Неравенства · урок 1 из 20

Числовые неравенства
и их свойства

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · строка R01 · ALG8U-001

1 мин · теория (орг. момент)
Паспорт: R01 «Уравнения и неравенства: неравенства» (20 ч), урок 1/20, единицы R01.1 «Числовые неравенства», R01.2 «Свойства числовых неравенств». Тип урока — Н.
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Хронометраж: орг. момент и цели 2 мин (сл. 1–2) · разминка и актуализация 5 (сл. 3–4) · новый материал вперемежку с «образец → сам» 20 (сл. 5–15: теория 12 мин, практика 6) · найди ошибку, образец, доказательство 6 (сл. 16–19) · закрепление, самопроверка, ОГЭ 11 (сл. 20–23) · самостоятельная работа 4 (сл. 24) · итог и ДЗ 1 (сл. 25).
Углублённый уровень: каждое свойство не просто формулируем, а доказываем через определение (знак разности). Это готовит урок ALG8U-002 «Доказательство неравенств».

R01.1–R01.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Сравнивать числа

по знаку разности $a - b$ (ПР-24)

Формулировать и доказывать

свойства числовых неравенств (ПР-24)

Иллюстрировать

неравенства и их свойства на координатной прямой (ПР-4)

Применять свойства

для сравнения выражений без вычислений (ПР-24)

1 мин · теория
ПР-24 (дословно ФРП): «Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы…» — сегодня часть «сравнение».
ПР-4: «Использовать начальные представления о множестве действительных чисел для сравнения… изображать действительные числа точками на координатной прямой».
Деятельность ФРП по строке: «Формулировать свойства числовых неравенств, иллюстрировать их на координатной прямой, доказывать алгебраически».

разминка

Разминка · устно

Поставьте знак $>$ , $<$ или $=$

0, 3 □ \frac{1}{3}

<

- 2, 5 □ - 2, 05

<

\frac{1}{7} □ \frac{1}{8}

>

- \frac{1}{7} □ - \frac{1}{8}

<

7 - 9 □ 0

<

- 3 - (- 5) □ 0

>

∣ - 4∣ □ 3

>

\frac{2}{3} □ 0, 67

<

повторение: сравнение чисел

Вспомним

Какое число больше?

$\frac{5}{8}$ и $0, 6$
$- \frac{3}{4}$ и $- 0, 7$
$- 1 \frac{3}{4}$ и $- \frac{1}{4}$
Как сравнить $\frac{13}{17}$ и $\frac{14}{19}$ быстро?

R01.1

Определение

Число $a$ больше $b$ , если разность $a - b$ положительна

R01.1

Знак разности решает всё

Сравнить $a$ и $b$ — значит найти знак $a - b$

a - b > 0

a > b

a - b = 0

a = b

a - b < 0

a < b

R01.1

Образец

Сравним $\frac{13}{17}$ и $\frac{14}{19}$ через разность

\frac{13}{17} - \frac{14}{19} = \frac{13 \cdot 19 - 14 \cdot 17}{17 \cdot 19}

= \frac{247 - 238}{323} = \frac{9}{323} > 0

\frac{13}{17} > \frac{14}{19}

Короче

Знаменатели положительны — знак разности задаёт числитель:

$13 \cdot 19 \lor 14 \cdot 17$

Не нужно доводить вычисление до конца — достаточно знака.

R01.1

Образец → сам

Сравните через знак разности

Алгоритм

1) составить разность $a - b$ ;

2) определить её знак;

3) записать вывод.

\frac{a}{b} \lor \frac{c}{d} \to a d \lor b c

Сам

$\frac{5}{6}$ и $\frac{6}{7}$ $\frac{5}{6} < \frac{6}{7}$
$\frac{8}{11}$ и $\frac{5}{7}$ $\frac{8}{11} > \frac{5}{7}$
$\frac{17}{23}$ и $\frac{19}{25}$ $\frac{17}{23} < \frac{19}{25}$
$a + 3$ и $a - 2$ $a + 3 > a - 2$

R01.2

Свойства 1 и 2

Перестановка частей и транзитивность

a > b \Rightarrow b < a

a > b, b > c \Rightarrow a > c

Доказательство 2

$a - c = > 0 (a - b) + > 0 (b - c) > 0$

R01.2

Свойство 3

Прибавим одно и то же число к обеим частям

a > b \Rightarrow

a + c > b + c

Доказательство

$(a + c) - (b + c) = a - b > 0$

Следствие: слагаемое можно перенести в другую часть, сменив знак.

R01.2

Образец → сам

Сравните, назовите номер свойства

Образец

a < b . a - 5 \lor b - 5

свойство 3 при $c = - 5$ : знак сохраняется

a - 5 < b - 5

Сам

$x > y$ : $x + 3, 7$ и $y + 3, 7$ $>$
$m < n, n < k$ : $m$ и $k$ $m < k$
$a > b$ : $b - 1$ и $a - 1$ $b - 1 < a - 1$
$c + 4 > 10$ : $c$ и $6$ $c > 6$

R01.2

Свойство 4 · главное

Умножение на число: знак множителя решает

a > b, c > 0 \Rightarrow a c > b c

a > b, c < 0 \Rightarrow a c < b c

Доказательство

$a c - b c = > 0 (a - b) \cdot c$

знак — как у $c$

R01.2

Следствие свойства 4

Обратные числа: порядок меняется

a > b > 0 \Rightarrow \frac{1}{a} < \frac{1}{b}

Доказательство

$\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a - b}{ab} > 0$

числитель и знаменатель положительны

Условие «одного знака» обязательно:

2 > - 3

, но

\frac{1}{2} > - \frac{1}{3}

.

R01.2

Образец → сам

Умножение и обратные числа

Образец

a > b . - \frac{a}{2} \lor - \frac{b}{2}

умножаем на $- \frac{1}{2} < 0$ : знак меняется

- \frac{a}{2} < - \frac{b}{2}

Сам

$a < b$ : $7 a$ и $7 b$ $7 a < 7 b$
$a < b$ : $- 0, 3 a$ и $- 0, 3 b$ $>$
$0 < a < b$ : $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$ $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$
$a > b$ : $\frac{a}{- 4}$ и $\frac{b}{- 4}$ $<$

R01.2

Опорный конспект

Свойства числовых неравенств

№	Если	то	Почему (знак разности)
1	$a > b$	$b < a$	$b - a = - (a - b) < 0$
2	$a > b, b > c$	$a > c$	$a - c = (a - b) + (b - c) > 0$
3	$a > b$ , любое $c$	$a + c > b + c$	$(a + c) - (b + c) = a - b$
4	$a > b, c > 0$	$a c > b c$	$(a - b) c > 0$
4′	$a > b, c < 0$	$a c < b c$	$(a - b) c < 0$
5	$a > b > 0$	$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$	$\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a - b}{ab} > 0$

R01.2

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Умножили на минус

$3 > 1 \Rightarrow - 6 > - 2$

$- 6 < - 2$

при $c < 0$ знак меняется

Возвели в квадрат

$- 5 < 2 \Rightarrow 25 < 4$

$25 > 4$

возводить в квадрат по свойствам 1–5 нельзя

Обратные числа

$3 > - 2 \Rightarrow \frac{1}{3} < - \frac{1}{2}$

$\frac{1}{3} > - \frac{1}{2}$

свойство 5 — только для чисел одного знака

R01.2

Закрепление · образец

Известно: $a < b$ . Сравните $2 - 3 a$ и $2 - 3 b$

a < b

дано

- 3 a > - 3 b

\cdot (- 3)

, знак меняется

2 - 3 a > 2 - 3 b

+ 2

, знак сохраняется

2 - 3 a > 2 - 3 b

R01.2

Сам по образцу

Известно: $a < b$ . Сравните

$5 - 2 a$ и $5 - 2 b$ $>$
$3 a + 1$ и $3 b + 1$ $<$

$\frac{1 - a}{4}$ и $\frac{1 - b}{4}$ $>$
$- \frac{a}{3} - 7$ и $- \frac{b}{3} - 7$ $>$

R01.1–R01.2

Углублённо · докажем

Если $a < b$ , то $a < \frac{a + b}{2} < b$

\frac{a + b}{2} - a = \frac{b - a}{2} > 0

b - \frac{a + b}{2} = \frac{b - a}{2} > 0

Вывод: между двумя любыми различными числами есть третье.

R01.1–R01.2

Закрепление

Решите

базаСравните через разность: $\frac{7}{9}$ и $\frac{9}{11}$ .
база $a < b$ . Сравните: $a - 4$ и $b - 4$ ; $- 5 a$ и $- 5 b$ ; $\frac{a}{3}$ и $\frac{b}{3}$ .
повыш. $a > b > 0$ . Сравните $- \frac{2}{a}$ и $- \frac{2}{b}$ .
повыш.Докажите: если $a < b$ , то $a < \frac{2 a + b}{3} < b$ .
практикаСкорость первого поезда больше скорости второго. Кто быстрее пройдёт один и тот же путь $S$ ? Обоснуйте свойством.

ОГЭ, линия 7На прямой отмечены числа $a$ и $b$ . Какое утверждение верно?

$a + b > 0$
$ab > 0$
$b - a > 0$
$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

R01.1–R01.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте ответ

база $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{7}$ $>$
база $\frac{4}{9}$ и $\frac{5}{11}$ $<$
база $x < y$ : $4 - x$ и $4 - y$ $>$

Известно: $a > b$ . Сравните

база $a - 9$ и $b - 9$ $>$
база $- 2 a$ и $- 2 b$ $<$
база $\frac{a}{5}$ и $\frac{b}{5}$ $>$

R01.1–R01.2

Задания с самопроверкой · повышенный

Сравните и обоснуйте

повыш. $a < b$ : $\frac{3 - 2 a}{5}$ и $\frac{3 - 2 b}{5}$ $>$
повыш. $0 < a < b$ : $\frac{3}{a}$ и $\frac{3}{b}$ $\frac{3}{a} > \frac{3}{b}$
повыш. $a < b < 0$ : $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$ $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$
повыш. $a > 0$ : $\frac{a}{a + 1}$ и $\frac{a + 1}{a + 2}$ $\frac{a}{a + 1} < \frac{a + 1}{a + 2}$

ОГЭ · линия 7

В формате ОГЭ

Задания как на экзамене

ОГЭ, линия 7На прямой отмечено число $a$ . Какое утверждение верно?

$a - 3 > 0$
$2 - a < 0$
$- a > 2$
$a + 2 > 0$

Ответ: 3

ОГЭ, линия 7Отмечены числа $x$ и $y$ . Какое из чисел наибольшее?

$- x$
$- y$
$\frac{1}{x}$
$\frac{1}{y}$

Ответ: 3

R01.1–R01.2

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

$\frac{5}{8}$ и $\frac{7}{11}$ $<$
$a < b$ : $- 4 a$ и $- 4 b$ $>$
$a < b$ : $2 - 5 a$ и $2 - 5 b$ $>$
$0 < a < b$ : $- \frac{1}{a}$ и $- \frac{1}{b}$ $<$

Вариант 2

$\frac{7}{10}$ и $\frac{9}{13}$ $>$
$a > b$ : $- 6 a$ и $- 6 b$ $<$
$a > b$ : $1 - 3 a$ и $1 - 3 b$ $<$
$a > b > 0$ : $- \frac{2}{a}$ и $- \frac{2}{b}$ $>$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что значит « $a$ больше $b$ »?
Когда при умножении знак неравенства меняется?
Почему $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ верно не всегда?

Домашнее задание

Сравните через разность $\frac{11}{13}$ и $\frac{13}{15}$ .
$a > b$ . Сравните $1 - 2 a$ и $1 - 2 b$ .
Докажите: если $0 < a < b$ , то $\frac{a}{b} < \frac{a + 1}{b + 1}$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-001 · Числовые неравенства; свойства числовых неравенств

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf, с. 35–43
Строка, урок	R01 «Уравнения и неравенства: неравенства», 20 ч · урок 1/20 · тип Н · теория 14 мин / практика 31 мин (69 %)
Единицы → слайды	R01.1 «Числовые неравенства» → 3–8, 19–24 · R01.2 «Свойства числовых неравенств» → 9–18, 20–25
Результаты	ПР-24 (свойства числовых неравенств для сравнения) → 5–25 · ПР-4 (сравнение чисел, точки на координатной прямой) → 3–6, 9–13, 19, 20, 23
Вне урока	доказательство неравенств — ALG8U-002; неравенство с переменной — ALG8U-003; строгие и нестрогие — ALG8U-004; сложение и умножение неравенств — ALG8U-005; оценивание выражений — ALG8U-006
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Числовые неравенстваи их свойства

Сегодня вы научитесь

Сравнивать числа

Формулировать и доказывать

Иллюстрировать

Применять свойства

Поставьте знак >, < или =

Какое число больше?

Число a больше b, если разность a−b положительна

Сравнить a и b — значит найти знак a−b

Сравним 1713​ и 1914​ через разность

Короче

Сравните через знак разности

Алгоритм

Сам

Перестановка частей и транзитивность

Доказательство 2

Прибавим одно и то же число к обеим частям

Доказательство

Сравните, назовите номер свойства

Образец

Сам

Умножение на число: знак множителя решает

Доказательство

Обратные числа: порядок меняется

Доказательство

Умножение и обратные числа

Образец

Сам

Свойства числовых неравенств

Найдите ошибку

Умножили на минус

Возвели в квадрат

Обратные числа

Известно: a<b. Сравните 2−3a и 2−3b

Известно: a<b. Сравните

Если a<b, то a<2a+b​<b

Решите

Решите и проверьте ответ

Сравните и обоснуйте

Задания как на экзамене

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-001 · Числовые неравенства; свойства числовых неравенств

Числовые неравенства
и их свойства

Поставьте знак $>$ , $<$ или $=$

Число $a$ больше $b$ , если разность $a - b$ положительна

Сравнить $a$ и $b$ — значит найти знак $a - b$

Сравним $\frac{13}{17}$ и $\frac{14}{19}$ через разность

Известно: $a < b$ . Сравните $2 - 3 a$ и $2 - 3 b$

Известно: $a < b$ . Сравните

Если $a < b$ , то $a < \frac{a + b}{2} < b$