Неравенства · урок 7 из 20 · новый материал

Понятие о решении неравенства с одной переменной

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG8U-007

1 мин · теория (орг. момент)
Паспорт: R01 «Уравнения и неравенства: неравенства» (20 ч), урок 7/20, единица R01.8 «Понятие о решении неравенства с одной переменной». Тип — Н. До этого: ALG8U-004 строгие и нестрогие неравенства, ALG8U-005 сложение и умножение неравенств, ALG8U-006 оценивание. Дальше: ALG8U-008 множество решений и равносильные неравенства, ALG8U-010 числовые промежутки.
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Хронометраж: титул и цели 2 мин (сл. 1–2, теория) · разминка и «Вспомним» 4 (сл. 3–4, практика) · проблема и определения 6 (сл. 5–7, теория) · «Образец → сам» 2 (сл. 8) · сколько решений и доказательство 4 (сл. 9–10, теория) · «сам» 2 (сл. 11) · допустимые значения 1 + «сам» 2 (сл. 12–13) · параметр 1 + «сам» 2 (сл. 14–15) · ошибки и «Найди ошибку» 3 (сл. 16–17) · закрепление с самопроверкой 6 (сл. 18–19) · ОГЭ 2 (сл. 20) · задача из жизни 2 (сл. 21) · самостоятельная работа 4 (сл. 22) · итог и ДЗ 2 (сл. 23).
Теория (14 мин): сл. 1, 2, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 14. Остальное — работа учеников.
Если не успеваете: задание 6 (сл. 19) и задачу из жизни (сл. 21) — в ДЗ; сл. 16 разобрать устно за 1 мин.

R01.8

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Проверять

является ли число решением неравенства $3 x - 2 > 7$ (ПР-24)

Понимать

что значит «решить неравенство» и сколько решений бывает (ПР-24)

Доказывать

что решение — любое число или что решений нет (ПР-24, ПР-13)

Учитывать

допустимые значения и параметр: при каких $a$ число — решение (ПР-9)

1 мин · теория
ПР-24: «Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств». Сегодня — фундамент: понятие решения.
ПР-9: «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях» (сл. 12–13). ПР-13: «Применять преобразования выражений для решения различных задач…» (выделение квадрата, сл. 10–11).
Вид деятельности ФРП: «Приводить примеры решений неравенств».

разминка

Разминка · устно

Вычислите устно

2 x + 5

при

x = - 3

- 1

5 - 3 x

при

x = 2

- 1

x^{2} - 4

при

x = - 2

0

\frac{6}{x - 1}

при

x = 4

2

- 7 □ - 9

знак

>

,

<

или

=

- 7 > - 9

\frac{6}{x - 1}

при

x = 1

не имеет смысла

x^{2} □ 0

при любом

x

x^{2} \geq 0

x^{2} - 8 x + 16

свернуть в квадрат

(x - 4)^{2}

R01.5–R01.7

Вспомним · уроки ALG8U-004 — ALG8U-006

Числовое неравенство: верное или неверное

Неравенство	Верно?
$- 7 < - 5$	верно
$\frac{2}{3} > 0, 7$	неверно
$4 \geq 4$	верно
$4 > 4$	неверно

R01.8

Проблема

Неравенство $3 x - 2 > 7$ — верное или неверное?

R01.8

Определение

Что называют решением неравенства

Решение неравенства с переменной — значение переменной, при котором оно обращается в верное числовое неравенство.

R01.8

Определение · строгое и нестрогое

Что значит «решить неравенство»

Решить неравенство — найти все его решения или доказать, что решений нет.

x = 3 : 7 > 7

✗

x = 3 : 7 \geq 7

✓

пустой кружок — точка не входит, закрашенный — входит

R01.8

Образец → сам

Является ли число решением неравенства?

Образец

$x = - 2$ ; $5 - 2 x \geq 9$

$5 - 2 \cdot (- 2) \geq 9$

$9 \geq 9$ — верно

Да, $- 2$ — решение

Сам

$x = 3$ ; $4 x - 1 > 11$ нет: $11 > 11$ ✗
$x = - 1$ ; $x^{2} - x \leq 2$ да: $2 \leq 2$
$x = 0, 5$ ; $6 x + 1 < 4$ нет: $4 < 4$ ✗
Какие из чисел $- 1; 0; 2$ — решения $x^{2} < 2 x + 1$ ? $0; 2$

R01.8

Исследуем

Сколько решений может быть у неравенства?

x^{2} + 1 > 0

любое число

x^{2} < 0

решений нет

x^{2} \leq 0

одно:

x = 0

2 x - 1 > 1

бесконечно много, но не все

R01.8, R01.3

Углублённо · доказываем

Решение — любое число: $x^{2} - 6 x + 10 > 0$

x^{2} - 6 x + 10 = x^{2} - 6 x + 9 + 1

= (x - 3)^{2} + 1

(x - 3)^{2} \geq 0 \Rightarrow (x - 3)^{2} + 1 \geq 1 > 0

Верно при любом

x

— каждое число является решением.

x^{2} + 4 < 4 x ⟺ (x - 2)^{2} < 0

решений нет

R01.8, R01.3

Сам · по образцу сл. 9–10

Сколько решений? Обоснуйте

x^{2} + 7 > 0

любое число

(x + 1)^{2} \leq 0

одно:

x = - 1

- x^{2} > 1

нет:

- x^{2} \leq 0

x^{2} - 4 x + 5 > 0

любое:

(x - 2)^{2} + 1

x^{2} + 9 \leq 6 x

одно:

(x - 3)^{2} \leq 0

x^{2} + 2 x + 3 < 0

нет:

(x + 1)^{2} + 2

R01.8

Углублённо · область допустимых значений

Проверим числа: $\frac{6}{x - 2} \geq 3$

$x$	подстановка	решение?
$x = 0$	$\frac{6}{- 2} = - 3 \geq 3$	нет
$x = 2$	$\frac{6}{0}$ — не имеет смысла	нет
$x = 3$	$\frac{6}{1} = 6 \geq 3$	да
$x = 4$	$\frac{6}{2} = 3 \geq 3$	да
$x = 5$	$\frac{6}{3} = 2 \geq 3$	нет

Если при

x = a

выражение не имеет смысла, то

a

— не решение.

1 мин · теория
Первое действие — найти допустимые значения (ПР-9): знаменатель x − 2 ≠ 0, значит x ≠ 2.
x = 4 — решение благодаря нестрогому знаку: 3 ≥ 3. Вопрос: «А для 6/(x − 2) > 3?» (тогда 4 — не решение).
Для учителя: все решения — 2 < x ≤ 4. Классу можно предложить догадаться по таблице, обоснование — после равносильных преобразований (ALG8U-008).
Ошибка: умножить обе части на x − 2, не зная его знака. Так делать нельзя — знак неравенства может смениться.

R01.8

Сам · допустимые значения

Является ли число решением?

$\frac{4}{x + 1} < 2$

$x = - 1$ нет: не имеет смысла
$x = 3$ да: $1 < 2$
$x = 0$ нет: $4 < 2$ ✗

$\frac{x}{x - 3} \geq 2$

$x = 3$ нет: не имеет смысла
$x = 4$ да: $4 \geq 2$
$x = 6$ да: $2 \geq 2$

R01.8

Углублённо · параметр

При каких $a$ число 3 — решение неравенства $a x - 5 \geq a + 1$ ?

подставим

x = 3

:

3 a - 5 \geq a + 1

перенесём:

2 a \geq 6

разделим на 2 > 0:

a \geq 3

Ответ:

a \geq 3

R01.8

Сам · по образцу сл. 14

При каких $a$ данное число — решение неравенства?

базачисло $2$ ; $a x + 3 \leq 7$ $a \leq 2$
базачисло $3$ ; $\frac{x + a}{2} \geq a$ $a \leq 3$
повыш.число $- 1$ ; $a x - 4 > a$ $a < - 2$
повыш.число $0$ ; $x^{2} - a x + a - 5 \geq 0$ $a \geq 5$

R01.8

Осторожно

Типичные ошибки

Неверно	Верно
«Решение $x + 3 > 5$ — число 4, неравенство решено»	Решить — найти все решения: подходят все $x > 2$
«3 — решение $3 x - 2 > 7$ , ведь $3 \cdot 3 - 2 = 7$ »	$7 > 7$ неверно; граница входит только при знаке $\geq$ или $\leq$
«2 — решение $\frac{1}{x - 2} \geq 0$ »	При $x = 2$ выражение не имеет смысла — не решение
«Проверил 1, 2, 3 — подходят, значит, подходит любое»	Перебор не доказывает: нужно рассуждение, например $(x - 3)^{2} + 1 > 0$

R01.8

Найди ошибку

Какие из чисел $- 2; 2; 3$ — решения $\frac{x + 2}{x - 2} \leq 5$ ?

$x$	Решение Пети	Верно
$x = - 2$	$\frac{0}{- 4} = 0 \leq 5$ — да	верно ✓
$x = 2$	знаменатель $0$ , значит, дробь $= 0$ ; $0 \leq 5$ — да	не имеет смысла — нет
$x = 3$	$\frac{5}{1} = 5$ ; $5 \leq 5$ — неверно, нет	$5 \leq 5$ верно — да
Ответ	$- 2; 2$	$- 2; 3$

R01.8

Закрепление

Решите

1база

Какие из чисел $- 2; 0; 1, 5; 3$ — решения неравенства $4 - 2 x \geq 1$ ?

Ответ: $- 2; 0; 1, 5$

2база

Является ли $x = - 1$ решением неравенства $x^{2} + 3 x < - 1$ ?

Да: $- 2 < - 1$

3повыш.

Докажите, что неравенство $x^{2} + 10 x + 26 \leq 0$ не имеет решений.

$(x + 5)^{2} + 1 \geq 1 > 0$

4повыш.

При каких $a$ число $- 2$ — решение неравенства $a x + 7 > 3 a - 3$ ?

Ответ: $a < 2$

R01.8

Практика · исследование

Подумайте глубже

5практика

Найдите все натуральные решения неравенства $\frac{12}{x} > x$ .

подсказка: для натуральных $x$ это равносильно $x^{2} < 12$

Ответ: $1; 2; 3$

6исследование

Придумайте неравенство, у которого ровно одно решение $x = 5$ .

А неравенство, решения которого — все числа, кроме $5$ ?

$(x - 5)^{2} \leq 0$ ; $(x - 5)^{2} > 0$

R01.8

Формат ОГЭ · линия 13

Задание как на экзамене

13Укажите неравенство, которое не имеет решений.

1)

x^{2} + 5 x > 0

2)

x^{2} + 5 > 0

3)

x^{2} - 5 < 0

4)

x^{2} + 5 < 0

Оцените:

x^{2} \geq 0

, значит,

x^{2} + 5 \geq 5

.

Проверка подстановкой:

x = 1

подходит к 1) и 3),

x = 0

— к 2).

Ответ: 4

R01.8

Задача из жизни

Хватит ли денег на такси?

Посадка — 150 ₽, каждый километр — 30 ₽. У Маши 600 ₽. Поездка на $x$ км по карману, если $x$ — решение неравенства

150 + 30 x \leq 600

$x = 12$ ? да: $510 \leq 600$
$x = 15$ ? да: $600 \leq 600$
$x = 16$ ? нет: $630 \leq 600$ ✗
Наибольшее целое $x$ ? $15$ км

R01.8

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Какие из чисел $- 1; 2; 3$ — решения $3 x - 4 \leq 2$ ? $- 1; 2$
Является ли $x = 2$ решением $\frac{3}{x - 2} > 0$ ? нет
Докажите: $x^{2} - 2 x + 3 > 0$ при любом $x$ . $(x - 1)^{2} + 2$
При каких $a$ число $2$ — решение $a x - 1 \geq a + 3$ ? $a \geq 4$

Вариант 2

Какие из чисел $- 2; 3; 4$ — решения $5 - 2 x \geq - 1$ ? $- 2; 3$
Является ли $x = - 3$ решением $\frac{2}{x + 3} < 1$ ? нет
Докажите: $x^{2} + 6 x + 10 > 0$ при любом $x$ . $(x + 3)^{2} + 1$
При каких $a$ число $3$ — решение $a x + 2 < a + 8$ ? $a < 3$

4 мин · практика
Варианты по партам; 3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам на слайде (открыть по клику).
Вариант 1: 1) $x = - 1$ : $- 7 \leq 2$ да; $x = 2$ : $2 \leq 2$ да; $x = 3$ : $5 \leq 2$ нет — ответ $- 1; 2$ ; 2) при $x = 2$ знаменатель $0$ — не имеет смысла, не решение; 3) $x^{2} - 2 x + 3 = (x - 1)^{2} + 2 \geq 2 > 0$ ; 4) $2 a - 1 \geq a + 3 ⟺ a \geq 4$ (проверка $a = 4$ : $7 \geq 7$ ).
Вариант 2: 1) $x = - 2$ : $9 \geq - 1$ да; $x = 3$ : $- 1 \geq - 1$ да; $x = 4$ : $- 3 \geq - 1$ нет — ответ $- 2; 3$ ; 2) при $x = - 3$ знаменатель $0$ — не решение; 3) $x^{2} + 6 x + 10 = (x + 3)^{2} + 1 \geq 1 > 0$ ; 4) $3 a + 2 < a + 8 ⟺ 2 a < 6 ⟺ a < 3$ (проверка $a = 3$ : $11 < 11$ — неверно, граница не входит).
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что называют решением неравенства?
Что значит решить неравенство?
Как доказать, что решений нет?

Домашнее задание

Какие из чисел $- 3; 0; 2; 4$ — решения $x^{2} - 2 x \leq 8$ ?
Докажите: $4 x^{2} - 4 x + 2 > 0$ при любом $x$ .
При каких $b$ число 1 — решение $b x - 4 < 2 b + 1$ ?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-007 · Понятие о решении неравенства с одной переменной

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R01 «Уравнения и неравенства: неравенства», 20 ч · урок 7/20 · тип Н
Единицы → слайды	R01.8 «Понятие о решении неравенства с одной переменной» → 5–22 · опора R01.3, R01.5–R01.7 → 3–4, 10–11
Результаты	ПР-24 (свойства числовых неравенств, графическая иллюстрация множества решений) → 4–11, 14–22 · ПР-9 (допустимые значения в дробно-рациональных выражениях) → 12–13, 16–17, 22 · ПР-13 (преобразования выражений) → 10–11, 18, 22
Вне урока	множество решений и равносильные неравенства — ALG8U-008; неравенство-следствие — ALG8U-009; числовые промежутки — ALG8U-010; линейные неравенства и их решение — ALG8U-011, ALG8U-012
ОГЭ	линия 13 (неравенства) → 20 · теория 14 мин, практика 31 мин (69 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Понятие о решении неравенства с одной переменной

Сегодня вы научитесь

Проверять

Понимать

Доказывать

Учитывать

Вычислите устно

Числовое неравенство: верное или неверное

Неравенство 3x−2>7 — верное или неверное?

Что называют решением неравенства

Что значит «решить неравенство»

Является ли число решением неравенства?

Образец

Сам

Сколько решений может быть у неравенства?

Решение — любое число: x2−6x+10>0

Сколько решений? Обоснуйте

Проверим числа: x−26​≥3

Является ли число решением?

При каких a число 3 — решение неравенства ax−5≥a+1?

При каких a данное число — решение неравенства?

Типичные ошибки

Какие из чисел −2; 2; 3 — решения x−2x+2​≤5?

Решите

Подумайте глубже

Задание как на экзамене

Хватит ли денег на такси?

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-007 · Понятие о решении неравенства с одной переменной

Неравенство $3 x - 2 > 7$ — верное или неверное?

Решение — любое число: $x^{2} - 6 x + 10 > 0$

Проверим числа: $\frac{6}{x - 2} \geq 3$

При каких $a$ число 3 — решение неравенства $a x - 5 \geq a + 1$ ?

При каких $a$ данное число — решение неравенства?

Какие из чисел $- 2; 2; 3$ — решения $\frac{x + 2}{x - 2} \leq 5$ ?