Функции · урок 5 из 9

Функции $y = x^{2}$ , $y = x^{3}$ , $y = x$ , $y = ∣ x ∣$

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R09 · ALG8-092

0 мин · титул. Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Паспорт: R09 «Функции. Числовые функции» (9 ч), урок 5/9, единица R09.5 «Функции y = x², y = x³, y = √x, y = |x|; графическое решение уравнений и систем уравнений». Тип урока — Н (новый материал).
До урока: ALG8-088 чтение графиков, 089 графики реальных процессов, 090 прямая и обратная пропорциональность, 091 график y = x². После: практикумы ALG8-093…095, обобщение ALG8-096.
Хронометраж по слайдам: цели 1 (сл. 2) · разминка и повторение 5 (сл. 3–4) · проблема и новые функции 7 (сл. 5–9, теория) · образец → сам и блиц 4 (сл. 10–11) · графическое решение уравнений: способ и пример 3 (сл. 12–13, теория) · образец → сам и число корней 5 (сл. 14–15) · система: пример 2 (сл. 16, теория) · образец → сам 2 (сл. 17) · типичные ошибки 1 (сл. 18, теория) · самопроверка 6 (сл. 19–20) · найдите ошибку 2 (сл. 21) · ОГЭ 2 (сл. 22) · самостоятельная работа 3 (сл. 23) · рефлексия и ДЗ 2 (сл. 24). Теория — сл. 2, 5–9, 12, 13, 16, 18 (14 мин); остальное — работа учеников (31 мин).
Если не успеваете: сл. 21 (найдите ошибку) пройти устно за минуту, часть 2 самопроверки (сл. 20) перенести в ДЗ.

R09.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить графики

$y = x^{2}$ , $y = x^{3}$ , $y = x$ , $y = ∣ x ∣$ и описывать свойства функции по графику (ПР-13, REQ-4.2)

Читать график

находить значение функции по значению аргумента, определять свойства функции (ПР-12, REQ-4.1)

Решать графически

уравнения и системы двух уравнений: сколько решений и какие (ПР-9)

Распознавать

вид функции по формуле и по графику, показывать схематически положение графика

1 мин · теория
ПР-13 (дословно ФРП): «строить графики элементарных функций вида y = k/x, y = x², y = x³, y = √x, y = |x|, описывать свойства числовой функции по её графику».
ПР-12: «понимать и использовать функциональные понятия и язык…, определять значение функции по значению аргумента, определять свойства функции по её графику». ПР-9: «проводить простейшие исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений».
Четвёртая карточка — из видов деятельности ФРП для строки R09: «распознавать виды изучаемых функций; показывать схематически положение графиков».

повторение

Разминка · устно · 3 минуты

Посчитайте в уме

1

(- 3)^{2}

9

2

- 3^{2}

- 9

3

(- 2)^{3}

- 8

4

49

7

5

∣ - 6∣

6

6

0, 3^{2}

0, 09

7

0, 04

0, 2

8

∣3 - 8∣

5

повторение: R09.4

Вспомним · 2 минуты

График функции $y = x^{2}$ — парабола

Найдите $y (- 3)$ и $y (1, 5)$ .
При каких $x$ значение $y = 4$ ?
Может ли $x^{2}$ быть отрицательным?
Какая ось — ось симметрии параболы?

R09.5

Проблема урока

Один график мы знаем. Как выглядят остальные?

y = x^{2}

знаем

y = x^{3}

?

y = x

?

y = ∣ x ∣

?

А как решить уравнение

x = 6 - x

, если формул для него нет? Ответ — в графиках.

R09.5

Функция 1 · по точкам

График функции $y = x^{3}$

$x$	$y = x^{3}$
−2	−8
−1	−1
0	0
1	1
2	8

$x$ и $y$ — любые числа
функция возрастает
$(- x)^{3} = - x^{3}$

2 мин · теория (демонстрация учителя; вопросы из заметок — устно)
Сначала заполнить таблицу вместе (щелчок — точки, щелчок — кривая). Можно добавить x = ±0,5 → y = ±0,125: около нуля график «прижимается» к оси Ox.
Вопрос классу: «Чем отличается от параболы?» — при x < 0 значения отрицательны, ветвь уходит вниз; симметрия не относительно Oy, а относительно начала координат: точки (a; a³) и (−a; −a³).
Масштаб по осям разный (по y клетка = 1, подписи через 2) — скажите об этом, иначе ученики построят «слишком крутую» кривую в тетради.
Типичная ошибка: рисовать «две параболы» или «уголок» в начале координат; в точке O кривая плавная.

R09.5

Функция 2 · по точкам

График функции $y = x$

$x$	$y = x$
0	0
1	1
4	2
9	3

$x \geq 0$ , $y \geq 0$
функция возрастает

1 мин · теория (демонстрация учителя)
Значения x выбираем так, чтобы корень извлекался: 0, 1, 4, 9 (полные квадраты). Дополнительно: √2 ≈ 1,4; √6,25 = 2,5.
Вопрос: «Почему левее оси Oy нет ни одной точки?» — арифметический квадратный корень из отрицательного числа не определён.
Ветвь растёт всё медленнее: от 0 до 1 подъём на 1, от 4 до 9 — тоже на 1. Это «половина параболы, лёгшая на бок» (график симметричен ветви y = x², x ≥ 0, относительно прямой y = x — сказать устно, без доказательства).
Типичная ошибка: продолжать график влево или вниз.

R09.5

Функция 3 · по определению модуля

График функции $y = ∣ x ∣$

∣ x ∣ = {x, - x, x \geq 0 x < 0

$x$ — любое, $y \geq 0$
убывает при $x \leq 0$
возрастает при $x \geq 0$

R09.5

Сводная таблица

Четыре функции — сравним свойства

	$y = x^{2}$	$y = x^{3}$	$y = x$	$y = ∣ x ∣$
График
Значения $x$	любые	любые	$x \geq 0$	любые
Значения $y$	$y \geq 0$	любые	$y \geq 0$	$y \geq 0$
Симметрия	ось $O y$	точка $O$	нет	ось $O y$
Возрастает	при $x \geq 0$	везде	везде	при $x \geq 0$
Общие точки	$(0; 0)$ и $(1; 1)$ — у всех четырёх

2 мин · теория
«Значения x» — область определения функции, «значения y» — множество значений. Используйте термины, принятые в вашем учебнике.
Строки 4–6 открывать по одной, предлагая классу заполнить клетку до щелчка.
Дополнительно к таблице: x² и |x| проходят ещё через (−1; 1), x³ — через (−1; −1). При 0 < x < 1 выполняется x³ < x² < x < √x — видно, если наложить графики (можно показать в GeoGebra: «Применять цифровые ресурсы для построения графиков» — вид деятельности ФРП).

R09.5 · ПР-12

Образец → сам · 2 минуты

Значение функции и точка на графике

Образец 1. $y = x^{3}$ при $x = - 0, 5$ :
$(- 0, 5)^{3} = - 0, 5 \cdot 0, 25$ $= - 0, 125$

Образец 2. Лежит ли $M (16; - 4)$ на графике $y = x$ ?
$16 = 4 \neq = - 4$ → нет

$y = ∣ x ∣$ при $x = - 2, 4$ $2, 4$
$y = x^{3}$ при $x = - 4$ $- 64$
$y = x$ при $x = 0, 81$ $0, 9$
Лежит ли $N (- 2; 4)$ на графике $y = x^{3}$ ? нет

R09.5 · ПР-12

Блиц · 2 минуты

Лежит ли точка на графике?

1

A (- 2; - 8)

y = x^{3}

да

2

B (9; - 3)

y = x

нет

3

C (- 5; 5)

y = ∣ x ∣

да

4

D (- 3; - 9)

y = x^{2}

нет

5

E (0, 25; 0, 5)

y = x

да

6

F (- 1; 1)

y = x^{3}

нет

R09.5

Новый способ

Графическое решение уравнения

R09.5 · ПР-9

Пример 1

Решим графически $x = 6 - x$

1) $y = x$ — по таблице

2) $y = 6 - x$ — прямая через $(0; 6)$ и $(6; 0)$

3) общая точка $(4; 2)$

Проверка: $4 = 2$ , $6 - 4 = 2$ ✓

Ответ:

x = 4

R09.5 · ПР-9

Образец → сам · 3 минуты

Решите графически по параболе $y = x^{2}$

Образец. $x^{2} = x + 2$ : прямая $y = x + 2$ , → $x = - 1; 2$

$x^{2} = 4$ $x = - 2; 2$
$x^{2} = - x$ $x = - 1; 0$
$x^{2} = 2 x - 1$ $x = 1$
$x^{2} = x - 3$ корней нет

3 мин · практика (образец — 1 мин вместе, задания 1–4 — 2 мин: прямые строят в тетради по двум точкам, проверка по клику)
Образец: прямая y = x + 2 через (0; 2) и (−2; 0); общие точки (−1; 1) и (2; 4). Проверка: (−1)² = 1 = −1 + 2; 2² = 4 = 2 + 2. Ответ — абсциссы: −1 и 2.
Ответы: 1) прямая y = 4: x = ±2. 2) прямая y = −x: точки (−1; 1) и (0; 0), x = −1; 0 (проверка: x² + x = x(x + 1) = 0). 3) прямая y = 2x − 1 касается параболы в (1; 1): один корень x = 1 ((x − 1)² = 0). 4) прямая y = x − 3 проходит ниже параболы: x² − x + 3 = 0, D = 1 − 12 = −11 < 0 — корней нет.
Итог: число корней 2, 2, 1, 0 — ровно столько общих точек у графиков.

R09.5 · ПР-9

Исследуем без вычислений

Сколько корней у уравнения?

x^{3} = x

3 корня: −1; 0; 1

x = x

2 корня: 0; 1

x^{2} = x - 1

корней нет

R09.5 · ПР-9

Пример 2 · система уравнений

Решим систему графически

{y = x^{2} y = - x + 2

Точки: $(- 2; 4)$ и $(1; 1)$

$4 = (- 2)^{2}$ , $4 = 2 + 2$ ✓

$1 = 1^{2}$ , $1 = - 1 + 2$ ✓

Решение системы — пары

(x; y)

R09.5 · ПР-9

Образец → сам · 2 минуты

Решите систему графически

Образец. $y = ∣ x ∣$ и $y = 1$ : общие точки → $(- 1; 1)$ , $(1; 1)$

$y = ∣ x ∣$ и $y = 2$
$(- 2; 2)$ , $(2; 2)$
$y = x^{3}$ и $y = x$
$(- 1; - 1)$ , $(0; 0)$ , $(1; 1)$
$y = x$ и $y = 2 - x$ $(1; 1)$
$y = x^{2}$ и $y = 2 x$ $(0; 0)$ , $(2; 4)$

R09.5

Осторожно

Типичные ошибки

✗ График $y = x$ левее $O y$

При $x < 0$ корень не определён — точек нет.

✗ $y = x^{3}$ — «как парабола»

При $x < 0$ значения отрицательны: ветвь идёт вниз.

✗ В ответе уравнения — точка

Корни — абсциссы; у системы — пары $(x; y)$ .

✓ Проверка подстановкой

Графический способ приближённый — корни проверяем.

R09.5 · ПР-9, ПР-12, ПР-13

Задания с самопроверкой · часть 1

Решите

базаНайдите значения: $y = x^{3}$ при $x = - 3$ ; $y = x$ при $x = 49$ ; $y = ∣ x ∣$ при $x = - 7, 5$ .
$- 27; 7; 7, 5$
базаНайдите $x$ : $∣ x ∣ = 3$ ; $x^{2} = 16$ ; $x^{3} = - 8$ ; $x = 5$ .
$\pm 3; \pm 4; - 2; 25$
повыш.Решите графически: $∣ x ∣ = x + 2$ . $x = - 1$

повыш.Сколько решений у системы ${y = x y = - x$ ? одно: $(0; 0)$
практикаПлощадь квадрата $64$ см $^{2}$ , объём куба $64$ см $^{3}$ . Найдите сторону квадрата и ребро куба. $8$ см; $4$ см

3 мин · практика (2 мин в тетради, 1 мин проверка по клику)
Ответы: 1) −27; 7; 7,5. 2) ±3; ±4; −2; 25. 3) x = −1: прямая y = x + 2 пересекает левую сторону «уголка» в точке (−1; 1), а правой стороне y = x она параллельна. Проверка: |−1| = 1, −1 + 2 = 1. 4) одно решение (0; 0): график √x лежит в I четверти, прямая y = −x при x > 0 — в IV, общая только точка O. 5) сторона a = √64 = 8 см; ребро: a³ = 64, a = 4 см (по графику y = x³ или подбором: 4³ = 64).
Задания 1–2 — устно с проверкой по графикам; 3–4 — в тетради с построением; 5 — связь с геометрией (S = a², V = a³). Ответы открываются по клику — проверка всем классом.
Типичная ошибка в № 2: x² = 16 → только 4 (теряют −4); √x = 5 → x = √5.

R09.5 · ПР-9, ПР-13

Задания с самопроверкой · часть 2 · повышенный уровень

Свойства по графику

1повыш.

Наименьшее и наибольшее значения $y = x^{2}$ на отрезке $[- 1; 2]$ .

0

и

4

2повыш.

Наименьшее и наибольшее значения $y = x$ на отрезке $[4; 9]$ .

2

и

3

3повыш.

При каких $b$ уравнение $∣ x ∣ = b$ имеет ровно два корня?

b > 0

4повыш.

Сколько решений у системы $y = x^{3}$ , $y = ∣ x ∣$ ?

два:

(0; 0)

,

(1; 1)

3 мин · практика (2 мин в тетради по эскизам графиков, 1 мин проверка по клику)
1) На [−1; 2] парабола опускается до вершины (0; 0) и поднимается до (2; 4); в точке x = −1 значение 1. Наименьшее 0, наибольшее 4. Типичная ошибка: брать значения только на концах (1 и 4).
2) √x возрастает: наименьшее √4 = 2, наибольшее √9 = 3.
3) Горизонталь y = b пересекает «уголок» в двух точках при b > 0; при b = 0 — одна точка (0; 0); при b < 0 — ни одной.
4) При x ≥ 0: x³ = x ⇒ x = 0 или x = 1; при x < 0: x³ < 0, а |x| > 0 — общих точек нет. Два решения: (0; 0), (1; 1).

R09.5

Найдите ошибку · 2 минуты

Что не так в решении?

Решение ученика	Как правильно
$x^{2} = 25 \Rightarrow x = 5$	потерян корень: $x = - 5; 5$
$x = - 2 \Rightarrow x = 4$	корней нет: $x \geq 0$
$(- 2)^{3} = 8$	$(- 2)^{3} = - 8$
$∣ x ∣ = - 3 \Rightarrow x = - 3; 3$	корней нет: $∣ x ∣ \geq 0$
система $y = x^{2}$ , $y = 4$ : ответ $x = \pm 2$	ответ — пары: $(- 2; 4)$ , $(2; 4)$

R09.5 · ОГЭ, линия 11

В формате ОГЭ · линия 11

Установите соответствие между графиками функций и формулами

1)

y = x^{2}

2)

y = ∣ x ∣

3)

y = x

4)

y = x^{3}

А	Б	В

R09.5 · ПР-9, ПР-12

Самостоятельная работа · 3 минуты

Два варианта

Вариант 1

Найдите $y = x^{3}$ при $x = - 2$ . $- 8$
Лежит ли $(36; - 6)$ на графике $y = x$ ? нет
Решите $x^{2} = 25$ . $- 5; 5$
Решите графически систему $y = x^{2}$ , $y = x$ .
$(0; 0)$ , $(1; 1)$

Вариант 2

Найдите $y = ∣ x ∣$ при $x = - 3, 2$ . $3, 2$
Лежит ли $(- 3; - 27)$ на графике $y = x^{3}$ ? да
Решите $x^{3} = 27$ . $3$
Решите графически систему $y = ∣ x ∣$ , $y = 3$ .
$(- 3; 3)$ , $(3; 3)$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем график $x^{3}$ отличается от $x^{2}$ ?
Почему у $x$ нет точек левее $O y$ ?
Как по графикам узнать число корней?

Домашнее задание

Постройте $y = x^{3}$ и $y = ∣ x ∣$ по таблице, $x$ от $- 2$ до $2$ .
Решите графически $x = x - 2$ ; сколько решений у системы $y = x^{2}$ , $y = ∣ x ∣$ ?
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_obratnaya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-092 · Функции y = x², y = x³, y = √x, y = |x|; графическое решение уравнений и систем

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R09 «Функции. Числовые функции», 9 ч · урок 5/9 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R09.5 «Функции y = x², y = x³, y = √x, y = \| х \|; графическое решение уравнений и систем уравнений» → 2, 5–24 (функции → 5–11; графическое решение уравнений → 12–15; систем → 16–17; самопроверка, ОГЭ, самостоятельная → 19–23) · повторение R09.4 → 3–4
Результаты	ПР-13 / REQ-4.2 (строить графики y = x², y = x³, y = √x, y = \|x\|, описывать свойства по графику) → 6–9, 20, 22 · ПР-12 / REQ-4.1 (значение функции по аргументу, свойства по графику) → 3–4, 10–11, 19, 23 · ПР-9 (исследование уравнений и систем с графическими представлениями) → 12–17, 19–21, 23 · EL-4.5, EL-4.6 · теория 14 мин / практика 31 мин (69 %)
Вне урока	y = k/x — ALG8-090; практикумы по R09.1–R09.3 — ALG8-093…095; обобщение строки — ALG8-096; сдвиги и растяжения графиков (y = (x − a)², y = x² + b) — 9 класс
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Функции y=x2, y=x3, y=x​, y=∣x∣

Сегодня вы научитесь

Строить графики

Читать график

Решать графически

Распознавать

Посчитайте в уме

График функции y=x2 — парабола

Один график мы знаем. Как выглядят остальные?

График функции y=x3

График функции y=x​

График функции y=∣x∣

Четыре функции — сравним свойства

Значение функции и точка на графике

Лежит ли точка на графике?

Графическое решение уравнения

Решим графически x​=6−x

Решите графически по параболе y=x2

Сколько корней у уравнения?

Решим систему графически

Решите систему графически

Типичные ошибки

✗ График y=x​ левее Oy

✗ y=x3 — «как парабола»

✗ В ответе уравнения — точка

✓ Проверка подстановкой

Решите

Свойства по графику

Что не так в решении?

Установите соответствие между графиками функций и формулами

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-092 · Функции y = x², y = x³, y = √x, y = |x|; графическое решение уравнений и систем

Функции $y = x^{2}$ , $y = x^{3}$ , $y = x$ , $y = ∣ x ∣$

График функции $y = x^{2}$ — парабола

График функции $y = x^{3}$

График функции $y = x$

График функции $y = ∣ x ∣$

Решим графически $x = 6 - x$

Решите графически по параболе $y = x^{2}$

✗ График $y = x$ левее $O y$

✗ $y = x^{3}$ — «как парабола»