Функции · практикум · урок 6 из 9

Практикум: чтение и построение графиков функций

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R09 · ALG8-093

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R09 «Функции. Числовые функции» (9 ч), урок 6/9, единица R09.1 «Чтение и построение графиков функций». Тип урока — П (практикум). Это второй урок по R09.1: новый материал был на ALG8-088; затем 089–092 (реальные процессы, пропорциональности, y = x², y = x³, √x, |x|). Сегодня — отработка типов заданий, без нового материала.
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13): титул 1 · цели 1 · образцы типов 1–3 по 3 мин (сл. 5, 8, 11) · образец типа 4 — 2 (сл. 14).
Практика (32): разминка 2 + 1 (сл. 3–4) · тип 1: 3 + 2 (сл. 6–7) · тип 2: 3 + 2 (сл. 9–10) · тип 3: 3 + 2 (сл. 12–13) · тип 4: 1 + 2 (сл. 15–16) · найди ошибку 1 (сл. 17) · ОГЭ 2 (сл. 18) · задача из жизни 2 (сл. 19) · самостоятельная 4 (сл. 20) · рефлексия и ДЗ 2 (сл. 21).
Если не успеваете: задание 2 (сл. 9) решить по пунктам а–в, остальное в ДЗ; задание 6 (сл. 16) и задачу из жизни (сл. 19) перенести в ДЗ. Самостоятельную (сл. 20) не сокращать.

R09.1

Цели практикума

Сегодня вы научитесь уверенно

Находить по графику

значение функции по аргументу и аргумент по значению (ПР-12)

Читать свойства

$D (f)$ , $E (f)$ , нули, знаки, возрастание и убывание (ПР-12)

Строить график

по таблице значений: точки → плавная линия (ПР-13)

Проверять точку

принадлежит ли она графику — без построения (ПР-12)

1 мин · теория
ПР-12 (= REQ-4.1): «Понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические обозначения), определять значение функции по значению аргумента, определять свойства функции по ее графику». ПР-13 (= REQ-4.2): «Строить графики элементарных функций… описывать свойства числовой функции по ее графику». Элемент содержания EL-4.2 «График функции. Чтение свойств функции по ее графику».
Вид деятельности ФРП: «Находить с помощью графика функции значение одной из рассматриваемых величин по значению другой… Применять цифровые ресурсы для построения графиков функций» (сл. 16, проверка в построителе).

R09.1 · повторение

Разминка · устно · 2 минуты

Считаем значения — без тетради

$f (x) = 2 x - 3$ . $f (0)$ ? $- 3$
$f (- 1)$ ? $- 5$
При каком $x$ $f (x) = 5$ ? $x = 4$
$(- 3)^{2}$ и $- 3^{2}$ $9$ и $- 9$

$(- 2)^{2} - 2 \cdot (- 2)$ $8$
$g (x) = x^{2}$ . $g (- 4)$ ? $16$
На какой оси точка $(0; 7)$ ? на $O y$
Точка ниже оси $O x$ : знак $y$ ? $y < 0$

R09.1 · повторение

Разминка · координаты

Точка на плоскости: сначала $x$ , потом $y$

Координаты точек $A$ , $B$ , $D$ ?
$A (2; 3), B (- 3; 1), D (- 2; - 3)$
Какие точки лежат на осях?
$C$ — на $O y$ , $E$ — на $O x$
У какой точки $y = - 2$ , а $x > 0$ ?
$F (3; - 2)$

(x; y)

:

\to

по

O x

,

↑

по

O y

R09.1

Тип 1 · образец

Значение по аргументу и аргумент по значению

f (- 3)

: от

x = - 3

вверх до графика → $3$

f (4)

: от

x = 4

вниз до графика → $- 1$

f (x) = 1

: прямая

y = 1

→ $x = - 5; - 2; 2$

Ищем все точки пересечения прямой

y = c

с графиком.

3 мин · теория (учитель разбирает образец; похожие задания — сл. 6–7)
Алгоритм «x → y»: на оси Ox отметить аргумент, подняться (опуститься) до графика, перейти к оси Oy, прочитать значение. Алгоритм «y → x»: провести прямую y = c, отметить все общие точки с графиком, опустить перпендикуляры на Ox.
Проверка по узлам ломаной: график проходит через (−5; 1), (−3; 3), (0; −3), (2; 1), (5; −2). На отрезке от (−3; 3) до (0; −3) y уменьшается на 2 при шаге 1: f(−2) = 1. На последнем звене f(4) = 1 − 2 = −1.
Вопрос классу: «Сколько корней у уравнения f(x) = 3? f(x) = 4?» — один (x = −3); ни одного: 4 больше наибольшего значения.

R09.1

Тип 1 · самостоятельно · 3 минуты

Прочитайте график функции $y = g (x)$

1база

Найдите по графику:

а)

g (- 3); g (1); g (4)

1; 0; 0

При каких $x$ :

б)

g (x) = 2

;

- 2; 2

в)

g (x) = 0

;

- 4; - 1; 1; 4

г)

g (x) = 3

? нет таких

R09.1

Тип 1 · задания с самопроверкой · 2 минуты

Читаем график функции $y = p (x)$

база $p (- 4)$ , $p (0)$ , $p (3)$ $1; 2; - 1$
база $p (x) = 3$ $x = - 3; 1$
база $p (x) = 0$ $x = - 4, 5; 2, 5$
повыш.Сколько корней у $p (x) = 2$ ? $4$

R09.1

Тип 2 · образец

Свойства функции — по графику

$D (f)$ — все $x$ графика	$[- 4; 4]$
$E (f)$ — все $y$ графика	$[- 2; 2]$
нули: $f (x) = 0$	$- 3; 0; 2$
возрастает	$[- 4; - 2]$ и $[1; 4]$
убывает	$[- 2; 1]$
$f (x) > 0$ — выше $O x$	$(- 3; 0)$ и $(2; 4]$

3 мин · теория (учитель разбирает образец; похожие задания — сл. 9–10)
Узлы: (−4; −2), (−2; 2), (1; −1), (4; 2). D — проекция графика на Ox, E — проекция на Oy. Наибольшее значение 2 (при x = −2 и x = 4), наименьшее −2 (при x = −4).
Нули: x = −3 (звено от (−4; −2) к (−2; 2), подъём 2 на шаг 1), x = 0, x = 2. Знаки: f(x) < 0 на [−4; −3) и (0; 2).
Возрастание читаем слева направо: «график идёт вверх». Концы промежутков пишем в квадратных скобках, нули в промежутках знакопостоянства — в круглых (в нуле f = 0).
Вопрос классу: «Точка (1; −1) — наименьшее значение?» Нет: это нижняя точка только рядом с x = 1, а наименьшее значение на всей D равно −2.

R09.1

Тип 2 · самостоятельно · 3 минуты

Опишите свойства функции $y = h (x)$

2повыш.

По графику укажите:

а) $D (h)$ и $E (h)$ ;

б) нули функции;

в) промежутки возрастания и убывания;

г) при каких $x$ $h (x) < 0$ ;

д) наибольшее и наименьшее значения.

3 мин · практика (ответы — в заметках; похожие задания с ответами по клику — сл. 10)
Узлы: (−5; 2), (−3; −2), (0; 1), (2; 1), (5; −2).
а) D = [−5; 5], E = [−2; 2]. б) x = −4; −1; 3. в) возрастает на [−3; 0]; убывает на [−5; −3] и [2; 5]; на [0; 2] функция постоянна (h = 1) — ни возрастает, ни убывает. г) (−4; −1) и (3; 5]. д) наибольшее 2 (при x = −5), наименьшее −2 (при x = −3 и x = 5).
Вопрос для сильных: «Сколько корней у уравнения h(x) = 1?» Бесконечно много: весь отрезок [0; 2] и ещё x = −4,5 (звено от (−5; 2) к (−3; −2): 2 − 2 · 0,5 = 1).

R09.1

Тип 2 · задания с самопроверкой · 2 минуты

Свойства функции $y = q (x)$ — по графику

$D (q)$	$[- 4; 3]$
$E (q)$	$[- 2; 3]$
нули	$- 2, 5; - 1; 2$
возрастает	$[- 2; 1]$
убывает	$[- 4; - 2]$ и $[1; 3]$
$q (x) > 0$	$[- 4; - 2, 5)$ и $(- 1; 2)$

R09.1

Тип 3 · образец

Строим график $y = x^{2} - 2 x$ по таблице

1. Таблица значений

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$3$	$0$	$- 1$	$0$	$3$

2. Отмечаем точки 3. Соединяем плавной линией

Читаем: нули

x = 0

и

x = 2

; наименьшее значение

- 1

при

x = 1

; ось симметрии

x = 1

.

3 мин · теория (учитель разбирает образец; похожие задания — сл. 12–13)
Вычисления: x = −1: 1 + 2 = 3; x = 0: 0; x = 1: 1 − 2 = −1; x = 2: 4 − 4 = 0; x = 3: 9 − 6 = 3. Отрицательный x — в скобках: (−1)² − 2 · (−1).
Почему не ломаная: между узлами функция принимает и промежуточные значения, например y(0,5) = 0,25 − 1 = −0,75 — точка лежит ниже отрезка, соединяющего (0; 0) и (1; −1). График — парабола.
Совет: выбирать x симметрично относительно вершины (одинаковые y у x = 0 и x = 2, у x = −1 и x = 3) — это самопроверка.

R09.1

Тип 3 · самостоятельно · 3 минуты

Постройте график функции $y = x^{2} - 4$

3база

а) Заполните таблицу и постройте график:

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	?	?	?	?	?	?	?
$y$	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$

б) По графику найдите нули и наименьшее значение функции.

в) При каких $x$ $y < 0$ ?

R09.1

Тип 3 · образец → сам · 2 минуты

Заполните таблицы — первый шаг построения

1. $y = - x^{2} + 2 x$ наибольшее $1$ при $x = 1$

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$- 3$	$0$	$1$	$0$	$- 3$

2. $y = \frac{6}{x}$ $x = 0$ нельзя: $0 \in / D$

$x$	$- 6$	$- 3$	$- 2$	$1$	$2$	$3$	$6$
$y$	$- 1$	$- 2$	$- 3$	$6$	$3$	$2$	$1$

3. $y = ∣ x ∣ - 2$ нули $x = \pm 2$

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$1$	$0$	$- 1$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$

2 мин · практика
Работа в парах: первый заполняет таблицу 1, второй — 2, вместе — 3. Строка ответов и вывод открываются по клику.
1) x = −1: −1 − 2 = −3; 0; 1: −1 + 2 = 1; 2: −4 + 4 = 0; 3: −9 + 6 = −3. Парабола ветвями вниз, вершина (1; 1), наибольшее значение 1.
2) 6 : (−6) = −1; 6 : (−3) = −2; 6 : (−2) = −3; 6; 3; 2; 1. Гипербола, x = 0 не входит в область определения — в таблицу не берём.
3) |−3| − 2 = 1; 0; −1; −2; −1; 0; 1. График — «уголок» с вершиной (0; −2), нули ±2. Симметрия значений — самопроверка.

R09.1

Тип 4 · образец

Принадлежит ли точка графику? Подставьте $x$

M (x_{0}; y_{0})

на графике

\Leftrightarrow y_{0} = f (x_{0})

A (- 2; 8)

:

(- 2)^{2} - 2 \cdot (- 2) = 4 + 4 = 8

$= 8$ ✓

B (4; 6)

:

4^{2} - 2 \cdot 4 = 16 - 8 = 8

$\neq = 6$ ✗

Строить график не нужно: подставляем $x$ , сравниваем $y$ .

2 мин · теория (учитель разбирает образец; похожие задания — сл. 15–16)
Точка лежит на графике функции, если её координаты обращают формулу в верное равенство: вместо x подставить абсциссу, сравнить результат с ординатой.
A принадлежит графику; B не принадлежит: при x = 4 значение функции 8, а у точки y = 6 — точка ниже графика.
Масштаб рисунка по осям разный (по Oy клетка мельче) — так удобно показать точки с большими y. Вопрос: «Какая точка графика имеет абсциссу 4?» — (4; 8).

R09.1

Тип 4 · блиц · 1 минута

Лежит ли точка на графике $y = 3 x - 5$ ?

$A (2; 1)$ да
$B (0; 5)$ нет: $y (0) = - 5$
$C (- 1; - 8)$ да
$D (4; 6)$ нет: $y (4) = 7$

$E (1, 5; - 0, 5)$ да
$F (- 2; 1)$ нет: $y (- 2) = - 11$
повыш. $(a; 10)$ на графике. $a$ ? $a = 5$

R09.1

Тип 4 и практика · самостоятельно · 2 минуты

Без построения — по формуле

4база

Принадлежат ли графику

y = 2 x^{2} - 3

точки

A (- 2; 5)

,

B (1, 5; 1, 5)

,

C (- 1; 1)

?да, да, нет

5повыш.

Найдите точки пересечения графика

y = - x^{2} + 4

с осями координат.

(0; 4), (\pm 2; 0)

6практика

График

y = k x + 3

проходит через точку $(2; - 1)$ . Найдите $k$ и постройте график. Проверьте его в построителе графиков.

k = - 2

2 мин · практика (задание 6 можно перенести в ДЗ)
4) A: 2 · 4 − 3 = 5 — да; B: 2 · 2,25 − 3 = 4,5 − 3 = 1,5 — да; C: 2 · 1 − 3 = −1 ≠ 1 — нет.
5) С Oy (x = 0): y = 4, точка (0; 4). С Ox (y = 0): −x² + 4 = 0, x² = 4, x = ±2 — точки (−2; 0) и (2; 0). Это та же парабола, что в ОГЭ (Б) на сл. 18.
6) −1 = 2k + 3 ⇒ 2k = −4 ⇒ k = −2; y = −2x + 3 — прямая через (0; 3) и (2; −1). Построитель — любой цифровой ресурс класса (интерактивная доска, онлайн-построитель); вид деятельности ФРП «Применять цифровые ресурсы для построения графиков функций». Можно дома.

R09.1

Осторожно

Найдите ошибку

Рассуждение	Верно	Почему
Точку $(3; - 1)$ отметили: 1 вниз, 3 вверх	3 вправо, 1 вниз	сначала $x$ (по $O x$ ), потом $y$
По графику $f (x) = 1 \Rightarrow x = 2$ (нашли одну точку)	$x = - 5; - 2; 2$	прямая $y = 1$ — все общие точки
Нули функции — точка $(0; - 3)$ на оси $O y$	$x$ , где $y = 0$	нули — пересечение с $O x$
Точки параболы соединили отрезками	плавная линия	между узлами есть точки, $y (0, 5) = - 0, 75$

R09.1

Формат ОГЭ · часть 1

Задание 11: графики и формулы

11Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

1) $y = - x^{2} + 4$ 2) $y = \frac{4}{x}$ 3) $y = - x + 4$

А	Б	В
3	1	2

Узнаём вид: прямая, парабола, гипербола. Проверка — точка

x = 1

.

2 мин · практика
Ответ: 312 (А — прямая y = −x + 4; Б — парабола y = −x² + 4, ветви вниз; В — гипербола y = 4/x, ветви в I и III четвертях).
Проверка точкой x = 1: у прямой y = 3, у параболы y = 3 (поэтому различаем по виду линии), у гиперболы y = 4. Все три графика проходят через (0; 4) или близко к ней — частая ловушка: у гиперболы x = 0 не входит в D.
Линия 11 ОГЭ по математике (банк ФИПИ): «графики функций», 1 балл, ответ — последовательность цифр без пробелов. Задание авторское, в формате линии. Ответ в бланке открывается по клику.

R09.1 · применение

Задача из жизни · 2 минуты

Температура воздуха за сутки

Температура в 12:00? $4$ °C
Наибольшая температура — когда? $6$ °C в 16:00
Когда было $0$ °C? в 8:00 и 22:00
Сколько часов выше нуля? $14$ ч
Когда теплело? с 4:00 до 16:00

R09.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта, потом взаимопроверка

Вариант 1

$f (x) = x^{2} - 3 x$ . Найдите $f (- 2)$ . $10$
Лежит ли на графике $y = x^{2} - 3 x$ точка $(4; 4)$ ? да
Точки пересечения графика $y = x^{2} - 9$ с осью $O x$ . $(\pm 3; 0)$
График $y = k x - 2$ проходит через $(3; 7)$ . Найдите $k$ . $k = 3$

Вариант 2

$f (x) = x^{2} + 4 x$ . Найдите $f (- 3)$ . $- 3$
Лежит ли на графике $y = x^{2} + 4 x$ точка $(1; 6)$ ? нет
Точки пересечения графика $y = 16 - x^{2}$ с осью $O x$ . $(\pm 4; 0)$
График $y = k x + 5$ проходит через $(2; - 3)$ . Найдите $k$ . $k = - 4$

рефлексия · ДЗ

Итог практикума

Проверьте себя

Ответьте одной фразой

Как по графику найти $x$ , если $f (x) = c$ ?
Что такое нули функции?
Как проверить точку без графика?

Домашнее задание

Постройте $y = x^{2} + 2 x$ по таблице, $x$ от $- 3$ до $1$ .
По графику: нули, наименьшее значение, где $y < 0$ .
Лежит ли на графике точка $(2; 8)$ ?

Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_obratnaya.htm

2 мин · практика (рефлексия — отвечают ученики, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: таблица x = −3; −2; −1; 0; 1 → y = 3; 0; −1; 0; 3. Нули x = −2 и x = 0; наименьшее значение −1 при x = −1; y < 0 при −2 < x < 0. Точка (2; 8): 4 + 4 = 8 — лежит.
Ответы на вопросы: провести прямую y = c и найти абсциссы всех общих точек; значения x, при которых f(x) = 0; подставить x в формулу и сравнить с y.
Следующий урок ALG8-094 — практикум «Примеры графиков функций, отражающих реальные процессы» (R09.2).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-093 · Практикум: Чтение и построение графиков функций

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R09 «Функции. Числовые функции», 9 ч · урок 6/9 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R09.1 «Чтение и построение графиков функций» → 2–21
Результаты	ПР-12 / REQ-4.1 (значение функции по аргументу, свойства по графику) → 3–10, 14–20 · ПР-13 / REQ-4.2 (построение графиков, свойства по графику) → 11–13, 16–21 · EL-4.2
Вне урока	графики реальных процессов — R09.2 (ALG8-094); прямая и обратная пропорциональность — R09.3 (ALG8-095); $y = x^{2}$ , $x^{3}$ , $x$ , $∣ x ∣$ и графическое решение уравнений — R09.4–R09.5 (ALG8-091, 092); обобщение — ALG8-096
Хронометраж	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: чтение и построение графиков функций

Сегодня вы научитесь уверенно

Находить по графику

Читать свойства

Строить график

Проверять точку

Считаем значения — без тетради

Точка на плоскости: сначала x, потом y

Значение по аргументу и аргумент по значению

Прочитайте график функции y=g(x)

Читаем график функции y=p(x)

Свойства функции — по графику

Опишите свойства функции y=h(x)

Свойства функции y=q(x) — по графику

Строим график y=x2−2x по таблице

Постройте график функции y=x2−4

Заполните таблицы — первый шаг построения

Принадлежит ли точка графику? Подставьте x

Лежит ли точка на графике y=3x−5?

Без построения — по формуле

Найдите ошибку

Задание 11: графики и формулы

Температура воздуха за сутки

Два варианта, потом взаимопроверка

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-093 · Практикум: Чтение и построение графиков функций

Точка на плоскости: сначала $x$ , потом $y$

Прочитайте график функции $y = g (x)$

Читаем график функции $y = p (x)$

Опишите свойства функции $y = h (x)$

Свойства функции $y = q (x)$ — по графику

Строим график $y = x^{2} - 2 x$ по таблице

Постройте график функции $y = x^{2} - 4$

Принадлежит ли точка графику? Подставьте $x$

Лежит ли точка на графике $y = 3 x - 5$ ?