Функции. Числовые функции · урок 8 из 9 · практикум

Прямая и обратная пропорциональность: графики

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональные зависимости, их графики
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R09 · ALG8-095

1 мин · теория (организационный момент)
Паспорт: R09 «Функции. Числовые функции» (9 ч), урок 8/9, единица R09.3. Тип урока — П (практикум). Новый материал был на уроке ALG8-090; сегодня — отработка четырёх типов заданий.
Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %) — всего 45 мин.
План: титул и цели 2 (сл. 1–2, т) · разминка 2 и «Какая зависимость» 2 (сл. 3–4, п) · опорная схема 3 (сл. 5, т) · тип 1: образец 2 (т) + сам 2 (п) (сл. 6–7) · тип 2: образец 2 (т) + сам 3 (п) (сл. 8–9) · тип 3: знак и модуль k 2 (т) + устно 2 (п) (сл. 10–11) · ОГЭ, линия 11 — 2 (сл. 12, п) · тип 4: образец 2 (т) + сам 3 (п) (сл. 13–14) · найди ошибку 2 (сл. 15, п) · самопроверка: база 3 и повышенный 3 (сл. 16–17, п) · закрепление 3 (сл. 18, п) · самостоятельная работа 4 (сл. 19, п) · итог и ДЗ 1 (сл. 20, п).
На рисунке: прямая $y = x$ и гипербола $y = \frac{4}{x}$ пересекаются в точках (2; 2) и (−2; −2).

R09.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Распознавать зависимость

прямую и обратную пропорциональность — по формуле и по графику (ПР-12, REQ-4.1)

Находить k и значения функции

по точке графика, по значению аргумента (ПР-12)

Строить графики

$y = k x$ и $y = \frac{k}{x}$ , описывать их свойства (ПР-13, REQ-4.2)

Выражать зависимость формулой

в задачах о скорости, цене, работе (виды деятельности ФРП)

1 мин · теория
ПР-12: «Понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические обозначения), определять значение функции по значению аргумента, определять свойства функции по ее графику». ПР-13: «Строить графики элементарных функций вида $y = \frac{k}{x}$ … описывать свойства числовой функции по ее графику».
Элемент содержания кодификатора EL-4.4 «Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональные зависимости, их графики». Вид деятельности ФРП: «В несложных случаях выражать формулой зависимость между величинами».

повторение · R09.3

Разминка · устно

Считаем в уме — ответ по клику

1) $24 : (- 6)$

$- 4$

2) $- 18 : (- 3)$

$6$

3) $- 0, 5 \cdot 8$

$- 4$

4) $12 : 0, 5$

$24$

5) $y = 3 x$ , $x = - 4$ .
$y = ?$

$- 12$

6) $y = \frac{20}{x}$ , $x = - 5$ .
$y = ?$

$- 4$

7) $x y = 18$ , $x = 6$ .
$y = ?$

$3$

8) В какой четверти точка $(- 3; 5)$ ?

II

R09.3 · повторение

Вспомним · 2 мин

Какая это зависимость?

Прямая пропорциональность

y = k x, k \neq = 0

$x$ больше в 2 раза → $y$ больше в 2 раза

Обратная пропорциональность

y = \frac{k}{x}, k \neq = 0

$x$ больше в 2 раза → $y$ меньше в 2 раза

y = 5 x

y = \frac{12}{x}

y = x + 5

x y = 8

y = \frac{x}{4}

y = \frac{3}{x} + 1

R09.3

Опорная схема

Знак k решает, в каких четвертях график

R09.3

Тип 1 · образец решения

Через A(2; 6) проходят прямая и гипербола. Их формулы?

Прямая $y = k x$ → $k = \frac{y}{x}$

k = \frac{6}{2} = 3, y = 3 x

Гипербола $y = \frac{k}{x}$ → $k = x \cdot y$

k = 2 \cdot 6 = 12, y = \frac{12}{x}

Проверка:

3 \cdot 4 = 12

— точка

(3; 4)

лежит на гиперболе

R09.3

Тип 1 · решите сами

Задайте формулой функцию по её графику

R09.3

Тип 2 · образец решения

Строим $y = - \frac{8}{x}$ по точкам и проверяем точки

x	−8	−4	−2	−1	1	2	4	8
y	1	2	4	8	−8	−4	−2	−1

A (2; - 4)

:

- \frac{8}{2} = - 4

✓ лежит

B (- 4; - 2)

:

- \frac{8}{- 4} = 2 \neq = - 2

✗ не лежит

R09.3

Тип 2 · решите сами

Функция $y = \frac{6}{x}$ : таблица, график, точки

x	−6	−3	−2	−1	1	2	3	6
y	?	?	?	?	?	?	?	?

Принадлежат ли графику точки:

C (3; 2)

D (- 2; 3)

E (12; 0, 5)

F (- 0, 5; - 12)

R09.3

Тип 3 · как читать график по k

Знак k и модуль k на графике

k > 0

: график в I и III четвертях

k < 0

: во II и IV четвертях

∣ k ∣

больше: прямая круче, ветви гиперболы дальше от O

R09.3

Тип 3 · решите устно

Читаем график по k — без рисунка

В каких четвертях график $y = - \frac{7}{x}$ ?
II и IV
В каких четвертях график $y = 0, 3 x$ ?
I и III
Какая прямая круче: $y = - 4 x$ или $y = 3 x$ ?
$y = - 4 x$ , так как $∣ - 4 ∣ > 3$

Чья ветвь дальше от O:
$y = \frac{2}{x}$ или $y = \frac{9}{x}$ ? $y = \frac{9}{x}$
График $y = \frac{k}{x}$ проходит через $(3; - 1)$ . Знак k?
$k < 0$ ( $k = - 3$ )
Может ли прямая $y = k x$ пройти через $(2; 5)$ и $(- 1; 3)$ ?
нет: $k = 2, 5$ и $k = - 3$

R09.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 11

11Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

1)

y = \frac{2}{x}

2)

y = - 2 x

3)

y = - \frac{2}{x}

4)

y = \frac{1}{2} x

А	Б	В

R09.3

Тип 4 · зависимость в задаче · образец

Путь 120 км. Как время t зависит от скорости v?

v \cdot t = 120

t = \frac{120}{v}

— обратная,

k = 120

v	20	30	40	60	120
t	6	4	3	2	1

v > 0

, поэтому график — одна ветвь гиперболы

R09.3

Тип 4 · решите сами

Запишите формулу, назовите вид зависимости, найдите значение

Ситуация	Формула	Вид	Найдите
Тетрадь стоит 35 р. За $n$ тетрадей платят $s$ р.	$s = 35 n$	прямая	$s$ при $n = 8$
Прямоугольник площадью 24 см² со сторонами $a$ и $b$ см	$b = \frac{24}{a}$	обратная	$b$ при $a = 6$
3 одинаковые трубы наполняют бассейн за 8 ч; $n$ труб — за $t$ ч	$t = \frac{24}{n}$	обратная	$t$ при $n = 4$

R09.3

Типичные ошибки

Найдите ошибку — и не повторяйте

Ветви соединили через O

✗ при $x = 0$ функция не определена

« $y = 2 x + 1$ — прямая пропорциональность»

✗ график не проходит через O

$y = - \frac{6}{x}$ , $x = - 2$ : « $y = - 3$ »

✓ $y = - \frac{6}{- 2} = 3$

2 мин · практика
Красным — ошибочный рисунок или точка, зелёным — верный.
1) Гипербола — две отдельные ветви; линия не может проходить через ось Oy. 2) $y = 2 x + 1$ — линейная функция (7 класс), но не прямая пропорциональность: при x = 0 значение 1, а не 0. 3) Деление отрицательного на отрицательное даёт положительное: верная точка (−2; 3).
Вопрос классу: какая ещё ошибка встречается при построении? (Ломаная вместо плавной линии; точки взяты только при x > 0.)

R09.3

Задания с самопроверкой · база

Решите — проверим всем классом

$y = - 2 x$ . Найдите $y$ при $x = - 3, 5$ .
$y = 7$
$y = \frac{18}{x}$ . Найдите $x$ , если $y = - 6$ .
$x = - 3$
График $y = k x$ проходит через $(- 5; 15)$ . Найдите k.
$k = - 3$

График $y = \frac{k}{x}$ проходит через $(4; - 2)$ . Найдите k.
$k = - 8$
Принадлежит ли графику $y = \frac{10}{x}$ точка $(- 4; - 2, 5)$ ?
да
Вид зависимости: $y = \frac{x}{7}$ и $y = \frac{7}{x}$ ?
прямая; обратная

R09.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Решите — ответы откроем по одному

Точка $A (a; - 3)$ лежит на графике $y = \frac{12}{x}$ . Найдите $a$ . $a = - 4$
$y$ обратно пропорционален $x$ ; при $x = 4$ значение $y = 9$ . Найдите $y$ при $x = 6$ . $y = 6$
Найдите точки пересечения графиков $y = \frac{8}{x}$ и $y = 2 x$ . $(2; 4)$ , $(- 2; - 4)$
Графики $y = \frac{k}{x}$ и $y = - 3 x$ пересекаются в точке с абсциссой $- 2$ .
Найдите k и вторую общую точку. $k = - 12$ ; $(2; - 6)$

R09.3

Закрепление

Решите

базаГрафик $y = k x$ проходит через точку $M (4; - 10)$ . Найдите k. $k = - 2, 5$
базаПринадлежит ли графику $y = \frac{15}{x}$ точка $P (- 3; - 5)$ ? да
повыш.Графики $y = 2 x$ и $y = \frac{k}{x}$ проходят через точку с абсциссой 3. Найдите k. $k = 18$

повыш.График $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку $(- 0, 5; 8)$ . Найдите k. В каких четвертях лежит график? $k = - 4$ ; II и IV
практикаПоезд идёт 4 ч со скоростью 90 км/ч. За сколько часов он пройдёт этот путь со скоростью 120 км/ч? 3 ч

R09.3

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 минуты

Вариант 1

$y = \frac{k}{x}$ проходит через $(- 3; 4)$ . k? $- 12$
$y = k x$ проходит через $(2; - 7)$ . k? $- 3, 5$
Лежит ли $(5; - 4)$ на графике $y = - \frac{20}{x}$ ? да
6 насосов откачивают воду за 4 ч. За сколько часов откачают 8 насосов? 3 ч

Вариант 2

$y = \frac{k}{x}$ проходит через $(5; - 2)$ . k? $- 10$
$y = k x$ проходит через $(- 4; 10)$ . k? $- 2, 5$
Лежит ли $(- 3; 6)$ на графике $y = \frac{18}{x}$ ? нет
5 кг яблок стоят 450 р. Сколько стоят 7 кг таких яблок? 630 р.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем график прямой пропорциональности отличается от гиперболы?
Как найти k по точке графика?
Почему гипербола не пересекает оси?

Домашнее задание

Постройте график $y = - \frac{4}{x}$ по 8 точкам.
Прямая пропорциональность: график проходит через $(- 3; 12)$ . Формула?
8 рабочих выполняют работу за 9 дней. За сколько дней её выполнят 12 рабочих?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_obratnaya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-095 · Практикум: функции прямой и обратной пропорциональности, их графики

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R09 «Функции. Числовые функции», 9 ч · урок 8/9 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R09.3 «Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональные зависимости, их графики» → 3–20
Результаты	ПР-12 / REQ-4.1 (функциональный язык, значение функции по аргументу, свойства по графику) → 3, 4, 6–9, 11, 12, 16–19 · ПР-13 / REQ-4.2 (графики $y = \frac{k}{x}$ , свойства) → 5, 8–11, 15, 17, 20 · EL-4.4 → 5–19 · вид деятельности «выражать формулой зависимость» → 13, 14, 17–19
Вне урока	график $y = x^{2}$ — ALG8-091; функции $y = x^{3}$ , $y = x$ , $y = ∣ x ∣$ и графическое решение уравнений (R09.5) — ALG8-092; обобщение строки — ALG8-096; линейная функция $y = k x + b$ — курс 7 класса (упомянута только как контрпример, сл. 4, 15)
Хронометраж	теория 13 мин (сл. 1, 2, 5, 6, 8, 10, 13) · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Прямая и обратная пропорциональность: графики

Сегодня вы научитесь

Распознавать зависимость

Находить k и значения функции

Строить графики

Выражать зависимость формулой

Считаем в уме — ответ по клику

Какая это зависимость?

Прямая пропорциональность

Обратная пропорциональность

Знак k решает, в каких четвертях график

Через A(2; 6) проходят прямая и гипербола. Их формулы?

Прямая y=kx → k=xy​

Гипербола y=xk​ → k=x⋅y

Задайте формулой функцию по её графику

Строим y=−x8​ по точкам и проверяем точки

Функция y=x6​: таблица, график, точки

Знак k и модуль k на графике

Читаем график по k — без рисунка

Путь 120 км. Как время t зависит от скорости v?

Запишите формулу, назовите вид зависимости, найдите значение

Найдите ошибку — и не повторяйте

Ветви соединили через O

«y=2x+1 — прямая пропорциональность»

y=−x6​, x=−2: «y=−3»

Решите — проверим всем классом

Решите — ответы откроем по одному

Решите

Два варианта · 4 минуты

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-095 · Практикум: функции прямой и обратной пропорциональности, их графики

Прямая $y = k x$ → $k = \frac{y}{x}$

Гипербола $y = \frac{k}{x}$ → $k = x \cdot y$

Строим $y = - \frac{8}{x}$ по точкам и проверяем точки

Функция $y = \frac{6}{x}$ : таблица, график, точки

« $y = 2 x + 1$ — прямая пропорциональность»

$y = - \frac{6}{x}$ , $x = - 2$ : « $y = - 3$ »