Неравенства · урок 3 из 20

Неравенство
с переменной

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · строка R01 · ALG8U-003

Паспорт: R01 «Уравнения и неравенства: неравенства» (20 ч), урок 3/20, единица R01.4 «Неравенство с переменной». Тип урока — Н.
0,5 мин · теория
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин. Теория — сл. 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 14 (все теоретические слайды сохранены полностью); практика — разминка (3), «образец → сам» после каждого нового правила (7, 10, 12, 15), перевод на язык неравенств (16), исследование в парах (17), найдите ошибку (18), задания с самопроверкой (19, 20), формат ОГЭ (21), самостоятельная работа (22), рефлексия (23).
Граница урока: термин «решение неравенства» и множество решений — уроки ALG8U-007 и далее; строгие и нестрогие знаки подробно — ALG8U-004. Сегодня — что такое неравенство с переменной, подстановка, допустимые значения, «верно всегда / никогда / иногда», параметр.

R01.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Распознавать

неравенство с переменной и отличать его от числового (ПР-24)

Проверять

верно ли неравенство при данном значении переменной (ПР-24)

Находить

допустимые значения переменной в неравенстве с дробью (ПР-9)

Составлять и исследовать

неравенство по условию задачи, неравенство с параметром (ПР-13, ПР-24)

0,5 мин · теория
ПР-24: «Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений…» — сегодня его первый шаг.
ПР-9: «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях». ПР-13: «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».
Кодификатора REQ у курса углублённого уровня нет.

повторение: R01.1–R01.3

Разминка · устно

Числовые неравенства: сравнение через разность

a > b ⟺ a - b > 0

Сравните $\frac{3}{7}$ и $\frac{4}{9}$ через разность. $\frac{3}{7} < \frac{4}{9}$
Известно: $a > b$ . Сравните $- 2 a$ и $- 2 b$ . $- 2 a < - 2 b$
Верно ли: $- 5 > - 3$ ? $(- 3)^{2} > 2^{3}$ ? нет; да
Найдите $2 x - 1$ при $x = 3$ ; при $x = - 2$ . $5; - 5$
При каком $x$ выражение $\frac{7}{x - 5}$ не имеет смысла? $x = 5$
Какой знак у $x^{2}$ при $x \neq = 0$ ? плюс

3 мин · практика
Устно, в темпе: ученик отвечает — учитель открывает ответ кликом. Ответы: 1) $\frac{3}{7} - \frac{4}{9} = \frac{27 - 28}{63} = - \frac{1}{63} < 0$ , значит 3/7 < 4/9. 2) $- 2 a < - 2 b$ (умножение на отрицательное число меняет знак). 3) неверно; 9 > 8 — верно. 4) 2·3 − 1 = 5; 2·(−2) − 1 = −5 (понадобится на сл. 6). 5) x = 5: знаменатель 0 (понадобится на сл. 11). 6) x² > 0 при x ≠ 0, x² = 0 при x = 0 (сл. 9).
Ключевая мысль: о числовом неравенстве всегда можно сказать «верно» или «неверно». Сегодня встретим неравенства, про которые так сказать нельзя.

R01.4

Проблема

Такси: посадка 100 ₽ и 25 ₽ за километр. Хватит ли 500 ₽?

R01.4

Новое понятие

Неравенство с переменной

2 мин · теория
Определение для тетради: неравенство, в котором хотя бы одна из частей содержит переменную, называют неравенством с переменной. Примеры: x > 5; 3x − 7 < 2x + 1; x² ≥ 2x.
Вопрос: является ли «5 < 9» неравенством с переменной? (Нет, это числовое неравенство.) А «a² + b² ≥ 2ab»? (Да, с двумя переменными.)
Из истории (ФРП: знакомиться с историей алгебры): знаки < и > ввёл английский математик Томас Хэрриот (книга 1631 г.), знаки ≤ и ≥ — француз Пьер Бугер (1734).
Строгие и нестрогие неравенства подробно — на следующем уроке, сейчас только прочтение знаков.

R01.4

Подставляем значения

При каких x неравенство $2 x - 1 > 3$ верно?

R01.4

Образец → сам · подстановка

Верно ли неравенство при данном значении x?

Образец: $5 - 2 x \geq 1$

$x = 2$ : $5 - 2 \cdot 2 = 1$
$1 \geq 1$ — верно

$x = 3$ : $5 - 2 \cdot 3 = - 1$
$- 1 \geq 1$ — неверно

подставить → вычислить обе части → сравнить

Сами: верно или нет?

$4 x + 3 > 11$ , $x = 2$
нет: $11 > 11$ — неверно
$x^{2} - 3 x \leq 0$ , $x = 1$
да: $- 2 \leq 0$
$\frac{x + 6}{2} < x$ , $x = 8$
да: $7 < 8$
$3 - x \geq 2 x$ , $x = - 1$
да: $4 \geq - 2$

R01.4

Сравним

Уравнение и неравенство

R01.4, R01.3

Три случая

Верно всегда, никогда или иногда?

x^{2} + 1 > 0

$x^{2} \geq 0$
$x^{2} + 1 \geq 1 > 0$

при любом x

x^{2} + 4 \leq 0

$x^{2} + 4 \geq 4 > 0$

ни при каком x

x^{2} < 4

$x = 1 : 1 < 4$ да
$x = 3 : 9 < 4$ нет

при одних x — да

Доказать неравенство с переменной = показать, что оно верно при всех значениях переменной (урок 2).

R01.4, R01.3

Образец → сам · всегда, никогда, иногда

Определите случай и обоснуйте

Образец: $(x - 3)^{2} + 2 > 0$

$(x - 3)^{2} \geq 0$ при любом $x$

$(x - 3)^{2} + 2 \geq 2 > 0$

верно при любом x

Сами: всегда, никогда или иногда?

$x^{2} + 5 > 0$
всегда: $x^{2} + 5 \geq 5$
$- x^{2} - 3 \geq 0$
никогда: $- x^{2} - 3 \leq - 3$
$x^{2} > 9$
иногда: $x = 4$ да, $x = 0$ нет
$(x + 1)^{2} < 0$
никогда: квадрат $\geq 0$

R01.4

Допустимые значения

Иногда подставить нельзя

\frac{1}{x - 2} > 0

$x = 2$ : знаменатель $0$ — выражение не имеет смысла.

Допустимые значения: $x \neq = 2$

R01.4

Образец → сам · допустимые значения

Найдите допустимые значения переменной

Образец: $\frac{3}{x + 5} < x - 1$

знаменатель: $x + 5 \neq = 0$

$x \neq = - 5$

Ответ: все $x$ , кроме $- 5$

Сами

$\frac{2}{x - 7} > 1$ $x \neq = 7$
$\frac{x}{3} \leq 4$ любое $x$
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} > 0$
$x \neq = 0, x \neq = - 2$
$\frac{x - 4}{x ^{2} - 9} \geq 0$
$x \neq = 3, x \neq = - 3$

R01.4, R01.3

Несколько переменных

Неравенство с двумя переменными

x + y < 5

пара $(x; y)$	подстановка	?
$(1; 2)$	$3 < 5$	да
$(3; 4)$	$7 < 5$	нет
$(- 10; 14)$	$4 < 5$	да

Верно при всех $a$ и $b$

a^{2} + b^{2} \geq 2 ab

$a^{2} + b^{2} - 2 ab = (a - b)^{2} \geq 0$

Равенство — только при $a = b$ .

R01.4

Углублённо · параметр

При каких a неравенство верно при данном x?

R01.4

Образец → сам · параметр

При каких a неравенство верно при данном x?

Образец: $a x - 1 < 5$ , $x = 2$

подставим: $2 a - 1 < 5$

прибавим 1: $2 a < 6$

разделим на 2: $a < 3$

Сами

$a x + 4 > 10$ , $x = 2$ $a > 3$
$x + a \leq 7$ , $x = - 3$ $a \leq 10$
$a x - 3 \geq a$ , $x = 4$ $a \geq 1$
$x^{2} + a x < 0$ , $x = - 1$ $a > 1$

R01.4

Математическая модель

Переведите на язык неравенств

Словами	Неравенство
число $x$ не больше $7$	$x \leq 7$
сумма $x$ и $5$ положительна	$x + 5 > 0$
периметр квадрата со стороной $x$ меньше $20$	$4 x < 20$
квадрат числа не меньше его удвоенного значения	$x^{2} \geq 2 x$
частное $x$ и $(x - 1)$ отрицательно	$\frac{x}{x - 1} < 0$

R01.4

Исследование

Когда квадрат числа больше самого числа?

x^{2} > x

$x$	$- 1$	$0$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$
$x^{2}$	$1$	$0$	$\frac{1}{4}$	$1$	$4$
?	да	нет	нет	нет	да

R01.4

Найдите ошибку · типичные утверждения

Найдите контрпример

Утверждение	Контрпример	Как верно
$x > 3$ верно при $x = 3$	$3 > 3$ — нет	$x \geq 3$ при $x = 3$ верно
$- x > 0$ не бывает верно	$x = - 2 : 2 > 0$	верно при $x < 0$
$x^{2} > 0$ при любом $x$	$x = 0 : 0 > 0$ — нет	$x^{2} \geq 0$ при любом $x$
$2 x > x$ всегда	$x = - 1 : - 2 > - 1$ — нет	верно при $x > 0$

R01.4

Задания с самопроверкой · 1

Решите и проверьте себя

базаВерно ли $3 x - 7 < 5$ при $x = 4$ ? при $x = - 2$ ? нет; да
базаДопустимые значения x в неравенстве $\frac{5}{x + 4} \leq x$ . $x \neq = - 4$
повыш.Найдите все целые x от −3 до 3, при которых $x^{2} \leq 2 x + 3$ .
$- 1; 0; 1; 2; 3$

повыш.При каких a неравенство $(a - 1) x > 0$ верно при $x = - 2$ ? Может ли оно быть верным при всех x? $a < 1$ ; нет
практикаТариф: 300 ₽ + 2 ₽ за минуту сверх пакета, бюджет 450 ₽. Составьте неравенство, проверьте 70 и 80 мин. $300 + 2 x \leq 450$ : да; нет
ОГЭ, линия 13Какое неравенство верно при любом x?
1) $x^{2} - 49 > 0$ 2) $x^{2} + 49 > 0$
3) $x^{2} + 49 < 0$ 4) $x^{2} - 49 < 0$ 2

3,5 мин · практика
Ответы: 1) x = 4: 5 < 5 — неверно; x = −2: −13 < 5 — верно.
2) x ≠ −4.
3) x = −3: 9 ≤ −3 нет; −2: 4 ≤ −1 нет; −1: 1 ≤ 1 да; 0: 0 ≤ 3 да; 1: 1 ≤ 5 да; 2: 4 ≤ 7 да; 3: 9 ≤ 9 да. Ответ: −1; 0; 1; 2; 3.
4) −2(a − 1) > 0 ⇔ a − 1 < 0 ⇔ a < 1. При всех x — нет: при x = 0 получаем 0 > 0, неверно при любом a.
5) 300 + 2x ≤ 450; x = 70: 440 ≤ 450 — верно; x = 80: 460 ≤ 450 — неверно.
6) Ответ 2: x² + 49 ≥ 49 > 0. (В ОГЭ формулировка: «Укажите неравенство, решением которого является любое число».)
Ученики решают в тетради, учитель открывает ответы кликом по одному. При нехватке времени задание 5 — в ДЗ.

R01.4, R01.3

Задания с самопроверкой · 2

Решите

базаКакие из чисел $- 2; 0; 3; 5$ удовлетворяют неравенству $2 x - 3 \geq x$ ? $3; 5$
базаВерно ли $x^{2} - 4 x + 4 > 0$ при $x = 2$ ? при $x = - 1$ ? нет; да
повыш.Докажите: $x^{2} - 6 x + 10 > 0$ при любом $x$ .
$(x - 3)^{2} + 1 \geq 1 > 0$

повыш.Допустимые значения в $\frac{x + 2}{x ^{2} - x} \leq 3$ ; верно ли оно при $x = 2$ ?
$x \neq = 0, x \neq = 1$ ; да
практикаШирина прямоугольника $x$ см, длина на 3 см больше, периметр не больше 30 см. Составьте неравенство, проверьте $x = 6$ и $x = 7$ .
$2 (2 x + 3) \leq 30$ : да; нет

R01.4

Формат ОГЭ · линия 13

Выберите один вариант ответа

А. Какое неравенство верно при любом $x$ ?

1)

(x - 5)^{2} > 0

2)

(x - 5)^{2} \geq 0

3)

- (x - 5)^{2} \geq 0

4)

x - 5 > 0

Ответ: 2

Б. Какое неравенство неверно ни при каком $x$ ?

1)

x^{2} + 36 > 0

2)

x^{2} - 36 > 0

3)

x^{2} + 36 < 0

4)

x^{2} - 36 < 0

Ответ: 3

1,5 мин · практика
Формат задания 13 ОГЭ по математике, авторские задания. В ОГЭ формулировки: «Укажите неравенство, решением которого является любое число» и «Укажите неравенство, которое не имеет решений» — термин «решение неравенства» будет на уроке ALG8U-007.
А: ответ 2 — квадрат ≥ 0 при любом x. Ловушка 1): при x = 5 получаем 0 > 0 — неверно. 3) верно только при x = 5; 4) — только при x > 5.
Б: ответ 3 — x² + 36 ≥ 36 > 0, поэтому x² + 36 < 0 не бывает. 1) верно всегда; 2) и 4) — иногда (x = 7: 13 > 0; x = 0: −36 < 0).

R01.4

Самостоятельная работа · 5 минут

По вариантам

Вариант 1

Верно ли $5 x - 2 > 8$ при $x = 2$ ? нет
Допустимые значения: $\frac{4}{x + 3} \geq x$ . $x \neq = - 3$
Всегда, никогда или иногда: $x^{2} + 2 \leq 0$ ? никогда
При каких $a$ неравенство $a x + 1 > 7$ верно при $x = 3$ ? $a > 2$

Вариант 2

Верно ли $4 x + 1 < 9$ при $x = 2$ ? нет
Допустимые значения: $\frac{6}{x - 8} < x$ . $x \neq = 8$
Всегда, никогда или иногда: $x^{2} \geq 1$ ? иногда
При каких $a$ неравенство $a x - 2 \leq 4$ верно при $x = 2$ ? $a \leq 3$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем неравенство с переменной отличается от числового?
Как опровергнуть «верно при всех x»?
Что такое допустимые значения?

Домашнее задание

Проверьте $x^{3} \geq x$ при $x = - 1; 0; \frac{1}{2}; 2$
При каких a число 3 удовлетворяет $a x - 4 \leq 2 a$ ?
Пример неравенства: верного всегда; неверного никогда.
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-003 · Неравенство с переменной

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), курс «Алгебра», 7–9 кл., Москва – 2025 · 8 класс
Строка, урок	R01 «Уравнения и неравенства: неравенства», 20 ч · урок 3/20 · тип Н · теория 13,5 мин / практика 31,5 мин (70 %)
Единицы → слайды	R01.4 «Неравенство с переменной» → 2, 4–23; повторение R01.1–R01.3 → 3, 9, 10, 13, 20
Результаты	ПР-24 (свойства числовых неравенств, неравенства с одной переменной, графическая иллюстрация) → 3–10, 13–15, 17–23 · ПР-9 (допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях) → 3, 11, 12, 19, 20, 22 · ПР-13 (задачи из реальной практики) → 4, 16, 19, 20
Сверх ФРП	нет
Вне урока	строгие и нестрогие неравенства — ALG8U-004; сложение и умножение неравенств — ALG8U-005; оценивание — ALG8U-006; понятие о решении неравенства — ALG8U-007; множество решений, равносильность, числовые промежутки, линейные неравенства — R01.9–R01.14
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Неравенствос переменной

Сегодня вы научитесь

Распознавать

Проверять

Находить

Составлять и исследовать

Числовые неравенства: сравнение через разность

Такси: посадка 100 ₽ и 25 ₽ за километр. Хватит ли 500 ₽?

Неравенство с переменной

При каких x неравенство 2x−1>3 верно?

Верно ли неравенство при данном значении x?

Образец: 5−2x≥1

Сами: верно или нет?

Уравнение и неравенство

Верно всегда, никогда или иногда?

Определите случай и обоснуйте

Образец: (x−3)2+2>0

Сами: всегда, никогда или иногда?

Иногда подставить нельзя

Найдите допустимые значения переменной

Образец: x+53​<x−1

Сами

Неравенство с двумя переменными

Верно при всех a и b

При каких a неравенство верно при данном x?

При каких a неравенство верно при данном x?

Образец: ax−1<5, x=2

Сами

Переведите на язык неравенств

Когда квадрат числа больше самого числа?

Найдите контрпример

Решите и проверьте себя

Решите

Выберите один вариант ответа

А. Какое неравенство верно при любом x?

Б. Какое неравенство неверно ни при каком x?

По вариантам

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-003 · Неравенство с переменной

Неравенство
с переменной

При каких x неравенство $2 x - 1 > 3$ верно?

Образец: $5 - 2 x \geq 1$

Образец: $(x - 3)^{2} + 2 > 0$

Образец: $\frac{3}{x + 5} < x - 1$

Верно при всех $a$ и $b$

Образец: $a x - 1 < 5$ , $x = 2$

А. Какое неравенство верно при любом $x$ ?

Б. Какое неравенство неверно ни при каком $x$ ?