Неравенства · урок 11 из 20

Линейное неравенство с одной переменной и множество его решений

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG8U-011

1 мин · теория (орг. момент)
Паспорт: R01 «Уравнения и неравенства: неравенства» (20 ч), урок 11/20, единица R01.13 «Линейное неравенство с одной переменной и множество его решений». Тип урока — Н.
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Хронометраж: титул и цели 2 мин (сл. 1–2) · разминка и актуализация 4 (сл. 3–4) · определение и «образец → сам» 4 (сл. 5–6) · три случая вперемежку с практикой 9 (сл. 7–12: теория 4, практика 5) · сводка, доказательство, график 3 (сл. 13–15) · по графику 2 (сл. 16) · образец и «сам» 4 (сл. 17–18) · параметр 2 (сл. 19) · самопроверка 3 (сл. 20) · найди ошибку, закрепление, ОГЭ 7 (сл. 21–23) · самостоятельная работа 4 (сл. 24) · итог и ДЗ 1 (сл. 25).
Теория (14 мин): сл. 1, 2, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 17, 19 — все определения, выводы, доказательство и схемы сохранены полностью. При нехватке времени задание 6 со сл. 22 перенести в ДЗ.
Предыдущий урок ALG8U-010 — числовые промежутки (их запись сегодня используем в ответах); следующий ALG8U-012 — решение линейных неравенств (раскрытие скобок, дроби, «длинные» цепочки). Сегодня главное — вид $a x > b$ и полный разбор множества решений по знаку $a$ .

R01.13

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать линейное неравенство

и приводить его к виду $a x > b$ (ПР-24)

Находить множество решений

в трёх случаях: $a > 0$ , $a < 0$ , $a = 0$

Изображать ответ

на координатной прямой, промежутком и на графике линейной функции

Исследовать с параметром

когда решений нет, когда — все числа, когда — луч

1 мин · теория
ПР-24 (дословно ФРП): «Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств» — сл. 5–24.
Виды деятельности ФРП (R01): «Решать линейные неравенства с одной переменной… изображать решение на числовой прямой… Исследовать линейное неравенство с одной переменной с параметром» — сл. 8–24.

разминка

Разминка · устно

Вычислите, решите, сравните

- 12 : 3

- 4

15 : (- 5)

- 3

(- 8) : (- 2)

4

0, 6 : (- 0, 2)

- 3

3 x = - 12

x = - 4

- 5 x = 15

x = - 3

- 3 □ - 5

>

2 < 5 \cdot (- 1)

- 2 > - 5

повторение: R01.12

Вспомним

Неравенство → рисунок → промежуток

Неравенство	На прямой	Промежуток
$x > - 1$		$(- 1; + \infty)$
$x \leq 3$		$(- \infty; 3]$
$- 2 < x \leq 4$		$(- 2; 4]$

Когда скобка круглая, когда квадратная?
Почему у $\infty$ скобка всегда круглая?
Как записать все числа? А «ни одного числа»?
Решите устно: $3 x > 12$ ; $- x \geq 5$ .

R01.13

Определение

Линейное неравенство с одной переменной

Неравенство вида

a x > b

(или

<, \geq, \leq

), где

a

и

b

— числа,

x

— переменная.

коэффициент a b x > число b

Равносильная запись: $a x + c > 0$ — перенесли $b$ влево.

Неравенство	Линейное?
$4 x < - 12$	да
$- \frac{1}{2} x \geq 3$	да
$0 \cdot x > - 5$	да, $a = 0$
$x^{2} > 9$	нет
$\frac{2}{x} \leq 1$	нет
$3 (x - 1) > x + 5$	сводится

R01.13

Образец → сам

Приведите к виду $a x > b$ и назовите $a$ и $b$

Образец

5 x + 3 < 2 x - 9

переносим $2 x$ влево, $3$ вправо:

5 x - 2 x < - 9 - 3

3 x < - 12

$a = 3, b = - 12$ , знак « $<$ »

Сам

$7 x - 4 \geq 3$ $7 x \geq 7$
$2 - x > 5$ $- x > 3$
$4 x + 1 \leq 4 x + 6$ $0 \cdot x \leq 5$
$3 (x + 2) < x$ $2 x < - 6$

R01.13

Проблема

Можно ли просто «разделить на $a$ »?

a x > b ⟹ ? x > \frac{b}{a}

Проверим:

a = - 2

,

b = 6

:

- 2 x > 6

. Подходит ли

x = 0

? Нет:

0 > 6

— неверно.

А «ответ»

x > - 3

содержит

0

. Значит, ответ неверен!

R01.13

Случай 1 · $a > 0$

Делим на положительное — знак сохраняется

a x > b, a > 0 \Leftrightarrow x > \frac{b}{a}

3 x > - 6

\Leftrightarrow

x > - 2

делим на

3 > 0

Ответ:

(- 2; + \infty)

R01.13

Случай 2 · $a < 0$

Делим на отрицательное — знак меняется

a x > b, a < 0 \Leftrightarrow x < \frac{b}{a}

- 2 x > 6

\Leftrightarrow

x < - 3

делим на

- 2

, знак меняется

Ответ:

(- \infty; - 3)

R01.13

Образец → сам

Делим на коэффициент: следим за его знаком

Образец

- 5 x \leq 20

делим на $- 5 < 0$ — знак меняется:

x \geq - 4

Ответ: $[- 4; + \infty)$

Сам: ответ — промежутком

$4 x > 12$ $(3; + \infty)$
$- 3 x < 9$ $(- 3; + \infty)$
$6 x \leq - 9$ $(- \infty; - 1, 5]$
$- \frac{1}{2} x \geq 2$ $(- \infty; - 4]$

R01.13

Случай 3 · $a = 0$

$0 \cdot x > b$ — переменная «исчезает»

0 \cdot x > - 3

$0 > - 3$ — верно при любом $x$

(- \infty; + \infty)

0 \cdot x > 5

$0 > 5$ — неверно при любом $x$

\emptyset

0 \cdot x > 0

$0 > 0$ — неверно: решений нет

\emptyset

А

0 \cdot x \geq 0

?

0 \geq 0

— верно: все числа. Граница

b = 0

зависит от знака!

R01.13

Сам · случай $a = 0$

Все числа ( $R$ ) или решений нет ( $\emptyset$ )?

0 \cdot x < 7

R

0 \cdot x \geq 2

\emptyset

0 \cdot x \leq 0

R

0 \cdot x < 0

\emptyset

0 \cdot x > - 0, 1

R

0 \cdot x \leq - 3

\emptyset

R01.13

Теорема · итог

Множество решений неравенства $a x > b$

Случай	Равносильно	Множество решений
$a > 0$	$x > \frac{b}{a}$	$(\frac{b}{a}; + \infty)$
$a < 0$	$x < \frac{b}{a}$	$(- \infty; \frac{b}{a})$
$a = 0, b < 0$	$0 > b$ — верно	$(- \infty; + \infty)$
$a = 0, b \geq 0$	$0 > b$ — неверно	$\emptyset$

Вывод: множество решений линейного неравенства — открытый луч, вся прямая или пустое множество.

R01.13

Доказательство · случай $a > 0$

Почему решения — ровно луч $(\frac{b}{a}; + \infty)$

Пусть $x_{0}$ — решение: $a x_{0} > b$ . Умножим на $\frac{1}{a} > 0$ : $x_{0} > \frac{b}{a}$ . Значит, $x_{0}$ лежит в луче.
Обратно: пусть $x_{0} > \frac{b}{a}$ . Умножим на $a > 0$ : $a x_{0} > b$ — $x_{0}$ решение.
Оба множества содержатся друг в друге — они совпадают. $■$
Для $a < 0$ — то же, но по свойству: умножение на отрицательное число меняет знак.

R01.13

Графическая иллюстрация

$k x + m > 0$ — где прямая $y = k x + m$ выше оси $O x$

1 мин · теория
Неравенство $k x + m > 0$ — вопрос «при каких $x$ значение линейной функции $y = k x + m$ положительно», то есть где её график выше оси $O x$ . Граница — точка пересечения с осью, корень уравнения $k x + m = 0$ .
$k > 0$ — прямая возрастает, положительна правее корня; $k < 0$ — убывает, положительна левее корня. Это и есть случаи $a > 0$ и $a < 0$ таблицы.
Вопрос: как выглядит график при $k = 0$ ? (Горизонтальная прямая $y = m$ : целиком выше оси при $m > 0$ — все числа, иначе — решений нет.)

R01.13

Сам · по графику

Решите неравенства, глядя на графики

« $> 0$ » — где прямая выше оси $O x$ , « $< 0$ » — ниже

$2 x - 4 > 0$ $(2; + \infty)$
$2 x - 4 \leq 0$ $(- \infty; 2]$
$- x - 1 > 0$ $(- \infty; - 1)$
$- x - 1 \leq 0$ $[- 1; + \infty)$

2 мин · практика
Ученики по графику называют промежутки, затем проверяют алгебраически; ответы открываются по одному.
Ответы: 1) прямая $y = 2 x - 4$ выше оси правее корня $x = 2$ : $(2; + \infty)$ ; алгебра: $2 x > 4$ , $x > 2$ ✓. 2) ниже или на оси — левее 2, граница входит: $(- \infty; 2]$ ; $2 x \leq 4$ , $x \leq 2$ ✓. 3) $y = - x - 1$ убывает, выше оси левее корня $- 1$ : $(- \infty; - 1)$ ; $- x > 1$ , $x < - 1$ ✓. 4) ниже или на оси — правее $- 1$ включительно: $[- 1; + \infty)$ ; $- x \leq 1$ , $x \geq - 1$ ✓.
Сильным: при каких $x$ прямая $y = 2 x - 4$ выше прямой $y = - x - 1$ ? ( $2 x - 4 > - x - 1 \Leftrightarrow 3 x > 3 \Leftrightarrow x > 1$ ; точка пересечения $(1; - 2)$ видна на рисунке.)

R01.13

Образец · приводим к виду $a x > b$

Три неравенства — три типа ответа

3 (x - 2) - 5 x \geq x + 9

$3 x - 6 - 5 x \geq x + 9$

$- 3 x \geq 15$

$x \leq - 5$

(- \infty; - 5]

2 (x + 1) > 2 x - 3

$2 x + 2 > 2 x - 3$

$0 \cdot x > - 5$

верно всегда

(- \infty; + \infty)

2 (x + 1) < 2 x - 3

$2 x + 2 < 2 x - 3$

$0 \cdot x < - 5$

неверно всегда

\emptyset

R01.13

Сам · по образцу

Приведите к виду $a x > b$ и решите

$2 (x - 3) > x + 1$ $x > 7$ , $(7; + \infty)$
$5 - 3 x \geq 2 (x - 5)$ $x \leq 3$ , $(- \infty; 3]$
$3 (2 x - 1) \leq 6 x + 4$ $0 \cdot x \leq 7$ , $(- \infty; + \infty)$
$4 (x + 1) - x < 3 x$ $0 \cdot x < - 4$ , $\emptyset$

Каждое — к одному из трёх типов ответа: луч, вся прямая, пустое множество.

R01.13

Исследование с параметром

Решите неравенство $(a - 1) x > a^{2} - 1$

R01.13

Задания с самопроверкой

База и повышенный уровень

база $- 7 x > 21$ $(- \infty; - 3)$
база $0, 5 x \leq - 2$ $(- \infty; - 4]$
база $8 - x < 3 x$ $(2; + \infty)$
повыш.Наименьшее целое решение: $3 (x - 1) \leq 5 x + 6$ $- 4$
параметрПри каких $a$ неравенство $(a + 2) x \leq 3$ верно при всех $x$ ? $a = - 2$

R01.13

Найдите ошибку

Где ошиблись?

Запись ученика	Верно?	Как правильно
$- 4 x \leq 8 \Rightarrow x \leq - 2$	нет	знак меняется: $x \geq - 2$
$0 \cdot x \leq - 1 \Rightarrow x \in R$	нет	$0 \leq - 1$ — неверно: $\emptyset$
$5 x \geq 2 \Rightarrow x \in (\frac{2}{5}; + \infty)$	нет	граница входит: $[\frac{2}{5}; + \infty)$
$- x > 0 \Rightarrow x \in (- \infty; 0)$	да	умножили на $- 1$ : $x < 0$

R01.13

Закрепление

Решите

базаКакие неравенства линейные: а) $4 x - 7 < 0$ ; б) $x^{2} + x > 0$ ; в) $0 \cdot x \geq - 1$ ; г) $\frac{3}{x} < 1$ ?
базаЗапишите ответ промежутком: а) $5 x > - 15$ ; б) $- 4 x \leq 10$ .
повыш.Решите: а) $3 (x + 2) \geq 3 x + 1$ ; б) $4 x - (2 + 4 x) > 0$ .

повыш.Найдите наименьшее целое решение: $7 - 2 x < 5 x - 11$ .
практикаТариф: 300 ₽ в месяц и 2 ₽ за минуту сверх пакета. Бюджет — 500 ₽. Сколько минут сверх пакета можно говорить?
параметр $(a - 3) x > 5$ . При каких $a$ решений нет? При каких ответ — луч $(- \infty; c)$ ?

R01.13

Формат ОГЭ · линия 13

Укажите решение неравенства $3 - x \geq 3 x + 5$

1)

(- \infty; - 0, 5]

2)

[- 0, 5; + \infty)

3)

(- \infty; - 2]

4)

[- 2; + \infty)

Запишите номер верного ответа. Сначала приведите к виду $a x \geq b$ и определите знак $a$ . Ответ: 1

R01.13

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

$6 x > - 18$ $(- 3; + \infty)$
$- 2 x \geq 7$ $(- \infty; - 3, 5]$
$2 (x + 4) < 2 x + 5$ $\emptyset$
При каких $a$ у $(a - 2) x > 1$ нет решений? $a = 2$

Вариант 2

$- 4 x < 20$ $(- 5; + \infty)$
$5 x \leq - 8$ $(- \infty; - 1, 6]$
$3 (x - 1) \geq 3 x - 7$ $(- \infty; + \infty)$
При каких $a$ у $(a + 3) x \leq - 2$ нет решений? $a = - 3$

4 мин · практика
Варианты по партам: 3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам на слайде (открыть по клику).
Вариант 1: 1) $x > - 3$ , $(- 3; + \infty)$ ; 2) делим на $- 2$ , знак меняется: $x \leq - 3, 5$ , $(- \infty; - 3, 5]$ ; 3) $2 x + 8 < 2 x + 5 \Rightarrow 0 \cdot x < - 3$ — неверно: $\emptyset$ ; 4) при $a = 2$ : $0 \cdot x > 1$ , $0 > 1$ — неверно, решений нет; при $a \neq = 2$ — луч. Ответ: $a = 2$ .
Вариант 2: 1) делим на $- 4$ , знак меняется: $x > - 5$ , $(- 5; + \infty)$ ; 2) $x \leq - \frac{8}{5} = - 1, 6$ , $(- \infty; - 1, 6]$ ; 3) $3 x - 3 \geq 3 x - 7 \Rightarrow 0 \cdot x \geq - 4$ — верно: все числа; 4) при $a = - 3$ : $0 \cdot x \leq - 2$ , $0 \leq - 2$ — неверно, решений нет. Ответ: $a = - 3$ .
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какое неравенство называют линейным?
Какими бывают множества его решений?
Почему нельзя сразу делить на $a$ ?

Домашнее задание

Решите: $- 0, 2 x \geq 1, 4$
Решите: $2 (3 - x) < 5 - 2 x$
Решите при всех $a$ : $a x \geq a^{2}$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-011 · Линейное неравенство с одной переменной и множество его решений

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R01 «Уравнения и неравенства: неравенства», 20 ч · урок 11/20 · тип Н · теория 14 мин / практика 31 мин (69 %)
Единицы → слайды	R01.13 «Линейное неравенство с одной переменной и множество его решений» → 2–25 (теория: 5, 7–9, 11, 13–15, 17, 19; практика: 3–4, 6, 10, 12, 16, 18, 20–25)
Результаты	ПР-24 (решать линейные неравенства с одной переменной, давать графическую иллюстрацию множества решений) → 5–24 · кодификатора REQ у курса нет
Виды деятельности	«Решать линейные неравенства… изображать решение на числовой прямой» → 8–18, 20–24 · «Исследовать линейное неравенство с одной переменной с параметром» → 7, 19, 20, 22, 24
Вне урока	техника решения линейных неравенств (дроби, скобки) — ALG8U-012; системы — ALG8U-013; текстовые задачи — ALG8U-014
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Линейное неравенство с одной переменной и множество его решений

Сегодня вы научитесь

Узнавать линейное неравенство

Находить множество решений

Изображать ответ

Исследовать с параметром

Вычислите, решите, сравните

Неравенство → рисунок → промежуток

Линейное неравенство с одной переменной

Приведите к виду ax>b и назовите a и b

Образец

Сам

Можно ли просто «разделить на a»?

Делим на положительное — знак сохраняется

Делим на отрицательное — знак меняется

Делим на коэффициент: следим за его знаком

Образец

Сам: ответ — промежутком

0⋅x>b — переменная «исчезает»

Все числа (R) или решений нет (∅)?

Множество решений неравенства ax>b

Почему решения — ровно луч (ab​;+∞)

kx+m>0 — где прямая y=kx+m выше оси Ox

Решите неравенства, глядя на графики

Три неравенства — три типа ответа

Приведите к виду ax>b и решите

Решите неравенство (a−1)x>a2−1

База и повышенный уровень

Где ошиблись?

Решите

Укажите решение неравенства 3−x≥3x+5

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-011 · Линейное неравенство с одной переменной и множество его решений

Приведите к виду $a x > b$ и назовите $a$ и $b$

Можно ли просто «разделить на $a$ »?

$0 \cdot x > b$ — переменная «исчезает»

Все числа ( $R$ ) или решений нет ( $\emptyset$ )?

Множество решений неравенства $a x > b$

Почему решения — ровно луч $(\frac{b}{a}; + \infty)$

$k x + m > 0$ — где прямая $y = k x + m$ выше оси $O x$

Приведите к виду $a x > b$ и решите

Решите неравенство $(a - 1) x > a^{2} - 1$

Укажите решение неравенства $3 - x \geq 3 x + 5$