Неравенства · урок 5 из 20

Сложение и умножение
числовых неравенств

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · строка R01 · ALG8U-005

1 мин · теория (орг. момент)
Паспорт: R01 «Уравнения и неравенства: неравенства» (20 ч), урок 5/20, единица R01.6. Тип урока — Н.
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Хронометраж: орг. момент и цели 2 мин (сл. 1–2) · разминка, актуализация, проблема 6 (сл. 3–5) · новый материал вперемежку с «образец → сам» 18 (сл. 6–16: теория 10 мин, практика 8) · самопроверка 3 (сл. 17) · образец доказательства и олимпиадный приём 2 (сл. 18–19) · закрепление, найди ошибку, ОГЭ 8 (сл. 20–22) · самостоятельная работа 4 (сл. 23) · итог и ДЗ 2 (сл. 24).
При нехватке времени слайд 19 (олимпиадный приём) разобрать конспективно или перенести в ДЗ (задание 4).

R01.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Складывать неравенства

$a < b, c < d \Rightarrow a + c < b + d$

(ПР-24)

Умножать неравенства

с положительными частями — и знать, почему без этого условия нельзя (ПР-24)

Доказывать

теоремы о неравенствах и неравенства с переменными, опираясь на свойства (ПР-24)

Находить ловушки

почленное вычитание и деление — строить контрпримеры (ПР-24)

разминка

Разминка · устно

Вычислите или поставьте знак $>$ , $<$

- 7 + 4

- 3

- 2, 5 + 1, 5

- 1

5 - (- 2)

7

(- 3) \cdot (- 5)

15

0, 4 \cdot 0, 5

0, 2

1, 2^{2}

1, 44

\frac{1}{3} □ \frac{1}{4}

>

- \frac{1}{3} □ - \frac{1}{4}

<

повторение: R01.1–R01.5

Вспомним

Свойства числовых неравенств

a > b ⟺ a - b > 0

a < b, b < c \Rightarrow a < c

a < b \Rightarrow a + m < b + m

a < b, m > 0 \Rightarrow am < bm

a < b, m < 0 \Rightarrow am > bm

$a - b = - 0, 3$ . Сравните $a$ и $b$ .
$a < b$ . Сравните $a + 5$ и $b + 5$ ; $- 2 a$ и $- 2 b$ .
$x < 3$ , $3 < y$ . Сравните $x$ и $y$ .
$a < b$ . Верно ли, что $a^{2} < b^{2}$ ?

R01.6

Проблема

Можно ли выполнять действия с неравенствами «почленно»?

неравенства	сумма	разность	произведение
$3 < 5$ $2 < 7$	$5 < 12$ ✓	$1 ? - 2$ $1 > - 2$ ✗	$6 < 35$ ✓
$- 4 < 1$ $- 3 < 2$	$- 7 < 3$ ✓	$- 1 < - 1$ ? $- 1 = - 1$ ✗	$12 ? 2$ $12 > 2$ ✗

Сумма «сработала» оба раза. Случайность или теорема?

Разность ломается всегда?
Произведение — когда?

R01.6

Теорема 1 · сложение

Неравенства одного знака можно складывать

a < b, c < d \Rightarrow a + c < b + d

1) $a < b \Rightarrow a + c < b + c$

2) $c < d \Rightarrow b + c < b + d$

3) транзитивность: $a + c < b + d$ ∎

R01.6

Второе доказательство · через разность

Сравниваем по определению: знак разности

b - a > 0

и

d - c > 0

— по условию.

Сумма двух положительных чисел положительна ⇒

a + c < b + d

.

Полоски — модель для положительных чисел; алгебраическое доказательство верно для любых.

R01.6

Строгие, нестрогие, много слагаемых

Что получится при сложении

складываем	получаем
$a < b$ и $c < d$	$a + c < b + d$
$a < b$ и $c \leq d$	$a + c < b + d$ строгое!
$a \leq b$ и $c \leq d$	$a + c \leq b + d$
$a_{1} < b_{1}, \dots, a_{n} < b_{n}$	$a_{1} + \dots + a_{n} < b_{1} + \dots + b_{n}$

Знаки разные? Сначала переверните:

c > d ⟺ d < c

x < 4, 5 > y

⇓

x + y < 9

R01.6

Образец → сам

Сложите почленно неравенства

Образец

x < 3

и

7 > y

знаки разные — перевернём второе: $y < 7$

складываем неравенства одного знака

x + y < 3 + 7 = 10

Сам

$a < 5$ и $b < - 2$ $a + b < 3$
$m > 1, 5$ и $n > 2, 5$ $m + n > 4$
$x \leq 6$ и $y < 1$ $x + y < 7$
$c > 2$ и $- 3 < d$ $c + d > - 1$

R01.6

Ловушка · вычитание

Почленно вычитать нельзя — вычитаем «крест-накрест»

Контрпример:

7 > 6

,

5 > 1

,
но

7 - 5 = 2 < 5 = 6 - 1

Верно: $c < d \Rightarrow - d < - c$

Сложим с $a < b$ : $a - d < b - c$ ∎

R01.6

Образец → сам

Что можно сказать о разности?

Образец

a < 5, b > 2. a - b ?

$b > 2 \Rightarrow - b < - 2$ (умножили на $- 1$ )

складываем с $a < 5$

a - b < 5 - 2 = 3

Сам

$x < 7, y > 3$ : $x - y$ $x - y < 4$
$m > 4, n < 1$ : $m - n$ $m - n > 3$
$p < 0, q > - 6$ : $p - q$ $p - q < 6$

R01.6

Теорема 2 · умножение

Неравенства с положительными частями можно перемножать

0 < a < b, 0 < c < d

⇓

a c < b d

1) $a < b, c > 0 \Rightarrow a c < b c$

2) $c < d, b > 0 \Rightarrow b c < b d$

3) транзитивность: $a c < b d$ ∎

R01.6

Без условия теорема ломается

Отрицательные части — знак может измениться

Обе части отрицательны? Умножим на

- 1

:

$- a > - b > 0$ , $- c > - d > 0$

Теорема 2: $(- a) (- c) > (- b) (- d)$ ,
т. е. $a c > b d$

$- 5 < - 2, - 3 < - 1 \Rightarrow 15 > 2$

R01.6

Образец → сам

Сравните, проверив условие теоремы 2

Образец

a > 3, b > 4. ab \lor 12

$a > 3 > 0, b > 4 > 0$ — все части положительны ✓

перемножаем почленно

ab > 3 \cdot 4 = 12

Сам

$0 < x < 2, 0 < y < 5$ : $x y \lor 10$ $<$
$a > 5$ : $a^{2} \lor 25$ $>$
$m > 2, n > 0, 5$ : $mn \lor 1$ $>$
$a < 2, b < 3$ . Верно ли $ab < 6$ ? нет

R01.6

Следствия теоремы 2

Степени, обратные числа, деление

0 < a < b \Rightarrow a^{n} < b^{n}

0 < a < b \Rightarrow \frac{1}{a} > \frac{1}{b}

0 < a < b, 0 < c < d \Rightarrow \frac{a}{d} < \frac{b}{c}

Обратно: $a, b > 0, a^{n} < b^{n} \Rightarrow a < b$ (от противного)

R01.6

Сводная таблица

Что можно делать с неравенствами $a < b$ и $c < d$

действие	условие	результат
сложение	любые числа	$a + c < b + d$ ✓
вычитание	только «крест-накрест»	$a - d < b - c$ ✓ $a - c ? b - d$ ✗
умножение	$a, b, c, d > 0$	$a c < b d$ ✓
деление	$a, b, c, d > 0$ , «крест-накрест»	$\frac{a}{d} < \frac{b}{c}$ ✓
возведение в степень $n$	$a > 0$	$a^{n} < b^{n}$ ✓

R01.6

Задания с самопроверкой

Пользуемся сводной таблицей

база $0 < a < b$ . Сравните $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$ . $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$
база $0 < a < 3$ . Сравните $a^{3}$ и $27$ . $a^{3} < 27$
базаВерно ли: $- 5 < - 2, - 4 < - 1 \Rightarrow 20 < 2$ ? нет, $20 > 2$
повыш. $a > 2$ , $b > 3$ . Сравните $a^{2} + b^{2}$ и $13$ . $a^{2} + b^{2} > 13$
повыш. $a, b > 0$ и $a^{3} > b^{3}$ . Сравните $a$ и $b$ . $a > b$

R01.6, R01.3

Образец · доказательство неравенства

Докажите: $(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (c^{2} + 1) \geq 8 ab c$ при $a, b, c > 0$

R01.6

Олимпиадный приём · «парное» произведение

Докажите: $A = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \dots \cdot \frac{99}{100} < \frac{1}{10}$

\frac{1}{2} < \frac{2}{3}, \frac{3}{4} < \frac{4}{5}, \dots, \frac{99}{100} < \frac{100}{101}

A < B = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \dots \cdot \frac{100}{101}

A \cdot B = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 100}{2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 101} = \frac{1}{101}

A^{2} < A \cdot B = \frac{1}{101} < \frac{1}{100}

A > 0

⇒

A < \frac{1}{10}

∎

$\frac{2 k - 1}{2 k} < \frac{2 k}{2 k + 1} ⟺ 4 k^{2} - 1 < 4 k^{2}$

R01.6

Закрепление

Решите

базаСложите почленно: $3 < 7$ и $- 5 < - 1$ . $- 2 < 6$
базаПеремножьте: $2 < 5$ и $3 < 4$ . $6 < 20$
Можно ли так же перемножить $- 2 < 3$ и $- 4 < 1$ ? нет: $8 > 3$
повыш. $a > b > 0$ , $c > d > 0$ . Докажите: $\frac{a}{d} > \frac{b}{c}$ . $\frac{1}{d} > \frac{1}{c} > 0$ , перемножить
повыш.Докажите: $(a^{2} + 4) (b^{2} + 9) \geq 24 ab$ при $a, b > 0$ . $a^{2} + 4 \geq 4 a$ , $b^{2} + 9 \geq 6 b$
повыш. $x > 3$ , $y > 2$ . Докажите: $x y + x > 9$ . $x y > 6$ , $x > 3$ — сложить

R01.6

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Вычли почленно

$7 > 6, 5 > 1$

$\Rightarrow 2 > 5$

$7 - 1 > 6 - 5$

вычитаем только «крест-накрест»

Перемножили отрицательные

$- 6 < - 1, - 2 < - 1$

$\Rightarrow 12 < 1$

$12 > 1$

все части отрицательны — знак меняется

Сложили разные знаки

$x < 3, y > 1$

$\Rightarrow x + y < 4$

$x - y < 2$

о $x + y$ вывода нет
( $x = 0, y = 10$ )

R01.6

Практика · формат ОГЭ

Применяем теоремы

практикаДлина комнаты от 5,2 до 5,3 м, ширина от 3,1 до 3,2 м. Хватит ли 17 м² ламината? хватит
ОГЭ, линия 7На координатной прямой отмечены числа $a$ и $b$ . Какое из утверждений верно?
1) $a + b < 0$ 2) $ab > 0$ 3) $a - b > 0$ 4) $a + b > 1$ Ответ: 4

R01.6

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Сложите: $- 3 < 2$ и $4 < 9$ $1 < 11$
Перемножьте: $1, 5 < 2$ и $4 < 5$ $6 < 10$
$a > 4, b < 1$ : $a - b \lor 3$ $>$
$a > 2, b > 3$ . Докажите: $ab + a > 8$

Вариант 2

Сложите: $- 5 < 1$ и $3 < 7$ $- 2 < 8$
Перемножьте: $2 < 2, 5$ и $3 < 4$ $6 < 10$
$a < 2, b > 5$ : $a - b \lor - 3$ $<$
$a > 3, b > 1$ . Докажите: $ab + b > 4$

4 мин · практика
Варианты по партам: 3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам на слайде (открыть по клику; к заданию 4 — идея из заметок).
Вариант 1: 1) −3 + 4 = 1, 2 + 9 = 11: 1 < 11; 2) части положительны: 1,5 · 4 = 6, 2 · 5 = 10: 6 < 10; 3) −b > −1, складываем с a > 4: a − b > 3; 4) a > 2 > 0, b > 3 > 0 ⇒ ab > 6; складываем с a > 2: ab + a > 8.
Вариант 2: 1) −5 + 3 = −2, 1 + 7 = 8: −2 < 8; 2) 2 · 3 = 6, 2,5 · 4 = 10: 6 < 10; 3) −b < −5, складываем с a < 2: a − b < −3; 4) a > 3 > 0, b > 1 > 0 ⇒ ab > 3; складываем с b > 1: ab + b > 4.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие неравенства можно складывать?
Когда можно перемножать?
Как правильно вычесть $c < d$ из $a < b$ ?

Домашнее задание

Сложите и перемножьте: $1, 5 < 2$ и $4 < 6$ .
$a > 2$ , $b > 3$ . Докажите: $ab + 2 a + b > 13$ .
Докажите: $(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) \geq 4 ab c d$ , $a, b, c, d > 0$ .
* $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \dots \cdot \frac{49}{50} < \frac{1}{7}$
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-005 · Сложение и умножение числовых неравенств

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R01 «Уравнения и неравенства: неравенства», 20 ч · урок 5/20 · тип Н
Единицы → слайды	R01.6 «Сложение и умножение числовых неравенств» → 5–23 (теория: 6–8, 10, 12–13, 15–16, 18–19; практика: 5, 9, 11, 14, 17, 20–23) · опора: R01.2 (свойства) → 3–4, R01.3 (доказательство неравенств) → 7, 18
Результаты	ПР-24 (применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки) → 2, 3–24
Хронометраж	теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) · 24 видимых слайда
Вне урока	оценивание значения выражения — ALG8U-006 (R01.7); решение неравенств с переменной — ALG8U-007 и далее
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Сложение и умножениечисловых неравенств

Сегодня вы научитесь

Складывать неравенства

Умножать неравенства

Доказывать

Находить ловушки

Вычислите или поставьте знак >, <

Свойства числовых неравенств

Можно ли выполнять действия с неравенствами «почленно»?

Неравенства одного знака можно складывать

Сравниваем по определению: знак разности

Что получится при сложении

Сложите почленно неравенства

Образец

Сам

Почленно вычитать нельзя — вычитаем «крест-накрест»

Что можно сказать о разности?

Образец

Сам

Неравенства с положительными частями можно перемножать

Отрицательные части — знак может измениться

Сравните, проверив условие теоремы 2

Образец

Сам

Степени, обратные числа, деление

Что можно делать с неравенствами a<b и c<d

Пользуемся сводной таблицей

Докажите: (a2+1)(b2+1)(c2+1)≥8abc при a,b,c>0

Докажите: A=21​⋅43​⋅65​⋅…⋅10099​<101​

Решите

Найдите ошибку

Вычли почленно

Перемножили отрицательные

Сложили разные знаки

Применяем теоремы

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-005 · Сложение и умножение числовых неравенств

Сложение и умножение
числовых неравенств

Вычислите или поставьте знак $>$ , $<$

Что можно делать с неравенствами $a < b$ и $c < d$

Докажите: $(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (c^{2} + 1) \geq 8 ab c$ при $a, b, c > 0$

Докажите: $A = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \dots \cdot \frac{99}{100} < \frac{1}{10}$