Повторение и обобщение · урок 3 из 6 · обобщение

Повторяем: уравнения и системы уравнений

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R10 · ALG8-099

1 мин · теория (организационный момент)
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Паспорт: R10 «Повторение и обобщение» (6 ч), урок 3/6, единица R10.1. Тип урока — О. Тема этого урока внутри повторения — уравнения и системы (строки R05, R06 курса 8 класса и линейные уравнения 7 класса).
План: титул и цели 2 (сл. 1–2, т) · разминка 2 и блиц 2 (сл. 3–4, п) · карта темы 2, формулы 2, знак D 1 (сл. 5–7, т) · «сколько корней» 2 (сл. 8, п) · тип 1: образец 2 (т) + сам 2 (п) (сл. 9–10) · тип 2: образец 2 (т) + сам 3 (п) (сл. 11–12) · тип 3: образец 1 и число решений 1 (т) + сам 2 (п) (сл. 13–15) · тип 4: образец 1 (т) + модель сам 3 (п) (сл. 16–17) · найди ошибку 2 (сл. 18, п) · самопроверка: база 3 и повышенный 3 (сл. 19–20, п) · ОГЭ, линия 9 — 2 (сл. 21, п) · самостоятельная работа 4 (сл. 22, п) · итог и ДЗ 1 (сл. 23, п).

R10.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Решать уравнения и системы

линейные, квадратные, дробно-рациональные, системы двух уравнений (ПР-8, REQ-3.1)

Исследовать

сколько корней у уравнения и решений у системы — по $D$ и по графику (ПР-9, REQ-3.2)

Составлять модель задачи

от текста — к уравнению, ответ — по смыслу (ПР-10, REQ-3.3)

Выбирать способ и проверять себя

самоконтроль и самопроверка результата (виды деятельности R10)

1 мин · теория
ПР-8: «Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух уравнений с двумя переменными». ПР-9: «Проводить простейшие исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений». ПР-10: «Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели…, интерпретировать… полученный результат».
Спросить: какие виды уравнений мы решали в 8 классе? Записать ответы на доске — к сл. 5 сравнить с картой.

R10.1 · разминка

Разминка · устно

Считаем в уме — ответ по клику

1) $(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2$

$1$

2) $144$

$12$

3) $- 4 \cdot 2 \cdot (- 5)$

$40$

4) $5 x = - 15$

$x = - 3$

5) $x^{2} - 7 x + 12 = 0$
сумма и произведение корней?

$7; 12$

6) $x = 2$ — корень уравнения
$x^{2} + x - 6 = 0$ ?

да

7) При каком $x$ не имеет смысла $\frac{5}{x + 4}$ ?

$x = - 4$

8) $(2; 1)$ — решение системы ${x + y = 3 x - y = 1$ ?

да

R10.1 · блиц

Вспомним · устно

Блиц: корни — за 10 секунд

Уравнение	Корни
$3 x - 7 = 8$	$x = 5$
$x^{2} = 49$	$x = \pm 7$
$x^{2} - 5 x = 0$	$0; 5$
$(x - 4) (x + 2) = 0$	$4; - 2$
$x^{2} = - 4$	корней нет

R10.1 · карта темы

Карта темы

Вид уравнения → способ решения

R10.1 · формулы

Сводная таблица

Формулы, которые нужно знать наизусть

неполное, $b = 0$

x^{2} = - \frac{c}{a}

неполное, $c = 0$

x (a x + b) = 0

дискриминант

D = b^{2} - 4 a c

формула корней, $D \geq 0$

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

теорема Виета для $x^{2} + p x + q = 0$

x_{1} + x_{2} = - p, x_{1} x_{2} = q

разложение трёхчлена

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

R10.1 · исследование

Исследуем по графику

Знак $D$ — сколько корней

R10.1 · исследование

Решите устно · по образцу сл. 7

Сколько корней? Считаем только $D$

$x^{2} - 6 x + 5 = 0$
$D = 16 > 0$ : два
$x^{2} + 4 x + 4 = 0$
$D = 0$ : один
$x^{2} + x + 3 = 0$
$D = - 11 < 0$ : нет

$3 x^{2} - 2 x - 1 = 0$
$D = 16 > 0$ : два
$4 x^{2} - 12 x + 9 = 0$
$D = 0$ : один
$2 x^{2} + 3 x + 5 = 0$
$D = - 31 < 0$ : нет

R10.1 · тип 1

Тип 1 · квадратное уравнение

$2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$ — по шагам

1

a = 2, b = - 3, c = - 5

2

D = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (- 5) = 49

3

x_{1, 2} = \frac{3 \pm 7}{4}

4

x_{1} = 2, 5; x_{2} = - 1

✓

x_{1} + x_{2} = \frac{3}{2}, x_{1} x_{2} = - \frac{5}{2}

проверка по Виету

R10.1 · тип 1

Тип 1 · решите сами по образцу

Квадратные уравнения: $D$ → корни → Виет

база $x^{2} - 8 x + 15 = 0$
$5; 3$
база $x^{2} - 10 x + 25 = 0$
$5$

база $2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$
$0, 5; - 3$
повыш. $3 x^{2} - 7 x + 2 = 0$
$2; \frac{1}{3}$

R10.1 · тип 2

Тип 2 · дробно-рациональное уравнение

$\frac{x ^{2} - x}{x - 3} = \frac{6}{x - 3}$ — не забудьте ОДЗ

1ОДЗ:

x - 3 \neq = 0, x \neq = 3

2

x^{2} - x = 6 \Rightarrow x^{2} - x - 6 = 0

3

x_{1} = 3, x_{2} = - 2

по Виету

4

x = 3

— не входит в ОДЗ

✓Ответ:

- 2

R10.1 · тип 2

Тип 2 · решите сами по образцу

Дробные уравнения: сначала ОДЗ

база $\frac{x ^{2} + 2 x}{x + 5} = \frac{15}{x + 5}$
$3$
база $\frac{x ^{2} - 3 x}{x - 2} = \frac{- 2}{x - 2}$
$1$

база $\frac{x + 3}{x - 3} = \frac{2 x}{x - 3}$
корней нет
повыш. $\frac{6}{x} + \frac{6}{x + 1} = 5$
$2; - 0, 6$

R10.1 · тип 3

Тип 3 · система двух уравнений

Сложение — и проверка графиком

1

{2 x + y = 11 x - y = 1

2сложим:

3 x = 12, x = 4

3

y = x - 1 = 3

✓Ответ:

(4; 3)

точка пересечения прямых

R10.1 · исследование

Исследуем систему графически

Сколько решений у системы линейных уравнений?

R10.1 · тип 3

Тип 3 · решите сами по образцу

Системы: решите и исследуйте

Решите систему

${x + y = 7 x - y = 3$ $(5; 2)$
${3 x + 2 y = 8 x - 2 y = 0$ $(2; 1)$
${y = x + 1 2 x + y = 10$ $(3; 4)$

Сколько решений? (не решая)

${y = 3 x + 2 y = 3 x - 1$
нет решений
${y = - x + 4 2 y = - 2 x + 8$
бесконечно много

R10.1 · тип 4

Тип 4 · текстовая задача

Произведение двух последовательных натуральных чисел равно 132

1меньшее число

n

, большее

n + 1

2

n (n + 1) = 132 \Rightarrow n^{2} + n - 132 = 0

3

D = 1 + 528 = 529, D = 23

4

n = \frac{- 1 \pm 23}{2}

:

11

или

- 12

✓

- 12

не натуральное. Ответ: 11 и 12

R10.1 · тип 4

Тип 4 · решите сами по образцу

Текст → уравнение → ответ по смыслу

базаСумма двух чисел 20, а разность 6. Найдите числа. 13 и 7
базаОдно натуральное число на 5 больше другого, их произведение 84. Найдите числа. 7 и 12
практикаПлощадь прямоугольника 48 см², периметр 28 см. Найдите его стороны. 6 см и 8 см
повыш.Катер прошёл 12 км по течению и 12 км против течения за 2,5 ч.
Скорость течения 2 км/ч. Найдите собственную скорость катера. 10 км/ч

R10.1 · ошибки

Самоконтроль

Найдите ошибку

Решение ученика	Ошибка	Верно
$x^{2} = 9, x = 3$	потерян корень	$x = \pm 3$
$x^{2} = 5 x ∣: x \Rightarrow x = 5$	делили на $x$	$x (x - 5) = 0$ : $0; 5$
$x^{2} - 4 x - 5 = 0$ : $x = \frac{- 4 \pm 6}{2}$	знак у $- b$	$\frac{4 \pm 6}{2}$ : $5; - 1$
$\frac{x ^{2}}{x - 2} = \frac{4}{x - 2}$ : $\pm 2$	забыта ОДЗ	$x \neq = 2$ : ответ $- 2$

R10.1 · самопроверка

Задания с самопроверкой · база

Решите — проверим всем классом

$x^{2} - 9 x = 0$
$0; 9$
$4 x^{2} - 25 = 0$
$\pm 2, 5$
$x^{2} + x - 12 = 0$
$3; - 4$

$5 x - 2 (x + 4) = 7$
$x = 5$
${2 x - y = 5 x + y = 4$ $(3; 1)$
$x^{2} + 3 x - 10 = 0$ : сумма и произведение корней
$- 3; - 10$

R10.1 · задания

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Решите — ответы откроем по одному

база $3 x^{2} - 12 = 0$ $\pm 2$
база $x^{2} + 4 x - 21 = 0$ $3; - 7$
повыш. $\frac{12}{x} - \frac{12}{x + 1} = 1$ $3; - 4$
повыш. ${x - y = 2 x y = 15$ $(5; 3), (- 3; - 5)$

практикаПлощадь прямоугольного участка 60 м², одна сторона на 4 м длиннее другой. Найдите стороны. 6 м и 10 м
повыш.При каком $c$ уравнение
$x^{2} - 6 x + c = 0$
имеет один корень? $c = 9$

R10.1 · ОГЭ

В формате ОГЭ

Задание линии 9 (уравнения)

9Решите уравнение $x^{2} - 6 x = 16$ .

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Ответ:

1

x^{2} - 6 x - 16 = 0

2

x_{1} = 8, x_{2} = - 2

✓меньший:

- 2

R10.1 · самостоятельная

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 минуты

Вариант 1

$x^{2} - 5 x - 14 = 0$ $7; - 2$
$\frac{x ^{2}}{x + 3} = \frac{9}{x + 3}$ $3$
${x + 2 y = 7 x - y = 1$ $(3; 2)$
При каком $c$ один корень у уравнения
$x^{2} + 8 x + c = 0$ ? $16$

Вариант 2

$x^{2} + 3 x - 18 = 0$ $3; - 6$
$\frac{x ^{2}}{x - 5} = \frac{25}{x - 5}$ $- 5$
${2 x + y = 9 x - y = 3$ $(4; 1)$
При каком $c$ один корень у уравнения
$x^{2} - 10 x + c = 0$ ? $25$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по $D$ узнать число корней?
Зачем в дробном уравнении ОДЗ?
Когда система не имеет решений?

Домашнее задание

$x^{2} - 2 x - 15 = 0$ ; $(x + 3)^{2} = (x - 5)^{2}$
${2 x + 3 y = 12 x - y = 1$
Сумма двух чисел 15, произведение 56. Найдите числа.
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_index.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-099 · Повторение и обобщение: уравнения и системы уравнений

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R10 «Повторение и обобщение», 6 ч · урок 3/6 · тип О · теория 14 мин / практика 31 мин (69 %)
Единицы → слайды	R10.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов…» → 2–23 (опора: R05.1–R05.7 → 3–12, 16–21; R06.1–R06.5 → 3, 5, 13–15, 17, 19–20, 22)
Результаты	ПР-8 / REQ-3.1 (решать уравнения и системы) → 3–6, 9–13, 15, 18–23 · ПР-9 / REQ-3.2 (исследование, графики) → 7–8, 14–15, 20, 22 · ПР-10 / REQ-3.3 (модель задачи) → 16–17, 20, 23
Вне урока	числа, корни, степени, выражения — ALG8-097, ALG8-098; неравенства и функции — ALG8-100, ALG8-101; итог курса — ALG8-102
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторяем: уравнения и системы уравнений

Сегодня вы научитесь

Решать уравнения и системы

Исследовать

Составлять модель задачи

Выбирать способ и проверять себя

Считаем в уме — ответ по клику

Блиц: корни — за 10 секунд

Вид уравнения → способ решения

Формулы, которые нужно знать наизусть

неполное, b=0

неполное, c=0

дискриминант

формула корней, D≥0

теорема Виета для x2+px+q=0

разложение трёхчлена

Знак D — сколько корней

Сколько корней? Считаем только D

2x2−3x−5=0 — по шагам

Квадратные уравнения: D → корни → Виет

x−3x2−x​=x−36​ — не забудьте ОДЗ

Дробные уравнения: сначала ОДЗ

Сложение — и проверка графиком

Сколько решений у системы линейных уравнений?

Системы: решите и исследуйте

Произведение двух последовательных натуральных чисел равно 132

Текст → уравнение → ответ по смыслу

Найдите ошибку

Решите — проверим всем классом

Решите — ответы откроем по одному

Задание линии 9 (уравнения)

Два варианта · 4 минуты

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-099 · Повторение и обобщение: уравнения и системы уравнений

неполное, $b = 0$

неполное, $c = 0$

формула корней, $D \geq 0$

теорема Виета для $x^{2} + p x + q = 0$

Знак $D$ — сколько корней

Сколько корней? Считаем только $D$

$2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$ — по шагам

Квадратные уравнения: $D$ → корни → Виет

$\frac{x ^{2} - x}{x - 3} = \frac{6}{x - 3}$ — не забудьте ОДЗ