Повторение и обобщение · урок 1 из 6

Числа и вычисления: корни, степени, стандартный вид

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R10 · ALG8-097

Паспорт: R10 «Повторение и обобщение» (6 ч), урок 1/6, единица R10.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов…». Тип урока — О. Этот урок — блок «Числа и вычисления» (строки R01, R02).
0 мин · титул. Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
По слайдам: цели 1 мин (сл. 2) · разминка 2 мин (сл. 3) · действительные числа 3 мин + практика 3 мин (сл. 4–7) · корни 4 мин + практика 4 мин (сл. 8–10) · степени 3 мин + практика 3 мин (сл. 11–13) · стандартный вид 2 мин + практика 3 мин (сл. 14–16) · найди ошибку 2 мин (сл. 17) · самопроверка 7 мин (сл. 18–19) · ОГЭ 2 мин (сл. 20) · самостоятельная 5 мин (сл. 21) · итог и ДЗ 1 мин (сл. 22).
Урок — обобщение: теоретические слайды (4–6, 8–9, 11–12, 14–15) показывать как сводки, опрашивая класс; основное время — на задания.
По рисунку: «Как отложить на прямой отрезок длины √2?» — диагональ единичного квадрата, циркулем на прямую.

R10.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и покажете, что умеете

Действительные числа

сравнивать, округлять, отмечать точками на координатной прямой (ПР-1, REQ-1.1)

Квадратные корни

находить корни, преобразовывать выражения по свойствам корней (ПР-2, REQ-1.2)

Степень с целым показателем

преобразовывать выражения со степенями (ПР-4, REQ-2.1)

Стандартный вид числа

записывать большие и малые числа через степени 10 (ПР-3, REQ-1.3)

1 мин · теория
ПР-1 (дословно ФРП): «Использовать начальные представления о множестве действительных чисел для сравнения, округления и вычислений, изображать действительные числа точками на координатной прямой».
ПР-2: «Применять понятие арифметического квадратного корня, находить квадратные корни, используя при необходимости калькулятор, выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни, используя свойства корней».
ПР-3: «Использовать записи больших и малых чисел с помощью десятичных дробей и степеней числа 10». ПР-4: «Применять понятие степени с целым показателем, выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем».
Вид деятельности R10: «Осуществлять самоконтроль выполняемых действий и самопроверку результата вычислений» — на каждом задании просить проверку (прикидка, обратное действие).

повторение

Разминка · устно · 2 минуты

Посчитайте устно — пригодится на уроке

1

81

9

2

0, 04

0,2

3

(- 3)^{2}

9

4

0, 3^{2}

0,09

5

2^{- 1}

0,5

6

1 0^{- 2}

0,01

7

7^{0}

1

8

4 \cdot 25

10

R10.1 (R01)

Карта темы · действительные числа

Каждое число — в своём «доме»

R10.1 (R01)

Действительные числа на прямой

Отметьте числа и сравните

- 3 < - 0, 5 < 2 < \frac{7}{3} < π

R10.1 (R01)

Оценка и приближение корня

Между какими числами лежит $40$ ?

36 < 40 < 49 \Rightarrow 6 < 40 < 7

6, 3^{2} = 39, 69 < 40 \Rightarrow 40 \approx 6, 3

R10.1 (R01) · ОГЭ 7

Сам по образцу · числа и корни · 3 минуты

Оцените, сравните, найдите на прямой

базаМежду какими целыми числами лежит $55$ ? 7 и 8
базаСравните $17$ и $4, 1$ . $17 > 4, 1$
повыш.Расположите по возрастанию: $2, 8$ ; $7$ ; $22$ . $7; 2, 8; 22$

4. ОГЭ 7 Какое из чисел отмечено на прямой точкой $A$ ?

3

5

8

10

$5$

R10.1 (R01)

Сводная таблица · квадратные корни

Четыре свойства арифметического корня

Корень из произведения

$ab = a \cdot b$

$9 \cdot 49 = 3 \cdot 7 = 21$

a \geq 0, b \geq 0

Корень из дроби

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

$\frac{25}{64} = \frac{5}{8}$

a \geq 0, b > 0

Квадрат корня

$(a)^{2} = a$

$(13)^{2} = 13$

a \geq 0

Корень из квадрата

$a^{2} = ∣ a ∣$

$(- 6)^{2} = ∣ - 6∣ = 6$

любое

a

R10.1 (R01)

Методы · выражения с корнями

Вынести, внести, привести, избавиться

Внести множитель под корень

$35 = 9 \cdot 5 = 45$

Подобные слагаемые

$50 - 18 = 52 - 32 = 22$

Корень в знаменателе

$\frac{6}{3} = \frac{6 3}{3} = 23$

R10.1 (R01)

Образец → сам · выражения с корнями · 4 минуты

Упростите по образцу

Образец

$80 - 20 + 45$

$= 16 \cdot 5 - 4 \cdot 5 + 9 \cdot 5$

$= 45 - 25 + 35$

$= 55$

база $16 \cdot 81$ 36
база $2 \cdot 32$ 8
база $200 - 50$ $52$
повыш. $\frac{10}{5}$ — без корня в знаменателе $25$
повыш.Сравните $27$ и $33$ $27 > 33$

R10.1 (R02)

Степень с целым показателем

Каждый шаг вниз — деление на 2

a^{0} = 1

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

$a \neq = 0$ , $n$ — натуральное

R10.1 (R02)

Сводная таблица · свойства степеней

Пять правил для любых целых показателей

Правило	Формула	Пример
Умножение: показатели складывают	$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$	$5^{- 4} \cdot 5^{6} = 5^{2} = 25$
Деление: показатели вычитают	$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$	$3^{2} : 3^{5} = 3^{- 3} = \frac{1}{27}$
Степень степени: перемножают	$(a^{m})^{n} = a^{mn}$	$(1 0^{- 2})^{3} = 1 0^{- 6}$
Степень произведения	$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$	$(2 x)^{- 3} = \frac{1}{8 x ^{3}}$
Степень дроби	$(\frac{a}{b})^{- n} = (\frac{b}{a})^{n}$	$(\frac{2}{3})^{- 2} = \frac{9}{4}$

R10.1 (R02)

Образец → сам · степени · 3 минуты

Найдите значение по образцу

Образец

$\frac{3 ^{- 4} \cdot 3 ^{7}}{3 ^{2}}$

$= \frac{3 ^{- 4 + 7}}{3 ^{2}} = \frac{3 ^{3}}{3 ^{2}}$

$= 3^{3 - 2} = 3^{1}$

$= 3$

база $2^{- 5} \cdot 2^{8}$ 8
база $1 0^{- 3} : 1 0^{- 5}$ 100
база $(5^{- 1})^{2}$ $\frac{1}{25}$
база $(\frac{1}{3})^{- 2}$ 9
повыш.Упростите $a^{- 3} \cdot a^{5} : a^{- 1}$ $a^{3}$

R10.1 (R02)

Стандартный вид числа

Размеры мира, метры: $a \cdot 1 0^{n}$ , где $1 \leq a < 10$

R10.1 (R02)

Методы · числа в стандартном виде

Множители — отдельно, степени 10 — отдельно

Умножение

$(3 \cdot 1 0^{5}) \cdot (4 \cdot 1 0^{- 2})$

$= 12 \cdot 1 0^{3}$

$= 1, 2 \cdot 1 0^{4}$

Деление

$\frac{8 , 4 \cdot 1 0 ^{- 3}}{2 \cdot 1 0 ^{- 7}}$

$= 4, 2 \cdot 1 0^{- 3 - (- 7)}$

$= 4, 2 \cdot 1 0^{4}$

Сравнение

$3, 2 \cdot 1 0^{- 5} ? 9, 8 \cdot 1 0^{- 6}$

$- 5 > - 6$

$3, 2 \cdot 1 0^{- 5} > 9, 8 \cdot 1 0^{- 6}$

R10.1 (R02)

Сам по образцу · стандартный вид · 3 минуты

Запишите в стандартном виде и сравните

a \cdot 1 0^{n}

, где

1 \leq a < 10

,

n

— целое

1

340000

3, 4 \cdot 1 0^{5}

2

0, 00072

7, 2 \cdot 1 0^{- 4}

3

25 \cdot 1 0^{3}

2, 5 \cdot 1 0^{4}

4

(2 \cdot 1 0^{3}) \cdot (4, 5 \cdot 1 0^{- 5})

9 \cdot 1 0^{- 2}

5повыш.

\frac{9 \cdot 1 0 ^{- 4}}{3 \cdot 1 0 ^{- 6}}

3 \cdot 1 0^{2}

6повыш.

Сравните

4, 1 \cdot 1 0^{- 3}

и

0, 0009

первое больше

R10.1

Самоконтроль · найди ошибку

Неверно — верно

Неверно	Верно
$9 + 16 = 3 + 4 = 7$	$9 + 16 = 25 = 5$
$(- 5)^{2} = - 5$	$(- 5)^{2} = ∣ - 5∣ = 5$
$2^{- 3} = - 8$	$2^{- 3} = \frac{1}{8}$
$a^{3} \cdot a^{4} = a^{12}$	$a^{3} \cdot a^{4} = a^{7}$
$45 \cdot 1 0^{3}$ — стандартный вид	$4, 5 \cdot 1 0^{4}$

R10.1

Задания с самопроверкой 1 · 4 минуты

Решите — ответы откроются по клику

базаСравните $26$ и $5, 1$ . $26 < 5, 1$
база $0, 36 + 1 \frac{9}{16}$ 1,85
база $75 - 12 + 27$ $63$

повыш. $\frac{2 ^{- 3} \cdot 4 ^{2}}{8 ^{- 1}}$ 16
повыш. $\frac{4}{5 - 1}$ — без корня в знаменателе $5 + 1$
практикаМасса Земли $5, 97 \cdot 1 0^{24}$ кг, Луны — $7, 35 \cdot 1 0^{22}$ кг. Во сколько раз Земля тяжелее? ≈ в 81 раз

R10.1

Задания с самопроверкой 2 · задача из жизни · 3 минуты

Решите — ответы откроются по клику

база $2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}$ 60
база $0, 5^{- 2} + (- 2)^{0}$ 5
повыш. $(7 - 3) (7 + 3)$ 4

повыш. $(12 + 3)^{2}$ 27
практикаСвет проходит $3 \cdot 1 0^{8}$ м за секунду. До Солнца $1, 5 \cdot 1 0^{11}$ м. За сколько секунд свет Солнца долетает до Земли? 500 с

R10.1

Формат ОГЭ · линия 8 · степени и корни

Найдите значение выражения

\frac{( 2 7 ) ^{2}}{14}

План

1) степень произведения
2) квадрат корня
3) деление

Ответ: 2

R10.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта

Вариант 1

$0, 49 + 1, 21$ 1,8
$50 + 8$ $72$
$4^{- 2} \cdot 4^{5}$ 64
$(5 \cdot 1 0^{- 3}) \cdot (6 \cdot 1 0^{7})$ $3 \cdot 1 0^{5}$

Вариант 2

$0, 81 + 1, 44$ 2,1
$27 + 12$ $53$
$3^{- 3} \cdot 3^{5}$ 9
$(4 \cdot 1 0^{- 2}) \cdot (5 \cdot 1 0^{6})$ $2 \cdot 1 0^{5}$

R10.1

Рефлексия · домашнее задание

Что я умею — что повторить

Умею: сравнить корень с числом, отметить на прямой

Умею: упростить выражение с корнями и степенями

Повторю: ошибку, которую сегодня сделал(а)

Домашнее задание

1) $98 - 32$

2) $\frac{5 ^{- 2} \cdot 5 ^{6}}{5 ^{3}}$

3) $(6 \cdot 1 0^{4}) \cdot (5 \cdot 1 0^{- 7})$ в стандартном виде

Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_index.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-097 · Повторение: числа и вычисления

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R10 «Повторение и обобщение», 6 ч · урок 1/6 · тип О
Время	теория 14 мин · практика 31 мин (69 %)
Единицы → слайды	R10.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов…» → 2–22 (опора: R01 → 4–10, R02 → 11–16)
Результаты	ПР-1 / REQ-1.1 → 3–7, 18 · ПР-2 / REQ-1.2 → 3, 6–10, 17–21 · ПР-4 / REQ-2.1 → 3, 11–13, 17–19, 21 · ПР-3 / REQ-1.3 → 14–16, 17–19, 21
ОГЭ	линия 8 (степени и корни) → 10, 13, 20 · линия 7 (числа на координатной прямой) → 7
Вне урока	алгебраические выражения, уравнения, неравенства, функции — ALG8-098…ALG8-102; кубический корень, степень с рациональным показателем — не в ФРП 8 класса
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Числа и вычисления: корни, степени, стандартный вид

Сегодня вы повторите и покажете, что умеете

Действительные числа

Квадратные корни

Степень с целым показателем

Стандартный вид числа

Посчитайте устно — пригодится на уроке

Каждое число — в своём «доме»

Отметьте числа и сравните

Между какими числами лежит 40​?

Оцените, сравните, найдите на прямой

Четыре свойства арифметического корня

Корень из произведения

Корень из дроби

Квадрат корня

Корень из квадрата

Вынести, внести, привести, избавиться

Внести множитель под корень

Подобные слагаемые

Корень в знаменателе

Упростите по образцу

Каждый шаг вниз — деление на 2

Пять правил для любых целых показателей

Найдите значение по образцу

Размеры мира, метры: a⋅10n, где 1≤a<10

Множители — отдельно, степени 10 — отдельно

Умножение

Деление

Сравнение

Запишите в стандартном виде и сравните

Неверно — верно

Решите — ответы откроются по клику

Решите — ответы откроются по клику

Найдите значение выражения

План

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Что я умею — что повторить

Домашнее задание

ALG8-097 · Повторение: числа и вычисления

Между какими числами лежит $40$ ?

Размеры мира, метры: $a \cdot 1 0^{n}$ , где $1 \leq a < 10$