 ₽ за км. Поездка стоила больше 300 ₽, но не больше 450 ₽. Сколько км проехали? $(8; 14]$ км

R01.15

Формат ОГЭ · линия 13

Укажите решение системы неравенств ${x + 2, 6 \leq 0 x + 5 \geq 1$

1)

2)

3)

4)

Запишите номер верного рисунка.

R01.15

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Решите: ${3 x - 1 > 5 x + 4 \leq 10$ $(2; 6]$
Решите: $- 5 < 2 x + 1 \leq 7$ $(- 3; 3]$
Число целых решений: ${x \geq - 3 5 - x > 2$ 6
При каких $a$ система ${x > a x \leq 2$ не имеет решений? $a \geq 2$

Вариант 2

Решите: ${2 x + 3 \geq 9 4 - x > - 2$ $[3; 6)$
Решите: $- 1 \leq 3 - 2 x < 5$ $(- 1; 2]$
Число целых решений: ${x > - 2 2 x - 1 \leq 7$ 6
При каких $a$ система ${x < a x \geq - 1$ не имеет решений? $a \leq - 1$

4 мин · практика
Варианты по партам; 3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам на слайде (открыть по клику). Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».
Вариант 1: 1) $3 x > 6 \Rightarrow x > 2$ ; $x \leq 6$ → $(2; 6]$ . 2) $- 6 < 2 x \leq 6$ , $- 3 < x \leq 3$ → $(- 3; 3]$ . 3) $x \geq - 3$ , $- x > - 3 \Rightarrow x < 3$ → $[- 3; 3)$ : $- 3, \dots, 2$ — 6 чисел. 4) $(a; 2]$ пусто при $a \geq 2$ (при $a = 2$ : $x > 2$ и $x \leq 2$ — пусто).
Вариант 2: 1) $2 x \geq 6 \Rightarrow x \geq 3$ ; $- x > - 6 \Rightarrow x < 6$ → $[3; 6)$ . 2) $- 4 \leq - 2 x < 2$ , делим на $- 2$ : $2 \geq x > - 1$ → $(- 1; 2]$ . 3) $x > - 2$ , $2 x \leq 8 \Rightarrow x \leq 4$ → $(- 2; 4]$ : $- 1, \dots, 4$ — 6 чисел. 4) $[- 1; a)$ пусто при $a \leq - 1$ (при $a = - 1$ : $x < - 1$ и $x \geq - 1$ — пусто).

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что называют решением системы неравенств?
Как найти его на координатной прямой?
Когда у системы нет решений?

Домашнее задание

Решите: ${4 x - 1 \geq 3 x + 2 7 - x > 2$
Число целых решений: $- 4 < 3 - x \leq 2$
При каких $a$ система ${x > - 1 x \leq a$ имеет ровно 2 целых решения?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-013 · Системы линейных неравенств с одной переменной

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R01 «Уравнения и неравенства: неравенства», 20 ч · урок 13/20 · тип Н · теория 14 мин / практика 31 мин (69 %)
Единицы → слайды	R01.15 «Системы линейных неравенств с одной переменной» → 3–24 (теория: 4–8, 10, 12, 14–17; практика: 3, 9, 11, 13, 18–24)
Результаты	ПР-24 (решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений системы неравенств) → 4–23 · кодификатора REQ у курса нет
Виды деятельности	«Решать… системы линейных неравенств, изображать решение на числовой прямой» → 6–15, 17–23 · «Исследовать линейное неравенство… с параметром» → 16, 19, 21, 23
Вне урока	числовые промежутки — ALG8U-010; линейные неравенства — ALG8U-011, ALG8U-012; текстовые задачи — ALG8U-014; совокупности неравенств («или») — только упоминание в заметках сл. 15
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Системы линейных неравенств с одной переменной

Сегодня вы научитесь

Решать системы

Изображать решение

Решать двойные неравенства

Исследовать с параметром

Решите устно и запишите ответ промежутком

Решите и запишите ответ промежутком

Система неравенств

Решение системы — пересечение множеств

Как решить систему линейных неравенств

Решите систему {5x−3>2x+64−3x≥−11​

Решите систему по алгоритму

Больше большего, меньше меньшего

Где общая часть? Назовите ответ

Решите −3<2x+1≤7

Решите двойное неравенство

Сколько целых решений у системы?

∣2x−3∣≤5 — это двойное неравенство

При каких a система {x>2x≤a​ имеет ровно 3 целых решения?

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Два луча вправо

Двойное с минусом

Целые решения

Решите

Решите и проверьте ответ

Решите и обоснуйте

Укажите решение системы неравенств {x+2,6≤0x+5≥1​

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-013 · Системы линейных неравенств с одной переменной

Решите систему ${5 x - 3 > 2 x + 6 4 - 3 x \geq - 11$

Решите $- 3 < 2 x + 1 \leq 7$

$∣2 x - 3∣ \leq 5$ — это двойное неравенство

При каких $a$ система ${x > 2 x \leq a$ имеет ровно 3 целых решения?

Укажите решение системы неравенств ${x + 2, 6 \leq 0 x + 5 \geq 1$