Неравенства · урок 9 из 20

Неравенство-следствие

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG8U-009

1 мин · теория (орг. момент) · Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %)
Паспорт: R01 «Уравнения и неравенства: неравенства» (20 ч), урок 9/20, единица R01.11 «Неравенство-следствие». Тип урока — Н.
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Хронометраж: цели 1 мин (сл. 2) · разминка и актуализация 4 (сл. 3–4) · новый материал — теория 12 мин (сл. 5–6, 8–9, 11–12, 14–16), после каждого правила — «Образец → сам» (сл. 7, 10, 13, 17) · закрепление и контроль 16 (сл. 18–23) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 24).
Теоретические слайды сохранены полностью; практика добавлена отдельными слайдами, ответы открываются по клику.
Предыдущий урок ALG8U-008 — множество решений, равносильные неравенства (теоремы Т1–Т3); следующий ALG8U-010 — числовые промежутки. Запись промежутков сегодня не вводим: множества — неравенством и на прямой.

R01.11

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать следствие

по множествам решений на координатной прямой (ПР-24)

Доказывать и опровергать

«из A следует B» — доказательством или контрпримером

Отличать $\Rightarrow$ от $\Leftrightarrow$

и замечать посторонние и потерянные решения

Исследовать с параметром

когда одно неравенство — следствие другого

1 мин · теория
ПР-24 (дословно ФРП): «Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств» — сл. 5–6, 8, 12, 14, 20, 22 (практика — сл. 7, 10, 13, 17, 21, 23).
Виды деятельности ФРП (R01): «Определять равносильные неравенства… Оценивать значения выражения, используя неравенства… Исследовать линейное неравенство с одной переменной с параметром» — сл. 8, 14, 16–17.

разминка

Разминка · устно

Решение или нет? Какой знак вместо $□$ ?

x^{2} > 3

при

x = - 2

да

x^{2} > 3

при

x = 1, 5

нет

x^{2} (x - 3) \geq 0

при

x = 0

да

∣ x ∣ < 1

при

x = - 1

нет

x > 4

2 x □ 8

>

x < 3

- x □ - 3

>

a > 2, b > 1

a + b □ 3

>

x < - 2

x^{2} □ 4

>

повторение: R01.10

Вспомним

Равносильны ли $x > 2$ и $x^{2} > 4$ ?

Когда неравенства равносильны?
Почему $- 3$ — контрпример?
Каждое решение $x > 2$ — решение $x^{2} > 4$ ?
Как назвать такую связь?

R01.11

Определение

Неравенство-следствие

Неравенство B — следствие неравенства A, если каждое решение A является решением B.

A \Rightarrow B

Читают: «из A следует B». Множество решений A содержится в множестве решений B.

R01.11

Как увидеть следствие

Штриховка A лежит внутри штриховки B

x > 3 \Rightarrow x > 1

— верно

x > 1 \Rightarrow x > 3

— неверно:

x = 2

R01.11

Образец → сам

Какое из двух неравенств — следствие другого?

Как решать (задание 2)

Рисуем оба множества. Чья штриховка лежит внутри — это A, другое — следствие B.

Сам

$x > 5$ и $x > 2$
$x > 5 \Rightarrow x > 2$
$x \leq - 1$ и $x < 0$
$x \leq - 1 \Rightarrow x < 0$
$x \geq 4$ и $x > 4$
$x > 4 \Rightarrow x \geq 4$
$- 1 < x < 1$ и $x < 2$
$- 1 < x < 1 \Rightarrow x < 2$

R01.10–R01.11

Следствие и равносильность

Равносильность — следствие в обе стороны

A \Leftrightarrow B ⟺ {A \Rightarrow B B \Rightarrow A

Каждое равносильное преобразование даёт следствие, но не наоборот.

R01.11

Доказать или опровергнуть

Два разных инструмента

Доказать $A \Rightarrow B$

Берём любое решение $a$ неравенства A и, опираясь на свойства неравенств, показываем: $a$ — решение B.

x > 2 > 0 \Rightarrow x \cdot x > 2 \cdot 2

значит, $x > 2 \Rightarrow x^{2} > 4$ ✓

Опровергнуть $A \Rightarrow B$

Достаточно одного контрпримера: решение A, которое не является решением B.

x = - 3 : 9 > 4, но - 3 \neq > 2

значит, $x^{2} > 4 \neq \Rightarrow x > 2$ ✗

R01.11

Образец → сам

Докажите или опровергните контрпримером

база $x > 4 \Rightarrow 3 x - 2 > 10$
верно
база $x^{2} \geq 9 \Rightarrow x \geq 3$
неверно: $x = - 4$

повыш. $x < - 3 \Rightarrow x^{2} > 9$
верно
повыш. $x (x - 2) > 0 \Rightarrow x > 2$
неверно: $x = - 1$

R01.11

Какие переходы дают только следствие

Переход $\Rightarrow$ , но не $\Leftrightarrow$

Переход	$\Rightarrow$	$\Leftarrow$	Почему
$x - 3 \geq 0 \to x^{2} (x - 3) \geq 0$	да	нет	умножили на $x^{2} \geq 0$ ; $x = 0$ — лишнее
${x > 1 y > 2 \to x + y > 3$	да	нет	сложение неравенств; $x = 0, y = 4$
$x > 2 \to x^{2} > 4$	да	нет	умножение при $x > 0$ ; $x = - 3$

После перехода к следствию решений может стать больше — нужна проверка.

R01.11

Осторожно: направление стрелки

Решите $(x - 1)^{2} (x - 4) \geq 0$

x - 4 \geq 0 \Rightarrow (x - 1)^{2} (x - 4) \geq 0

, но не наоборот

Ответ:

x \geq 4

или

x = 1

R01.11

Образец → сам

Решите, не теряя и не добавляя решений

Алгоритм

1) Отдельно — $x$ , при котором квадрат равен $0$ .

2) При остальных $x$ квадрат $> 0$ — делим на него (Т2).

3) Объединяем ответы и проверяем особую точку.

база $x^{2} (x - 5) \geq 0$
$x \geq 5$ или $x = 0$
база $(x - 2)^{2} (x - 6) \geq 0$
$x \geq 6$ или $x = 2$
повыш. $(x + 2)^{2} (x - 1) \leq 0$
$x \leq 1$
повыш. $x^{2} (x + 4) > 0$
$x > - 4$ , $x \neq = 0$

R01.7, R01.11

Оценка — тоже следствие

Из $2 < x < 3$ и $1 < y < 2$ следует $3 < x + y < 5$

Прямоугольник — решения системы

Полоса — решения

3 < x + y < 5

Прямоугольник внутри полосы: следствие ✓
Точка

(3, 5; 0, 5)

: обратное неверно ✗

R01.11

Образец · доказательство

Докажите: $x \geq 3 \Rightarrow x^{2} - 2 x \geq 3$ . Верно ли обратное?

x^{2} - 2 x - 3 = (x - 3) (x + 1)

разложили

x \geq 3 \Rightarrow x - 3 \geq 0

Т1

x \geq 3 \Rightarrow x + 1 \geq 4 > 0

Т1

(x - 3) (x + 1) \geq 0

произведение ≥ 0

Значит,

x^{2} - 2 x \geq 3

. ✓

Обратное неверно:

x = - 2

4 + 4 = 8 \geq 3

, но

- 2 \neq \geq 3

✗

R01.11

Исследование с параметром

При каких $a$ неравенство $x > a$ — следствие $x > 3$ ?

x > 3 \Rightarrow x > a ⟺ a \leq 3

При

a = 3

— равносильны

R01.11

Образец → сам · параметр

При каких $a$ второе неравенство — следствие первого?

$x < 1$ и $x < a$
$a \geq 1$
$x > 2$ и $x \geq a$
$a \leq 2$
$x \geq 2$ и $x > a$
$a < 2$

Граница в задании 3

R01.11

Экспресс-проверка · поднимите карточку

Верно ли утверждение?

Утверждение	Ответ	Обоснование
$x > 5 \Rightarrow x \geq 4$	да	$x > 5 > 4$
$x < 3 \Rightarrow x^{2} < 9$	нет	$x = - 4$ : $16 \neq < 9$
$x^{2} < 9 \Rightarrow x < 3$	да	если $x \geq 3$ , то $x^{2} \geq 9$
$∣ x ∣ < 1 \Rightarrow 2 x + 5 > 0$	да	$x > - 1 \Rightarrow 2 x + 5 > 3$

R01.11

Типичные ошибки

Найдите ошибку

«Проверили три числа»

$x > 0 \Rightarrow x^{2} > 2 x$

«верно при $x = 3; 4; 5$ »

неверно: $x = 1$

$1 > 2$ — ложно; примеры не доказывают

Перепутали стрелку

$x > 1 \Rightarrow x > 4$

«луч $x > 1$ длиннее»

$x > 4 \Rightarrow x > 1$

следствие — более широкое множество

Поделили на $x^{2}$

$x^{2} (x - 2) \geq 0 ⟺ x \geq 2$

«сократили на $x^{2}$ »

$x \geq 2$ или $x = 0$

при $x = 0$ делить нельзя — решение потеряно

R01.11

Закрепление

Решите

базаКакое из неравенств — следствие другого: $x > 7$ или $x > 4$ ? Покажите на прямой.
базаСледует ли $x^{2} \geq 1$ из $x \leq - 1$ ? А обратно?
повыш.Докажите: $x \geq 2 \Rightarrow x^{2} + x \geq 6$ .

повыш.Решите $x^{2} (x + 2) \leq 0$ . Какое решение теряется при «делении» на $x^{2}$ ?
практикаДлина стороны $3 < a < 4$ см. Следует ли, что периметр квадрата больше 12 см?
параметрПри каких $a$ неравенство $x < a$ — следствие $x < - 2$ ?

R01.7, R01.11

Задания с самопроверкой · повышенный

Известно: $1 < x < 2$ , $3 < y < 5$ . Следует ли…

база $4 < x + y < 7$ ?
да
повыш. $y - x > 0$ ?
да: $1 < y - x < 4$

повыш. $x y > 4$ ?
нет: $x = 1, 1$ , $y = 3, 1$
повыш.А верно ли $x^{2} > x \Rightarrow x > 1$ ?
нет: $x = - 1$

R01.11

Формат ОГЭ · линия 13

Укажите решение неравенства $3 - x \geq 3 x + 5$

1)

2)

3)

4)

Запишите номер верного рисунка. Проверьте ответ одним числом из множества и одним — вне его.

R01.11

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

1) какое — следствие; 2) докажите или опровергните; 3) решите; 4) найдите все $a$ , при которых второе — следствие первого

Вариант 1

$x > 6$ и $x \geq 2$ $x > 6 \Rightarrow x \geq 2$
$x^{2} > 16 \Rightarrow x > 4$ нет: $x = - 5$
$x^{2} (x - 1) \geq 0$ $x \geq 1$ или $x = 0$
$x < 5$ и $x < a$ $a \geq 5$

Вариант 2

$x < - 3$ и $x \leq 1$ $x < - 3 \Rightarrow x \leq 1$
$x < - 4 \Rightarrow x^{2} > 16$ верно
$(x + 1)^{2} (x - 3) \geq 0$ $x \geq 3$ или $x = - 1$
$x > - 1$ и $x > a$ $a \leq - 1$

4 мин · практика
Варианты по партам: 3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам на слайде (открыть по клику).
Вариант 1: 1) $x > 6 \Rightarrow x \geq 2$ ( $x > 6 > 2$ ); 2) $x = - 5$ : $25 > 16$ , но $- 5 > 4$ неверно; 3) $x = 0$ : $0 \geq 0$ — верно; при $x \neq = 0$ : $x \geq 1$ ; ответ: $x \geq 1$ или $x = 0$ ; 4) $a \geq 5$ (при $a = 5$ неравенства совпадают; при $a < 5$ контрпример $x = \frac{a + 5}{2}$ ).
Вариант 2: 1) $x < - 3 \Rightarrow x \leq 1$ ( $x < - 3 < 1$ ); 2) $- x > 4 > 0 \Rightarrow x^{2} > 16$ — верно; 3) $x = - 1$ : $0 \geq 0$ — верно; при $x \neq = - 1$ : $x \geq 3$ ; ответ: $x \geq 3$ или $x = - 1$ ; 4) $a \leq - 1$ (при $a > - 1$ контрпример $x = \frac{a - 1}{2}$ ).
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что значит «B — следствие A»?
Чем $\Rightarrow$ отличается от $\Leftrightarrow$ ?
Когда нужна проверка ответа?

Домашнее задание

Докажите: $x > 1 \Rightarrow x^{2} + x > 2$ ; верно ли обратное?
Решите $(x - 3)^{2} (x + 1) > 0$
При каких $a$ неравенство $x \geq a$ — следствие $x \geq 5$ ?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-009 · Неравенство-следствие

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R01 «Уравнения и неравенства: неравенства», 20 ч · урок 9/20 · тип Н
Единицы → слайды	R01.11 «Неравенство-следствие» → 3–24 (повторение R01.10 → 4, 8; R01.7 → 14, 21) · теория 14 мин, практика 31 мин (69 %)
Результаты	ПР-24 (свойства числовых неравенств для сравнения и оценки, графическая иллюстрация множества решений неравенства) → 5–7, 12–14, 16–17, 20–23 · кодификатора REQ у курса нет
Виды деятельности	«Определять равносильные неравенства» → 8, 10, 11 · «Оценивать значения выражения» → 14, 21 · «Исследовать… с параметром» → 16–17, 20, 23
Вне урока	числовые промежутки и их запись — ALG8U-010; линейные неравенства — ALG8U-011, ALG8U-012; системы — ALG8U-013; текстовые задачи — ALG8U-014; неравенства с двумя переменными — не в 8 классе (сл. 14 — только иллюстрация)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Неравенство-следствие

Сегодня вы научитесь

Узнавать следствие

Доказывать и опровергать

Отличать ⇒ от ⇔

Исследовать с параметром

Решение или нет? Какой знак вместо □?

Равносильны ли x>2 и x2>4?

Неравенство-следствие

Штриховка A лежит внутри штриховки B

Какое из двух неравенств — следствие другого?

Как решать (задание 2)

Сам

Равносильность — следствие в обе стороны

Два разных инструмента

Доказать A⇒B

Опровергнуть A⇒B

Докажите или опровергните контрпримером

Переход ⇒, но не ⇔

Решите (x−1)2(x−4)≥0

Решите, не теряя и не добавляя решений

Алгоритм

Из 2<x<3 и 1<y<2 следует 3<x+y<5

Докажите: x≥3⇒x2−2x≥3. Верно ли обратное?

При каких a неравенство x>a — следствие x>3?

При каких a второе неравенство — следствие первого?

Граница в задании 3

Верно ли утверждение?

Найдите ошибку

«Проверили три числа»

Перепутали стрелку

Поделили на x2

Решите

Известно: 1<x<2, 3<y<5. Следует ли…

Укажите решение неравенства 3−x≥3x+5

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-009 · Неравенство-следствие

Отличать $\Rightarrow$ от $\Leftrightarrow$

Решение или нет? Какой знак вместо $□$ ?

Равносильны ли $x > 2$ и $x^{2} > 4$ ?

Доказать $A \Rightarrow B$

Опровергнуть $A \Rightarrow B$

Переход $\Rightarrow$ , но не $\Leftrightarrow$

Решите $(x - 1)^{2} (x - 4) \geq 0$

Из $2 < x < 3$ и $1 < y < 2$ следует $3 < x + y < 5$

Докажите: $x \geq 3 \Rightarrow x^{2} - 2 x \geq 3$ . Верно ли обратное?

При каких $a$ неравенство $x > a$ — следствие $x > 3$ ?

При каких $a$ второе неравенство — следствие первого?

Поделили на $x^{2}$

Известно: $1 < x < 2$ , $3 < y < 5$ . Следует ли…

Укажите решение неравенства $3 - x \geq 3 x + 5$