Повторение и обобщение · урок 5 из 6 · обобщение

Неравенства и текстовые задачи

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R10 · ALG8-101

1 мин · теория (организационный момент)
Паспорт: R10 «Повторение и обобщение» (6 ч), урок 5/6, единица R10.1. Тип урока — О (обобщение). Фокус урока: неравенства и их системы (R07) + текстовые задачи, сводящиеся к уравнениям, системам и неравенствам.
Хронометраж (45 мин): Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %). Теория — сл. 1–3, 5–6, 8, 10–11, 14–17 (вся теория сохранена полностью, разбирается в темпе обобщения); практика — сл. 4, 7, 9, 12–13, 18–23.
По блокам: цели, карта, разминка 5 мин (сл. 1–4) · свойства и промежутки + «образец → сам» 4 (сл. 5–7) · линейные неравенства 5 (сл. 8–9) · системы 5 (сл. 10–12) · найди ошибку 2 (сл. 13) · текстовые задачи: алгоритм, три разбора, «составь модель» 9 (сл. 14–18) · ОГЭ 2 (сл. 19) · самопроверка и закрепление 8 (сл. 20–21) · самостоятельная работа 4 (сл. 22) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 23).
Если уроки 1–4 строки R10 уже повторяли уравнения и системы — сл. 15–16 разобрать быстрее, упор на модель задачи.

R10.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Решать неравенства

линейные неравенства и их системы, изображать решения на координатной прямой (ПР-11, REQ-3.4)

Составлять модель задачи

уравнение, систему или неравенство по условию и толковать ответ (ПР-10, REQ-3.3)

Решать уравнения

рациональные, сводящиеся к квадратным, и системы двух уравнений (ПР-8, REQ-3.1)

Проверять себя

выбирать способ решения, делать самопроверку результата (вид деятельности ФРП)

1 мин · теория
ПР-11 (дословно ФРП): «применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств».
ПР-10: «переходить от словесной формулировки задачи к её алгебраической модели с помощью составления уравнения или системы уравнений, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат». ПР-8: «решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух уравнений с двумя переменными».
Вид деятельности строки R10: «осуществлять самоконтроль выполняемых действий и самопроверку результата… решать текстовые задачи, сравнивать, выбирать способы решения задачи».

R10.1

Карта урока

Две линии повторения — и где они встречаются

повторение · R07

Разминка · устно

Отвечаем в темпе — ответ по клику

1) $- 12 : (- 4)$

$3$

2) Верно ли:
$- 5 > - 2$ ?

нет

3) $3 x = - 12$ .
$x = ?$

$- 4$

4) $a < b$ . Сравните $- a$ и $- b$

$- a > - b$

5) Входит ли $0$ в $(0; 5]$ ?

нет

6) Наименьшее целое в $[- 2, 5; 4)$

$- 2$

7) 3 ручки — 60 ₽.
Цена одной?

20 ₽

8) Катер 15 км/ч, течение 3 км/ч. Против течения?

12 км/ч

R10.1 · повторение R07

Вспомним · свойства числовых неравенств

Когда знак неравенства меняется?

a < b \Rightarrow a + c < b + c

a < b, c > 0 \Rightarrow a c < b c

a < b, c < 0 \Rightarrow a c > b c

Верно ли: если $a < b$ , то $- 3 a < - 3 b$ ?

R10.1 · повторение R07

Сводная таблица

Неравенство → рисунок → промежуток

Неравенство	На координатной прямой	Промежуток
$x > a$		$(a; + \infty)$
$x \geq a$		$[a; + \infty)$
$x < a$		$(- \infty; a)$
$a < x \leq b$		$(a; b]$

Пустая точка — строгое

<, >

,
скобка

()

Закрашенная — нестрогое

\leq, \geq

,
скобка

[]

У

\infty

скобка всегда круглая

R10.1 · повторение R07

Образец → сам · числовые промежутки

Запишите промежуток — ответы по клику

Образец

- 1 \leq x < 4

x \in [- 1; 4)

$x < - 2$ $(- \infty; - 2)$
$x \geq 0, 5$ $[0, 5; + \infty)$
$3 < x \leq 8$ $(3; 8]$
$- 4 \leq x \leq - 1$ $[- 4; - 1]$
Неравенством: $(- 3; 2]$ $- 3 < x \leq 2$

R10.1 · R07

Алгоритм · линейное неравенство

Решаем по шагам, как уравнение

5 - 2 (x + 1) \geq x - 6

5 - 2 x - 2 \geq x - 6

раскрыли скобки

- 2 x - x \geq - 6 - 3

перенесли со сменой знака

- 3 x \geq - 9 : (- 3)

делим на отрицательное

x \leq 3

знак сменился!

x \in (- \infty; 3]

R10.1 · R07

Сам · линейные неравенства

Решите по образцу — ответы по клику

база $3 x - 5 < 7$ $(- \infty; 4)$
база $4 - x \geq 6$ $(- \infty; - 2]$
база $2 (x - 1) > 5 x + 4$ $(- \infty; - 2)$

повыш. $\frac{x + 1}{2} \leq x - 3$ $[7; + \infty)$
повыш.Наименьшее целое решение $5 x + 3 > 2 x - 9$ $- 3$

Делим на отрицательное — знак меняем!

R10.1 · R07

Система неравенств

Решение системы — общая часть решений

{2 x - 1 > 3 3 x + 2 \leq 17

{x > 2 x \leq 5

x \in (2; 5]

Целые решения: 3, 4, 5

R10.1 · R07

Сравниваем случаи

Три системы — три разных ответа

{x > 4 x < 1

общей части нет:
решений нет

{x \geq 2 x \geq 5

«больше большего»:
$[5; + \infty)$

{x < - 1 x < 3

«меньше меньшего»:
$(- \infty; - 1)$

R10.1 · R07

Сам · системы неравенств

Решите системы — ответы по клику

1)

{x - 3 > 0 x < 7

(3; 7)

2)

{2 x \geq - 4 x - 1 \leq 3

[- 2; 4]

3)

{x + 2 < 0 3 x > - 3

решений нет

4)

{5 - x > 2 2 x + 1 \geq - 3

Сколько целых
решений?

5

R10.1 · самоконтроль

Самоконтроль

Найдите ошибку

1. Деление

- 4 x < 12

x < - 3

✓ $x > - 3$ : делили на $- 4$

2. Скобка

x \geq - 2

(- 2; + \infty)

✓ $[- 2; + \infty)$ : $- 2$ входит

3. Система

{x > 1 x < 6

x > 1

✓ $(1; 6)$ : общая часть

R10.1 · ПР-10

Текстовая задача · алгоритм

От слов — к алгебраической модели

R10.1 · ПР-10, ПР-8

Задача на движение → рациональное уравнение

Лодка: 24 км по течению и обратно за 5 ч

	$v$ , км/ч	$s$ , км	$t$ , ч
по течению	$v + 2$	$24$	$\frac{24}{v + 2}$
против	$v - 2$	$24$	$\frac{24}{v - 2}$

\frac{24}{v + 2} + \frac{24}{v - 2} = 5

5 v^{2} - 48 v - 20 = 0

D = 2304 + 400 = 5 2^{2}

v_{1} = 10, v_{2} = - 0, 4

Ответ: 10 км/ч ( $v > 2$ по смыслу)

R10.1 · ПР-10, ПР-8

Задача → система двух уравнений

2 тетради и 3 ручки — 130 ₽, 3 тетради и 2 ручки — 145 ₽

{2 t + 3 r = 130 3 t + 2 r = 145

{t + r = 55 t - r = 15

t = 35, r = 20

Проверка: $70 + 60 = 130$ ✓

R10.1 · ПР-11, ПР-10

Задача → неравенство

Такси: на сколько километров хватит 600 ₽?

посадка 150 ₽ + 30 ₽ за каждый километр

150 + 30 x \leq 600

30 x \leq 450

x \leq 15

Не более 15 км
по смыслу $x \geq 0$ : $x \in [0; 15]$

R10.1 · ПР-10, ПР-8, ПР-11

Сам · текстовые задачи

Составьте модель и решите

1. Бассейн из жизни

Абонемент: взнос 300 ₽ и 150 ₽ за каждое посещение. Сколько посещений можно оплатить на 1500 ₽?

300 + 150 x \leq 1500

не более 8

2. Числа база

Сумма двух чисел равна 37, одно из них на 5 больше другого. Найдите эти числа.

x + (x + 5) = 37

16 и 21

3. Фрукты база

3 кг яблок и 2 кг груш стоят 480 ₽, 1 кг груш на 40 ₽ дороже 1 кг яблок. Цена 1 кг?

{3 a + 2 g = 480 g - a = 40

80 ₽ и 120 ₽

4. Катер повыш.

36 км по течению и 36 км обратно — за 5 ч, скорость течения 3 км/ч. Собственная скорость?

\frac{36}{v + 3} + \frac{36}{v - 3} = 5

15 км/ч

4 мин · практика
Работа в парах: сначала каждый записывает только модель (1 мин), учитель открывает модели; затем решают и сверяют ответ. Задача 4 — сильным ученикам, остальные — 1–3.
1) $150 x \leq 1200$ , $x \leq 8$ → не более 8 посещений; проверка: 300 + 150 · 8 = 1500 ✓.
2) $2 x + 5 = 37$ , $x = 16$ → 16 и 21; 16 + 21 = 37 ✓.
3) $g = a + 40$ : $3 a + 2 a + 80 = 480$ , $a = 80$ , $g = 120$ → яблоки 80 ₽, груши 120 ₽; 240 + 240 = 480 ✓.
4) $36 (v - 3) + 36 (v + 3) = 5 (v^{2} - 9)$ , $72 v = 5 v^{2} - 45$ , $5 v^{2} - 72 v - 45 = 0$ , $D = 5184 + 900 = 6084 = 7 8^{2}$ , $v = \frac{72 \pm 78}{10}$ : 15 и −0,6 (не подходит) → 15 км/ч; проверка: 36 : 18 = 2 ч, 36 : 12 = 3 ч, 2 + 3 = 5 ✓.

R10.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 13

13Укажите решение неравенства $4 x + 5 \geq 6 x - 2$ .

1)

2)

3)

4)

В ответе запишите номер правильного варианта.

Ответ:

R10.1

Задания с самопроверкой · база

Решите — проверим всем классом

Сравните $- 3 a$ и $- 3 b$ , если $a > b$ .
$- 3 a < - 3 b$
Запишите промежуток: $- 5 < x \leq 0$ .
$(- 5; 0]$
Решите неравенство $6 - 2 x \leq 0$ .
$[3; + \infty)$

Наибольшее целое решение $3 x + 1 < 13$ .
$3$
Решите систему ${x \geq - 1 x < 2$
$[- 1; 2)$
Целые решения системы ${x > 0 x \leq 3$
1, 2, 3

R10.1

Задания с самопроверкой · закрепление

Решите — ответы по клику

база $7 - 3 x > 1$ $(- \infty; 2)$
базаНаибольшее целое решение: $2 (x - 3) \leq 5 - x$ $3$
повыш.Сколько целых решений у системы ${3 x - 7 < 2 5 - x \leq 4$ ? $2$

повыш.При каких $x$ значение $\frac{x - 4}{3}$ не меньше 2? $[10; + \infty)$
практикаПроизведение двух последовательных натуральных чисел равно 132. Найдите эти числа. 11 и 12
практикаВелосипедист проехал 60 км на 1 ч быстрее плана, увеличив скорость на 3 км/ч. Какой была плановая скорость? 12 км/ч

R10.1

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 минуты

Вариант 1

$5 x - 2 > 13$ $(3; + \infty)$
$3 - 4 x \leq 11$ $[- 2; + \infty)$
Целые решения: ${x + 1 > 0 2 x \leq 6$ 0, 1, 2, 3
Ручка на 15 ₽ дешевле тетради; 2 ручки и 3 тетради стоят 195 ₽. Цена ручки? 30 ₽

Вариант 2

$4 x + 3 < - 9$ $(- \infty; - 3)$
$8 - 3 x \leq 2$ $[2; + \infty)$
Целые решения: ${x - 2 < 0 3 x \geq - 6$ −2, −1, 0, 1
Тетрадь на 20 ₽ дороже ручки; 3 ручки и 2 тетради стоят 190 ₽. Цена тетради? 50 ₽

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда знак неравенства меняется?
Чем решение системы отличается от решения одного неравенства?
Зачем шаг «смысл ответа»?

Домашнее задание

$4 - 5 x \geq 2 x - 10$
Целые решения: ${x + 3 > 0 2 x - 8 \leq 0$
Сумма двух чисел 20, произведение 96. Найдите числа.
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_index.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-101 · Обобщение: неравенства, их системы и текстовые задачи

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R10 «Повторение и обобщение», 6 ч · урок 5/6 · тип О (обобщение)
Единицы → слайды	R10.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний» → 3–23 (повторяются единицы строк R07 — сл. 4–13, 20, R05–R06 — сл. 15–16, 18, 22)
Результаты	ПР-11 / REQ-3.4 (свойства неравенств, линейные неравенства и системы, графическая иллюстрация) → 4–13, 17–22 · ПР-10 / REQ-3.3 (модель задачи, интерпретация) → 14–18, 21–22 · ПР-8 / REQ-3.1 (рациональные уравнения, системы) → 15–16, 18, 21–22 · вид деятельности «самоконтроль, самопроверка, выбор способа» → 8, 13, 16, 20–22
ОГЭ	линия 13 (неравенства) → 19; формат линии 21 (текстовая задача) → 15, 18, 21
Время	теория 14 мин (сл. 1–3, 5–6, 8, 10–11, 14–17 — сохранена полностью) · практика 31 мин (сл. 4, 7, 9, 12–13, 18–23) · 69 %
Вне урока	квадратные неравенства — 9 класс; функции и графики (R08–R09) — другие уроки R10; доказательство неравенств — не входит
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending