Повторение и обобщение · урок 4 из 6

Повторение: уравнения и системы уравнений

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R10 · ALG8-100

1 мин · теория (орг. момент)
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Паспорт: R10 «Повторение и обобщение» (6 ч), урок 4/6, единица R10.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний построений». Тип О (обобщение). Этот урок — блок «Уравнения»: повторяем R05 (квадратные уравнения) и R06 (системы уравнений), ALG8-043…070. Уроки 1–3 строки R10 (ALG8-097…099) — другие блоки курса; уроки 5–6 (ALG8-101, 102) — следующие блоки.
Хронометраж: орг. момент и цели 2 мин (сл. 1–2, теория) · разминка 3 (сл. 3, практика) · карта темы и формулы 4 (сл. 4–5, теория) · квадратные уравнения: образец 2 (теория) + задания 3 (практика) (сл. 6–7) · сводящиеся к квадратным: образец 2 + задания 3 (сл. 8–9) · системы: образец и исследование 3 (теория) + задания 3 (сл. 10–12) · текстовые задачи: образец 1 + задания 3 (сл. 13–14) · задания с самопроверкой 6 (сл. 15–16) · найди ошибку 2 (сл. 17) · ОГЭ 2 (сл. 18) · самостоятельная работа 4 (сл. 19) · итог и ДЗ 2 (сл. 20). Теория 14 мин, практика 31 мин, итого 45 мин.
Все теоретические слайды (сл. 4–6, 8, 10, 11, 13) сохранены полностью; урок обобщающий, поэтому объяснение короткое, а отработка идёт сразу на следующем слайде практики.
Если не успеваете: задания 3б (сл. 9), 5в (сл. 12), 8 (сл. 14) и № 9 (сл. 16) — в ДЗ.

R10.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Выбирать способ

решения квадратного уравнения: быстрый или по формуле (ПР-8)

Сводить к квадратному

биквадратные и дробные уравнения, не теряя проверку (ПР-8)

Решать системы

подстановкой, сложением и по графикам; число решений (ПР-8, ПР-9)

Составлять модель

уравнение по условию задачи и отбирать корни по смыслу (ПР-10)

1 мин · теория
ПР-8 (= REQ-3.1): «Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух уравнений с двумя переменными». ПР-9 (= REQ-3.2): «Проводить простейшие исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)». ПР-10 (= REQ-3.3): «Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели с помощью составления уравнения или системы уравнений, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат».
Виды деятельности ФРП (строка R10): «Выбирать, применять, оценивать способы сравнения чисел, вычислений, преобразований выражений, решения уравнений. Осуществлять самоконтроль выполняемых действий и самопроверку результата… Решать текстовые задачи, сравнивать, выбирать способы решения задачи».

R10.1 · R01.6 · R05.2

Разминка · устно · 3 минуты

Сколько корней? Назовите их

x^{2} = 9

x = \pm 3

два корня

x^{2} = 0

x = 0

один корень

x^{2} = - 4

корней нетквадрат не бывает отрицательным

x^{2} - 5 x = 0

0

и

5

вынесли

x

за скобки

(x - 2) (x + 7) = 0

2

и

- 7

произведение равно нулю

3 x - 12 = 0

x = 4

линейное уравнение

R10.1 · R05 · R06

Карта темы · схема-конспект

Какие уравнения мы решаем в 8 классе

2 мин · теория
Строим карту вместе с классом: «Какие виды уравнений мы решали? Как их узнать?» Каждый щелчок — одна ветка. Ученики переносят схему в тетрадь — это опорный конспект урока.
Левая ветка — R05 (квадратные уравнения, 7 класс — линейные), правая — R06 (системы). Нижняя полоса — общий для всех веток метод текстовых задач (R05.7, R06.5).
Вопрос: «Какой способ решения системы самый точный, а какой самый наглядный?» Подстановка и сложение дают точный ответ, графики — наглядность и число решений.

R10.1 · R05.3 · R05.4

Сводная таблица формул

Квадратное уравнение $a x^{2} + b x + c = 0$

D = b^{2} - 4 a c

дискриминант

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

формула корней

x_{1} + x_{2} = - p, x_{1} x_{2} = q

теорема Виета для

x^{2} + p x + q = 0

R10.1 · R05.2–R05.4

Тип 1 · образец · выбираем самый быстрый способ

Четыре уравнения — четыре способа

b = 0

выразить

x^{2}

4 x^{2} - 25 = 0

x^{2} = \frac{25}{4}

x = \pm 2, 5

c = 0

вынести

x

x^{2} + 6 x = 0

x (x + 6) = 0

0; - 6

a = 1

Виета, подбор

x^{2} - 7 x + 12 = 0

x_{1} + x_{2} = 7

x_{1} x_{2} = 12

3; 4

общий случайчерез

D

2 x^{2} - 3 x - 5 = 0

D = 9 + 40 = 49

x = \frac{3 \pm 7}{4}

2, 5; - 1

R10.1 · R05

Тип 1 · образец → сам · 3 минуты

Решите удобным способом

1база

а) $x^{2} - 49 = 0$

б) $5 x^{2} + 15 x = 0$

в) $x^{2} + 2 x - 15 = 0$

г) $3 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

д) $x^{2} - 6 x + 9 = 0$

2база

Не решая, найдите число корней:

а) $x^{2} + x + 5 = 0$

б) $4 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

в) $2 x^{2} + 3 x - 7 = 0$

Сначала назовите способ, потом решайте.

R10.1 · R05.5 · R05.6

Тип 2 · образец · сводим к квадратному

Замена и дробное уравнение

Биквадратное

x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0

t = x^{2}, t \geq 0

:

t^{2} - 5 t + 4 = 0

t = 1

или

t = 4

x^{2} = 1

или

x^{2} = 4

$\pm 1; \pm 2$ — четыре корня

Дробное

\frac{x ^{2}}{x - 3} = \frac{9}{x - 3}

ОДЗ:

x \neq = 3

x^{2} = 9, x = \pm 3

x = 3

— посторонний

$x = - 3$

2 мин · теория
Биквадратное: вводим новую переменную t = x². Корни t = 1 и t = 4 (по Виета: 1 + 4 = 5, 1 · 4 = 4). Возвращаемся к x: x = ±1, x = ±2. Вопрос: «Что делать, если t получилось отрицательным?» Такой t не подходит — x² не бывает отрицательным.
Дробное: дробь не имеет смысла при x = 3. Знаменатели равны — приравниваем числители: x² = 9. Корень 3 не входит в ОДЗ — посторонний. Ответ: −3.
Алгоритм внизу — для любого дробного уравнения. Главная ошибка — пропустить шаг 4 и записать оба корня.

R10.1 · R05.5 · R05.6

Тип 2 · образец → сам · 3 минуты

Сведите к квадратному и решите

3повыш.

а) $x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$

б) $x^{4} + 3 x^{2} - 4 = 0$

Подсказка: $t = x^{2}$ , проверьте знак $t$ .

4повыш.

а) $\frac{x ^{2} - 4}{x + 2} = 0$

б) $\frac{12}{x} = x + 1$

Не забудьте ОДЗ!

R10.1 · R06.2 · R06.4

Тип 3 · образец · одна система — два способа

Сложение и графики дают один ответ

{x + y = 7 x - y = 1

1Сложим:

2 x = 8, x = 4

2Подставим:

4 + y = 7, y = 3

3Графики:

y = 7 - x

и

y = x - 1

Ответ: $(4; 3)$ — точка пересечения прямых.

2 мин · теория
Способ сложения: коэффициенты при y противоположны (1 и −1), складываем уравнения — y исчезает. Подстановка тоже работает: y = 7 − x, x − (7 − x) = 1, 2x = 8.
Графический способ: каждое уравнение — прямая; решение системы — координаты общей точки. Проверка: 4 + 3 = 7 ✓, 4 − 3 = 1 ✓.
Вопрос: «Почему графический способ не всегда точен?» Если точка пересечения имеет дробные координаты, по рисунку их не прочитать — нужен аналитический способ.

R10.1 · R06.4

Исследование · сколько решений у системы?

Две прямые $y = k_{1} x + b_{1}$ и $y = k_{2} x + b_{2}$

одно решение

k_{1} \neq = k_{2}

нет решений

k_{1} = k_{2}, b_{1} \neq = b_{2}

бесконечно много

k_{1} = k_{2}, b_{1} = b_{2}

1 мин · теория
Пересекаются — одна общая точка; параллельны — ни одной; совпадают — все точки общие. Угловой коэффициент k отвечает за наклон прямой, b — за точку пересечения с осью y.
Вопрос: «Сколько решений у системы y = 2x + 1, y = 2x − 3?» Наклоны равны, b разные — прямые параллельны, решений нет. Прежде чем решать систему, полезно выразить y и сравнить k (это и есть «простейшее исследование», ПР-9).
Ошибка: «у системы всегда одно решение». Сложение даёт 0 = 4 (нет решений) или 0 = 0 (бесконечно много) — это не ошибка вычислений.

R10.1 · R06.2–R06.4

Тип 3 · образец → сам · 3 минуты

Решите системы

5абаза

${2 x + y = 11 x - y = 1$ любым способом

5бповыш.

${y = x^{2} y = x + 2$ подстановкой; проверьте по рисунку

5вбаза

Сколько решений? ${y = 2 x + 1 y = 2 x - 3$ ${y = 3 x - 1 y = - x + 3$

R10.1 · R05.7 · R06.5

Тип 4 · образец · от условия к модели

Площадь прямоугольника 60 см², одна сторона на 7 см больше другой

1Меньшая сторона

x

см, большая

x + 7

2Модель:

x (x + 7) = 60

3

x^{2} + 7 x - 60 = 0, D = 289 = 1 7^{2}

4

x = 5

или

x = - 12

— не подходит

Ответ: 5 см и 12 см

R10.1 · R05.7 · R06.5

Тип 4 · образец → сам · 3 минуты

Составьте уравнение или систему

6практика

Сумма двух чисел равна 15, а их произведение 56. Найдите эти числа.

7практика

Билет в театр для взрослого на 150 руб. дороже детского. Два взрослых и три детских билета стоят 1550 руб. Сколько стоит каждый билет?

8повыш.

Велосипедист проехал 24 км. Если бы его скорость была на 2 км/ч больше, он затратил бы на 1 ч меньше. Найдите его скорость.

R10.1 · R05.3–R05.6

Задания с самопроверкой · база и повышенный уровень

Решите уравнения — ответы по клику

база $x^{2} - 9 x + 20 = 0$ $4; 5$
база $2 x^{2} + 7 x = 0$ $0; - 3, 5$
база $x^{2} + 4 x - 21 = 0$ $- 7; 3$

повыш. $x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$
$\pm 2; \pm 3$
повыш. $\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = 0$ $- 1$
повыш. $\frac{8}{x} = x - 2$ $- 2; 4$

3 мин · практика
Самостоятельно в тетрадях (2 мин), затем проверка всем классом по клику; ученики ставят «+» у верных и называют способ.
1) Виета: сумма 9, произведение 20 → 4 и 5. 2) x(2x + 7) = 0 → 0 и −3,5 (проверка: 2 · 12,25 − 24,5 = 0 ✓). 3) D = 16 + 84 = 100, x = (−4 ± 10) : 2 → 3 и −7 (9 + 12 − 21 = 0 ✓; 49 − 28 − 21 = 0 ✓).
4) t = x²: t² − 13t + 36 = 0 → t = 4, t = 9 (4 + 9 = 13, 4 · 9 = 36) → x = ±2, ±3. 5) ОДЗ x ≠ 1; x² = 1 → ±1; 1 посторонний → ответ −1. 6) ОДЗ x ≠ 0; 8 = x² − 2x → x² − 2x − 8 = 0 → x = 4, x = −2 (8 : 4 = 2 = 4 − 2 ✓; 8 : (−2) = −4 = −2 − 2 ✓).
Ошибка в № 5: ответ ±1 без проверки ОДЗ.

R10.1 · R06.2–R06.5

Задания с самопроверкой · системы · из жизни

Решите — ответы по клику

база ${x + y = 10 x - y = 4$ $(7; 3)$
повыш. ${y = x^{2} - 4 y = 3 x$ $(4; 12), (- 1; - 3)$
базаСколько решений? ${y = - 2 x + 5 y = - 2 x + 1$
нет решений: $k$ равны, $b$ разные

из жизни10. Два чека из канцелярского магазина. Сколько стоят тетрадь и ручка?

Тетради	Ручки	Сумма
3	2	160 ₽
1	2	80 ₽

${3 t + 2 r = 160 t + 2 r = 80$

тетрадь 40 ₽, ручка 20 ₽

3 мин · практика
7) Сложение: 2x = 14, x = 7, y = 3. Проверка: 7 + 3 = 10 ✓, 7 − 3 = 4 ✓.
8) x² − 4 = 3x → x² − 3x − 4 = 0 → x = 4 или x = −1 (Виета: 4 + (−1) = 3, 4 · (−1) = −4); y = 12 или y = −3. Проверка: 16 − 4 = 12 ✓, 1 − 4 = −3 ✓. Ответ — пары чисел.
9) Угловые коэффициенты равны (−2), b разные (5 и 1) — прямые параллельны, решений нет. Если не успеваете — в ДЗ.
10) t — цена тетради, r — ручки: вычтем из первого уравнения второе: 2t = 80, t = 40; 2r = 80 − 40 = 40, r = 20. Проверка: 120 + 40 = 160 ✓, 40 + 40 = 80 ✓. Подсказка классу: чеки отличаются только двумя тетрадями — 80 ₽.

R10.1

Самоконтроль · типичные ошибки

Найдите ошибку

Ошибка	Как правильно
$x^{2} = 16 \Rightarrow x = 4$	$x = \pm 4$ — два корня
$x^{2} = 5 x$ , делим на $x$ : $x = 5$	$x (x - 5) = 0$ : корни $0$ и $5$
$b = - 3$ : $D = - 3^{2} - 4 a c$	$(- 3)^{2} = 9$ — со скобками
$\frac{x ^{2}}{x - 3} = \frac{9}{x - 3}$ : ответ $\pm 3$	$x \neq = 3$ , ответ $- 3$
Сторона $x = - 12$ см	Отбор по смыслу: $x > 0$

R10.1 · R05.3

Формат ОГЭ · часть 1

Задание 9: уравнения

9Решите уравнение $x^{2} - 3 x - 18 = 0$ .

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Способ: Виета или

D

?

Найдите оба корня.

Запишите меньший — одно число.

R10.1 · R05 · R06

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$ $2; 3$
$x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$ $\pm 3$
${x + y = 9 2 x - y = 3$ $(4; 5)$
Произведение двух
последовательных
натуральных чисел — 72. 8 и 9

Вариант 2

$x^{2} + x - 12 = 0$ $- 4; 3$
$x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$ $\pm 2$
${x + y = 8 3 x - y = 4$ $(3; 5)$
Произведение двух
последовательных
натуральных чисел — 110. 10 и 11

4 мин · практика
Варианты по партам; 3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам на слайде (открыть по клику).
Вариант 1: 1) Виета: 2 + 3 = 5, 2 · 3 = 6. 2) t² − 5t − 36 = 0 → t = 9, t = −4 (не подходит) → x = ±3 (81 − 45 − 36 = 0 ✓). 3) Сложение: 3x = 12, x = 4, y = 5 (4 + 5 = 9 ✓, 8 − 5 = 3 ✓). 4) n(n + 1) = 72, n² + n − 72 = 0, D = 289, n = 8 (n = −9 не натуральное) → 8 и 9.
Вариант 2: 1) Виета: −4 + 3 = −1, −4 · 3 = −12. 2) t² − 3t − 4 = 0 → t = 4, t = −1 (не подходит) → x = ±2 (16 − 12 − 4 = 0 ✓). 3) Сложение: 4x = 12, x = 3, y = 5 (3 + 5 = 8 ✓, 9 − 5 = 4 ✓). 4) n(n + 1) = 110, n² + n − 110 = 0, D = 441, n = 10 (n = −11 не натуральное) → 10 и 11.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя

Ответьте одной фразой

Когда квадратное уравнение решаем без D?
Зачем в дробном уравнении ОДЗ?
Как по графикам узнать число решений системы?

Домашнее задание

$x^{2} - 8 x + 15 = 0$ ; $\frac{x ^{2}}{x + 4} = \frac{16}{x + 4}$
${x + 2 y = 8 3 x - 2 y = 0$
Площадь прямоугольника 40 см², одна сторона на 3 см меньше другой. Найдите стороны.

Отметьте, где вы сейчас:

выбираю способи решаю сам

ошибаюсьв ОДЗ и отборе корней

нужна помощьтренажёр

Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_index.htm

2 мин · практика
Ответы ДЗ: 1) 3; 5 (Виета: 3 + 5 = 8, 3 · 5 = 15). 2) x² = 16, x = ±4; x = −4 посторонний (ОДЗ x ≠ −4) → ответ 4. 3) Сложение: 4x = 8, x = 2, 2y = 6, y = 3 → (2; 3); проверка 3 · 2 − 6 = 0 ✓. 4) x(x + 3) = 40, x² + 3x − 40 = 0, D = 169, x = 5 (−8 не подходит) → 5 см и 8 см.
Ответы на вопросы: неполное уравнение (b = 0 или c = 0) или подбор по Виета; знаменатель не может быть равен нулю — отбрасываем посторонние корни; сравнить наклоны k: разные — одно решение, равные — нет решений или бесконечно много.
Следующий урок ALG8-101 — урок 5/6 строки R10 «Повторение и обобщение».

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-100 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение и обобщение»: уравнения и системы

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R10 «Повторение и обобщение», 6 ч · урок 4/6 · тип О (обобщение)
Единицы → слайды	R10.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний построений» → 2–20 (повторяются R05.2–R05.7 → 3, 5–9, 13–15, 17–19; R06.2, R06.4, R06.5 → 10–14, 16, 19)
Результаты	ПР-8 / REQ-3.1 (решать квадратные, рациональные уравнения, системы) → 3, 5–10, 12, 15–19 · ПР-9 / REQ-3.2 (исследование числа решений, графически) → 5, 7, 10–12, 16 · ПР-10 / REQ-3.3 (словесная формулировка → модель, интерпретация) → 13–14, 16, 19 · хронометраж: теория 14 мин, практика 31 мин (69 %)
Вне урока	числа и корни, степени, алгебраические дроби, неравенства, функции — другие уроки строки R10 (ALG8-097…099, 101, 102); уравнения выше 4-й степени не рассматриваются
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение: уравнения и системы уравнений

Сегодня вы повторите и научитесь

Выбирать способ

Сводить к квадратному

Решать системы

Составлять модель

Сколько корней? Назовите их

Какие уравнения мы решаем в 8 классе

Квадратное уравнение ax2+bx+c=0

Четыре уравнения — четыре способа

Решите удобным способом

Замена и дробное уравнение

Биквадратное

Дробное

Сведите к квадратному и решите

Сложение и графики дают один ответ

Две прямые y=k1​x+b1​ и y=k2​x+b2​

Решите системы

Площадь прямоугольника 60 см², одна сторона на 7 см больше другой

Составьте уравнение или систему

Решите уравнения — ответы по клику

Решите — ответы по клику

Найдите ошибку

Задание 9: уравнения

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-100 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение и обобщение»: уравнения и системы

Квадратное уравнение $a x^{2} + b x + c = 0$

Две прямые $y = k_{1} x + b_{1}$ и $y = k_{2} x + b_{2}$