Повторение и обобщение · урок 6 из 6

Итоговое повторение: задача → уравнение → график

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R10 · ALG8-102

1 мин · теория (организационный момент)
Паспорт: R10 «Повторение и обобщение» (6 ч), урок 6/6 — последний урок курса, единица R10.1. Тип урока — О (обобщение и систематизация). Фокус: текстовые задачи (модель → уравнение или система → ответ) и графические методы — то, что связывает все блоки курса.
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Хронометраж. Теория: титул 1 (сл. 1) · цели 1 (сл. 2) · карта курса 2 (сл. 3) · алгоритм 2 и типы задач 1 (сл. 5–6) · образцы: движение 3, система 2, графический способ 2 (сл. 7, 9, 11). Практика: разминка 2 (сл. 4) · «образец → сам» 3 + 3 + 2 (сл. 8, 10, 12) · исследование 2 (сл. 13) · график процесса 2 (сл. 14) · найди ошибку 1 (сл. 15) · самопроверка 3 + 3 (сл. 16–17) · самостоятельная работа 4 (сл. 18) · ОГЭ 4 (сл. 19) · итог курса 1 (сл. 20) · ДЗ 1 (сл. 21).
Тип урока О: теоретические слайды — короткие опоры (алгоритм, таблица, три образца), после каждого образца ученики сразу решают сами.
На рисунке титула — система x + y = 16, xy = 60 (прямая и гипербола), она разбирается на сл. 9.

R10.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь уверенно

Составлять модель задачи

от условия — к уравнению или системе, ответ — по смыслу задачи (ПР-10)

Решать уравнения и системы

квадратные, дробные, системы двух уравнений (ПР-8)

Исследовать графически

есть ли решения и сколько их (ПР-9)

Читать графики

функций и реальных процессов (ПР-12)

1 мин · теория
ПР-8 / REQ-3.1: «решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух уравнений с двумя переменными».
ПР-9 / REQ-3.2: «проводить простейшие исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений». ПР-10 / REQ-3.3: «переходить от словесной формулировки задачи к её алгебраической модели… интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат».
ПР-12 / REQ-4.1: «…определять значение функции по значению аргумента, определять свойства функции по её графику». Виды деятельности R10: «решать задачи из реальной жизни… сравнивать, выбирать способы решения задачи».

R10.1

Карта курса · 8 класс

Четыре блока — одна задача

R10.1

Разминка · по одному заданию из каждого блока

Устно

корни

81 - 16

5

степени

2^{- 3} \cdot 2^{5}

4

трёхчлен

x^{2} - 5 x + 6

(x - 2) (x - 3)

уравнение

x^{2} - 9 = 0

x = \pm 3

неравенство

2 x - 6 > 0

x > 3

функция

y = \frac{12}{x}, x = 4

y = 3

R10.1 · повторение R05, R06

Схема-алгоритм

Текстовая задача за четыре шага

R10.1 · EL-3.5

Сводная таблица

Одна формула — один тип задач

Тип задачи	Формула	Что выражаем
Движение	$s = v \cdot t$	$t = \frac{s}{v}$ , $v = \frac{s}{t}$
Движение по реке	$v_{по} = v + u, v_{против} = v - u$	$u$ — скорость течения
Работа	$A = p \cdot t$	$t = \frac{A}{p}$ , $p$ — производительность
Площадь, периметр	$S = ab, P = 2 (a + b)$	стороны $a$ , $b$

Если в условии «на … больше» или «на … раньше» — это разность, она и даёт уравнение.

R10.1 · повторение R05

Образец 1 · дробное уравнение

Задача на движение

Автобус и автомобиль выехали из A в B (120 км). Скорость автомобиля на 20 км/ч больше, он приехал на 1 ч раньше. Найдите скорость автобуса.

	v, км/ч	t, ч
автобус	$x$	$\frac{120}{x}$
автомобиль	$x + 20$	$\frac{120}{x + 20}$

1

\frac{120}{x} - \frac{120}{x + 20} = 1

2

x^{2} + 20 x - 2400 = 0

3

D = 10000, x_{1} = 40, x_{2} = - 60

4

$x > 0$ → автобус 40 км/ч

R10.1 · повторение R05

Образец → сам · дробное уравнение

Решите по образцу 1: таблица → уравнение → ответ

1

Из A в B (60 км) выехали два велосипедиста. Скорость первого на 3 км/ч больше, и он приехал на 1 ч раньше. Найдите скорость второго.

$\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 3} = 1$ 12 км/ч

2

Первый рабочий делает в час на 4 детали больше второго и 96 деталей делает на 4 ч быстрее. Сколько деталей в час делает второй?

$\frac{96}{x} - \frac{96}{x + 4} = 4$ 8 деталей

3

Поезд прошёл 300 км. Если бы его скорость была на 10 км/ч больше, он прошёл бы этот путь на 1 ч быстрее. Найдите скорость поезда.

$\frac{300}{x} - \frac{300}{x + 10} = 1$ 50 км/ч

3 мин · практика
Ученики решают в тетрадях по образцу сл. 7 (таблица v, t → разность времён). Учитель открывает уравнение, затем ответ.
1) 60/x − 60/(x + 3) = 1 → 60(x + 3) − 60x = x(x + 3) → x² + 3x − 180 = 0, D = 9 + 720 = 729 = 27², x = (−3 + 27)/2 = 12 (−15 не подходит). Проверка: 60 : 12 = 5 ч, 60 : 15 = 4 ч ✓. Ответ: 12 км/ч.
2) 96/x − 96/(x + 4) = 4 → 384 = 4x(x + 4) → x² + 4x − 96 = 0, D = 16 + 384 = 400, x = (−4 + 20)/2 = 8 (−12 не подходит). Проверка: 96 : 8 = 12 ч, 96 : 12 = 8 ч ✓. Ответ: 8 деталей в час.
3) 300/x − 300/(x + 10) = 1 → 3000 = x² + 10x → x² + 10x − 3000 = 0, D = 100 + 12 000 = 12 100 = 110², x = (−10 + 110)/2 = 50 (−60 не подходит). Проверка: 6 ч и 5 ч ✓. Ответ: 50 км/ч.

R10.1 · повторение R06, R09

Образец 2 · система уравнений и её график

Площадь прямоугольника 60 см², периметр 32 см. Найдите стороны

1

{x + y = 16 x y = 60

2

y = 16 - x, x (16 - x) = 60

3

x^{2} - 16 x + 60 = 0, x = 6; 10

4

Стороны 6 см и 10 см — две точки пересечения

R10.1 · повторение R06

Образец → сам · система уравнений

Решите по образцу 2: составьте систему

1

базаПериметр прямоугольника 30 см, площадь 56 см². Найдите стороны.

${x + y = 15 x y = 56$ 7 см и 8 см

2

базаСумма двух чисел 17, их произведение 72. Найдите эти числа.

${x + y = 17 x y = 72$ 8 и 9

3

базаРазность двух чисел 4, их произведение 96. Найдите эти числа.

${x - y = 4 x y = 96$ 12 и 8; −8 и −12

4

повыш.Периметр прямоугольника 14 см, диагональ 5 см. Найдите стороны.

${x + y = 7 x^{2} + y^{2} = 25$ 3 см и 4 см

3 мин · практика
По образцу сл. 9: выразить y из линейного уравнения и подставить во второе. Учитель открывает систему, затем ответ.
1) y = 15 − x, x(15 − x) = 56 → x² − 15x + 56 = 0, D = 225 − 224 = 1, x = 8 или 7 → стороны 7 см и 8 см (7 · 8 = 56, 2 · 15 = 30 ✓).
2) x² − 17x + 72 = 0, D = 289 − 288 = 1, x = 9 или 8 → числа 8 и 9 (8 + 9 = 17, 8 · 9 = 72 ✓).
3) x = y + 4, y(y + 4) = 96 → y² + 4y − 96 = 0, D = 16 + 384 = 400, y = 8 или −12 → 12 и 8 либо −8 и −12 (12 − 8 = 4, 12 · 8 = 96; −8 − (−12) = 4, (−8)(−12) = 96 ✓). Числа могут быть отрицательными — оба ответа верны.
4) (x + y)² − 2xy = x² + y², 49 − 2xy = 25 → xy = 12; t² − 7t + 12 = 0 → 3 и 4 (3² + 4² = 25 ✓, P = 2 · 7 = 14 ✓).

R10.1 · EL-4.7

Образец 3 · графический способ

Решите графически: $x^{2} = x + 2$

1

Строим $y = x^{2}$ и $y = x + 2$

2

Абсциссы точек пересечения — корни

3

x_{1} = - 1, x_{2} = 2

✓

x^{2} - x - 2 = 0 \Rightarrow - 1; 2

2 мин · теория (демонстрационный пример)
Левая и правая части уравнения — две функции. Где графики пересекаются, значения функций равны, значит, абсцисса точки — корень.
Точки: (−1; 1) и (2; 4). Проверка алгебраически: x² − x − 2 = 0, D = 1 + 8 = 9, x = (1 ± 3)/2: 2 и −1 ✓.
Типичная ошибка: записать в ответ ординаты (1 и 4). Корни уравнения — абсциссы x.
Графический способ даёт точный ответ, только если точки попали в узлы сетки; иначе — приближённый, и его проверяют подстановкой.

R10.1 · EL-4.7

Образец → сам · графический способ

По рисунку решите уравнения

1 $x^{2} = 4$ прямая $y = 4$ $- 2; 2$
2 $x^{2} = 2 x$ прямая $y = 2 x$ $0; 2$
3 $x^{2} = 6 - x$ прямая $y = 6 - x$ $- 3; 2$
4 $x^{2} = x - 1$ прямая $y = x - 1$ корней нет

R10.1 · ПР-9

Исследование

Сколько корней у уравнения $x^{2} = a$ ?

$a$	точек	корни
$a > 0$	2	$\pm a$
$a = 0$	1	$0$
$a < 0$	0	нет

Число корней = число точек пересечения графиков

R10.1 · EL-4.3

Функции вокруг нас

Прогулка туристов: расстояние от лагеря

Как далеко ушли туристы?
Сколько длился привал?
Скорость туда и обратно?
Через сколько часов вернулись?

R10.1

Самоконтроль

Найди ошибку: четыре ловушки задач

✗

v = - 60 км / ч

✓

скорость положительна — корень отбрасываем

✗

20 мин = 20 ч

✓

20 мин = \frac{1}{3} ч

✗

v_{против} = v + u

✓

v_{против} = v - u

✗

нашли сторону, а спрашивали периметр

✓

перечитать вопрос перед ответом

R10.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте себя

Решите: $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ $2; 5$
Решите: $x^{2} = 6 x$ $0; 6$
Решите: $\frac{x + 3}{x - 1} = 2$ $5$
Решите: ${x + y = 5 x - y = 1$ $(3; 2)$

$y = \frac{8}{x}$ при $x = - 2$ $- 4$
150 км со скоростью $x$ км/ч — время? $\frac{150}{x}$ ч
Лодка 12 км/ч, течение 2 км/ч. Скорость против течения? 10 км/ч
45 мин — сколько часов? $\frac{3}{4}$ ч

R10.1

Задания с самопроверкой · база и повышенный уровень

Решите

1базаОдно число на 3 больше другого, их произведение 70. Найдите эти числа 7 и 10; −10 и −7

2базаСумма двух чисел 20, произведение 96. Найдите эти числа 8 и 12

3базаСколько корней у уравнения

x^{2} = - 5

? Объясните по графику ни одного

4повыш.Решите графически

\frac{6}{x} = x - 1

- 2; 3

5повыш.Катер прошёл 40 км по течению и 6 км против за 3 ч. Течение 2 км/ч. Собственная скорость катера? 14 км/ч

6практикаУчасток 300 м², длина на 5 м больше ширины. Сколько метров забора нужно? 70 м

3 мин · практика
В парах: каждый решает 1–4, пара сверяет; учитель открывает ответы по клику. Ответы: 1) x(x + 3) = 70, x² + 3x − 70 = 0, D = 289, x = 7 или −10 → 7 и 10 либо −10 и −7. 2) t² − 20t + 96 = 0, D = 16 → 8 и 12. 3) Ни одного: парабола y = x² не опускается ниже оси x, прямая y = −5 её не пересекает.
4) Гипербола y = 6/x и прямая y = x − 1 пересекаются в (3; 2) и (−2; −3) → x = 3, x = −2 (проверка: x² − x − 6 = 0). 5) 40/(x + 2) + 6/(x − 2) = 3 → 3x² − 46x + 56 = 0, D = 1444, x = 14 или 4/3; 4/3 < 2 — катер не смог бы идти против течения → 14 км/ч (40 : 16 + 6 : 12 = 2,5 + 0,5 = 3 ✓).
6) x(x + 5) = 300, x² + 5x − 300 = 0, D = 1225, x = 15 → 15 м и 20 м, забор 2(15 + 20) = 70 м. Ловушка: ответ 15 — это ширина, а не забор. При нехватке времени 5 и 6 — в ДЗ (ответы открыть на следующем уроке).

R10.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$x^{2} + 2 x - 15 = 0$ $- 5; 3$
${x + y = 9 x y = 20$ $(4; 5), (5; 4)$
$\frac{12}{x} = x + 1$ $- 4; 3$
Путь 40 км. Будь скорость на 2 км/ч больше, на путь ушло бы на 1 ч меньше. Найдите скорость. 8 км/ч

Вариант 2

$x^{2} - 4 x - 21 = 0$ $- 3; 7$
${x + y = 11 x y = 24$ $(3; 8), (8; 3)$
$\frac{10}{x} = x - 3$ $- 2; 5$
Путь 36 км. Будь скорость на 3 км/ч больше, на путь ушло бы на 1 ч меньше. Найдите скорость. 9 км/ч

4 мин · практика
Вариант 1: 1) D = 4 + 60 = 64, x = (−2 ± 8)/2: 3 и −5. 2) t² − 9t + 20 = 0, D = 1 → 4 и 5: (4; 5), (5; 4). 3) x ≠ 0: 12 = x² + x → x² + x − 12 = 0, D = 49 → 3 и −4. 4) 40/x − 40/(x + 2) = 1 → x² + 2x − 80 = 0, D = 4 + 320 = 324 = 18², x = 8 (−10 не подходит); 5 ч и 4 ч ✓.
Вариант 2: 1) D = 16 + 84 = 100, x = (4 ± 10)/2: 7 и −3. 2) t² − 11t + 24 = 0, D = 25 → 3 и 8: (3; 8), (8; 3). 3) x ≠ 0: 10 = x² − 3x → x² − 3x − 10 = 0, D = 49 → 5 и −2. 4) 36/x − 36/(x + 3) = 1 → x² + 3x − 108 = 0, D = 9 + 432 = 441 = 21², x = 9 (−12 не подходит); 4 ч и 3 ч ✓.
3 мин на решение, затем обмен тетрадями и проверка по ответам (по клику). Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3».

R10.1 · ОГЭ

В формате ОГЭ · часть 2

ОГЭ, линия 21: текстовая задача

21Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч.

Подсказка 1: $x$ км/ч — скорость лодки; против течения $x - 3$ , по течению $x + 3$

Подсказка 2:

$\frac{112}{x - 3} - \frac{112}{x + 3} = 6$

Подсказка 3: приведите к квадратному уравнению, отберите корень $x > 3$

рефлексия

Итог курса 8 класса

Проверьте себя: что я умею

Числа

ab = a \cdot b

вычисляю корни и степени, записываю число в стандартном виде

Выражения

a (x - x_{1}) (x - x_{2})

раскладываю трёхчлен, сокращаю и складываю дроби

Уравнения

D = b^{2} - 4 a c

решаю уравнения, системы, неравенства и задачи

Функции

y = \frac{k}{x}, y = x^{2}

строю и читаю графики, решаю графически

умею уверенно умею с подсказкой нужно повторить

ДЗ

Домашнее задание

Потренируйтесь

Задачи

Велосипедист проехал 30 км. Если бы его скорость была на 5 км/ч больше, он затратил бы на 1 ч меньше. Найдите скорость
Решите графически $x^{2} = 2 x + 3$
Периметр прямоугольника 28 см, площадь 48 см². Найдите стороны

Тренажёр

Блоки, отмеченные жёлтым и красным
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_index.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-102 · Итоговое повторение: текстовые задачи, уравнения и системы, графический способ

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R10 «Повторение и обобщение», 6 ч · урок 6/6 · тип О (обобщение и систематизация)
Единицы → слайды	R10.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний» → 2–21 (карта курса → 3; разминка по всем блокам → 4; текстовые задачи R05, R06 → 5–10, 15–19; функции и графики R08, R09 → 9, 11–14, 16–17; итог курса → 20)
Результаты	ПР-8 / REQ-3.1 (решать уравнения и системы) → 2, 4, 7–12, 16–19 · ПР-9 / REQ-3.2 (исследование уравнений и систем, графически) → 2, 9–13, 17 · ПР-10 / REQ-3.3 (алгебраическая модель задачи, интерпретация результата) → 2, 5–10, 15–19, 21 · ПР-12 / REQ-4.1 (свойства функции по графику) → 2, 14, 16 · ПР-1–ПР-7, ПР-11, ПР-13 — разминка и самооценка → 4, 20
Элементы	EL-3.1 → 7–10, 16, 18 · EL-3.3 → 7–8, 16, 18–19 · EL-3.4 → 9–10, 16, 18 · EL-3.5 → 5–10, 16–19 · EL-4.3 → 14 · EL-4.4 → 9, 16–18 · EL-4.5 → 11–13 · EL-4.7 → 9–13, 17
ОГЭ	линия 21 (текстовая задача, часть 2) → 19; заготовки к ней → 8, 18
Время	теория 14 мин (сл. 1–3, 5–7, 9, 11) · практика 31 мин, 69 % (сл. 4, 8, 10, 12–21)
Вне урока	числа и вычисления — ALG8-097; выражения и дроби — ALG8-098; остальные блоки по отдельности — ALG8-099–101; задачи на проценты и смеси — не выделены в R10 8 кл.
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Итоговое повторение: задача → уравнение → график

Сегодня вы повторите и научитесь уверенно

Составлять модель задачи

Решать уравнения и системы

Исследовать графически

Читать графики

Четыре блока — одна задача

Устно

Текстовая задача за четыре шага

Одна формула — один тип задач

Задача на движение

Решите по образцу 1: таблица → уравнение → ответ

Площадь прямоугольника 60 см², периметр 32 см. Найдите стороны

Решите по образцу 2: составьте систему

Решите графически: x2=x+2

По рисунку решите уравнения

Сколько корней у уравнения x2=a?

Прогулка туристов: расстояние от лагеря

Найди ошибку: четыре ловушки задач

Решите и проверьте себя

Решите

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

ОГЭ, линия 21: текстовая задача

Проверьте себя: что я умею

Числа

Выражения

Уравнения

Функции

Потренируйтесь

Задачи

Тренажёр

ALG8-102 · Итоговое повторение: текстовые задачи, уравнения и системы, графический способ

Решите графически: $x^{2} = x + 2$

Сколько корней у уравнения $x^{2} = a$ ?