Неравенства · урок 10 из 20

Числовые промежутки

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG8U-010

0,5 мин · теория
Паспорт: R01 «Уравнения и неравенства: неравенства» (20 ч), урок 10/20, единица R01.12 «Числовые промежутки». Тип урока — Н.
Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), итого 45 мин. Теория — сл. 1, 2, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 16, 18, 20 (все теоретические слайды сохранены полностью); практика — разминка (3), «вспомним» (4), «образец → сам» после каждого нового правила (8, 10, 13, 15, 17, 19), задания с самопроверкой (21, 22), найдите ошибку (23), формат ОГЭ (24), самостоятельная работа (25), рефлексия и ДЗ (26).
Предыдущие уроки: ALG8U-008 — множество решений, равносильность; ALG8U-009 — неравенство-следствие. Следующие: ALG8U-011–012 — линейные неравенства (ответ будем записывать промежутком), ALG8U-013 — системы (там нужно пересечение промежутков).

R01.12

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Изображать промежутки

на координатной прямой и называть их (ПР-24, ПР-4)

Переводить записи

неравенство ↔ скобки ↔ рисунок

Находить ∩ и ∪

пересечение и объединение промежутков

Исследовать

целые числа в промежутке, промежуток с параметром

0,5 мин · теория
ПР-24 (дословно ФРП): «Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств» — сл. 4–8, 11–13, 18–25.
ПР-4 (дословно ФРП): «Использовать начальные представления о множестве действительных чисел для сравнения, округления и вычислений, изображать действительные числа точками на координатной прямой» — сл. 3, 9–10, 16–17, 21.
Вид деятельности ФРП (R01): «…изображать решение на числовой прямой… Исследовать линейное неравенство с одной переменной с параметром» — сл. 20–22.

повторение: R01.1–R01.9

Разминка · устно

Числа на прямой, корни, модуль

Между какими целыми лежит $5$ ? $2 < 5 < 3$
Между какими целыми лежит $30$ ? $5$ и $6$
Верно ли: $- 5 > - 4, 9$ ? нет
Наименьшее целое, большее $- 2, 3$ ? $- 2$

Целые $x$ , для которых $- 2 < x \leq 2$ . $- 1; 0; 1; 2$
Найдите $∣ - 4∣$ и $∣3 - 7∣$ . $4; 4$
Расстояние между точками $- 3$ и $5$ . $8$
Что больше: $π$ или $3, 2$ ? $3, 2$

повторение: R01.9

Вспомним

Множества решений на прямой

Почему точка $2$ пустая, а $- 1$ — закрашенная?
Сколько чисел в каждом множестве?
Как записать каждое множество коротко, без слов и рисунка?

R01.12

Промежутки с двумя концами · $a < b$

Интервал, отрезок, полуинтервал

(a; b)

интервал

$a < x < b$

[a; b]

отрезок

$a \leq x \leq b$

[a; b)

полуинтервал

$a \leq x < b$

(a; b]

полуинтервал

$a < x \leq b$

R01.12

Промежутки с одним концом или без концов

Лучи и вся прямая

(a; + \infty)

открытый луч

$x > a$

[a; + \infty)

луч

$x \geq a$

(- \infty; b)

открытый луч

$x < b$

(- \infty; b]

луч

$x \leq b$

(- \infty; + \infty)

все числа

$x \in R$

$+ \infty$ , $- \infty$ — не числа, а знак «без конца».
Рядом с ними — всегда круглая скобка.

R01.12

Правила записи

Скобка ↔ точка на прямой

Скобка	На прямой	Смысл
( )		конец не входит $<$ , $>$
[ ]		конец входит $\leq$ , $\geq$
$\infty$		конца нет только «( )»

✗

[- 2; + \infty]

у

\infty

— квадратная

✗

(5; 1)

левый конец больше

✗

x \in (3)

одно число — не промежуток

✓

x \geq - 2 \Leftrightarrow x \in [- 2; + \infty)

R01.12

Образец → сам · три записи

Неравенство ↔ промежуток ↔ рисунок

Неравенство	Промежуток	На прямой
образец: $- 1 < x \leq 4$	$(- 1; 4]$
1) $x \geq - 3$	$[- 3; + \infty)$
2) $0 < x < 5$	$(0; 5)$
$x < 2, 5$	3) $(- \infty; 2, 5)$
4) $- 2 \leq x \leq 3$	$[- 2; 3]$

R01.12 · ПР-4

Действительные числа в промежутке

Какие числа принадлежат $[1; 2)$ ?

2, \frac{π}{2}, 3 \in [1; 2)

4 = 2 \in / [1; 2)

R01.12 · ПР-4

Образец → сам · принадлежность

Принадлежит ли число промежутку?

Образец: $8 \in (2; 3]$ ?

$4 < 8 < 9 \Rightarrow 2 < 8 < 3$

Да: $8 \in (2; 3]$

Сами: $\in$ или $\in /$ ?

$- 3$ и $[- 3; 1)$ $\in$
$1$ и $[- 3; 1)$ $\in /$
$10$ и $(3; π]$ $\in /$
$- 2$ и $(- 1, 5; - 1)$ $\in$

R01.12

Пересечение промежутков · «и»

$A \cap B$ — числа, которые лежат в обоих промежутках

[- 2; 3) \cap (1; 5] = (1; 3)

R01.12

Объединение промежутков · «или»

$A \cup B$ — числа, которые лежат хотя бы в одном

[- 2; 3) \cup (1; 5] = [- 2; 5]

(- \infty; - 1] \cup (2; + \infty)

R01.12

Образец → сам · $\cap$ и $\cup$

Найдите пересечение и объединение

$(- \infty; 2]$ и $(- 1; + \infty)$

$\cap$ : общая часть — $(- 1; 2]$

$\cup$ : вся прямая — $(- \infty; + \infty)$

$[0; 4]$ и $[2; 6]$
$\cap = [2; 4]$ , $\cup = [0; 6]$
$[- 3; 0)$ и $[0; 2]$
$\cap = \emptyset$ , $\cup = [- 3; 2]$
$(- 5; 3]$ и $[- 1; + \infty)$
$\cap = [- 1; 3]$ , $\cup = (- 5; + \infty)$
$(- \infty; 1)$ и $(1; + \infty)$
$\cap = \emptyset$ , $\cup = (- \infty; 1) \cup (1; + \infty)$

R01.12

Модуль — расстояние до точки $a$

Неравенства с модулем → промежутки

∣ x - a ∣ < r \Leftrightarrow x \in (a - r; a + r)

∣ x + 2∣ \leq 3 \Leftrightarrow x \in [- 5; 1]

∣ x - 3∣ > 1 \Leftrightarrow x \in (- \infty; 2) \cup (4; + \infty)

R01.12

Образец → сам · модуль

Запишите множество промежутком

Образец: $∣ x - 1∣ \leq 2$

центр $1$ , расстояние не больше $2$

Ответ: $x \in [- 1; 3]$

$∣ x - 4∣ < 1$ $(3; 5)$
$∣ x + 1∣ \leq 4$ $[- 5; 3]$
$∣ x ∣ \geq 2$
$(- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$
$∣ x - 2∣ > 3$
$(- \infty; - 1) \cup (5; + \infty)$

R01.12 · ПР-4

Исследуем промежуток $[- 3, 7; 2, 5)$

Целые числа, длина, наибольшее и наименьшее

Наименьшее число:

- 3, 7

(конец входит).

Наибольшего нет: для

x < 2, 5

число

\frac{x + 2 , 5}{2}

больше

x

и меньше

2, 5

.

R01.12 · ПР-4

Образец → сам · целые числа и длина

Сколько целых чисел? Какова длина?

Промежуток	Целые числа	Сколько	Длина
образец: $(- 2, 4; 3]$	от $- 2$ до $3$	$6$	$5, 4$
1) $[- 5; - 1)$	$- 5; - 4; - 3; - 2$	$4$	$4$
2) $(0, 5; 6, 5)$	от $1$ до $6$	$6$	$6$
3) $[- 1, 2; 4]$	от $- 1$ до $4$	$6$	$5, 2$
4) $(- 5; 5)$	от $- 2$ до $2$	$5$	$25$

R01.12

Образец · ответ промежутком

Решите и запишите ответ промежутком

а) $3 - 2 x > 7$

\Leftrightarrow

- 2 x > 4

перенос

\Leftrightarrow

x < - 2

: (−2), знак меняется

x \in (- \infty; - 2)

б) $- 1 \leq 2 x + 3 < 7$

\Leftrightarrow

- 4 \leq 2 x < 4

−3 во всех частях

\Leftrightarrow

- 2 \leq x < 2

: 2

x \in [- 2; 2)

R01.12

Образец → сам · ответ промежутком

Решите по образцу, ответ — промежутком

база $2 x - 5 \leq 1$
$x \leq 3$ , $(- \infty; 3]$
база $4 - 3 x < 10$
$x > - 2$ , $(- 2; + \infty)$

повыш. $- 3 < 2 x + 1 \leq 5$
$- 2 < x \leq 2$ , $(- 2; 2]$
повыш. $1 \leq \frac{x - 1}{2} < 3$
$3 \leq x < 7$ , $[3; 7)$

R01.12 · параметр

Исследование с параметром

При каких $a$ промежуток $[a; 5)$ содержит ровно три целых числа?

Нужно:

2 \in [a; 5)

, а

1 \in / [a; 5)

\Rightarrow 1 < a \leq 2

Ответ:

a \in (1; 2]

R01.12

Задания с самопроверкой · 1

Решите и проверьте себя

базаЗапишите промежутком и изобразите: а) $x \leq 4$ ; б) $- 3 < x \leq 0$ .
а) $(- \infty; 4]$ ; б) $(- 3; 0]$
базаЗапишите неравенством: $[- 1, 5; + \infty)$ ; $(2; 7)$ .
$x \geq - 1, 5$ ; $2 < x < 7$
повыш.Найдите $[- 4; 1) \cap (- 1; 6]$ и $[- 4; 1) \cup (- 1; 6]$ .
$(- 1; 1)$ ; $[- 4; 6]$

повыш.Сколько целых чисел в промежутке $(- 10; 17]$ ? $8$
практикаВакцину хранят при температуре от 2 до 8 °C включительно. Запишите промежутком. Подходит ли 8,5 °C? $[2; 8]$ ; нет
параметрПри каких $a$ промежутки $(a; a + 3)$ и $[0; 2]$ не пересекаются?
$a \in (- \infty; - 3] \cup [2; + \infty)$

R01.12

Задания с самопроверкой · 2

Решите и проверьте себя

база« $x$ больше $- 4$ , но не больше $1$ » — запишите неравенством и промежутком.
$- 4 < x \leq 1$ , $(- 4; 1]$
базаНаименьшее и наибольшее целые числа в $(- 2, 7; 5)$ . $- 2; 4$
повыш.Найдите $(- \infty; 3) \cap [- 2; + \infty) \cap (0; 5]$ . $(0; 3)$

повыш.Запишите промежутком: $∣2 x - 1∣ \leq 5$ . $[- 2; 3]$
практикаНа аттракцион пускают с ростом от 120 см до 190 см, 190 не включая. Запишите промежутком. Пустят ли ребёнка ростом 1,2 м?
$[120; 190)$ ; да
параметрПри каких $a$ число $3$ принадлежит $(a; 2 a]$ ? $a \in [1, 5; 3)$

R01.12

Найдите ошибку

Ученик записал так. Что не так?

Запись ученика	Ошибка	Верно
1) $x \geq 5 \Rightarrow x \in (5; + \infty)$	конец входит	$[5; + \infty)$
2) $x < - 2 \Rightarrow x \in (- 2; - \infty)$	слева — меньший конец	$(- \infty; - 2)$
3) $[1; 4] \cap [4; 7] = \emptyset$	общая точка $4$	${4}$
4) $∣ x ∣ < 3 \Rightarrow x \in (- \infty; 3)$	забыта левая граница	$(- 3; 3)$
5) В $[- 2; 2]$ четыре целых числа	забыт ноль или конец	пять

R01.12

Формат ОГЭ · линия 13

Укажите решение неравенства $7 x - 3 (2 x + 4) \geq - 9$

1)

(- \infty; 3]

2)

[3; + \infty)

3)

[- 21; + \infty)

4)

(- \infty; - 21]

7 x - 6 x - 12 \geq - 9

\Leftrightarrow

x \geq 3

В ответ запишите номер верного промежутка.

R01.12

Самостоятельная работа · 5 минут

По вариантам

Вариант 1

Запишите промежутком: $- 4 \leq x < 1$ . $[- 4; 1)$
Найдите $[- 3; 2) \cap (0; 5]$ . $(0; 2)$
Запишите промежутком: $∣ x - 3∣ \leq 2$ . $[1; 5]$
Сколько целых чисел в $(- 7; 3, 5]$ ? $6$

Вариант 2

Запишите промежутком: $- 2 < x \leq 6$ . $(- 2; 6]$
Найдите $(- 4; 1] \cap [- 1; 3)$ . $[- 1; 1]$
Запишите промежутком: $∣ x + 1∣ < 3$ . $(- 4; 2)$
Сколько целых чисел в $[- 2, 5; 11)$ ? $6$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем отрезок отличается от интервала?
Почему у $\infty$ всегда круглая скобка?
Чем $A \cap B$ отличается от $A \cup B$ ?

Домашнее задание

Запишите промежутками: $∣ x - 2∣ \leq 5$ ; $∣ x ∣ > 3$ .
Найдите $(- \infty; 4] \cap (- 2; + \infty)$ . Сколько в нём целых чисел?
При каких $a$ в промежутке $(a; 4]$ ровно два целых числа?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-010 · Числовые промежутки

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R01 «Уравнения и неравенства: неравенства», 20 ч · урок 10/20 · тип Н · теория 14 мин / практика 31 мин (69 %)
Единицы → слайды	R01.12 «Числовые промежутки» → 3–26 (теория: 5–7, 9, 11, 12, 14, 16, 18, 20; практика: 3, 4, 8, 10, 13, 15, 17, 19, 21–26)
Результаты	ПР-24 (графическая иллюстрация множества решений неравенства) → 4–8, 11–13, 18–25 · ПР-4 (действительные числа на координатной прямой) → 3, 9–10, 16–17, 21 · кодификатора REQ у курса нет
Виды деятельности	«…изображать решение на числовой прямой» → 4–19, 21–25 · «Исследовать линейное неравенство… с параметром» → 20–22
Вне урока	линейное неравенство и его множество решений — ALG8U-011; решение линейных неравенств — ALG8U-012; системы линейных неравенств — ALG8U-013; текстовые задачи — ALG8U-014
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Числовые промежутки

Сегодня вы научитесь

Изображать промежутки

Переводить записи

Находить ∩ и ∪

Исследовать

Числа на прямой, корни, модуль

Множества решений на прямой

Интервал, отрезок, полуинтервал

Лучи и вся прямая

Скобка ↔ точка на прямой

Неравенство ↔ промежуток ↔ рисунок

Какие числа принадлежат [1;2)?

Принадлежит ли число промежутку?

Образец: 8​∈(2;3]?

Сами: ∈ или ∈/?

A∩B — числа, которые лежат в обоих промежутках

A∪B — числа, которые лежат хотя бы в одном

Найдите пересечение и объединение

(−∞;2] и (−1;+∞)

Неравенства с модулем → промежутки

Запишите множество промежутком

Образец: ∣x−1∣≤2

Целые числа, длина, наибольшее и наименьшее

Сколько целых чисел? Какова длина?

Решите и запишите ответ промежутком

а) 3−2x>7

б) −1≤2x+3<7

Решите по образцу, ответ — промежутком

При каких a промежуток [a;5) содержит ровно три целых числа?

Решите и проверьте себя

Решите и проверьте себя

Ученик записал так. Что не так?

Укажите решение неравенства 7x−3(2x+4)≥−9

По вариантам

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-010 · Числовые промежутки

Какие числа принадлежат $[1; 2)$ ?

Образец: $8 \in (2; 3]$ ?

Сами: $\in$ или $\in /$ ?

$A \cap B$ — числа, которые лежат в обоих промежутках

$A \cup B$ — числа, которые лежат хотя бы в одном

$(- \infty; 2]$ и $(- 1; + \infty)$

Образец: $∣ x - 1∣ \leq 2$

а) $3 - 2 x > 7$

б) $- 1 \leq 2 x + 3 < 7$

При каких $a$ промежуток $[a; 5)$ содержит ровно три целых числа?

Укажите решение неравенства $7 x - 3 (2 x + 4) \geq - 9$