Неравенства · урок 2 из 20

Доказательство
неравенств

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG8U-002

Паспорт: R01 «Уравнения и неравенства: неравенства» (20 ч), урок 2/20, единица R01.3 «Доказательство неравенств». Тип урока — Н.
0 мин · титул. Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Теория (14 мин): цели 1 (сл. 2) · проблема 1 (сл. 5) · метод разности 2 (сл. 6) · пример 1 — 1 (сл. 7) · пример 2 — 1 (сл. 9) · пример 3 — 1 (сл. 10) · пример 4 — 1 (сл. 12) · сумма квадратов 2 (сл. 14) · разложение на множители 1 (сл. 15) · логические ошибки 1 (сл. 18) · анонс Коши 1 (сл. 20) · итог 1 (сл. 23).
Практика (31 мин): разминка 3 (сл. 3) · «вспомним» 2 (сл. 4) · образец → сам 3 + 3 + 3 (сл. 8, 11, 13) · знак произведения 2 (сл. 16) · самопроверка 4 + 4 (сл. 17, 21) · найди ошибку 2 (сл. 19) · самостоятельная работа 5 (сл. 22).
Рисунок на титуле — «китайский квадрат» (сл. 9): спросить в конце урока, что он доказывает.

R01.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Доказывать неравенства

методом разности: $A \geq B ⟺ A - B \geq 0$ (ПР-24)

Оценивать знак выражения

выделением полного квадрата и разложением на множители (ПР-24)

Применять свойства неравенств

для сравнения выражений при любых значениях переменных (ПР-24)

Рассуждать строго

отличать доказательство от проверки на примерах (метапредметное)

повторение: R01.1–R01.2

Разминка · устно

Считаем в уме — ответ по клику

(a - 3)^{2}

раскройте скобки

a^{2} - 6 a + 9

x^{2} + 10 x + 25

сверните в квадрат

(x + 5)^{2}

4 a^{2} - 4 a + 1

сверните в квадрат

(2 a - 1)^{2}

a^{2} - b^{2}

разложите

(a - b) (a + b)

- (a + 1)^{2}

какой знак?

\leq 0

a^{2} + 1

какой знак?

> 0

- \frac{1}{3} ? - \frac{1}{4}

сравните

- \frac{1}{3} < - \frac{1}{4}

a > b

тогда

- 2 a ? - 2 b

- 2 a < - 2 b

повторение: R01.1–R01.2

Вспомним

Сравнить — значит узнать знак разности

Сравните $\frac{5}{8}$ и $\frac{7}{11}$ .
Какой знак у $(a - 5)^{2}$ ?
При каком $a$ выполняется $(a - 5)^{2} = 0$ ?

R01.3

Проблема

Верно ли $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$ при любых $a$ и $b$ ?

$a$	$b$	$a^{2} + b^{2}$	$2 ab$
3	1	10	6	✓
−2	5	29	−20	✓
$0, 5$	2	$4, 25$	2	✓
4	4	32	32	=

Пар

(a; b)

— бесконечно много.
Проверка примеров — не доказательство.

Нужно рассуждение, верное для всех $a$ и $b$ .

R01.3

Новый материал · алгоритм

Метод разности: доказать $A \geq B$

R01.3

Пример 1 · полный квадрат

Докажем: $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$

(a^{2} + b^{2}) - 2 ab

= a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}

(a - b)^{2} \geq 0

квадрат

a^{2} + b^{2} \geq 2 ab

∎

R01.3

Образец → сам · полный квадрат

Докажите методом разности

Образец: $(a + 3)^{2} \geq 12 a$

(a + 3)^{2} - 12 a = a^{2} - 6 a + 9

= (a - 3)^{2} \geq 0

равенство при

a = 3

∎

Сам

$a^{2} + 9 \geq 6 a$ $(a - 3)^{2} \geq 0$
$4 a^{2} + 1 \geq 4 a$ $(2 a - 1)^{2} \geq 0$
$(a + 2)^{2} \geq 8 a$ $(a - 2)^{2} \geq 0$
$a^{2} + b^{2} \geq - 2 ab$ $(a + b)^{2} \geq 0$

R01.3

Пример 2 · доказательство рисунком

Докажем: $(a + b)^{2} \geq 4 ab$

(a + b)^{2} = 4 ab + (a - b)^{2}

(a + b)^{2} - 4 ab = (a - b)^{2} \geq 0

(a + b)^{2} \geq 4 ab

равенство — когда «дырки» нет: $a = b$

R01.3

Пример 3 · общий знаменатель

Докажем: $a + \frac{1}{a} \geq 2$ при $a > 0$

a + \frac{1}{a} - 2 = \frac{a ^{2} - 2 a + 1}{a}

= \frac{( a - 1 ) ^{2}}{a}

\frac{( a - 1 ) ^{2}}{a} \geq 0

числитель

\geq 0

,

a > 0

Сумма положительного числа и обратного ему — не меньше 2. Равенство при

a = 1

.

R01.3

Образец → сам · общий знаменатель

Докажите: следите за знаком знаменателя

Образец: $a + \frac{16}{a} \geq 8$ , $a > 0$

a + \frac{16}{a} - 8 = \frac{a ^{2} - 8 a + 16}{a}

= \frac{( a - 4 ) ^{2}}{a} \geq 0

, так как

a > 0

равенство при

a = 4

∎

Сам

$a + \frac{4}{a} \geq 4$ , $a > 0$ $\frac{( a - 2 ) ^{2}}{a} \geq 0$
$9 a + \frac{1}{a} \geq 6$ , $a > 0$ $\frac{( 3 a - 1 ) ^{2}}{a} \geq 0$
$a + \frac{1}{a} \leq - 2$ , $a < 0$ $\frac{( a + 1 ) ^{2}}{a} \leq 0$

R01.3

Пример 4 · выделение полного квадрата

Докажем: $x^{2} - 6 x + 10 > 0$ при любом $x$

x^{2} - 6 x + 10 = x^{2} - 2 \cdot 3 x + 9 + 1

= (x - 3)^{2} + 1

(x - 3)^{2} + 1 \geq 1 > 0

Наименьшее значение — 1, при $x = 3$ .

R01.3

Образец → сам · выделение полного квадрата

Выделите квадрат, найдите наименьшее значение

Образец: $x^{2} + 4 x + 7$

= x^{2} + 2 \cdot 2 x + 4 + 3

= (x + 2)^{2} + 3 \geq 3 > 0

наименьшее

3

при

x = - 2

Сам

$x^{2} - 2 x + 5$ $(x - 1)^{2} + 4$ ; 4 при $x = 1$
$x^{2} + 10 x + 30$ $(x + 5)^{2} + 5$ ; 5 при $x = - 5$
$x^{2} - 3 x + 3$ $(x - 1, 5)^{2} + 0, 75$
Докажите: $- x^{2} + 6 x - 10 < 0$ $- ((x - 3)^{2} + 1) \leq - 1$

R01.3

Углубление · сумма квадратов

Докажем: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + b c + c a$

D = a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - b c - c a

2 D = (a^{2} - 2 ab + b^{2}) + (b^{2} - 2 b c + c^{2}) + (c^{2} - 2 c a + a^{2})

2 D = (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} \geq 0

Приём

умножили разность на 2, чтобы каждое $a^{2}$ «досталось» двум квадратам

Равенство

все три квадрата равны 0: $a = b = c$

R01.3

Углубление · разложение на множители

Докажем: $a^{3} + b^{3} \geq a^{2} b + a b^{2}$ при $a \geq 0, b \geq 0$

a^{3} + b^{3} - a^{2} b - a b^{2}

= a^{2} (a - b) - b^{2} (a - b)

= (a - b) (a^{2} - b^{2}) = (a - b)^{2} (a + b)

(a - b)^{2} (a + b) \geq 0

R01.3

Образец → сам · знак по множителям

Какой знак у выражения? Ответ по клику

(a - 3)^{2} (a + 5)

при

a \geq - 5

\geq 0

- (b + 1)^{2}

при любом

b

\leq 0

\frac{( x - y ) ^{2}}{x ^{2} + 1}

при любых

x, y

\geq 0

a (a - 1)^{2}

при

a \leq 0

\leq 0

Сам: докажите

x^{3} + 1 \geq x^{2} + x

при

x \geq - 1

.

x^{3} - x^{2} - x + 1 = (x - 1)^{2} (x + 1) \geq 0

R01.3

Задания с самопроверкой 1

Докажите — ответы откроются по клику

база $(a + 2)^{2} \geq 4 (a + 1)$ разность $= a^{2} \geq 0$
база $a (a - 4) \geq - 4$ $(a - 2)^{2} \geq 0$
базаСравните $(a - 3) (a + 3)$ и $a^{2}$ . разность $- 9$ : меньше

повыш. $a^{2} + b^{2} + 5 \geq 2 (2 a - b)$ $(a - 2)^{2} + (b + 1)^{2} \geq 0$
повыш. $2 (a^{2} + b^{2}) \geq (a + b)^{2}$ $(a - b)^{2} \geq 0$
повыш.Наименьшее значение $x^{2} - 2 x + 3$ ? 2 при $x = 1$

R01.3

Типичные ошибки

«Пришли к верному» — ещё не доказали

✗ «Докажем», что $- 3 > 2$

- 3 > 2 \Rightarrow 9 > 4

Получили верное неравенство — но исходное ложно. Возведение в квадрат — не равносильный переход.

✓ Как правильно

от разности $A - B$ — к выражению с известным знаком;
умножать и делить только на число известного знака;
не заменять доказательство примерами.

a > b, c < 0 \Rightarrow a c < b c

следует (\Rightarrow) \neq = равносильно (⟺)

R01.3

Найди ошибку

Где ученик ошибся?

1) $a^{2} \geq a$ при любом $a$ : проверил $a = 2, 3, - 1$	ошибка: примеры — не доказательство; $a = 0, 5$ : $0, 25 < 0, 5$
2) $(a - 2)^{2} > 0$ при любом $a$	ошибка: при $a = 2$ равно 0; верно $\geq 0$
3) $a + \frac{1}{a} \geq 2$ при $a \neq = 0$ : умножим на $a$ …	ошибка: нужно $a > 0$ ; при $a = - 1$ : $- 2 < 2$
4) $x^{2} + 2 x + 3 = (x + 1)^{2} + 3$	ошибка: $(x + 1)^{2} + 2$
5) $x^{2} - 4 x + 5 = (x - 2)^{2} + 1 > 0$	верно: $(x - 2)^{2} + 1 \geq 1$

Дополнительно

Дополнительно · заглянем вперёд

Среднее арифметическое и среднее геометрическое

\frac{a + b}{2} \geq ab

при $a \geq 0, b \geq 0$ : перпендикуляр к диаметру не длиннее радиуса.

Алгебраически — это пример 1 для чисел $a$ и $b$ .

R01.3

Закрепление · задания с самопроверкой 2

Докажите — ответы откроются по клику

база $(a + 3)^{2} > a (a + 6)$ разность $9$
база $a^{2} + 4 \geq 4 a$ $(a - 2)^{2}$
повыш. $a^{2} + b^{2} + 2 \geq 2 (a + b)$ $(a - 1)^{2} + (b - 1)^{2}$
повыш. $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ при $ab > 0$ $\frac{( a - b ) ^{2}}{ab}$

практикаПериметр прямоугольника 20 см. Докажите, что его площадь не больше 25 $см^{2}$ . $25 - S = (x - 5)^{2}$
ОГЭ, линия 13Укажите неравенство, решением которого является любое число:
1) $x^{2} - 6 x + 10 < 0$ 2) $x^{2} - 6 x - 10 > 0$
3) $x^{2} - 6 x + 10 > 0$ 4) $x^{2} + 6 x - 10 < 0$ 3

4 мин · практика
Ответы: 1) разность = a² + 6a + 9 − a² − 6a = 9 > 0. 2) a² − 4a + 4 = (a − 2)² ≥ 0, равенство при a = 2. 3) a² − 2a + 1 + b² − 2b + 1 = (a − 1)² + (b − 1)² ≥ 0, равенство при a = b = 1. 4) разность = (a² + b² − 2ab)/(ab) = (a − b)²/(ab) ≥ 0, так как ab > 0; равенство при a = b.
5) Стороны x и 10 − x (0 < x < 10): 25 − x(10 − x) = x² − 10x + 25 = (x − 5)² ≥ 0; наибольшая площадь 25 см² у квадрата 5 × 5.
6) Ответ: 3. Проверка: x² − 6x + 10 = (x − 3)² + 1 > 0 при всех x (вариант 1 решений не имеет); вариант 2 неверен при x = 0 (−10 > 0 — ложь); вариант 4 неверен при x = 10 (150 < 0 — ложь).
При нехватке времени задание 4 перенести в ДЗ.

R01.3

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта

Вариант 1

Докажите $a^{2} + 16 \geq 8 a$ . $(a - 4)^{2} \geq 0$
Докажите $(a - 1) (a + 3) < (a + 1)^{2}$ . разность $- 4$
Наименьшее значение $x^{2} - 8 x + 20$ . 4 при $x = 4$
Докажите $a + \frac{9}{a} \geq 6$ при $a > 0$ . $\frac{( a - 3 ) ^{2}}{a} \geq 0$

Вариант 2

Докажите $b^{2} + 25 \geq 10 b$ . $(b - 5)^{2} \geq 0$
Докажите $(a - 2) (a + 4) < (a + 1)^{2}$ . разность $- 9$
Наименьшее значение $x^{2} + 6 x + 14$ . 5 при $x = - 3$
Докажите $4 a + \frac{1}{a} \geq 4$ при $a > 0$ . $\frac{( 2 a - 1 ) ^{2}}{a} \geq 0$

5 мин · практика (4 мин работа, 1 мин проверка по клику)
В-1: 1) a² − 8a + 16 = (a − 4)² ≥ 0, равенство при a = 4. 2) (a² + 2a − 3) − (a² + 2a + 1) = −4 < 0. 3) (x − 4)² + 4, наименьшее 4 при x = 4. 4) (a² − 6a + 9)/a = (a − 3)²/a ≥ 0 при a > 0, равенство при a = 3.
В-2: 1) b² − 10b + 25 = (b − 5)² ≥ 0, равенство при b = 5. 2) (a² + 2a − 8) − (a² + 2a + 1) = −9 < 0. 3) (x + 3)² + 5, наименьшее 5 при x = −3. 4) (4a² − 4a + 1)/a = (2a − 1)²/a ≥ 0 при a > 0, равенство при a = 1/2.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3». Можно провести взаимопроверку соседей.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Четыре шага метода разности?
Почему примеры — не доказательство?
Как найти, когда достигается равенство?

Домашнее задание

$a^{2} + b^{2} + c^{2} + 3 \geq 2 (a + b + c)$
$(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4$ при $a, b > 0$
$x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 5 \geq 0$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-002 · Доказательство неравенств

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf, с. 35–43
Строка, урок	R01 «Уравнения и неравенства: неравенства», 20 ч · урок 2/20 · тип Н
Единицы → слайды	R01.3 «Доказательство неравенств» → 2, 5–23 · опора R01.1–R01.2 → 3, 4
Хронометраж	теория 14 мин (сл. 2, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 23) · практика 31 мин (сл. 3, 4, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 21, 22) · 69 % практики
Результаты	ПР-24 (применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки) → 2, 4–19, 21–23 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	неравенство с переменной — ALG8U-003; строгие и нестрогие — ALG8U-004; сложение и умножение неравенств — ALG8U-005; оценивание выражений — ALG8U-006; неравенство Коши со слайда 20 — анонс (корни — строка R02)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Доказательствонеравенств

Сегодня вы научитесь

Доказывать неравенства

Оценивать знак выражения

Применять свойства неравенств

Рассуждать строго

Считаем в уме — ответ по клику

Сравнить — значит узнать знак разности

Верно ли a2+b2≥2ab при любых a и b?

Метод разности: доказать A≥B

Докажем: a2+b2≥2ab

Докажите методом разности

Образец: (a+3)2≥12a

Сам

Докажем: (a+b)2≥4ab

Докажем: a+a1​≥2 при a>0

Докажите: следите за знаком знаменателя

Образец: a+a16​≥8, a>0

Сам

Докажем: x2−6x+10>0 при любом x

Выделите квадрат, найдите наименьшее значение

Образец: x2+4x+7

Сам

Докажем: a2+b2+c2≥ab+bc+ca

Приём

Равенство

Докажем: a3+b3≥a2b+ab2 при a≥0, b≥0

Какой знак у выражения? Ответ по клику

Докажите — ответы откроются по клику

«Пришли к верному» — ещё не доказали

✗ «Докажем», что −3>2

✓ Как правильно

Где ученик ошибся?

Среднее арифметическое и среднее геометрическое

Докажите — ответы откроются по клику

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-002 · Доказательство неравенств

Доказательство
неравенств

Верно ли $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$ при любых $a$ и $b$ ?

Метод разности: доказать $A \geq B$

Докажем: $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$

Образец: $(a + 3)^{2} \geq 12 a$

Докажем: $(a + b)^{2} \geq 4 ab$

Докажем: $a + \frac{1}{a} \geq 2$ при $a > 0$

Образец: $a + \frac{16}{a} \geq 8$ , $a > 0$

Докажем: $x^{2} - 6 x + 10 > 0$ при любом $x$

Образец: $x^{2} + 4 x + 7$

Докажем: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + b c + c a$

Докажем: $a^{3} + b^{3} \geq a^{2} b + a b^{2}$ при $a \geq 0, b \geq 0$

✗ «Докажем», что $- 3 > 2$