Неравенства · урок 12 из 20

Решение линейных неравенств с одной переменной

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG8U-012

1 мин · теория (орг. момент)
Паспорт: R01 «Уравнения и неравенства: неравенства» (20 ч), урок 12/20, единица R01.14 «Решение линейных неравенств с одной переменной». Тип урока — Н.
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Хронометраж: орг. момент и цели 2 мин (сл. 1–2) · разминка и актуализация 4 (сл. 3–4) · алгоритм и образцы вперемежку с «образец → сам» 10 (сл. 5–9: теория 5, практика 5) · особые случаи, схема $a x > b$ и «сам» 4 (сл. 10–12) · параметр, целые решения, график, область определения и «сам» 7 (сл. 13–17: теория 5, практика 2) · найди ошибку и самопроверка 8 (сл. 18–20) · закрепление и ОГЭ 5 (сл. 21–22) · самостоятельная работа 4 (сл. 23) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 24). Теоретические слайды — без сокращений.
Если не успеваете: задания 4–6 сл. 21 и задания 4–5 сл. 20 перенести в ДЗ.
Предыдущий урок ALG8U-011 — линейное неравенство и множество его решений; следующий ALG8U-013 — системы линейных неравенств. Сегодня — техника решения «длинных» неравенств, особые случаи и параметр.

R01.14

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Решать по алгоритму

неравенства со скобками и дробями (ПР-24)

Распознавать особые случаи

$0 \cdot x > b$ : все числа или решений нет

Исследовать с параметром

неравенство $a x > b$ при разных значениях $a$

Применять

целые решения, график, область определения

1 мин · теория
ПР-24 (дословно ФРП): «Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств» — сл. 5–23.
Виды деятельности ФРП (R01): «Решать линейные неравенства с одной переменной… изображать решение на числовой прямой… Исследовать линейное неравенство с одной переменной с параметром» — сл. 6–13, 20–21.

разминка

Разминка · устно

Раскройте, упростите, решите

раскройте скобки

- 2 (x - 3)

- 2 x + 6

раскройте скобки

- (4 - x)

x - 4

общий знаменатель

\frac{x}{4}

и

\frac{x}{6}

12

упростите

6 \cdot \frac{2 x - 1}{3}

4 x - 2

решите

2 x > 8

x > 4

решите

- 5 x \leq 10

x \geq - 2

решите

- x < - 7

x > 7

решите

\frac{x}{3} \geq - 2

x \geq - 6

повторение: R01.12

Вспомним

Неравенство — рисунок — промежуток

Неравенство	На координатной прямой	Промежуток
$x > 3$		$(3; + \infty)$
$x \leq - 2$		$(- \infty; - 2]$
$- 1 \leq x < 4$		$[- 1; 4)$

Устно: $- 3 x > 12$ ; $\frac{x}{5} \leq - 1$ ; $- \frac{x}{2} \geq 0$

R01.14

Новый материал · алгоритм

Как решить любое линейное неравенство

2 мин · теория
Проблема: «длинное» неравенство со скобками и дробями сводится цепочкой равносильных переходов к виду $a x > b$ (или $<, \leq, \geq$ ), а дальше — один из трёх случаев (сл. 11).
Каждый шаг опирается на теоремы о равносильности (урок ALG8U-008): перенос — Т1; умножение на общий знаменатель $> 0$ — Т2; деление на отрицательное число — Т3.
Вопрос: почему на шаге 2 знак не меняется? (Знаменатели — положительные числа.) Что изменится, если знаменатель отрицательный, например $\frac{x}{- 2}$ ? (Лучше сначала записать $- \frac{x}{2}$ .)

R01.14

Образец 1 · скобки

Решите неравенство $3 (x - 2) - 4 (x + 1) \leq 2 x + 5$

3 x - 6 - 4 x - 4 \leq 2 x + 5

шаг 1

\Leftrightarrow

- x - 10 \leq 2 x + 5

подобные

\Leftrightarrow

- x - 2 x \leq 5 + 10

шаг 3

\Leftrightarrow

- 3 x \leq 15

шаг 4

\Leftrightarrow

x \geq - 5

: (- 3)

, знак меняется

Ответ:

[- 5; + \infty)

Проверка: $x = - 5$ : $- 5 \leq - 5$ ✓

R01.14

Образец → сам · скобки

Решите по образцу

Образец

2 (x - 3) - (x + 4) > 5

2 x - 6 - x - 4 > 5

x - 10 > 5

x > 15

Сам

Решите неравенство:

1)

3 (x + 2) - x < 10

x < 2

2)

5 - 2 (x - 1) \geq 1

x \leq 3

3)

4 (x - 1) \leq 2 (x + 3)

x \leq 5

4)

2 (3 - x) - 3 (x + 1) > 8

x < - 1

R01.14

Образец 2 · дроби

Решите неравенство $\frac{x - 1}{2} - \frac{2 x + 3}{3} > \frac{x}{6}$

3 (x - 1) - 2 (2 x + 3) > x

\cdot 6

, знак тот же

\Leftrightarrow

3 x - 3 - 4 x - 6 > x

скобки

\Leftrightarrow

- x - 9 > x

подобные

\Leftrightarrow

- 2 x > 9

перенос

\Leftrightarrow

x < - 4, 5

: (- 2)

, знак меняется

Числитель — в скобках:

- \frac{2 x + 3}{3} \to - 2 (2 x + 3)

Ответ:

(- \infty; - 4, 5)

R01.14

Образец → сам · дроби

Избавьтесь от знаменателей и решите

Образец

\frac{x}{2} - \frac{x}{3} \leq 1 ∣ \cdot 6

3 x - 2 x \leq 6

x \leq 6

Сам

Решите неравенство:

1)

\frac{x}{4} + \frac{x}{2} > 3

x > 4

2)

\frac{x - 1}{3} \geq \frac{x}{2}

x \leq - 2

3)

\frac{2 x + 1}{5} - 1 < \frac{x}{2}

x > - 8

4)

x - \frac{x - 3}{4} \leq \frac{x + 1}{2}

x \leq - 1

R01.14

Особые случаи · $x$ «исчез»

Получилось $0 \cdot x > b$ — что дальше?

2 (x + 3) > 2 x + 1

0 \cdot x > - 5

верно всегда: $x$ — любое

2 (x + 3) < 2 x + 1

0 \cdot x < - 5

неверно всегда: $\emptyset$

3 x - (x - 2) \leq 2 (x + 1)

0 \cdot x \leq 0

$0 \leq 0$ — верно: $x$ — любое

Делить на

0

нельзя — подставляем: верное числовое неравенство или нет?

R01.14

Итог алгоритма · исследование

Три случая для неравенства $a x > b$

R01.14

Сам · особые случаи

Все числа или решений нет?

1) $3 (x - 1) > 3 x - 5$

$0 \cdot x > - 2$ — $x$ любое

2) $2 (x + 4) \leq 2 x + 1$

$0 \cdot x \leq - 7$ — решений нет

3) $5 x - (2 x - 1) < 3 x + 1$

$0 \cdot x < 0$ — решений нет

4) $4 - (x + 2) \geq 2 - x$

$0 \cdot x \geq 0$ — $x$ любое

R01.14

Углублённо · параметр

Решите неравенство $(a - 2) x > a^{2} - 4$

(a - 2) x > (a - 2) (a + 2)

a > 2

$a - 2 > 0$

x > a + 2

a = 2

$0 \cdot x > 0$

решений нет

a < 2

$a - 2 < 0$

x < a + 2

R01.14

Целые решения

Сколько натуральных решений у неравенства $\frac{3 x - 1}{4} - x \geq \frac{x - 5}{2}$ ?

3 x - 1 - 4 x \geq 2 x - 10

\cdot 4

\Leftrightarrow

- x - 1 \geq 2 x - 10

\Leftrightarrow

- 3 x \geq - 9

\Leftrightarrow

x \leq 3

Ответ: 3 решения (

1; 2; 3

)

R01.14

Графическая иллюстрация

При каких $x$ функция $y = - 2 x + 4$ положительна?

- 2 x + 4 > 0

- 2 x > - 4

x < 2

Решения — абсциссы точек графика выше оси $O x$

R01.14

Применение · когда выражение имеет смысл

При каких $x$ выражение имеет смысл?

12 - 4 x

12 - 4 x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 3

$(- \infty; 3]$

\frac{1}{2 x + 5}

2 x + 5 > 0 \Leftrightarrow x > - 2, 5

$(- 2, 5; + \infty)$

Под корнем —

\geq 0

; корень в знаменателе —

> 0

.

R01.14

Сам · применяем

Целые решения, график, область определения

1) По графику: при каких $x$

$y \geq 0$ ? $x \geq - 2$ $y < 0$ ? $x < - 2$

2) Наибольшее целое решение

\frac{x}{3} - \frac{x - 2}{2} > 1

- 1

3) Число натуральных решений

2 (x - 1) \leq 8 - x

3

4) Наименьшее целое решение

5 - 3 x < 2 (x - 4)

3

5) При каких

x

имеет смысл

8 + 2 x

?

x \geq - 4

R01.14

Найдите ошибку

Три типичные ошибки

Решение ученика	Ошибка	Верно
$- 2 x > 6 \Rightarrow x > - 3$	не сменили знак	$x < - 3$
$\frac{x}{3} - 1 < \frac{x}{2} \Rightarrow 2 x - 1 < 3 x$	$1$ не умножили на $6$	$2 x - 6 < 3 x; x > - 6$
$3 - (x - 2) \geq 0 \Rightarrow 1 - x \geq 0$	знак перед скобкой	$5 - x \geq 0; x \leq 5$

R01.14

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте ответ

база 1)

5 x - 3 > 2 x + 9

(4; + \infty)

база 2)

2 - 7 x \leq 16

[- 2; + \infty)

база 3)

3 (2 x - 1) \geq 4 x + 5

[4; + \infty)

база 4)

6 - (x + 4) < 3 x

(0, 5; + \infty)

база 5)

\frac{x}{2} + \frac{x}{5} \leq 7

(- \infty; 10]

база 6)

\frac{3 - x}{4} > 1

(- \infty; - 1)

R01.14

Задания с самопроверкой · повышенный

Решите и обоснуйте

повыш. 1)

\frac{x + 1}{2} - \frac{x - 2}{3} \geq \frac{x}{6} + 1

x

— любое повыш. 2)

0, 2 (5 x - 2) - 0, 3 x < 0, 5 x + 1, 6

x < 10

повыш. 3) наименьшее целое:

\frac{2 x - 3}{4} - \frac{x}{3} > - \frac{1}{2}

2

параметр 4)

a x \leq 3 a

a > 0

:

x \leq 3

;

a < 0

:

x \geq 3

;

a = 0

: любое параметр 5) при каких

a

у

(a - 1) x > 2

нет решений?

a = 1

R01.14

Закрепление

Решите

база $7 - 3 x \geq 2 x - 8$
база $4 (x - 1) - (x + 2) < 2 x + 3$
повыш. $\frac{x + 2}{3} - \frac{x - 1}{4} \leq 1$

повыш.Наибольшее целое решение: $0, 3 (2 x - 5) - 0, 5 x > 1, 2 x - 4$
практикаТариф А: 300 ₽ + 2 ₽/мин, тариф Б: 5 ₽/мин. Когда А выгоднее?
параметрРешите $a x + 3 > 2 x + a$

R01.14

Формат ОГЭ · линия 13

Укажите решение неравенства $3 - x \geq 3 x + 5$

1)

2)

3)

4)

Запишите номер верного рисунка.

R01.14

Самостоятельная работа

Два варианта · в № 4 — сколько натуральных решений?

Вариант 1

1)

4 x - 7 \geq x + 5

x \geq 4

2)

2 (x - 3) - 5 (x + 1) < 4

x > - 5

3)

\frac{x}{3} - \frac{x - 1}{2} \leq 1

x \geq - 3

4)

3 x - 2 < 10

3

Вариант 2

1)

5 x + 3 \leq 2 x - 9

x \leq - 4

2)

3 (x + 2) - 4 (x - 1) > 7

x < 3

3)

\frac{x}{4} - \frac{x + 2}{3} \geq 1

x \leq - 20

4)

4 x + 1 \leq 17

4

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Назовите шаги алгоритма.
Когда знак неравенства меняется?
Что делать, если получилось $0 \cdot x > b$ ?

Домашнее задание

$5 (2 - x) - 3 \geq 2 (x + 7)$
$\frac{2 x - 1}{3} - \frac{x + 1}{2} < \frac{x}{6}$
Решите $(a + 3) x \leq a^{2} - 9$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-012 · Решение линейных неравенств с одной переменной

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R01 «Уравнения и неравенства: неравенства», 20 ч · урок 12/20 · тип Н
Единицы → слайды	R01.14 «Решение линейных неравенств с одной переменной» → 5–24 (повторение R01.12 → 3–4)
Результаты	ПР-24 (решать линейные неравенства с одной переменной, давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства) → 3–23 · кодификатора REQ у курса нет
Виды деятельности	«Решать линейные неравенства… изображать решение на числовой прямой» → 6–9, 14–23 · «Исследовать линейное неравенство… с параметром» → 11–13, 20–21
Вне урока	системы линейных неравенств — ALG8U-013; текстовые задачи — ALG8U-014; квадратные корни и их ОДЗ — строка «Иррациональные выражения»
Хронометраж	теория 14 мин · практика 31 мин (69 %); практика: разминка, «образец → сам» ×4, самопроверка ×2, найди ошибку, закрепление, ОГЭ (линия 13), самостоятельная работа (2 варианта)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Решение линейных неравенств с одной переменной

Сегодня вы научитесь

Решать по алгоритму

Распознавать особые случаи

Исследовать с параметром

Применять

Раскройте, упростите, решите

Неравенство — рисунок — промежуток

Как решить любое линейное неравенство

Решите неравенство 3(x−2)−4(x+1)≤2x+5

Решите по образцу

Образец

Сам

Решите неравенство 2x−1​−32x+3​>6x​

Избавьтесь от знаменателей и решите

Образец

Сам

Получилось 0⋅x>b — что дальше?

Три случая для неравенства ax>b

Все числа или решений нет?

Решите неравенство (a−2)x>a2−4

Сколько натуральных решений у неравенства 43x−1​−x≥2x−5​?

При каких x функция y=−2x+4 положительна?

При каких x выражение имеет смысл?

Целые решения, график, область определения

Три типичные ошибки

Решите и проверьте ответ

Решите и обоснуйте

Решите

Укажите решение неравенства 3−x≥3x+5

Два варианта · в № 4 — сколько натуральных решений?

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-012 · Решение линейных неравенств с одной переменной

Решите неравенство $3 (x - 2) - 4 (x + 1) \leq 2 x + 5$

Решите неравенство $\frac{x - 1}{2} - \frac{2 x + 3}{3} > \frac{x}{6}$

Получилось $0 \cdot x > b$ — что дальше?

Три случая для неравенства $a x > b$

Решите неравенство $(a - 2) x > a^{2} - 4$

Сколько натуральных решений у неравенства $\frac{3 x - 1}{4} - x \geq \frac{x - 5}{2}$ ?

При каких $x$ функция $y = - 2 x + 4$ положительна?

При каких $x$ выражение имеет смысл?

Укажите решение неравенства $3 - x \geq 3 x + 5$