Функции. Числовые функции · урок 9 из 9 · обобщение

Функции и их графики: собираем тему

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
Обобщение и систематизация по теме «Функции. Числовые функции»
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R09 · ALG8-096

0 мин · теория (титул)
Паспорт: R09 «Функции. Числовые функции» (9 ч), урок 9/9 — заключительный урок строки, единицы R09.1–R09.5. Тип урока — О (обобщение и систематизация).
Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
По слайдам: цели 1 (т) · разминка 3 (п) · карта темы 4 (т) · чтение графика 2 (п) · реальный процесс 2 (п) · пропорциональность 2 (т) · образец → сам: k 2 (п) · галерея функций 2 (т) · сводная таблица 2 (т) · точки на графике 1 (п) · самопроверка-база 2 (п) · графическое решение уравнения 2 (т) · сам: уравнения 2 (п) · система 1 (т) · сам: системы 2 (п) · сколько корней 2 (п) · типичные ошибки 1 (п) · самопроверка-повышенный 2 (п) · решаем в тетради 3 (п) · ОГЭ 2 (п) · самостоятельная 4 (п) · итог и ДЗ 1 (п).
Теория не сокращалась: все слайды обобщения (карта темы, пропорциональность, галерея, сводная таблица, разбор уравнения и системы — сл. 4, 7, 9, 10, 13, 15) оставлены полностью; практика добавлена после каждого блока (сл. 3, 8, 12, 14, 16, 19, 22).
При нехватке времени: сл. 11 (точки на графиках) — устно за полминуты; № 5 со сл. 19 и задание 5 со сл. 20 — в ДЗ.
Вопрос на титуле: «Что общего у четырёх графиков на рисунке?» — все проходят через (0; 0) и (1; 1).

R09.1–R09.5

Цели урока

Сегодня соберём всю тему «Функции» в одну картину

Читать графики

значение функции по аргументу, свойства функции по графику (ПР-12)

Узнавать и строить

графики $y = \frac{k}{x}$ , $y = x^{2}$ , $y = x^{3}$ , $y = x$ , $y = ∣ x ∣$ (ПР-13)

Решать графически

уравнения и системы, считать число решений (ПР-9)

Описывать процессы

характер изменения величины, зависимость формулой (R09, виды деятельности)

1 мин · теория
ПР-12 (REQ-4.1): «Понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические обозначения), определять значение функции по значению аргумента, определять свойства функции по ее графику».
ПР-13 (REQ-4.2): «Строить графики элементарных функций вида y = k/x, y = x², y = x³, y = √x, y = |x|, описывать свойства числовой функции по ее графику».
ПР-9 (REQ-3.2): «Проводить простейшие исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
Виды деятельности R09: «Описывать характер изменения одной величины в зависимости от изменения другой», «В несложных случаях выражать формулой зависимость между величинами».

повторение · R09.4–R09.5

Разминка · устно · 3 минуты

Посчитайте устно — всё это сегодня пригодится

1

(- 3)^{2}

9

2

(- 2)^{3}

−8

3

49

7

4

0, 36

0,6

5

∣ - 7, 5∣

7,5

6

\frac{12}{- 4}

−3

7

0, 5^{2}

0,25

8

Четверть точки $(- 4; - 1)$ ?

III

R09.1–R09.5 · карта темы

Карта темы · 4 минуты

Что мы знаем о функциях

4 мин · теория
Строим карту вместе с классом: сначала спрашиваем, потом открываем ветку. «Какими способами можно задать функцию?» — формулой, таблицей, графиком (и словесно).
«Что можно узнать по графику?» — значение функции при данном x, при каких x функция принимает данное значение, нули, промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения.
«Какие функции мы изучили?» — прямая пропорциональность y = kx (и линейная y = kx + b), обратная пропорциональность y = k/x, y = x², y = x³, y = √x, y = |x|.
Ученики перерисовывают карту в тетрадь — это опорный конспект к контрольной/повторению.

R09.1

Чтение графика · блиц

Четыре вопроса к одному графику

№	Вопрос	Ответ
1	$f (- 3)$ и $f (4)$	2 и 1
2	нули функции	−4; −1; 1; 5
3	где возрастает	$[- 5; - 3]$ , $[0; 3]$
4	наибольшее и наименьшее	2 и −2

2 мин · практика
Функция задана графиком на отрезке [−5; 5]: ломаная через (−5; −2), (−3; 2), (0; −1), (3; 2), (5; 0). Рисунок открывается в 4 шага (пунктиры к f(−3), к f(4), нули, участки роста), затем ответы в таблице.
Ответы: 1) f(−3) = 2; f(4) = 1 (на участке от (3; 2) до (5; 0) значение уменьшается на 1 за клетку). 2) нули: x = −4, −1, 1, 5 (проверка: на [−5; −3] y растёт на 2 за клетку → ноль при x = −4; на [−3; 0] убывает на 1 за клетку → ноль при x = −1; на [0; 3] растёт на 1 → ноль при x = 1). 3) возрастает на [−5; −3] и [0; 3], убывает на [−3; 0] и [3; 5]. 4) наибольшее 2 (при x = −3 и x = 3), наименьшее −2 (при x = −5).
Типичная ошибка: называть нулями значения y, а не x; путать «где возрастает» (промежутки x) с «значения растут от … до …».

R09.2

Графики реальных процессов

Бак наполнили, подождали и слили

2 мин · практика
V — объём воды в баке (л), t — время (мин). Вопрос до показа ответов: «Что происходило с водой на каждом участке?» — наливали 4 мин, 2 мин ничего не делали, 4 мин сливали.
Ответы: V(2) = 10 л; V = 15 л при t = 3 и t = 7 (две точки пересечения горизонтали V = 15 с графиком: 5 · 3 = 15; при сливе 20 − 5 · (7 − 6) = 15); объём не менялся с 4-й по 6-ю минуту; на первом участке V = 5t — прямая пропорциональность (5 л в минуту).
Доп. вопрос: с какой скоростью сливали воду? 20 л за 4 мин — 5 л/мин. Ошибка: по горизонтальному участку сказать «бак пустой» — нет, в нём 20 л, просто объём не меняется.

R09.3

Прямая и обратная пропорциональность

Прямая через начало координат и гипербола

y = k x

: прямая через

(0; 0)

;

k > 0

— I и III четверти,

k < 0

— II и IV

y = \frac{k}{x}

: гипербола,

x \neq = 0

;

k > 0

— I и III,

k < 0

— II и IV

R09.3

Образец → сам · пропорциональность · 2 минуты

Точка на графике: находим $k$

Образец

$y = \frac{k}{x}$ проходит через $A (- 2; 6)$ . Найдите $k$ и $y (3)$ .

6 = \frac{k}{- 2} \Rightarrow k = 6 \cdot (- 2) = - 12

y (3) = \frac{- 12}{3} = - 4

k < 0

— график во II и IV четвертях

база $y = k x$ проходит через $(3; - 12)$ . Найдите $k$ . −4
база $y = \frac{k}{x}$ проходит через $(4; 5)$ . Найдите $k$ и $y (- 10)$ . 20; −2
базаВ каких четвертях графики $y = - \frac{7}{x}$ и $y = 3 x$ ? II и IV; I и III
повыш. $y = \frac{k}{x}$ проходит через $(- 3; - 8)$ . Лежит ли на графике $(6; 4)$ ? да

R09.4–R09.5

Изученные функции

Четыре графика — узнаём «в лицо»

$y = x^{2}$

парабола

$y \geq 0$

$y = x^{3}$

кубическая парабола

возрастает

$y = x$

ветвь параболы

$x \geq 0, y \geq 0$

$y = ∣ x ∣$

«уголок» из двух лучей

$y \geq 0$

Все четыре графика проходят через точки

(0; 0)

и

(1; 1)

R09.3–R09.5 · сводная таблица

Сводная таблица свойств

Свойства изученных функций

Функция	Определена при	Значения	Возрастает / убывает	Опорные точки
$y = k x, k > 0$	любом $x$	любые	возрастает	$(0; 0), (1; k)$
$y = \frac{k}{x}, k > 0$	$x \neq = 0$	$y \neq = 0$	убывает при $x < 0$ и при $x > 0$	$(1; k), (k; 1)$
$y = x^{2}$	любом $x$	$y \geq 0$	↘ при $x \leq 0$ , ↗ при $x \geq 0$	$(\pm 1; 1), (\pm 2; 4)$
$y = x^{3}$	любом $x$	любые	возрастает	$(\pm 1; \pm 1), (2; 8)$
$y = x$	$x \geq 0$	$y \geq 0$	возрастает	$(1; 1), (4; 2), (9; 3)$
$y = ∣ x ∣$	любом $x$	$y \geq 0$	↘ при $x \leq 0$ , ↗ при $x \geq 0$	$(\pm 1; 1), (\pm 2; 2)$

R09.4–R09.5

Проверка по формуле

Принадлежит ли точка графику?

$A (3; 9)$ , $y = x^{2}$

$3^{2} = 9$ — да

$B (- 2; - 8)$ , $y = x^{3}$

$(- 2)^{3} = - 8$ — да

$C (9; - 3)$ , $y = x$

$9 = 3 \neq = - 3$ — нет

$D (- 5; 5)$ , $y = ∣ x ∣$

$∣ - 5 ∣ = 5$ — да

Подставляем

x

точки в формулу: получили

y

точки — точка на графике

R09.4–R09.5 · самопроверка

Задания с самопроверкой · база · 2 минуты

Значения функций и точки на графиках

1

f (x) = x^{2}

Найдите $f (- 4)$ и $f (0, 3)$

16; 0,09

2

g (x) = x

Найдите $g (64)$ и $g (1, 21)$

8; 1,1

3

h (x) = x^{3}

Найдите $h (- 3)$ и $h (0, 2)$

−27; 0,008

4

y = ∣ x ∣

При каких $x$ значение $y = 6$ ?

−6 и 6

5

y = x

Лежит ли на графике $(0, 04; 0, 2)$ ?

да

6

y = x^{2}

Лежит ли на графике $(- 7; - 49)$ ?

нет

R09.5

Графическое решение уравнения

Решим графически: $x^{2} = x + 2$

Левая часть: $y = x^{2}$
Правая часть: $y = x + 2$
Точки пересечения
Ответ — их абсциссы

x_{1} = - 1, x_{2} = 2

Проверка: $(- 1)^{2} = - 1 + 2$ ; $2^{2} = 2 + 2$

2 мин · теория (учитель разбирает образец)
Алгоритм: каждую часть уравнения считаем функцией, строим оба графика в одной системе координат, ищем точки пересечения, в ответ пишем абсциссы (x).
Ответ: −1; 2. Проверка подстановкой: 1 = 1, 4 = 4. Тот же ответ даёт квадратное уравнение x² − x − 2 = 0 (D = 1 + 8 = 9, x = (1 ± 3)/2).
Типичная ошибка: записать в ответ точки (−1; 1) и (2; 4) или ординаты 1 и 4. Напомнить: графический способ даёт приближённый ответ, поэтому корни проверяем подстановкой.

R09.5

Образец → сам · графическое решение · 2 минуты

Один рисунок — четыре уравнения

база $x^{2} = 2 x$ 0; 2
база $x^{2} = - 3 x - 2$ −2; −1
база $x^{2} = - 1$ корней нет
повыш.Сколько корней у $x^{2} = 3$ ? А у $x^{2} = 0$ ? 2 и 1

Ответ — абсциссы точек пересечения; проверяем подстановкой

2 мин · практика
Как на образце сл. 13: левая часть — парабола, правая — прямая; ответ — абсциссы точек пересечения. Ученики работают по рисунку, ответы по клику, последний щелчок — точки пересечения на рисунке.
Ответы с проверкой: 1) x² = 2x: x = 0 (0 = 0) и x = 2 (4 = 4). 2) x² = −3x − 2: x = −2 (4 = 6 − 2) и x = −1 (1 = 3 − 2). 3) прямая y = −1 лежит ниже параболы (x² ≥ 0) — корней нет. 4) прямая y = 3 пересекает параболу в двух точках (x = ±√3 ≈ ±1,7), прямая y = 0 касается её в вершине — один корень x = 0.
Ошибка: записать в ответ точки (2; 4) и (−1; 1) или ординаты. Алгебраическая проверка для сильных: x(x − 2) = 0 и x² + 3x + 2 = 0.

R09.5

Графическое решение системы

Система: $y = x$ и $y = 6 - x$

{y = x y = 6 - x

Решение системы — пара чисел: координаты точки пересечения

(4; 2)

Проверка: $4 = 2$ , $6 - 4 = 2$

R09.3 · R09.5

Образец → сам · системы · 2 минуты

Решите системы по рисунку

база ${y = \frac{4}{x} y = x$ $(- 2; - 2)$ , $(2; 2)$
база ${y = \frac{4}{x} y = 5 - x$ $(1; 4)$ , $(4; 1)$
повыш.Сколько решений у системы из $y = \frac{4}{x}$ и $y = - x$ ? ни одного

R09.5 · исследование

Исследование · сколько решений

Сколько корней у уравнения $x^{2} = a$ ?

Уравнение	$a < 0$	$a = 0$	$a > 0$
$x^{2} = a$	0	1	2
$∣ x ∣ = a$	0	1	2
$x^{3} = a$	1	1	1
$x = a$	0	1	1

Двигаем прямую $y = a$ и считаем точки пересечения

2 мин · практика (исследование)
На рисунке открываем три прямые: a = 3 — две точки (x = ±√3 ≈ ±1,7), a = 0 — одна (x = 0), a = −1,5 — ни одной (значения x² неотрицательны). Затем класс сам заполняет строки таблицы для |x|, x³, √x, мысленно двигая горизонтальную прямую по графикам сл. 9.
Ответы: |x| = a — как у x²; x³ = a — всегда один корень (кубическая парабола принимает каждое значение один раз); √x = a — один корень при a ≥ 0 (x = a²), нет корней при a < 0.
Это и есть «простейшее исследование уравнения с применением графических представлений» (ПР-9).

R09.1–R09.5

Типичные ошибки

Где чаще всего ошибаются

Ошибка	Как правильно
$- 4 = - 2$	$x$ определён только при $x \geq 0$
гипербола касается осей	$x \neq = 0$ и $y \neq = 0$ — осей она не достигает
корни уравнения — ординаты точек	корни — абсциссы $x$ точек пересечения
$y = x^{2}$ и $y = ∣ x ∣$ — одно и то же	при $x = 0, 5$ : $x^{2} = 0, 25$ , а $∣ x ∣ = 0, 5$

R09.3–R09.5 · самопроверка

Задания с самопроверкой · повышенный уровень · 2 минуты

Думаем с графиками в голове

повыш.Сколько корней у уравнений $x^{3} = - 5$ и $x = - 2$ ? 1 и 0
повыш.Найдите точки пересечения графиков $y = x^{2}$ и $y = 3 x$ . $(0; 0)$ , $(3; 9)$
повыш.Решите уравнение $∣ x ∣ = 2 - x$ , представив обе части графиками. 1
повыш.При каких $a$ уравнение $∣ x ∣ = a$ имеет два корня? $a > 0$
из жизниПуть 240 км. На сколько часов меньше займёт дорога при скорости 80 км/ч, чем при 60 км/ч? на 1 ч

2 мин · практика
Ответы открываются по одному после того, как класс решил; при разборе просим ученика объяснить по графику.
Ответы: 1) x³ = −5 — один корень (кубическая парабола принимает каждое значение один раз); √x = −2 — нет корней (√x ≥ 0). 2) x² = 3x ⇔ x(x − 3) = 0: x = 0, y = 0 и x = 3, y = 9 — точки (0; 0) и (3; 9). 3) уголок y = |x| и прямая y = 2 − x пересекаются в одной точке (1; 1): при x ≥ 0 x = 2 − x ⇒ x = 1; при x < 0 −x = 2 − x — неверно. Ответ 1. 4) при a > 0 (прямая y = a выше вершины уголка). 5) t = 240/v — обратная пропорциональность: 240 : 60 = 4 ч, 240 : 80 = 3 ч, разница 1 ч.
Если не успеваете — № 5 в домашнюю работу.

R09.1–R09.5 · закрепление

Закрепление · самостоятельно

Решаем в тетради

базаНайдите $y = x^{2}$ при $x = - 1, 5$ и $y = x$ при $x = 0, 49$ .
базаПринадлежат ли точки $(- 3; - 27)$ графику $y = x^{3}$ , а $(16; - 4)$ — графику $y = x$ ?
повыш.Решите графически уравнение $x = x - 2$ .
повыш.Сколько решений у системы ${y = ∣ x ∣ y = 3$ ? А если $y = - 1$ ?
практикаПуть 120 км. Выразите время $t$ (ч) через скорость $v$ (км/ч). Какая это зависимость? Найдите $t$ при $v = 60$ .

3 мин · практика
Ответы: 1) (−1,5)² = 2,25; √0,49 = 0,7. 2) (−3)³ = −27 — принадлежит; √16 = 4 ≠ −4 — не принадлежит. 3) x = 4: графики y = √x и y = x − 2 пересекаются в (4; 2); проверка √4 = 2 = 4 − 2 (при x = 1: √1 = 1, а 1 − 2 = −1 — не корень, если кто-то «нашёл» его алгебраически). 4) два решения: (−3; 3) и (3; 3); при y = −1 решений нет (|x| ≥ 0). 5) t = 120/v — обратная пропорциональность; t = 120 : 60 = 2 ч.
Ошибка в 1): −1,5² = −2,25 (минус не в скобках). Ошибка в 3): забыть проверку и записать два корня.
Слабым — 1, 2, 4; сильным — 3 и 5.

R09.3 · ОГЭ

В формате ОГЭ

ОГЭ, линия 11: графики и формулы

11Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

А)

Б)

В)

1)

y = \frac{4}{x}

2)

y = - \frac{4}{x}

3)

y = 2 x

4)

y = 0, 5 x

А	Б	В
2	4	1

R09.3–R09.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта

Вариант 1

$y = x^{2}$ . Найдите $y (- 6)$ . 36
Лежит ли $(25; - 5)$ на графике $y = x$ ? нет
$y = \frac{k}{x}$ проходит через $(3; - 4)$ . Найдите $k$ . −12
Сколько корней у $x^{2} = 7$ ? 2

Вариант 2

$y = x^{3}$ . Найдите $y (- 2)$ . −8
Лежит ли $(- 8; 8)$ на графике $y = ∣ x ∣$ ? да
$y = k x$ проходит через $(- 2; 10)$ . Найдите $k$ . −5
Сколько корней у $∣ x ∣ = - 3$ ? 0

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какая из функций определена только при $x \geq 0$ ?
Как графически решить уравнение?
Сколько корней может иметь $x^{2} = a$ ?

Домашнее задание

Постройте в одной системе координат $y = x$ и $y = ∣ x ∣$ . Найдите точки пересечения.
Решите графически уравнение $x^{3} = x$ .
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_obratnaya.htm

1 мин · практика
Ответы рефлексии: y = √x; построить графики левой и правой частей, найти абсциссы точек пересечения; 0, 1 или 2 корня (в зависимости от знака a).
Ответы ДЗ: 1) (0; 0) и (1; 1) — при x < 0 функция √x не определена, при x ≥ 0 |x| = x и √x = x ⇒ x = 0 или x = 1. 2) x = −1, 0, 1 (кубическая парабола и прямая y = x пересекаются в трёх точках; проверка: (−1)³ = −1, 0³ = 0, 1³ = 1).
Следующий урок — ALG8-097, строка R10 «Повторение и обобщение»: карту темы со сл. 4 ученики берут как опорный конспект.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-096 · Обобщение и систематизация по теме «Функции. Числовые функции»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R09 «Функции. Числовые функции», 9 ч · урок 9/9 · тип О (обобщение и систематизация)
Единицы → слайды	R09.1 (чтение и построение графиков) → 4, 5, 9 · R09.2 (реальные процессы) → 4, 6 · R09.3 (прямая и обратная пропорциональность) → 7, 8, 10, 16, 19–22 · R09.4 (y = x²) → 3, 9–12, 14, 17 · R09.5 ( $y = x^{2}$ , $x^{3}$ , $x$ , $∣ x ∣$ ; графическое решение уравнений и систем) → 3, 9–20, 22
Результаты	ПР-12 / REQ-4.1 → 2, 4–6, 11, 12 · ПР-13 / REQ-4.2 → 7–11, 21 · ПР-9 / REQ-3.2 → 13–17, 19, 20 · виды деятельности R09 → 6, 17, 19, 20 · соотношение теория/практика 14/31 мин (31 % / 69 %)
ОГЭ	линия 11 (графики функций — соответствие формулам) → 21
Вне урока	квадратичная функция общего вида y = ax² + bx + c и её свойства — 9 класс; функции $y = x^{3}$ , $x$ , $∣ x ∣$ с преобразованиями (сдвиги) — не изучаются; следующий урок ALG8-097 (R10 «Повторение и обобщение»)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Функции и их графики: собираем тему

Сегодня соберём всю тему «Функции» в одну картину

Читать графики

Узнавать и строить

Решать графически

Описывать процессы

Посчитайте устно — всё это сегодня пригодится

Что мы знаем о функциях

Четыре вопроса к одному графику

Бак наполнили, подождали и слили

Прямая через начало координат и гипербола

Точка на графике: находим k

Образец

Четыре графика — узнаём «в лицо»

y=x2

y=x3

y=x​

y=∣x∣

Свойства изученных функций

Принадлежит ли точка графику?

A(3;9), y=x2

B(−2;−8), y=x3

C(9;−3), y=x​

D(−5;5), y=∣x∣

Значения функций и точки на графиках

Решим графически: x2=x+2

Один рисунок — четыре уравнения

Система: y=x​ и y=6−x

Решите системы по рисунку

Сколько корней у уравнения x2=a?

Где чаще всего ошибаются

Думаем с графиками в голове

Решаем в тетради

ОГЭ, линия 11: графики и формулы

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-096 · Обобщение и систематизация по теме «Функции. Числовые функции»

Точка на графике: находим $k$

$y = x^{2}$

$y = x^{3}$

$y = x$

$y = ∣ x ∣$

$A (3; 9)$ , $y = x^{2}$

$B (- 2; - 8)$ , $y = x^{3}$

$C (9; - 3)$ , $y = x$

$D (- 5; 5)$ , $y = ∣ x ∣$

Решим графически: $x^{2} = x + 2$

Система: $y = x$ и $y = 6 - x$

Сколько корней у уравнения $x^{2} = a$ ?