Неравенства · урок 6 из 20

Оценивание
значения
выражения

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG8U-006

1 мин · теория (орг. момент)
Паспорт: R01 «Уравнения и неравенства: неравенства» (20 ч), урок 6/20, единица R01.7 «Оценивание значения выражения». Тип урока — Н (новый материал), углублённый уровень.
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Хронометраж: орг. момент и цели 2 мин (сл. 1–2) · разминка и актуализация 4 (сл. 3–4) · проблема и понятие 2 (сл. 5–6) · новый материал вперемежку с «образец → сам» 21 (сл. 7–17: теория 9 мин, практика 12) · решение проблемы, точная оценка, алгоритм 3 (сл. 18–20) · найди ошибку, закрепление, самопроверка 10 (сл. 21–24) · задача и ОГЭ 2 (сл. 25) · самостоятельная работа 4 (сл. 26) · итог и ДЗ 1 (сл. 27).
Если не успеваете: сл. 19 (грубая и точная оценка) — для сильных, задание 5 сл. 22 и задание 4 сл. 24 перенести в ДЗ.

R01.7

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Оценивать сумму и разность

по оценкам слагаемых: $a + b$ , $a - b$ , $3 a - 2 b$ (ПР-24)

Оценивать произведение и частное

и понимать, почему важны знаки границ (ПР-24)

Оценивать $a^{2}$ и $\frac{1}{a}$

когда промежуток содержит ноль или отрицательные числа (ПР-24)

Применять оценки

к измерениям с погрешностью и к задачам ОГЭ (ПР-24)

1 мин · теория
ПР-24 (дословно ФРП): «Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств». Сегодня — часть «для оценки».
Вид деятельности ФРП: «Оценивать значения выражения, используя неравенства. Применять свойства неравенств в ходе решения задач».
Кодификатора REQ у курса углублённого уровня нет — цели только по ПР.

разминка

Разминка · устно

Поставьте знак $>$ или $<$

при $x < 4$

x + 3 □ 7

<

при $x > 2$

- x □ - 2

<

при $x < - 1$

3 x □ - 3

<

при $x > 2$

\frac{1}{x} □ \frac{1}{2}

<

сравните

(- 3)^{2} □ 2^{2}

>

сравните

- \frac{1}{2} □ - \frac{1}{3}

<

сравните

- 0, 5 \cdot 4 □ - 0, 5 \cdot 3

<

вычислите

5, 2 \cdot 3, 1

16, 12

повторение: R01.2, R01.6

Вспомним

Свойства числовых неравенств

a < b, c < d \Rightarrow a + c < b + d

a < b, c < d; a, b, c, d > 0 \Rightarrow a c < b d

a < b, k < 0 \Rightarrow ka > kb

0 < a < b \Rightarrow \frac{1}{a} > \frac{1}{b}

Устно. Пусть $1 < a < 3$ . Оцените:

$2 a$
$a + 5$
$- a$
$\frac{1}{a}$
Верно ли: $2 < 3$ и $- 5 < - 4$ $\Rightarrow$ $- 10 < - 12$ ?

R01.7

Проблема

Длины измерены неточно. Каков периметр и площадь?

Комнату измерили: длина от 5,2 до 5,3 м, ширина от 3,1 до 3,2 м.

Точно

S

не найти. Но можно указать, в каких границах она лежит.

Это и есть оценка значения выражения.

R01.7

Понятие

Оценить значение выражения $E$ — значит…

найти числа

m

и

M

:

m < E < M

(или с ≤)

R01.7

Тип 1 · сумма

Оценка суммы: границы складываем

21 < a < 3 < b < 4

2 + 1 < a + b < 3 + 4

3 < a + b < 7

Левые с левыми, правые с правыми.

R01.7

Образец → сам · сумма

Оцените сумму

Образец

1 < a < 2, 3 < b < 5

1 + 3 < a + b < 2 + 5

4 < a + b < 7

Сам

Оцените выражение:

1)

3 < a < 5, - 2 < b < 1

:

a + b

1 < a + b < 6

2)

1, 2 < x < 1, 5, 2, 1 < y < 2, 4

:

x + y

3, 3 < x + y < 3, 9

3)

- 1 < a < 2, 4 < b < 6, 0 < c < 3

:

a + b + c

3 < \dots < 11

4)

2 < a < 4

:

2 a + 5

9 < 2 a + 5 < 13

R01.7

Тип 2 · разность

Разность — это сумма с противоположным: $a - b = a + (- b)$

2 < a < 3, 1 < b < 4

1)

\cdot (- 1)

:

- 4 < - b < - 1

2) складываем с

2 < a < 3

- 2 < a - b < 2

✗ $2 - 1 < a - b < 3 - 4$ — абсурд

R01.7

Образец → сам · разность

Оцените разность: через $- b$

Образец

4 < a < 6, 1 < b < 3

- 3 < - b < - 1

1 < a - b < 5

Сам

Оцените выражение:

1)

5 < a < 8, 2 < b < 3

:

a - b

2 < a - b < 6

2)

- 1 < x < 2, 3 < y < 4

:

x - y

- 5 < x - y < - 1

3)

2 < a < 3, 1 < b < 4

:

b - a

- 2 < b - a < 2

4)

1 < m < 2

:

5 - m

3 < 5 - m < 4

R01.7

Тип 3 · произведение и частное · все границы положительны

$2 < a < 3, 1 < b < 4$ : оцените $ab$ и $\frac{a}{b}$

Произведение

2 \cdot 1 < ab < 3 \cdot 4 \Rightarrow 2 < ab < 12

Частное: $\frac{a}{b} = a \cdot \frac{1}{b}$

1 < b < 4 \Rightarrow \frac{1}{4} < \frac{1}{b} < 1

2 \cdot \frac{1}{4} < \frac{a}{b} < 3 \cdot 1 \Rightarrow \frac{1}{2} < \frac{a}{b} < 3

R01.7

Образец → сам · произведение и частное

Все границы положительны — перемножаем

Образец

2 < a < 3, 4 < b < 5

8 < ab < 15

\frac{1}{5} < \frac{1}{b} < \frac{1}{4}

\frac{2}{5} < \frac{a}{b} < \frac{3}{4}

Сам

$4 < x < 6, 2 < y < 3$ . Оцените:

1)

x y

8 < x y < 18

2)

\frac{1}{x}

\frac{1}{6} < \frac{1}{x} < \frac{1}{4}

3)

\frac{x}{y}

\frac{4}{3} < \frac{x}{y} < 3

4)

\frac{y}{x}

\frac{1}{3} < \frac{y}{x} < \frac{3}{4}

R01.7

Углублённо · знак границ

$- 2 < a < 3, 1 < b < 2$ . Можно ли « $- 2 \cdot 1 < ab < 3 \cdot 2$ »?

a = - 1, 9, b = 1, 9 : ab = - 3, 61 < - 2

- 4 < ab < 6

(случаи по знаку

a

)

1 мин · теория
Теорема о почленном умножении требует положительных частей. Здесь a может быть отрицательным — рецепт ломается; контрпример: a = −1,9, b = 1,9, ab = −3,61.
Случай a ≥ 0: 0 ≤ a < 3, 1 < b < 2 ⇒ 0 ≤ ab < 6. Случай a < 0: 0 < −a < 2 ⇒ 0 < −ab < 4 ⇒ −4 < ab < 0. Объединяем: −4 < ab < 6.
Проверка крайних: (−2)·2 = −4, 3·2 = 6 — к ним ab приближается сколь угодно близко, оценка точная.
Вопрос: какие «углы» прямоугольника дают границы? (Произведения крайних значений: −2·1, −2·2, 3·1, 3·2 — выбрать наименьшее и наибольшее.)

R01.7

Углублённо · ноль внутри промежутка

$- 2 < a < 3$ . Оцените $a^{2}$

✗ $4 < a^{2} < 9$ а $a = 0$ ?

0 \leq a < 3 \Rightarrow 0 \leq a^{2} < 9

- 2 < a < 0 \Rightarrow 0 < a^{2} < 4

0 \leq a^{2} < 9

R01.7

Образец → сам · знаки границ

Есть отрицательные границы — разбираем случаи

Образец

- 3 < a < 1

:

a^{2}

0 \leq a < 1 \Rightarrow 0 \leq a^{2} < 1

- 3 < a < 0 \Rightarrow 0 < a^{2} < 9

0 \leq a^{2} < 9

Сам

Оцените выражение:

1)

- 1 < a < 4

:

a^{2}

0 \leq a^{2} < 16

2)

- 5 < a < - 2

:

a^{2}

4 < a^{2} < 25

3)

- 3 < a < - 1, 2 < b < 4

:

ab

- 12 < ab < - 2

4)

- 1 < a < 2, 1 < b < 3

:

ab

- 3 < ab < 6

R01.7

Тип 4 · линейное выражение

$1 < a < 2, 2 < b < 5$ . Оцените $3 a - 2 b$

	$1 < a < 2$	$\cdot 3$	$3 < 3 a < 6$
	$2 < b < 5$	$\cdot (- 2)$	$- 10 < - 2 b < - 4$
+			$- 7 < 3 a - 2 b < 2$

При умножении на отрицательное число знаки меняются, границы — местами.

R01.7

Образец → сам · линейное выражение

Каждое слагаемое отдельно, потом сложить

Образец

1 < a < 3, 2 < b < 4

:

2 a - b

2 < 2 a < 6, - 4 < - b < - 2

- 2 < 2 a - b < 4

Сам

$0 < a < 2, 1 < b < 3$ . Оцените:

1)

3 a + b

1 < 3 a + b < 9

2)

a - 2 b

- 6 < a - 2 b < 0

3)

4 b - 3 a

- 2 < 4 b - 3 a < 12

4)

\frac{a + b}{2}

0, 5 < \frac{a + b}{2} < 2, 5

R01.7

Возвращаемся к комнате

$5, 2 \leq a \leq 5, 3$ , $3, 1 \leq b \leq 3, 2$

Периметр $P = 2 (a + b)$

8, 3 \leq a + b \leq 8, 5

16, 6 \leq P \leq 17

плинтуса нужно не больше 17 м

Площадь $S = ab$

5, 2 \cdot 3, 1 \leq S \leq 5, 3 \cdot 3, 2

16, 12 \leq S \leq 16, 96

ламината хватит 17 м²

R01.7

Углублённо · переменная входит дважды

$1 < a < 2$ . Оцените $E = \frac{a + 1}{a}$

2 < a + 1 < 3, \frac{1}{2} < \frac{1}{a} < 1 \Rightarrow 1 < E < 3

E = 1 + \frac{1}{a} \Rightarrow 1, 5 < E < 2

Сначала преобразуйте, чтобы переменная входила один раз.

R01.7

Опорный конспект

Как оценить значение выражения

Нельзя:

✗ вычитать неравенства почленно

✗ делить неравенства почленно

✗ перемножать при отрицательных границах

✗ возводить в квадрат, если $0$ внутри

R01.7

Найди ошибку

Где ошибка? Исправьте

1) $2 < a < 5, 1 < b < 3$

✗ $1 < a - b < 2$

✓ $- 1 < a - b < 4$

2) $- 3 < a < 2$

✗ $4 < a^{2} < 9$

✓ $0 \leq a^{2} < 9$

3) $2 < x < 4$

✗ $- 2 < - x < - 4$

✓ $- 4 < - x < - 2$

4) $1 < a < 2, 2 < b < 4$

✗ $\frac{1}{2} < \frac{a}{b} < \frac{2}{4}$

✓ $\frac{1}{4} < \frac{a}{b} < 1$

R01.7

Закрепление · оцениваем

Известно: $2 < x < 5, 1 < y < 3$ . Оцените

база1

2 x - y

1 < 2 x - y < 9

база2

x y

2 < x y < 15

повыш.3

\frac{x}{y}

\frac{2}{3} < \frac{x}{y} < 5

повыш.4

при $- 1 < a < 2$

a^{2}

;

3 - 2 a

0 \leq a^{2} < 4

;

- 1 < 3 - 2 a < 5

повыш.5

при $1 < a < 2$

\frac{a + 2}{a}

2 < \frac{a + 2}{a} < 3

Подсказки

$x - y = x + (- y)$

$\frac{x}{y} = x \cdot \frac{1}{y}$

ноль внутри → случаи

R01.7

Задания с самопроверкой · база

$1 < a < 4, 2 < b < 3$ . Оцените и проверьте

база 1)

a + b

3 < a + b < 7

база 2)

a - b

- 2 < a - b < 2

база 3)

ab

2 < ab < 12

база 4)

\frac{a}{b}

\frac{1}{3} < \frac{a}{b} < 2

база 5)

- 3 a

- 12 < - 3 a < - 3

база 6)

2 b - 1

3 < 2 b - 1 < 5

R01.7

Задания с самопроверкой · повышенный

Оцените и обоснуйте

повыш. 1)

- 2 < x < 1

:

x^{2} + 1

1 \leq x^{2} + 1 < 5

повыш. 2)

1 < a < 3

:

\frac{2 a + 3}{a}

3 < \frac{2 a + 3}{a} < 5

повыш. 3)

- 4 < a < - 2, - 3 < b < - 1

:

ab

2 < ab < 12

повыш. 4)

2 < a < 3

:

\frac{1}{a - 1}

\frac{1}{2} < \frac{1}{a - 1} < 1

R01.7

Закрепление · применяем

Задача и формат ОГЭ

6. практика Велосипедист ехал от 2 до 2,5 ч со скоростью от 12 до 15 км/ч. Оцените пройденный путь $s = v t$ .

$24 \leq s \leq 37, 5$ км

7. ОГЭ, линия 7 Число $a$ отмечено на прямой. Какое утверждение верно?

$a + 2 > 0$
$a^{2} < 4$
$3 - a > 5$
$\frac{1}{a} > - 0, 3$

Ответ: 3

R01.7

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

$2 < a < 5, 1 < b < 2$

1)

a + 3 b

5 < a + 3 b < 11

2)

a - b

0 < a - b < 4

3)

\frac{a}{b}

1 < \frac{a}{b} < 5

4)

c^{2}

,

- 1 < c < 3

0 \leq c^{2} < 9

Вариант 2

$3 < a < 6, 2 < b < 3$

1)

2 a + b

8 < 2 a + b < 15

2)

a - b

0 < a - b < 4

3)

\frac{a}{b}

1 < \frac{a}{b} < 3

4)

c^{2}

,

- 4 < c < 1

0 \leq c^{2} < 16

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как оценить $a - b$ ?
Когда можно перемножать оценки?
Почему при $- 2 < a < 3$ неверно $4 < a^{2}$ ?

Оцените себя

умею сомневаюсь нужна помощь

Домашнее задание

$3 < a < 4, 2 < b < 5, - 2 < c < 1$

$a - b$
$ab$
$\frac{a}{b}$
$c^{2}$

Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/
8_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-006 · Оценивание значения выражения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · алгебра, 8 класс
Строка, урок	R01 «Уравнения и неравенства: неравенства», 20 ч · урок 6/20 · тип Н
Единицы → слайды	R01.7 «Оценивание значения выражения» → 5–27 · повторение R01.2, R01.6 → 3–4
Результаты	ПР-24 (применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки…) → 2, 5–26
Вне урока	решение неравенства с одной переменной, множество решений, числовые промежутки — ALG8U-007…ALG8U-012
ОГЭ	задание 7 (сл. 25) — линия 7 «числа на координатной прямой»
Время	теория 14 мин · практика 31 мин (69 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Оцениваниезначениявыражения

Сегодня вы научитесь

Оценивать сумму и разность

Оценивать произведение и частное

Оценивать a2 и a1​

Применять оценки

Поставьте знак > или <

Свойства числовых неравенств

Длины измерены неточно. Каков периметр и площадь?

Оценить значение выражения E — значит…

Оценка суммы: границы складываем

Оцените сумму

Образец

Сам

Разность — это сумма с противоположным: a−b=a+(−b)

Оцените разность: через −b

Образец

Сам

2<a<3, 1<b<4: оцените ab и ba​

Все границы положительны — перемножаем

Образец

Сам

−2<a<3, 1<b<2. Можно ли «−2⋅1<ab<3⋅2»?

−2<a<3. Оцените a2

Есть отрицательные границы — разбираем случаи

Образец

Сам

1<a<2, 2<b<5. Оцените 3a−2b

Каждое слагаемое отдельно, потом сложить

Образец

Сам

5,2≤a≤5,3, 3,1≤b≤3,2

1<a<2. Оцените E=aa+1​

Как оценить значение выражения

Где ошибка? Исправьте

Известно: 2<x<5, 1<y<3. Оцените

Подсказки

1<a<4, 2<b<3. Оцените и проверьте

Оцените и обоснуйте

Задача и формат ОГЭ

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Оцените себя

Домашнее задание

ALG8U-006 · Оценивание значения выражения

Оценивание
значения
выражения

Оценивать $a^{2}$ и $\frac{1}{a}$

Поставьте знак $>$ или $<$

Оценить значение выражения $E$ — значит…

Разность — это сумма с противоположным: $a - b = a + (- b)$

Оцените разность: через $- b$

$2 < a < 3, 1 < b < 4$ : оцените $ab$ и $\frac{a}{b}$

$- 2 < a < 3, 1 < b < 2$ . Можно ли « $- 2 \cdot 1 < ab < 3 \cdot 2$ »?

$- 2 < a < 3$ . Оцените $a^{2}$

$1 < a < 2, 2 < b < 5$ . Оцените $3 a - 2 b$

$5, 2 \leq a \leq 5, 3$ , $3, 1 \leq b \leq 3, 2$

$1 < a < 2$ . Оцените $E = \frac{a + 1}{a}$

Известно: $2 < x < 5, 1 < y < 3$ . Оцените

$1 < a < 4, 2 < b < 3$ . Оцените и проверьте