Числовые функции · урок 4 из 9

График функции $y = x^{2}$ — парабола

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R09 · ALG8-091

Паспорт: R09 «Функции. Числовые функции» (9 ч), урок 4/9, единица R09.4 «График функции y = x²». Тип урока — Н (новый материал).
0 мин · титул. Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
По слайдам: цели 1 (т) · разминка 3 (п) · проблема 1 (т) · таблица 2 (т) · образец → сам 2 (п) · построение 3 (т) · парабола 1 (т) · свойства 1 + 1 (т) · свойства сам 3 (п) · чтение графика 2 (т) · по графику сам 3 (п) · точки на параболе 2 (п) · типичные ошибки 1 (т) · решите 4 (п) · самопроверка 3 + 3 (п) · найди ошибку 2 (п) · ОГЭ 2 (п) · самостоятельная 4 (п) · итог 1 (т). Итого 45 мин.
Если не успеваете: задания 5–6 сл. 16 и задания 5–6 самопроверки 2 (сл. 18) — в ДЗ.
Ученикам понадобятся тетради в клетку и карандаш: на сл. 6 строим параболу вместе. Единичный отрезок — 2 клетки.

R09.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Составлять таблицу

значений функции $y = x^{2}$ и находить $y$ по $x$ (ПР-12)

Строить параболу

по точкам — плавной линией (ПР-13)

Называть свойства

вершина, ось симметрии, где убывает и возрастает (ПР-13)

Читать график

находить $x$ по $y$ , проверять точки (вид деятельности ФРП)

1 мин · теория
ПР-12 / REQ-4.1: «понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические обозначения), определять значение функции по значению аргумента, определять свойства функции по ее графику».
ПР-13 / REQ-4.2: «строить графики элементарных функций вида … y = x² …, описывать свойства числовой функции по ее графику». Элемент кодификатора EL-4.5 «Функции y = x², y = x³».
Вид деятельности строки R09: «находить с помощью графика функции значение одной из рассматриваемых величин по значению другой».

повторение: R01, R09.3

Разминка · устно · вспомним

Квадрат числа

Вычислите: $3^{2}$ , $(- 3)^{2}$ , $- 3^{2}$ , $0, 5^{2}$ , $(- 1, 2)^{2}$
Какие числа в квадрате дают $16$ ? А $0$ ?
Может ли квадрат числа быть отрицательным?
Сторона квадрата $5$ см. Его площадь? А если сторону увеличить вдвое?

R09.4

Проблема

Сторона выросла в 2 раза. А площадь?

Площадь квадрата

S = a^{2}

— новая зависимость. Какой у неё график: прямая? гипербола? что-то третье?

R09.4

Новый материал · шаг 1

Таблица значений функции $y = x^{2}$

x	−3	−2,5	−2	−1,5	−1	−0,5	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
y	9	6,25	4	2,25	1	0,25	0	0,25	1	2,25	4	6,25	9

(- x)^{2} = x^{2}

противоположные $x$ — одинаковые $y$

x^{2} \geq 0

все значения $y$ неотрицательны, $y = 0$ только при $x = 0$

R09.4

Образец → сам · 2 минуты

Найдите $y = x^{2}$ по значению $x$

Образец

x = - 1, 5

y = (- 1, 5)^{2}

= 1, 5 \cdot 1, 5 = 2, 25

Отрицательное

x

— в скобках. Ответ всегда

\geq 0

.

1

x = - 4

16

2

x = 0, 3

0,09

3

x = - 1, 1

1,21

4

x = - \frac{2}{3}

\frac{4}{9}

5

x = 10

100

6

x = - 0, 1

0,01

R09.4

Новый материал · шаг 2

Строим график по точкам

1

Отмечаем точки из таблицы при $x \geq 0$

2

Отражаем их относительно оси $O y$

3

Соединяем плавной линией — без изломов

Получили параболу

R09.4

Определение

Парабола и её части

График функции

y = x^{2}

называется параболой

Ось симметрии

ось $O y$ : левая и правая части — зеркальны

Вершина

точка $O (0; 0)$ — самая нижняя

Ветви

направлены вверх, неограниченно поднимаются

R09.4

Свойства параболы · 1

Какие $x$ можно брать? Какие $y$ получаются?

Область определения

$x$ — любое число

Множество значений

все $y \geq 0$

Наименьшее значение

$y = 0$ при $x = 0$ ; наибольшего — нет

Где лежит график

в I и II четвертях и в точке $O$

R09.4

Свойства параболы · 2

Симметрия, убывание и возрастание

Симметрия

$(- x)^{2} = x^{2}$ : точки $(a; a^{2})$ и $(- a; a^{2})$ обе на графике

Убывает

при $x \leq 0$ : идём вправо — график вниз

Возрастает

при $x \geq 0$ : идём вправо — график вверх

R09.4

Свойства · сам · 3 минуты

Сравните, не вычисляя. Возрастает или убывает?

база $(- 5)^{2}$ и $4^{2}$ $>$
база $0, 7^{2}$ и $(- 0, 7)^{2}$ $=$
повыш. $(- 1, 3)^{2}$ и $(- 1, 4)^{2}$ $<$
повыш. $(- 2)^{2}$ и $1, 9^{2}$ $>$

база $y = x^{2}$ на $[1; 5]$ возрастает
база $y = x^{2}$ на $[- 4; - 1]$ убывает
повыш. $y = x^{2}$ на $[- 2; 3]$ сначала убывает, потом возрастает
базаМожет ли $x^{2} = - 0, 01$ ? нет

R09.4

Читаем график

$y$ по $x$ и $x$ по $y$

$x = 1, 5$ → $y = 2, 25$

$y = 4$ → $x = - 2$ или $x = 2$

$y = 6$ → $x \approx \pm 2, 4$ (точно: $\pm 6$ )

$y = - 1$ → таких $x$ нет

R09.4

Читаем график · сам · 3 минуты

Ответьте по графику

база $y$ при $x = - 2, 5$ 6,25
база $x$ , при которых $y = 1$ −1 и 1
база $x$ , при которых $y = 2$ ≈ −1,4 и 1,4
базаСколько точек с $y = 0$ ? одна: $O$
повыш.При каких $x$ значение $y < 4$ ? $- 2 < x < 2$
повыш.При каких $x$ значение $y > 1$ ? $x < - 1$ или $x > 1$

R09.4

Закрепление · устно

Лежит ли точка на параболе $y = x^{2}$ ?

A (a; b)

лежит на графике

⟺ b = a^{2}

(- 4; 16)

да

(3; - 9)

нет:

y < 0

(0, 2; 0, 04)

да

(7; 14)

нет:

7^{2} = 49

(- 0, 5; 0, 25)

да

(1, 1; 1, 21)

да

(- 6; - 36)

нет:

y < 0

(0, 3; 0, 9)

нет:

0, 09

R09.4

Внимание

Типичные ошибки

Вершина — «галочка»

неверно

верно

Ветви стали вертикальными

неверно

верно

Знак минус

(- 3)^{2} = 9

- 3^{2} = - 9

y (- 3) = (- 3)^{2} = 9

R09.4

Закрепление

Решите

1базаНайдите значение

y = x^{2}

при

x = - 7

;

1, 2

;

- \frac{1}{3}

2базаПри каких

x

значение

y = x^{2}

равно

25

?

0

?

- 4

?

3базаПостройте

y = x^{2}

при

- 2 \leq x \leq 2

. По графику найдите

y

при

x = - 1, 5

4повыш.Сравните, не вычисляя:

(- 2, 7)^{2}

и

2, 7^{2}

;

(- 0, 4)^{2}

и

(- 0, 6)^{2}

5повыш.Наименьшее и наибольшее значения

y = x^{2}

на отрезке

[- 3; 1]

6практикаПуть падающего тела

h = 5 t^{2}

(м,

t

в с). Путь за

2

с? За сколько секунд тело пролетит

80

м?

4 мин · практика (решают в тетрадях, ответы — в заметках)
Ответы: 1) 49; 1,44; 1/9. 2) x = ±5; x = 0; таких x нет. 3) y = 2,25 (точка (−1,5; 2,25), симметрична точке (1,5; 2,25)).
4) (−2,7)² = 2,7² — равны (симметрия); (−0,4)² < (−0,6)²: при x ≤ 0 функция убывает, −0,4 > −0,6 (проверка: 0,16 < 0,36). 5) Наименьшее 0 (при x = 0 — вершина внутри отрезка), наибольшее 9 (при x = −3). Ловушка: ответ «1 и 9» или «1 и 1».
6) h(2) = 5 · 4 = 20 м; 5t² = 80 ⇔ t² = 16, t = 4 с (t > 0, корень −4 не подходит по смыслу). Если время поджимает, 5 и 6 — в ДЗ: те же типы есть в самопроверке (сл. 17–18).

R09.4

Задания с самопроверкой 1 · 3 минуты

Решите — ответы откроются по клику

база $y = x^{2}$ . Найдите $y (- 9)$ . 81
базаНайдите $y (- 0, 6)$ . 0,36
базаПри каких $x$ значение $y = 49$ ? −7 и 7

базаПри каких $x$ значение $y = 0, 16$ ? −0,4 и 0,4
базаЛежит ли на параболе точка $(- 8; 64)$ ? да
базаЛежит ли на параболе точка $(0, 5; 0, 025)$ ? нет

R09.4

Задания с самопроверкой 2 · 3 минуты

Точки, отрезки и задачи из жизни

повыш.Точка $B (- 1, 2; b)$ лежит на параболе $y = x^{2}$ . Найдите $b$ . 1,44
повыш.Точка $A (a; 36)$ лежит на параболе, $a < 0$ . Найдите $a$ . −6
повыш.Наименьшее и наибольшее значения $y = x^{2}$ на $[- 2; 3]$ 0 и 9

повыш.То же на отрезке $[1; 4]$ 1 и 16
практикаСторону квадрата увеличили в 3 раза. Во сколько раз выросла площадь? в 9 раз
практикаПлощадь квадратной комнаты $20, 25$ м². Найдите её сторону. 4,5 м

R09.4

Найди ошибку · 2 минуты

Где ошибся ученик?

Рассуждение	Верно	Почему
$y (- 4) = - 4^{2} = - 16$	$(- 4)^{2} = 16$	аргумент — в скобках
$x^{2} = 9 \Rightarrow x = 3$	$x = - 3$ или $x = 3$	горизонталь — две точки
$0, 3^{2} = 0, 9$	$0, 3^{2} = 0, 09$	$0, 3 \cdot 0, 3$
$y = x^{2}$ возрастает на $[- 3; 3]$	убывает при $x \leq 0$ , возрастает при $x \geq 0$	слева от вершины — спуск

R09.4 · ОГЭ

В формате ОГЭ

ОГЭ, линия 11: графики и формулы

11Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

А)

Б)

В)

1)

y = \frac{1}{x}

2)

y = x

3)

y = x^{2}

4)

y = - x

А	Б	В

R09.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта

Вариант 1

$y = x^{2}$ . Найдите $y (- 6)$ . 36
При каких $x$ значение $y = 64$ ? −8 и 8
Лежит ли на параболе $(- 1, 5; 2, 25)$ ? да
Наименьшее и наибольшее на $[- 1; 2]$ 0 и 4

Вариант 2

$y = x^{2}$ . Найдите $y (- 8)$ . 64
При каких $x$ значение $y = 81$ ? −9 и 9
Лежит ли на параболе $(- 2, 5; 5, 25)$ ? нет
Наименьшее и наибольшее на $[- 3; 2]$ 0 и 9

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как называется график $y = x^{2}$ ? Где его вершина?
Почему парабола не опускается ниже оси $x$ ?
Сколько точек параболы имеют ординату $9$ ?

Домашнее задание

Таблица и график $y = x^{2}$ при $- 3 \leq x \leq 3$ , шаг $0, 5$
Лежат ли на параболе точки $(- 9; 81)$ и $(0, 4; 1, 6)$ ?
По графику найдите $x$ , при которых $y = 3$
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_obratnaya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-091 · График функции y = x²

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R09 «Функции. Числовые функции», 9 ч · урок 4/9 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R09.4 «График функции y = x²» → 2, 4–22 · повторение: квадрат числа (R01), прямая пропорциональность (R09.3) → 3, 4 · теория 14 мин · практика 31 мин (69 %)
Результаты	ПР-12 / REQ-4.1 (функциональные понятия, значение по аргументу, свойства по графику) → 2, 5–6, 9–14, 16–18, 21 · ПР-13 / REQ-4.2 (график y = x², свойства по графику) → 2, 7–13, 15–21
Элементы	EL-4.5 (функции y = x², y = x³) → 4–21 · EL-4.1 (область определения, множество значений) → 9, 11 · EL-4.2 (чтение свойств по графику) → 10–13, 18
ОГЭ	линия 11 (графики функций) → 20
Вне урока	$y = x^{3}$ , $y = x$ , $y = ∣ x ∣$ , графическое решение уравнений и систем — ALG8-092; y = ax², сдвиги параболы, квадратичная функция — 9 класс
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

График функции y=x2 — парабола

Сегодня вы научитесь

Составлять таблицу

Строить параболу

Называть свойства

Читать график

Квадрат числа

Сторона выросла в 2 раза. А площадь?

Таблица значений функции y=x2

Найдите y=x2 по значению x

Строим график по точкам

Парабола и её части

Ось симметрии

Вершина

Ветви

Какие x можно брать? Какие y получаются?

Область определения

Множество значений

Наименьшее значение

Где лежит график

Симметрия, убывание и возрастание

Симметрия

Убывает

Возрастает

Сравните, не вычисляя. Возрастает или убывает?

y по x и x по y

Ответьте по графику

Лежит ли точка на параболе y=x2?

Типичные ошибки

Вершина — «галочка»

Ветви стали вертикальными

Знак минус

Решите

Решите — ответы откроются по клику

Точки, отрезки и задачи из жизни

Где ошибся ученик?

ОГЭ, линия 11: графики и формулы

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-091 · График функции y = x²

График функции $y = x^{2}$ — парабола

Таблица значений функции $y = x^{2}$

Найдите $y = x^{2}$ по значению $x$

Какие $x$ можно брать? Какие $y$ получаются?

$y$ по $x$ и $x$ по $y$

Лежит ли точка на параболе $y = x^{2}$ ?