Неравенства · урок 8 из 20

Множество решений неравенства. Равносильные неравенства

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG8U-008

1 мин · теория (орг. момент)
Паспорт: R01 «Уравнения и неравенства: неравенства» (20 ч), урок 8/20, единицы R01.9 «Множество решений неравенства», R01.10 «Равносильные неравенства». Тип урока — Н.
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Хронометраж: орг. момент и цели 2 мин (сл. 1–2) · разминка и актуализация 4 (сл. 3–4) · множество решений и модуль 9 (сл. 5–9: теория 4, практика 5) · равносильность 5 (сл. 10–12: теория 2, практика 3) · теоремы, доказательство, образец 7 (сл. 13–16: теория 4, практика 3) · опасные преобразования, ошибки, параметр 4 (сл. 17–19: теория 2, практика 2) · закрепление, самопроверка, ОГЭ 9 (сл. 20–23) · самостоятельная работа 4 (сл. 24) · итог и ДЗ 1 (сл. 25).
Предыдущий урок ALG8U-007 — понятие решения неравенства; следующий ALG8U-009 — неравенство-следствие. Запись промежутков (−∞; 2) — урок ALG8U-010, сегодня множества описываем словами, неравенством и на прямой.

R01.9–R01.10

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить множество решений

и изображать его на координатной прямой (ПР-24)

Различать случаи

бесконечно много решений, все числа, одно решение, решений нет

Определять равносильность

доказывать её теоремами и опровергать контрпримером

Исследовать с параметром

при каких значениях параметра неравенства равносильны

1 мин · теория
ПР-24 (дословно ФРП): «Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств» — сл. 5–9, 13–16, 20–24.
Виды деятельности ФРП (R01): «Определять равносильные неравенства. Приводить примеры решений неравенств… Исследовать линейное неравенство с одной переменной с параметром» — сл. 10–19, 22, 24.

разминка

Разминка · устно

Является ли число решением неравенства?

2 x - 1 > 4

при

x = 3

да

x^{2} > 3

при

x = - 2

да

5 - x \leq 5

при

x = 0

да

3 x + 2 < 5

при

x = 1

нет

∣ x ∣ \geq 1

при

x = - 1

да

\frac{x}{2} > 2

при

x = 4

нет

- 2 x < 5

при

x = - 3

нет

x^{2} < x

при

x = 0, 5

да

повторение: R01.8

Вспомним

Какие числа — решения неравенства $2 x - 1 > 3$ ?

$x$	$- 1$	$0$	$2$	$3$	$5$
$2 x - 1$	$- 3$	$- 1$	$3$	$5$	$9$
$> 3$ ?	нет	нет	нет	да	да

Что называют решением неравенства?
Почему $2$ — не решение?
А $2, 001$ ? А $2, 0000001$ ?
Сколько всего решений?

R01.9

Определение

Множество решений неравенства

Множество решений неравенства — множество всех его решений.

Решить неравенство — найти множество его решений или доказать, что решений нет.

Строгое неравенство — граница не входит; нестрогое — входит.

R01.9

Какими бывают множества решений

Луч, все числа, одна точка, пусто

x - 4 \leq 2 x - 3

луч: $x \geq - 1$

бесконечно много решений

x^{2} + 1 > 0

все числа

верно при любом $x$ : $x^{2} \geq 0$

(x - 2)^{2} \leq 0

одно число: $2$

квадрат не бывает отрицательным → только $= 0$

∣ x ∣ < - 1

решений нет: $\emptyset$

модуль не бывает отрицательным

R01.9

Образец → сам

Сколько решений у неравенства?

Образец: $(x + 3)^{2} > 0$

$(x + 3)^{2} \geq 0$ при любом $x$

$= 0$ только при $x = - 3$

все числа, кроме $- 3$

Сами: опишите множество решений

$x^{2} + 5 \leq 0$ $\emptyset$
$(x - 1)^{2} \leq 0$ одно: $1$
$∣ x ∣ + 2 > 0$ все числа
$3 x \geq 6$ луч $x \geq 2$

R01.9

Модуль — расстояние

Множество решений неравенств с модулем

R01.9

Образец → сам · модуль

Изобразите множество решений на прямой

∣ x ∣ < 3

$- 3 < x < 3$

∣ x ∣ \geq 1

$x \leq - 1$ или $x \geq 1$

∣ x + 2∣ \leq 1

$- 3 \leq x \leq - 1$

∣ x - 3∣ > 2

$x < 1$ или $x > 5$

R01.10

Определение

Равносильные неравенства

Неравенства равносильны, если их множества решений совпадают.

x + 3 > 5 \Leftrightarrow x > 2

Неравенства без решений тоже равносильны: $x^{2} < 0 \Leftrightarrow ∣ x ∣ < - 1$

R01.10

Как доказать, что НЕ равносильны

Одного контрпримера достаточно

x = - 3

:

(- 3)^{2} = 9 > 4

— верно, но

- 3 > 2

— неверно. Значит,

x > 2 \neq \Leftrightarrow x^{2} > 4

.

R01.10

Сам · равносильность

Равносильны ли неравенства? Обоснуйте

Пара неравенств	Ответ	Обоснование
$3 x > 6$ и $x > 2$	да	оба: все $x > 2$ (Т2, делим на 3)
$x^{2} \leq 9$ и $x \leq 3$	нет	$x = - 4$ : $16 \leq 9$ — неверно, $- 4 \leq 3$ — верно
$∣ x ∣ < 0$ и $x^{2} + 1 < 0$	да	у обоих решений нет: $\emptyset = \emptyset$
$- x \geq 2$ и $x \geq - 2$	нет	$x = 0$ : $0 \geq 2$ — неверно, $0 \geq - 2$ — верно

R01.10

Равносильные преобразования

Три теоремы

1

f (x) < g (x) \Leftrightarrow f (x) + c < g (x) + c

c

— любое число

2

f (x) < g (x) \Leftrightarrow k f (x) < k g (x)

k > 0

— знак сохраняется

3

f (x) < g (x) \Leftrightarrow k f (x) > k g (x)

k < 0

— знак меняется!

Следствие Т1: слагаемое можно перенести в другую часть с противоположным знаком.

R01.10

Доказательство теоремы 3

Множества решений совпадают

Пусть $a$ — решение $f (x) < g (x)$ : верно $f (a) < g (a)$ .
Свойство числовых неравенств, $k < 0$ : $k f (a) > k g (a)$ → $a$ — решение второго: $M_{1} \subset M_{2}$ .
Обратно: умножим $k f (a) > k g (a)$ на $\frac{1}{k} < 0$ : $f (a) < g (a)$ → $M_{2} \subset M_{1}$ .
Значит, $M_{1} = M_{2}$ — неравенства равносильны. $■$

R01.9–R01.10

Образец · цепочка равносильных переходов

Решите неравенство $5 - 2 x \geq x - 7$

5 - 2 x \geq x - 7

\Leftrightarrow

- 2 x - x \geq - 7 - 5

Т1: перенос

\Leftrightarrow

- 3 x \geq - 12

приводим подобные

\Leftrightarrow

x \leq 4

Т3: делим на

- 3

, знак меняется

Ответ: все числа

x \leq 4

.
Проверка:

x = 4

:

- 3 \geq - 3

✓

R01.9–R01.10

Образец → сам

Решите цепочкой равносильных переходов

1)

3 x - 7 < 5

$\Leftrightarrow 3 x < 12$ (Т1) $\Leftrightarrow$ (Т2)

$x < 4$

2)

2 - 5 x \geq 17

$\Leftrightarrow - 5 x \geq 15$ (Т1) $\Leftrightarrow$ (Т3)

$x \leq - 3$

3)

4 (x - 1) > 6 x + 2

$\Leftrightarrow - 2 x > 6$ (Т1) $\Leftrightarrow$ (Т3)

$x < - 3$

4)

\frac{x}{3} - 1 \leq \frac{x}{2}

$\cdot 6$ (Т2): $2 x - 6 \leq 3 x \Leftrightarrow$ (Т3)

$x \geq - 6$

R01.10

Осторожно: выражение с переменной

Какие переходы нарушают равносильность

Переход	Равносильно?	Почему
$x - 3 \geq 0 \to x^{2} (x - 3) \geq 0$	нет	$x = 0$ — новое «лишнее» решение: $0 \geq 0$
$x > 0 \to x + \frac{1}{x - 1} > \frac{1}{x - 1}$	нет	$x = 1$ потеряно: выражение не определено
$x - 3 > 0 \to (x^{2} + 1) (x - 3) > 0$	да	$x^{2} + 1 > 0$ при любом $x$ — это Т2

Умножать можно на выражение, положительное при всех $x$ ; прибавлять — определённое при всех $x$ .

R01.10

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Деление на минус

$- 4 x < 8 \Rightarrow x < - 2$

$x > - 2$

делим на $- 4$ : по Т3 знак меняется

Деление на $x$

$x^{2} > 3 x \Rightarrow x > 3$

$x < 0$ или $x > 3$

знак $x$ неизвестен; $x = - 1$ — решение: $1 > - 3$

Модуль

$∣ x ∣ \geq 3 \Rightarrow x \geq 3$

$x \leq - 3$ или $x \geq 3$

потеряна левая часть: $x = - 5$

R01.10

Исследование с параметром

При каких $a$ неравенства $a x > 2 a$ и $x > 2$ равносильны?

a > 0

Т2

x > 2

совпадает ✓

a = 0

$0 \cdot x > 0$

\emptyset

не совпадает ✗

a < 0

Т3

x < 2

не совпадает ✗

Ответ:

a > 0

.

R01.9–R01.10

Закрепление

Решите

базаКакие из чисел $- 2; 0; 3; 5$ входят в множество решений $3 x - 4 > 2$ ?
базаРавносильны ли $4 - x < 1$ и $x > 3$ ? Обоснуйте.
повыш.Найдите множество решений: а) $(x + 1)^{2} \leq 0$ ; б) $x^{2} + 4 \leq 3$ .

повыш.Равносильны ли $∣ x ∣ > - 2$ и $x^{2} + 1 > 0$ ?
практикаТакси: посадка 150 ₽ и 30 ₽ за км, есть 600 ₽. Сколько км можно проехать?
параметрПри каких $a$ равносильны $(a - 1) x < a - 1$ и $x < 1$ ?

3 мин · практика
Распределить по рядам: ряд 1 — задания 1, 4; ряд 2 — 2, 5; ряд 3 — 3, 6; ответ рассказывает ученик у доски.
Ответы: 1) $3 x > 6 \Leftrightarrow x > 2$ → числа 3 и 5. 2) Да: $4 - x < 1 \Leftrightarrow - x < - 3 \Leftrightarrow x > 3$ . 3) а) ${- 1}$ — одно число $- 1$ ; б) $x^{2} \leq - 1$ — решений нет, $\emptyset$ .
4) Да: у обоих множество решений — все числа. 5) $150 + 30 s \leq 600 \Leftrightarrow 30 s \leq 450 \Leftrightarrow s \leq 15$ ; по смыслу $s \geq 0$ → от 0 до 15 км (обратить внимание: множество решений задачи уже множества решений неравенства). 6) $a > 1$ : при $a > 1$ — $x < 1$ ; при $a = 1$ — $0 < 0$ , решений нет; при $a < 1$ — $x > 1$ .
При нехватке времени задание 6 — в ДЗ.

R01.9–R01.10

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте ответ

Найдите множество решений

база $x + 4 > 1$ $x > - 3$
база $- 3 x \leq 12$ $x \geq - 4$
база $\frac{x}{2} < - 1$ $x < - 2$

Какие из чисел $- 3; 0; 2$ — решения?

база $5 - x > 4$ $- 3; 0$
база $x^{2} \geq 4$ $- 3; 2$
база $∣ x - 1∣ \leq 1$ $0; 2$

R01.9–R01.10

Задания с самопроверкой · повышенный

Решите и обоснуйте

повыш.Сколько решений у неравенства $(2 x - 1)^{2} \leq 0$ ? одно: $0, 5$
повыш.Равносильны ли $(x^{2} + 2) (3 - x) < 0$ и $x > 3$ ? да
повыш.Найдите наименьшее целое решение $7 - 2 x < 2 x + 1$ . $2$
параметрПри каких $a$ равносильны $a x \geq a$ и $x \geq 1$ ? $a > 0$

R01.9–R01.10

Формат ОГЭ · линия 13

Укажите решение неравенства $4 x + 5 \geq 6 x - 2$

1)

2)

3)

4)

Запишите номер верного рисунка. Каждый переход обоснуйте теоремой.

R01.9–R01.10

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Решите: $4 - 3 x > 10$ $x < - 2$
Множество решений: $(x + 5)^{2} \leq 0$ $- 5$
Равносильны ли $x^{2} < 1$ и $x < 1$ ? нет
При каких $a$ равносильны $(a + 2) x > a + 2$ и $x > 1$ ? $a > - 2$

Вариант 2

Решите: $5 - 2 x \leq 11$ $x \geq - 3$
Множество решений: $∣ x ∣ + 3 \leq 2$ $\emptyset$
Равносильны ли $∣ x ∣ > 2$ и $x > 2$ ? нет
При каких $a$ равносильны $(a - 3) x < a - 3$ и $x < 1$ ? $a > 3$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какими бывают множества решений?
Когда неравенства равносильны?
Когда знак неравенства меняется?

Домашнее задание

Равносильны ли $2 - 3 x \leq 8$ и $x \geq - 2$ ?
Множество решений: $∣ x ∣ \leq 0$ ; $x^{2} + ∣ x ∣ < 0$
При каких $a$ равносильны $a x \leq 3 a$ и $x \geq 3$ ?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-008 · Множество решений неравенства; Равносильные неравенства

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R01 «Уравнения и неравенства: неравенства», 20 ч · урок 8/20 · тип Н
Единицы → слайды	R01.9 «Множество решений неравенства» → 3–9, 15–16, 20–24 · R01.10 «Равносильные неравенства» → 10–19, 20–25
Результаты	ПР-24 (свойства числовых неравенств, графическая иллюстрация множества решений неравенства) → 5–9, 13–16, 20–24 · кодификатора REQ у курса нет
Виды деятельности	«Определять равносильные неравенства» → 10–18, 21–22, 24 · «Исследовать линейное неравенство… с параметром» → 19–20, 22, 24
Вне урока	неравенство-следствие — ALG8U-009; числовые промежутки и их запись — ALG8U-010; линейные неравенства — ALG8U-011, ALG8U-012; системы — ALG8U-013; текстовые задачи — ALG8U-014
Время	теория 14 мин · практика 31 мин (69 %); практика: сл. 3–4, 7, 9, 12, 16, 18, 20–25
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Множество решений неравенства. Равносильные неравенства

Сегодня вы научитесь

Находить множество решений

Различать случаи

Определять равносильность

Исследовать с параметром

Является ли число решением неравенства?

Какие числа — решения неравенства 2x−1>3?

Множество решений неравенства

Луч, все числа, одна точка, пусто

Сколько решений у неравенства?

Образец: (x+3)2>0

Множество решений неравенств с модулем

Изобразите множество решений на прямой

Равносильные неравенства

Одного контрпримера достаточно

Равносильны ли неравенства? Обоснуйте

Три теоремы

Множества решений совпадают

Решите неравенство 5−2x≥x−7

Решите цепочкой равносильных переходов

Какие переходы нарушают равносильность

Найдите ошибку

Деление на минус

Деление на x

Модуль

При каких a неравенства ax>2a и x>2 равносильны?

Решите

Решите и проверьте ответ

Решите и обоснуйте

Укажите решение неравенства 4x+5≥6x−2

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-008 · Множество решений неравенства; Равносильные неравенства

Какие числа — решения неравенства $2 x - 1 > 3$ ?

Образец: $(x + 3)^{2} > 0$

Решите неравенство $5 - 2 x \geq x - 7$

Деление на $x$

При каких $a$ неравенства $a x > 2 a$ и $x > 2$ равносильны?

Укажите решение неравенства $4 x + 5 \geq 6 x - 2$