Неравенства · урок 4 из 20

Строгие и нестрогие
неравенства

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · строка R01 · ALG8U-004

1 мин · теория
Паспорт: R01 «Уравнения и неравенства: неравенства» (20 ч), урок 4/20, единица R01.5. Тип урока — Н.
Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %). Сумма 45 мин.
Хронометраж: титул и цели 2 мин (сл. 1–2, теория) · разминка и повторение 4 (сл. 3–4, практика) · новый материал 11 (сл. 5–6, 8–9, 11–13, 15 — теория) · «образец → сам» 9 (сл. 7, 10, 14) и исследование 3 (сл. 16) · ошибки, самопроверка, закрепление, ОГЭ 12 (сл. 17–21) · самостоятельная работа 5 (сл. 22) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 23).
Вся теория прежняя, без сокращений; практика добавлена: после каждого нового правила — пример по шагам и сразу похожие задания, ответы появляются по клику.
На титуле — вопрос классу: чем отличаются две картинки? (Кружок пустой / закрашенный: число a не входит / входит.)

R01.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Читать и записывать

строгие ( $>$ , $<$ ) и нестрогие ( $\geq$ , $\leq$ ) неравенства, переводить слова в знаки (ПР-24)

Изображать

множество решений $x > a$ и $x \geq a$ на координатной прямой (ПР-24, ПР-4)

Доказывать

нестрогие неравенства и находить, когда достигается равенство (ПР-24)

Исследовать

как замена $>$ на $\geq$ меняет ответ в задаче с параметром (ПР-24)

повторение: R01.1–R01.4

Разминка · устно

Ответьте быстро

1Что больше:

- 7

или

- 3

?

- 3

2Знак разности

0, 5 - \frac{1}{2}

?

0

3Сравните

(- 2)^{2}

и

- 2^{2}

4 > - 4

4Наименьшее значение

x^{2}

?

0

при

x = 0

5Верно ли

x - 5 > 0

при

x = 6

?да

6Верно ли

a^{2} > 0

при

a = 0

?нет

7Чему равно

(a - b)^{2}

при

a = b

?

0

8Какой знак у

- (x - 1)^{2}

?

\leq 0

повторение: R01.1–R01.4

Вспомним

Сравнение через разность

a > b ⟺ a - b > 0

a < b ⟺ a - b < 0

a = b ⟺ a - b = 0

Сравните $\frac{5}{7}$ и $\frac{7}{10}$ через разность.
При каких $x$ верно неравенство $x - 3 > 0$ ?
Верно ли $x - 3 > 0$ при $x = 3$ ? А что тогда верно?

R01.5

Новый материал

Четыре знака неравенства

Знак	Читаем	Пример	Вид
$>$	больше	$7 > 2$	строгие
$<$	меньше	$- 5 < - 1$	строгие
$\geq$	больше или равно · не меньше	$7 \geq 2, 2 \geq 2$	нестрогие
$\leq$	меньше или равно · не больше	$- 5 \leq - 1, - 1 \leq - 1$	нестрогие

Нестрогое неравенство допускает равенство частей.

R01.5

Определение

$a \geq b$ — это « $a > b$ или $a = b$ »

5 \geq 3

верно

3 \geq 3

верно

2 \geq 3

неверно

R01.5

Образец → сам

Верно ли нестрогое неравенство?

Образец: $- 4 \leq - 4$

- 4 < - 4

нет

- 4 = - 4

да

верно хватает одного из двух

Сами

$0 \geq 0$ верно
$- 1 \geq 0$ неверно
$\frac{1}{2} \leq 0, 5$ верно
$2^{3} \leq 3^{2}$ верно: $8 < 9$
$- 0, 3 \geq - \frac{1}{3}$ верно

R01.5

Два числа — три случая

Отрицание строгого — нестрогое

R01.5

Графическая иллюстрация

Пустой кружок или закрашенный?

R01.5

Образец → сам

Изобразите на координатной прямой

R01.5

Перевод с русского на математический

Слова → знак

Фраза	Запись
скорость не более 60 км/ч	$v \leq 60$
рост не менее 120 см	$h \geq 120$
число положительно	$a > 0$
число неотрицательно	$a \geq 0$
$x$ не превосходит $y$	$x \leq y$

не + «меньше» →

\geq

не + «больше» →

\leq

«неотрицательно» включает ноль

R01.5

Свойства

Транзитивность и «зажим»

a \leq b, b \leq c \Rightarrow a \leq c

a \leq b, b < c \Rightarrow a < c

a \leq b, b \leq a \Rightarrow a = b

R01.5 · R01.3

Доказательство

Докажем: $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$

a^{2} + b^{2} - 2 ab

составим разность

= (a - b)^{2}

свернём в квадрат

(a - b)^{2} \geq 0

квадрат неотрицателен

a^{2} + b^{2} \geq 2 ab

при любых

a, b

R01.5 · R01.3

Образец → сам

Докажите и укажите случай равенства

Образец: $a^{2} + 4 \geq 4 a$

a^{2} + 4 - 4 a

разность

= (a - 2)^{2} \geq 0

квадрат

равенство:

a = 2

проверка:

8 = 8

Сами

$x^{2} + 1 \geq 2 x$ $(x - 1)^{2} \geq 0$ ; $x = 1$
$9 b^{2} + 1 \geq 6 b$ $(3 b - 1)^{2} \geq 0$ ; $b = \frac{1}{3}$
$(a + b)^{2} \geq 4 ab$ $(a - b)^{2} \geq 0$ ; $a = b$

R01.5 · R01.3

Равенство на графике

При $a > 0$ : $a + \frac{1}{a} \geq 2$

a + \frac{1}{a} - 2 = \frac{( a - 1 ) ^{2}}{a}

\frac{( a - 1 ) ^{2}}{a} \geq 0

при

a > 0

Равенство — только при

a = 1

R01.5 · исследование

Исследуем · параметр

При каких $a$ верно при всех $x$ : $x^{2} \geq a$ ? А $x^{2} > a$ ?

$a$	$x^{2} \geq a$	$x^{2} > a$
$a > 0$	нет	нет
$a = 0$	да	нет: $x = 0$
$a < 0$	да	да

a \leq 0

|

a < 0

R01.5

Осторожно

Найдите ошибку

Утверждение	Верно?	Почему
$x^{2} > 0$ при любом $x$	нет	при $x = 0$ : $0 > 0$ — ложь; верно $x^{2} \geq 0$
$- x^{2} \leq 0$ при любом $x$	да	$x^{2} \geq 0 \Rightarrow - x^{2} \leq 0$
отрицание $a < 5$ — это $a > 5$	нет	забыто $a = 5$ ; верно $a \geq 5$
$(x - 3)^{2} + 1 > 0$ при любом $x$	да	$(x - 3)^{2} + 1 \geq 1 > 0$

R01.5

Задания с самопроверкой · база

Запишите и найдите

база« $t$ не превышает 40» $t \leq 40$
база« $m$ — хотя бы 3» $m \geq 3$
базаОтрицание $x \geq 7$ $x < 7$
базаОтрицание « $y$ положительно» $y \leq 0$

базаНаименьшее целое $x$ , для которого $x \geq - 2, 5$ $- 2$
базаНаибольшее целое $n$ : $n < 4$ ? А $n \leq 4$ ? $3$ ; $4$
базаСколько целых $k$ : $- 1 \leq k \leq 2$ ? $4$

R01.5 · R01.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Докажите, найдите, запишите

повыш.При $b > 0$ : $b + \frac{9}{b} \geq 6$ . Когда равенство? $\frac{( b - 3 ) ^{2}}{b} \geq 0$ ; $b = 3$
повыш.Наименьшее значение $x^{2} - 6 x + 10$ ? $(x - 3)^{2} + 1$ ; $1$ при $x = 3$

сложнее $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + b c + c a$ равенство: $a = b = c$
жизньДетский билет — до 12 лет включительно; скидка — от 5 билетов. Запишите. $v \leq 12$ ; $n \geq 5$

R01.5

Закрепление

Решите

базаВерно ли: $- 3 \leq - 3$ ; $- 3 < - 3$ ; $\frac{2}{3} \geq 0, 67$ ; $1, 4^{2} \leq 2$ ?
базаЗапишите: « $x$ не меньше $- 2$ », « $y$ не превосходит 5», « $s$ неотрицательно».
повыш.Докажите: $a^{2} + 9 \geq 6 a$ . Когда равенство?

повыш.Докажите: $x^{2} + y^{2} + 2 \geq 2 (x + y)$ . Когда равенство?
практикаВ лифт входят не более 8 человек, масса груза — меньше 630 кг. Запишите неравенствами.
параметрПри каких $a$ при всех $x$ верно $x^{2} - 4 x + a \geq 0$ ? А $> 0$ ?

R01.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 13

На каком рисунке изображено множество решений неравенства $x - 3 \geq 0$ ?

R01.5

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта

Вариант 1

Верно ли: $5 \geq 5$ ; $- 2 > - 2$ ? да; нет
Запишите « $x$ не меньше 4» и его отрицание. $x \geq 4$ ; $x < 4$
Изобразите на прямой $x < - 1$ . пустой кружок, влево
Докажите $a^{2} + 16 \geq 8 a$ ; когда равенство? $(a - 4)^{2} \geq 0$ ; $a = 4$

Вариант 2

Верно ли: $- 3 \leq - 3$ ; $0 < 0$ ? да; нет
Запишите « $y$ не больше 6» и его отрицание. $y \leq 6$ ; $y > 6$
Изобразите на прямой $x \geq 2$ . закрашенная точка, вправо
Докажите $4 b^{2} + 9 \geq 12 b$ ; когда равенство? $(2 b - 3)^{2} \geq 0$ ; $b = \frac{3}{2}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему $3 \geq 3$ — верное неравенство?
Каково отрицание $a > b$ ?
Чем ответ для $x^{2} \geq a$ отличается от ответа для $x^{2} > a$ ?

Домашнее задание

Докажите: $4 a^{2} + 1 \geq 4 a$ ; при $b > 0$ : $b + \frac{4}{b} \geq 4$ . Укажите случай равенства.
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-004 · Строгие и нестрогие неравенства

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · Алгебра, 8 класс
Строка, урок	R01 «Уравнения и неравенства: неравенства», 20 ч · урок 4/20 · тип Н
Время	теория 13 мин (сл. 1–2, 5–6, 8–9, 11–13, 15) · практика 32 мин (сл. 3–4, 7, 10, 14, 16–23) — 71 %
Единицы → слайды	R01.5 «Строгие и нестрогие неравенства» → 5–23 · опора на R01.1–R01.4 (повторение) → 3–4, 13–15, 19
Результаты	ПР-24 (свойства числовых неравенств, графическая иллюстрация множества решений) → 2, 5–23 · ПР-4 (точки на координатной прямой) → 9–10, 21–22
Вне урока	сложение и умножение неравенств — ALG8U-005; оценивание — ALG8U-006; решение неравенства и множество решений — ALG8U-007 и далее; числовые промежутки (запись [a; +∞)) — R01.12
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Строгие и нестрогиенеравенства

Сегодня вы научитесь

Читать и записывать

Изображать

Доказывать

Исследовать

Ответьте быстро

Сравнение через разность

Четыре знака неравенства

a≥b — это «a>b или a=b»

Верно ли нестрогое неравенство?

Образец: −4≤−4

Сами

Отрицание строгого — нестрогое

Пустой кружок или закрашенный?

Изобразите на координатной прямой

Слова → знак

Транзитивность и «зажим»

Докажем: a2+b2≥2ab

Докажите и укажите случай равенства

Образец: a2+4≥4a

Сами

При a>0: a+a1​≥2

При каких a верно при всех x: x2≥a? А x2>a?

Найдите ошибку

Запишите и найдите

Докажите, найдите, запишите

Решите

На каком рисунке изображено множество решений неравенства x−3≥0?

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-004 · Строгие и нестрогие неравенства

Строгие и нестрогие
неравенства

$a \geq b$ — это « $a > b$ или $a = b$ »

Образец: $- 4 \leq - 4$

Докажем: $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$

Образец: $a^{2} + 4 \geq 4 a$

При $a > 0$ : $a + \frac{1}{a} \geq 2$

При каких $a$ верно при всех $x$ : $x^{2} \geq a$ ? А $x^{2} > a$ ?

На каком рисунке изображено множество решений неравенства $x - 3 \geq 0$ ?