Функции · практикум · урок 7 из 9

Практикум: графики реальных процессов

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R09 · ALG8-094

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R09 «Функции. Числовые функции» (9 ч), урок 7/9, единица R09.2 «Примеры графиков функций, отражающих реальные процессы». Тип П (практикум). До него: ALG8-091 y = x², 092 функции y = x³, √x, |x|, 093 практикум «Чтение и построение графиков». Следующий ALG8-095 — прямая и обратная пропорциональность (R09.3).
Хронометраж: теория 13 мин · практика 32 мин (71 %). Итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (2), образцы с разбором учителем — сл. 5 (3), 8 (3), 11 (2), 14 (2), итоговые вопросы и ДЗ — сл. 20 (1). Все образцы, формулы и схемы показываются полностью.
Практика (32 мин): разминка и блиц (сл. 3–4) 4 · «образец → сам» (сл. 6, 9, 12, 15) 11 · задания с самопроверкой (сл. 7, 10, 13) 6 · задача из жизни «тарифы» (сл. 16) 3 · «найди ошибку» (сл. 17) 2 · формат ОГЭ (сл. 18) 2 · самостоятельная работа (сл. 19) 4.
Если не успеваете: задание 5в (сл. 12) и задание 7в (сл. 16) — в ДЗ; теорию не сокращать.

R09.2

Цели практикума

Сегодня вы научитесь

Читать график

находить значение одной величины по значению другой (ПР-12)

Описывать процесс

растёт, убывает, не меняется, как быстро (ПР-12)

Записывать формулу

зависимости между величинами в несложных случаях (ПР-10)

Сопоставлять

ситуацию и её график, сравнивать два процесса (ПР-12, ПР-9)

1 мин · теория
ПР-12 (= REQ-4.1): «Понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические обозначения), определять значение функции по значению аргумента, определять свойства функции по ее графику». ПР-10: «Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели…». ПР-9: простейшие исследования с применением графических представлений. Элемент содержания EL-4.3 «Примеры графиков функций, отражающих реальные процессы».
Виды деятельности ФРП (строка R09): «Находить с помощью графика функции значение одной из рассматриваемых величин по значению другой. В несложных случаях выражать формулой зависимость между величинами. Описывать характер изменения одной величины в зависимости от изменения другой».

R09.2 · повторение

Разминка · 2 минуты

Как меняется величина? Приведите пример

повторение · R09.2

Разминка · устно · блиц

Считаем в уме — пригодится для графиков

Скорость, путь, время

60 км за 2 ч. Скорость? 30 км/ч
15 км/ч, 3 ч. Путь? 45 км
2 ч 30 мин — это сколько часов? 2,5 ч
0,75 ч — сколько минут? 45 мин

Значение по формуле и изменение

$V = 40 - 8 t$ , $t = 3$ . $V$ ? 16
$C = 100 + 20 x$ , $x = 5$ . $C$ ? 200
Было −3 °C, потеплело на 5 °C. Стало? 2 °C
Заряд упал с 90 % до 50 % за 4 ч. Сколько % в час? 10 %

R09.2

Тип 1 · образец · читаем график

Температура воздуха за сутки

1) В 10 ч: 3 °C

2) Наибольшая 6 °C — в 14 ч

3) 0 °C — в 8 ч и в 21 ч

4) Выше нуля:

21 - 8 = 13

ч

Аргумент — время. Значение: вверх до графика → влево на ось.

R09.2

Тип 1 · самостоятельно · 3 минуты

Заряд батареи телефона в течение дня

1база

а) Каким был заряд в 12 ч?

б) В какое время телефон заряжали?

в) Когда заряд был равен 80 %?

2повыш.

а) Что происходило с 12 до 14 ч?

б) На сколько процентов в час разряжался телефон с 18 до 22 ч?

R09.2

Задания с самопроверкой · читаем график

Пульс спортсмена на тренировке

1база

а) Пульс через 10 мин? 120

б) Наибольший пульс? Сколько минут он держался? 160; 10 мин

в) Когда пульс был 140 уд/мин? 18 и 32 мин

2повыш.

а) На сколько уд/мин пульс рос за каждую минуту с 16 до 20 мин? на 10

б) Сколько минут пульс был выше 120? 18 мин

2 мин · практика
Одна клетка: по горизонтали 2 мин, по вертикали 10 уд/мин. Ось пульса начинается с 60 — обратить внимание.
Ответы (по клику): 1а) 120 уд/мин; 1б) 160 уд/мин, с 20 до 30 мин — 10 мин; 1в) на подъёме 16–20 мин пульс растёт на 10 уд/мин за минуту: 120 → 140 за 2 мин — в 18 мин; на спаде 30–38 мин падает на 10 уд/мин за минуту (160 → 80 за 8 мин): 140 — в 32 мин. Два ответа.
2а) (160 − 120) : 4 = 10. 2б) выше 120 — от 16 мин до момента, когда на спаде снова 120: 30 + 4 = 34 мин; 34 − 16 = 18 мин.
Работа в парах: решают, щелчком открываем ответы и горизонталь 140 на графике.

R09.2

Тип 2 · образец · график движения

Турист: расстояние от лагеря

v = \frac{s}{t}

на участке: изменение

s

: время

↗ удаляется:

10 : 2 = 5

→ стоит:

s

не меняется

↗

(14 - 10) : 1 = 4

↘ возвращается:

14 : 2 = 7

3 мин · теория (образец разбирает учитель)
Читаем участки слева направо. 0–2 ч: удалился на 10 км, v = 5 км/ч. 2–3 ч: привал (горизонтальный участок — расстояние не меняется). 3–4 ч: ещё 4 км, v = 4 км/ч. 4–6 ч: вернулся в лагерь (s = 0), 14 км за 2 ч — 7 км/ч.
Вопросы: «Где турист был дальше всего от лагеря?» 14 км, через 4 ч. «Сколько всего прошёл?» 14 + 14 = 28 км. «Где шёл быстрее всего?» На обратном пути — самый крутой участок.
Ошибка: «горизонтальный участок — идёт равномерно». Нет, стоит на месте.

R09.2

Тип 2 · самостоятельно · 3 минуты

Автомобиль: путь от времени

3база

а) Какой путь проехал за 1 ч?

б) Сколько минут стоял?

в) Найдите скорость на 1-м и 3-м участках.

4повыш.

а) Через сколько времени после старта автомобиль проехал 180 км?

б) Найдите среднюю скорость за 4 ч.

R09.2

Задания с самопроверкой · два графика движения

Петя и Вася едут из посёлка по одной дороге

1база

а) Кто выехал раньше и на сколько? Петя, на 1 ч

б) Скорость Пети в первые 2 ч и скорость Васи? 15 и 20 км/ч

в) Сколько времени стоял Петя? 1 ч

2повыш.

а) Через сколько часов после выезда Пети и на каком расстоянии Вася его догнал? 2,5 ч; 30 км

б) Какое расстояние между ними через 4 ч? 15 км

2 мин · практика
Одна клетка: по горизонтали 0,5 ч, по вертикали 5 км. Время отсчитывается от выезда Пети.
Ответы (по клику): 1а) Петя, Вася выехал через 1 ч. 1б) Петя: 30 : 2 = 15 км/ч; Вася: 60 : 3 = 20 км/ч (с 1 до 4 ч). 1в) с 2 до 3 ч — 1 ч.
2а) точка пересечения графиков: Вася проезжает 30 км за 30 : 20 = 1,5 ч, т. е. в момент 1 + 1,5 = 2,5 ч; Петя в это время стоит на 30 км. 2б) Петя: 30 + 15 · 1 = 45 км, Вася: 60 км; 60 − 45 = 15 км.
Вывод: точка пересечения графиков пути — момент встречи (обгона). Это ПР-9 — сравниваем два процесса по графикам.

R09.2

Тип 3 · образец · ситуация → формула → график

В баке 40 л бензина, расход 8 л в час

через 1 ч:

40 - 8 \cdot 1 = 32

л

через

t

ч:

V = 40 - 8 t

бак пуст:

40 - 8 t = 0, t = 5

График — отрезок:

0 \leq t \leq 5

, ведь время и объём не бывают отрицательными.

R09.2

Тип 3 · самостоятельно · 3 минуты

Запишите формулу зависимости

5абаза

Свеча длиной 20 см сгорает на 2,5 см в час. Запишите длину $h$ через $t$ ч. Когда свеча сгорит? Постройте график.

5ббаза

Поезд идёт со скоростью 80 км/ч. Формула пути $s (t)$ ? Найдите $s (2, 5)$ .

5вповыш.

В бассейне 50 $м^{3}$ воды, вливается 25 $м^{3}$ в час. Объём бассейна 300 $м^{3}$ . Когда он наполнится?

R09.2

Задания с самопроверкой · ситуация → формула

Запишите формулу и ответьте на вопрос

базаВ ведре 12 л воды, вытекает 0,5 л в минуту. Формула $V (t)$ ? Когда ведро опустеет? $V = 12 - 0, 5 t$ ; 24 мин
базаПосадка в такси 80 руб., каждый км — 25 руб. Формула $C (x)$ ? Цена поездки на 12 км? $C = 80 + 25 x$ ; 380 руб.
повыш.Вода 20 °C нагревается на 16 °C в минуту. Формула $T (t)$ ? Через сколько минут закипит? $T = 20 + 16 t$ ; 5 мин

повыш.Высота столбика воды в сосуде с краном:

$t$ , мин	0	1	2	3
$h$ , см	30	26	22	18

Формула $h (t)$ ? Когда вода вытечет?

h = 30 - 4 t

; через 7,5 мин

R09.2

Тип 4 · образец · рассказ → эскиз графика

Объём воды в ванне: рисуем по частям

R09.2

Тип 4 · самостоятельно · 2 минуты

Какой график к какой ситуации? Один — лишний

6повыш.

1Чайник вскипятили и выключили: температура воды.

2Ученик пошёл в школу, вернулся домой за тетрадью и побежал в школу: расстояние от дома.

3Самолёт взлетел, летел на одной высоте, сел: высота.

R09.2

Задача из жизни · 3 минуты

Какое такси выгоднее?

А: посадка 100 руб. + 20 руб. за км

Б: 30 руб. за км, без посадки

7практика

а) Формулы $C_{А} (x)$ и $C_{Б} (x)$ ?

б) При каком $x$ цены равны?

в) Какое такси выгоднее на 6 км? На 14 км?

R09.2

Типичные ошибки

Найдите ошибку в рассуждении

Ошибка	Как правильно
«Горизонтальный участок — едет равномерно»	Расстояние не меняется — стоит
«За 2 ч проехал 120 км — 120 км/ч»	$v = 120 : 2 = 60$ км/ч
«График похож на горку — машина ехала в гору»	График — зависимость величин, а не рисунок дороги
«По горизонтали — путь, по вертикали — время»	Сначала прочитать подписи осей и цену клетки
« $V = 40 - 8 t$ , при $t = 6$ в баке −8 л»	Учитываем смысл: $0 \leq t \leq 5$

R09.2

Формат ОГЭ · часть 1

Задание 12: расчёт по формуле

12Перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта позволяет формула $t_{F} = 1, 8 t_{C} + 32$ , где $t_{C}$ — температура в градусах Цельсия, $t_{F}$ — в градусах Фаренгейта.

Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 95° по шкале Фаренгейта?

Подставьте:

95 = 1, 8 t_{C} + 32

Перенесите 32, затем разделите на 1,8.

Проверьте подстановкой ответа.

R09.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Машина проехала 150 км за 2,5 ч. Скорость? 60 км/ч
В баке 50 л, расход 10 л в час. Формула $V (t)$ ; когда бак опустеет? $V = 50 - 10 t$ ; 5 ч
Связь: 200 руб. + 3 руб. за минуту. Цена 40 мин? 320 руб.
Свеча 24 см, через 2 ч — 18 см. Когда сгорит вся? через 8 ч

Вариант 2

Велосипедист проехал 45 км за 3 ч. Скорость? 15 км/ч
В бочке 60 л, вытекает 4 л в минуту. Формула $V (t)$ ; когда опустеет? $V = 60 - 4 t$ ; 15 мин
Связь: 150 руб. + 4 руб. за минуту. Цена 30 мин? 270 руб.
Свеча 30 см, через 3 ч — 21 см. Когда сгорит вся? через 10 ч

рефлексия · ДЗ

Итог практикума

Проверьте себя

Ответьте одной фразой

Что значит горизонтальный участок?
Как по графику найти скорость?
Почему график бака — отрезок?

Домашнее задание

Связь: 150 руб. в месяц + 2 руб./мин. Формула, цена 80 мин, сколько минут на 400 руб.?
Эскиз: шёл в парк 20 мин, гулял 30 мин, вернулся за 15 мин.

Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_obratnaya.htm

1 мин · теория (итоговые вопросы, ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) C = 150 + 2m; C(80) = 310 руб.; 150 + 2m = 400 ⇒ m = 125 мин. 2) Эскиз расстояния от дома: рост 0–20 мин, горизонтальный участок 20–50 мин, спад до нуля 50–65 мин (круче первого участка).
Ответы на вопросы: величина не меняется (объект стоит); изменение пути разделить на время участка; время и объём не бывают отрицательными, 0 ≤ t ≤ 5.
Следующий урок ALG8-095 — функции прямой и обратной пропорциональности, их графики (R09.3).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-094 · Практикум: Примеры графиков функций, отражающих реальные процессы

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R09 «Функции. Числовые функции», 9 ч · урок 7/9 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R09.2 «Примеры графиков функций, отражающих реальные процессы» → 2–20
Результаты	ПР-12 / REQ-4.1 (значение функции по значению аргумента, свойства функции по графику) → 3–10, 14–16, 19 · ПР-10 (от словесной формулировки к модели) → 4, 11–13, 16, 18–19 · ПР-9 (графическое исследование) → 10, 16 · EL-4.3 · хронометраж: теория 13 мин, практика 32 мин (71 %)
Вне урока	прямая и обратная пропорциональность — R09.3 (ALG8-095); $y = x^{2}$ , $y = x^{3}$ , $y = x$ , $y = ∣ x ∣$ — R09.4–R09.5 (ALG8-091, 092); графическое решение систем — R09.5; обобщение — ALG8-096
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending