Повторение и обобщение · урок 2 из 6

Алгебраические выражения: квадратный трёхчлен и алгебраические дроби

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R10 · ALG8-098

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R10 «Повторение и обобщение» (6 ч), урок 2/6, единица R10.1. Тип урока — О (обобщение и систематизация). Тема урока внутри строки — блок «Алгебраические выражения» (строки R03, R04 и ФСУ 7 класса).
Хронометраж: теория 14 мин · практика 31 мин (69 %). Итого 45 мин.
Теория (14 мин): титул и цели — сл. 1–2 (2), карта темы — сл. 4 (2), ФСУ — сл. 5 (1), способы разложения — сл. 6 (2), алгоритм для трёхчлена — сл. 8 (2), три случая — сл. 9 (1), основное свойство дроби — сл. 11 (1), действия с дробями — сл. 13 (1), образец с разными знаменателями — сл. 14 (2). Все схемы, формулы и образцы показываются полностью.
Практика (31 мин): разминка — сл. 3 (3) · «образец → сам» и самопроверка — сл. 7, 10, 12, 15 (8) · найди ошибку — сл. 16 (2) · устно — сл. 17 (2) · задания с самопроверкой — сл. 18, 19 (6) · физика — сл. 20 (2) · ОГЭ, линия 20 — сл. 21 (3) · самостоятельная работа — сл. 22 (4) · рефлексия и ДЗ — сл. 23 (1).
Если не успеваете: задания 5–6 сл. 18 и 5–6 сл. 19 — в ДЗ; теорию не сокращать.
Урок 1/6 (ALG8-097) — повторение блока «Числа и вычисления»; следующие уроки строки — уравнения, неравенства, функции.

R10.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь уверенно

Раскладывать на множители

многочлены и квадратный трёхчлен $a x^{2} + b x + c$ (ПР-6)

Преобразовывать дроби

сокращать, складывать, умножать, делить алгебраические дроби (ПР-5)

Применять преобразования

в задачах из математики и физики (ПР-7)

Проверять себя

выбирать способ и находить свои ошибки (вид деятельности ФРП)

1 мин · теория
ПР-5 / REQ-2.2: «выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил действий над многочленами и алгебраическими дробями».
ПР-6 / REQ-2.3: «раскладывать квадратный трехчлен на множители». ПР-7 / REQ-2.4: «применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».
Виды деятельности R10: «выбирать, применять, оценивать способы … преобразований выражений… Осуществлять самоконтроль выполняемых действий».

R10.1 · повторение

Разминка · устно

Восемь быстрых вопросов — вспоминаем нужное

(x + 3)^{2}

x^{2} + 6 x + 9

x^{2} - 16

(x - 4) (x + 4)

Сумма 7,
произведение 123 и 4

- (b - c)

- b + c

\frac{12}{18}

\frac{2}{3}

\frac{1}{2} + \frac{1}{3}

\frac{5}{6}

\frac{3}{4} : \frac{9}{8}

\frac{2}{3}

D

для

x^{2} + 2 x - 3

16

R10.1

Карта темы

Что мы умеем делать с выражениями

повторение: ФСУ (7 кл.)

Вспомним

Формулы сокращённого умножения — из площади квадрата

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Устно:

5 1^{2}

·

49 \cdot 51

·

9 8^{2}

R10.1 · повторение R03

Сводная таблица

Четыре способа разложить на множители

Способ	Пример
1. Вынести общий множитель	$6 x^{2} - 9 x = 3 x (2 x - 3)$
2. Применить ФСУ	$4 x^{2} - 25 = (2 x - 5) (2 x + 5)$
3. Сгруппировать	$a x + a y + 3 x + 3 y = (x + y) (a + 3)$
4. Найти корни трёхчлена	$x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$

Порядок: сначала общий множитель, потом ФСУ или корни. Пример: $3 a^{2} - 12 = 3 (a^{2} - 4) = 3 (a - 2) (a + 2)$

R10.1 · повторение R03

Образец → сам

Разложите на множители: сначала общий множитель

Образец

1

2 x^{3} - 8 x

2

= 2 x (x^{2} - 4)

3

= 2 x (x - 2) (x + 2)

Сам

$5 x^{2} - 45$ $5 (x - 3) (x + 3)$
$x^{3} + 6 x^{2} + 9 x$ $x (x + 3)^{2}$
$ab - 2 a + 3 b - 6$ $(b - 2) (a + 3)$
$3 y^{2} - 12 y + 12$ $3 (y - 2)^{2}$

R10.1 · повторение R03

Схема-алгоритм

Трёхчлен $a x^{2} + b x + c$ на множители — три шага

R10.1 · связь с R09

Графическая иллюстрация

Корни трёхчлена — точки, где парабола пересекает ось $x$

R10.1 · повторение R03

Задания с самопроверкой

Разложите трёхчлен на множители

1база

x^{2} - 8 x + 15

(x - 3) (x - 5)

2база

x^{2} + x - 12

(x + 4) (x - 3)

3база

2 x^{2} + x - 1

(2 x - 1) (x + 1)

4повыш.

3 x^{2} - 7 x + 2

(x - 2) (3 x - 1)

5повыш.

x^{2} + 3 x + 5

не раскладывается

Шаги:

D

→ корни →

a (x - x_{1}) (x - x_{2})

R10.1 · повторение R04

Алгебраическая дробь

Сократить дробь = разложить и разделить на общий множитель

\frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b}

основное свойство,

b \neq = 0, c \neq = 0

1

\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + 3 x}

2

= \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x ( x + 3 )}

3

= \frac{x - 3}{x}

!

Допустимые значения: $x \neq = 0, x \neq = - 3$

R10.1 · повторение R04

Образец → сам

Сократите дробь по образцу

1база

\frac{x ^{2} - 25}{3 x + 15}

\frac{x - 5}{3}

2база

\frac{a ^{2} - 6 a + 9}{a ^{2} - 9}

\frac{a - 3}{a + 3}

3база

\frac{x ^{2} - 3 x + 2}{x ^{2} - x}

\frac{x - 2}{x}

4повыш.

\frac{2 b - 2 a}{a ^{2} - ab}

- \frac{2}{a}

R10.1 · повторение R04

Сводная таблица формул

Четыре действия с алгебраическими дробями

Сложение и вычитание

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

знаменатели одинаковые

Разные знаменатели

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}

привести к общему знаменателю

Умножение

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}

сначала сократить, потом умножать

Деление

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

умножить на обратную дробь

R10.1 · повторение R04

Образец решения

Упростите: $\frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x ^{2} - 4}$

1

Разложим знаменатель: $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$

2

Общий знаменатель $(x - 2) (x + 2)$ , доп. множитель к первой дроби $x + 2$

3

\frac{x + 2 - 4}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x - 2}{( x - 2 ) ( x + 2 )}

4

= \frac{1}{x + 2}

при $x \neq = \pm 2$

R10.1 · повторение R04

Образец → сам

Упростите — как в образце

1база

\frac{2}{a} + \frac{3}{2 a}

\frac{7}{2 a}

2база

\frac{2}{x - 2} - \frac{8}{x ^{2} - 4}

\frac{2}{x + 2}

3база

\frac{1}{x + 3} + \frac{6}{x ^{2} - 9}

\frac{1}{x - 3}

4повыш.

\frac{a}{a - b} + \frac{b}{b - a}

1

R10.1

Самоконтроль

Найди ошибку: четыре ловушки

✗

\frac{x + 3}{x + 5} = \frac{3}{5}

✓

сокращают только множители, не слагаемые

✗

(a - b)^{2} = a^{2} - b^{2}

✓

a^{2} - 2 ab + b^{2}

✗

2 x^{2} - 5 x - 3 = (x - 3) (x + \frac{1}{2})

✓

забыли множитель a = 2 перед скобками

✗

\frac{a}{x} - \frac{b - c}{x} = \frac{a - b - c}{x}

✓

\frac{a - b + c}{x}

R10.1

Закрепление · устно

Разложите или сократите

x^{2} - 49

(x - 7) (x + 7)

x^{2} + 10 x + 25

(x + 5)^{2}

x^{2} - 7 x + 10

(x - 2) (x - 5)

5 a^{2} - 20

5 (a - 2) (a + 2)

\frac{5 x}{15 x ^{2}}

\frac{1}{3 x}

\frac{a ^{2} - b ^{2}}{a + b}

a - b

\frac{x - y}{y - x}

- 1

\frac{2}{a} \cdot \frac{a ^{2}}{6}

\frac{a}{3}

R10.1

Задания с самопроверкой

Решите — ответ откроется по клику

1базаРазложите на множители:

x^{2} + 2 x - 15

(x - 3) (x + 5)

2базаСократите дробь

\frac{3 x ^{2} - 12}{6 x + 12}

\frac{x - 2}{2}

3базаУпростите

\frac{a}{a - 3} - \frac{3}{a - 3}

1

4повыш.Сократите дробь

\frac{x ^{2} + x - 6}{x ^{2} - 4}

\frac{x + 3}{x + 2}

5повыш.Упростите

(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}) : \frac{b ^{2} - a ^{2}}{ab}

\frac{1}{a + b}

6практикаПлощадь прямоугольника

x^{2} + 7 x + 12

см², одна сторона

x + 3

см. Найдите другую сторону

x + 4

см

R10.1 · ПР-5, ПР-7

Задания с самопроверкой

Умножение, деление и задача

1база

\frac{4 x}{y ^{2}} \cdot \frac{y}{8 x ^{2}}

\frac{1}{2 x y}

2база

\frac{a ^{2} - 1}{a} : \frac{a + 1}{a ^{2}}

a (a - 1)

3база

\frac{x ^{2} - 4}{x + 3} \cdot \frac{2 x + 6}{x - 2}

2 (x + 2)

4повыш.

(\frac{x}{x - 2} - 1) \cdot \frac{x ^{2} - 4}{4}

\frac{x + 2}{2}

5повыш.Найдите значение

\frac{x ^{2} - 6 x + 9}{x ^{2} - 9}

при

x = 7

0, 4

6из жизниОдин мастер делает работу за 3 ч, другой — за 6 ч. За сколько часов они сделают её вместе? за 2 ч

R10.1 · ПР-7

Применение · физика 8 класса

Параллельное соединение: выразим $R$ из формулы

1

\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}

2

\frac{1}{R} = \frac{R _{1} + R _{2}}{R _{1} R _{2}}

3

R = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}

4

R = \frac{6 \cdot 3}{6 + 3} = 2

Ом

2 мин · практика (задача из жизни: класс выводит формулу вместе с учителем)
Шаг 2 — сложение дробей с разными знаменателями (общий знаменатель R₁R₂). Шаг 3 — «перевернули» обе части: если 1/R = p/q, то R = q/p.
Ответ: 18/9 = 2 Ом. Вопрос: R₁ = 4 Ом, R₂ = 12 Ом? (48/16 = 3 Ом.) Почему общее сопротивление меньше каждого? (Делим произведение на сумму; ток идёт двумя путями.)
Если физику параллельного соединения ещё не проходили, формулу шага 1 дать как готовую.

R10.1 · ОГЭ

В формате ОГЭ · часть 2

ОГЭ, линия 20: сократите дробь

20Сократите дробь. Запишите решение полностью.

\frac{2 x ^{2} - 7 x + 3}{x ^{2} - 9}

Ответ: $\frac{2 x - 1}{x + 3}$

Подсказка 1: числитель — через корни, $D = b^{2} - 4 a c$

Подсказка 2: знаменатель — разность квадратов

Подсказка 3: сократите на общий множитель

R10.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Разложите: $x^{2} - 36$ $(x - 6) (x + 6)$
Разложите: $x^{2} - 9 x + 14$ $(x - 2) (x - 7)$
Сократите: $\frac{4 x - 8}{x ^{2} - 4}$ $\frac{4}{x + 2}$
Упростите: $\frac{1}{x - 5} - \frac{10}{x ^{2} - 25}$ $\frac{1}{x + 5}$

Вариант 2

Разложите: $y^{2} - 64$ $(y - 8) (y + 8)$
Разложите: $x^{2} - 11 x + 24$ $(x - 3) (x - 8)$
Сократите: $\frac{5 x + 15}{x ^{2} - 9}$ $\frac{5}{x - 3}$
Упростите: $\frac{1}{x - 4} - \frac{8}{x ^{2} - 16}$ $\frac{1}{x + 4}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

С чего начинают разложение на множители?
Когда квадратный трёхчлен нельзя разложить?
Что можно сокращать в дроби, а что нельзя?

Домашнее задание

Разложите $3 x^{2} - 10 x + 3$
Упростите $\frac{3}{x - 1} - \frac{6}{x ^{2} - 1}$
Найдите $R$ при параллельном соединении: $R_{1} = 10$ Ом, $R_{2} = 15$ Ом
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_index.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-098 · Повторение и обобщение: квадратный трёхчлен и алгебраические дроби

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R10 «Повторение и обобщение», 6 ч · урок 2/6 · тип О (обобщение и систематизация)
Единицы → слайды	R10.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов…» → 2–23 (блок «Алгебраические выражения»: ФСУ 7 кл. → 3, 5, 7; R03 → 6–10; R04 → 11–15)
Результаты	ПР-5 / REQ-2.2 (преобразования рациональных выражений) → 2–4, 7, 11–19, 21–23 · ПР-6 / REQ-2.3 (разложение квадратного трёхчлена) → 2, 4, 6, 8–10, 16–18, 21–23 · ПР-7 / REQ-2.4 (применение преобразований) → 2, 18–20, 23
Элементы	EL-2.1 → 6–10 · EL-2.2 → 11–12 · EL-2.3 → 13–15, 19 · EL-2.4 → 16–22
ОГЭ	линия 20 (алгебраическое выражение, часть 2) → 21
Вне урока	числа, корни, степени — ALG8-097; уравнения, неравенства, функции — уроки ALG8-099–102 строки R10; деление многочленов «уголком» — не входит в ФРП 8 кл.
Хронометраж	теория 14 мин (сл. 1, 2, 4–6, 8, 9, 11, 13, 14) · практика 31 мин, 69 % (сл. 3, 7, 10, 12, 15–23)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Алгебраические выражения: квадратный трёхчлен и алгебраические дроби

Сегодня вы повторите и научитесь уверенно

Раскладывать на множители

Преобразовывать дроби

Применять преобразования

Проверять себя

Восемь быстрых вопросов — вспоминаем нужное

Что мы умеем делать с выражениями

Формулы сокращённого умножения — из площади квадрата

Четыре способа разложить на множители

Разложите на множители: сначала общий множитель

Образец

Сам

Трёхчлен ax2+bx+c на множители — три шага

Корни трёхчлена — точки, где парабола пересекает ось x

Разложите трёхчлен на множители

Сократить дробь = разложить и разделить на общий множитель

Сократите дробь по образцу

Четыре действия с алгебраическими дробями

Сложение и вычитание

Разные знаменатели

Умножение

Деление

Упростите: x−21​−x2−44​

Упростите — как в образце

Найди ошибку: четыре ловушки

Разложите или сократите

Решите — ответ откроется по клику

Умножение, деление и задача

Параллельное соединение: выразим R из формулы

ОГЭ, линия 20: сократите дробь

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-098 · Повторение и обобщение: квадратный трёхчлен и алгебраические дроби

Трёхчлен $a x^{2} + b x + c$ на множители — три шага

Корни трёхчлена — точки, где парабола пересекает ось $x$

Упростите: $\frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x ^{2} - 4}$

Параллельное соединение: выразим $R$ из формулы