Числовые функции · урок 1 из 9

Чтение и построение графиков функций

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R09 · ALG8-088

Паспорт: R09 «Функции. Числовые функции» (9 ч), урок 1/9, единица R09.1 «Чтение и построение графиков функций». Тип урока — Н.
0 мин · титул. Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Теория (сл. 2, 5, 6, 8, 9, 11, 13–16): цели 1 · чтение графика 8 · памятка 1 · построение по точкам 3 · принадлежность точки 1.
Практика: разминка и актуализация 4 (сл. 3–4) · образец → сам 8 (сл. 7, 10, 17) · закрепление 6 (сл. 12, 18) · самопроверка и «найди ошибку» 7 (сл. 19–21) · ОГЭ 2 (сл. 22) · самостоятельная 3 (сл. 23) · рефлексия 1 (сл. 24).
Опора — уроки строки R08 (ALG8-083…087): понятие функции, способы задания, график, свойства. Сегодня — навык: читать любой график и строить график по точкам.

R09.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Читать график

находить значение функции по аргументу и аргумент по значению (ПР-12)

Видеть свойства

нули, знаки, возрастание и убывание, наибольшее и наименьшее значения (ПР-12)

Строить график по точкам

таблица значений → точки → плавная линия (ПР-13)

Проверять точку

принадлежит ли точка графику — без рисунка, подстановкой (ПР-12)

1 мин · теория
ПР-12 (ФРП, 8 класс): «Понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические обозначения), определять значение функции по значению аргумента, определять свойства функции по ее графику» (REQ-4.1).
ПР-13: «Строить графики элементарных функций вида y = k/x, y = x², y = x³, y = √x, y = |x|, описывать свойства числовой функции по ее графику» (REQ-4.2). Сегодня — общий приём построения по точкам; конкретные графики — уроки ALG8-090…092.
Вид деятельности ФРП: «Находить с помощью графика функции значение одной из рассматриваемых величин по значению другой».

повторение: R08

Разминка · устно · 2 минуты

Значение функции и координаты точки

1

$f (x) = 3 x - 1$

f (2) = ?

5

2

$f (x) = x^{2}$

f (- 3) = ?

9

3

$f (x) = - x^{2}$

f (- 2) = ?

- 4

4

$f (x) = 2 x + 4$

f (x) = 0, x = ?

x = - 2

5

В какой четверти точка?

(3; - 2)

в IV четверти

6

$f (x) = \frac{10}{x}$

f (- 5) = ?

- 2

повторение: R08

Вспомним

График функции — все точки (x; f(x))

f (x) = 2 x - 1

Что называют графиком функции?
Найдите $f (3)$ и $f (- 1)$ .
Лежит ли точка $M (2; 3)$ на графике?

R09.1

Чтение графика · 1

Дано x — найти y

1Отметить $x$ на оси $O x$
2Вверх или вниз до графика
3Влево или вправо до оси $O y$ — прочитать $y$

одно $x$ → одно $y$

R09.1

Чтение графика · 2

Дано y — найти все x

f (x) = 2

1Провести прямую $y = 2$
2Найти все точки пересечения с графиком
3Опустить на ось $O x$

$x =$ $- 2; 0; 6$

R09.1

Образец → сам · 3 минуты

По графику функции h

Образец. $h (- 3)$ : от $x = - 3$ вверх до графика, влево до $O y$ → $h (- 3) = 2$

Образец. $h (x) = 1$ : прямая $y = 1$ → $x = - 4; - 1; 3$

Найдите $h (0)$ и $h (2)$ . $- 1; - 1$
Решите $h (x) = 3$ . $x = - 2; 4$
Решите $h (x) = - 3$ . $x = 1$
Есть ли корни у $h (x) = 4$ ? нет

R09.1

Чтение графика · 3

Нули функции и знаки

f = 0

x = - 3; 1; 5

f > 0

(- 3; 1) \cup (5; 6]

f < 0

[- 4; - 3) \cup (1; 5)

Выше оси $O x$ — плюс, ниже — минус. Ответ — промежутки x.

R09.1

Чтение графика · 4

Возрастание, убывание, наибольшее и наименьшее

↗

[- 4; - 1]

и

[3; 6]

↘

[- 1; 3]

наиб.

y = 3

при

x = - 1

наим.

y = - 2

при

x = - 4; 3

Читаем слева направо: линия идёт вверх — возрастает.

R09.1

Образец → сам · 3 минуты

Свойства функции p по графику

Образец. Нули — где график пересекает $O x$ : $x = - 4; - 1; 2$

При каких $x$ $p (x) > 0$ ?
$(- 4; - 1) \cup (2; 4]$
Промежутки возрастания и убывания.
↗ $[- 5; - 3], [1; 3]$ ; ↘ $[- 3; 1], [3; 4]$
Наибольшее и наименьшее значения.
наиб. $2$ , наим. $- 2$

R09.1

Памятка

Вопрос → что делаем на графике

Вопрос	Действие на рисунке	Ответ — это
$f (a) = ?$	вертикаль через $x = a$ до графика	число $y$
$f (x) = b$	горизонталь $y = b$ , все пересечения	все $x$
нули	пересечения с осью $O x$	все $x$
$f (x) > 0, < 0$	части графика выше или ниже оси $O x$	промежутки $x$
↗, ↘	идём слева направо: вверх или вниз	промежутки $x$
наиб., наим.	самая высокая и самая низкая точки	число $y$

R09.1

Закрепление · чтение

По графику функции g

базаНайдите $g (1)$ и $g (- 1)$ .
базаРешите $g (x) = 2$ .
базаНайдите нули функции.
повыш.Промежутки возрастания и убывания; наибольшее и наименьшее значения.
повыш.При каких $x$ $g (x) < 0$ ?

R09.1

Построение графика

Строим график по точкам за 4 шага

Чем больше точек, тем точнее форма графика. Точки соединяем плавно, не отрезками.

R09.1

Пример · шаги 1–2

Таблица значений функции

y = x^{2} - 4 x + 3

x	−1	0	1	2	3	4	5
y	8	3	0	−1	0	3	8

x = - 1 : (- 1)^{2} - 4 \cdot (- 1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8

R09.1

Пример · шаги 3–4

Точки → плавная линия

y = x^{2} - 4 x + 3

нули

x = 1; 3

наим.

y = - 1

при

x = 2

осьсимметрия:

x = 2

Нули функции = корни уравнения $x^{2} - 4 x + 3 = 0$

1 мин · теория (демонстрационный пример)
Шаги: отмечаем 7 точек из таблицы → соединяем плавной кривой → показываем ось симметрии x = 2.
Связь с R05: корни x²− 4x + 3 = 0 — числа 1 и 3 (по теореме Виета: сумма 4, произведение 3). График «видит» корни уравнения.
Название кривой (парабола) и её свойства — урок ALG8-091 «График функции y = x²»; сегодня не углубляемся.
Типичная ошибка: «острый угол» в точке (2; −1) — соединили отрезками. Кривая в нижней точке гладкая.

R09.1

Без рисунка

Принадлежит ли точка графику?

A (x_{0}; y_{0}) на графике ⟺ y_{0} = f (x_{0})

A (5; 8) : 5^{2} - 4 \cdot 5 + 3 = 8

8 = 8 — принадлежит ✓

B (- 2; 10) : (- 2)^{2} - 4 \cdot (- 2) + 3 = 15

15 ≠ 10 — не принадлежит ✗

Пересечение с осью $O y$ : подставляем $x = 0$ → точка $(0; 3)$

R09.1

Образец → сам · 2 минуты

Заполните таблицы значений

образец

y = 3 - 2 x

x	−1	0	1	2	3
y	5	3	1	−1	−3

1

y = x^{2} - 1

x	−2	−1	0	1	2
y	3	0	−1	0	3

2

y = (x - 1)^{2}

x	−1	0	1	2	3
y	4	1	0	1	4

R09.1

Закрепление · построение

Постройте график по точкам

y = x^{2} - 2 x, - 1 \leq x \leq 3

практикаСоставьте таблицу при $x = - 1; 0; 1; 2; 3$ и постройте график.
повыш.Без рисунка: принадлежат ли графику $y = x^{2} - 2 x$ точки $A (4; 8)$ и $B (- 2; 6)$ ?

Проверка: $y = 3; 0; - 1; 0; 3$

R09.1

Задания с самопроверкой · часть 1 · база

Без рисунка — по формуле

1база

$f (x) = x^{2} - 3 x$ . Найдите:

f (- 2)

и

f (4)

10

и

4

2база

Принадлежат ли графику $y = 2 x^{2} - 5$ точки

A (- 2; 3)

,

B (3; 12)

? A — да, B — нет

3из жизни

Такси: $y = 100 + 30 x$ (руб., $x$ — км). Цена поездки на 8 км? Сколько км за 490 руб.?

340

руб.;

13

км

R09.1

Осторожно · найдите ошибку

Типичные ошибки

Ошибка	Как правильно
$f (x) = 2$ → нашли одно $x$	прямую $y = 2$ ведём через весь рисунок
промежутки записаны по оси $y$	знаки и монотонность — промежутки $x$
$(- 1)^{2} = - 1$	$(- 1)^{2} = 1$ : минус в скобках
точки соединены отрезками	плавная линия, без изломов
$M (2; 3)$ отмечена как $(3; 2)$	сначала $x$ (вправо), потом $y$ (вверх)

R09.1

Задания с самопроверкой · часть 2 · повышенный уровень

По графику функции q

базаСколько корней у $q (x) = 1$ ? три
базаПри каких $x$ $q (x) \geq 0$ ?
$[- 4; - 3] \cup [0; 4]$
повыш.Найдите множество значений $E (q)$ . $[- 2; 2]$
повыш.При каких $b$ уравнение $q (x) = b$ имеет ровно два корня?
$- 2 < b < - 1$ или $b = 2$

3 мин · практика (2 мин в тетради, 1 мин проверка по клику)
q задана ломаной на [−4; 5]: вершины (−4; 2), (−2; −2), (2; 2), (5; −1). Нули: −3; 0; 4.
4) прямая y = 1 пересекает все три звена: x = −3,5; −1; 3 — три корня. 5) q ≥ 0 на [−4; −3] ∪ [0; 4] (нули входят, знак ≥). 6) E(q) = [−2; 2]: наименьшее −2 при x = −2, наибольшее 2 при x = −4 и x = 2.
7) Двигаем горизонталь y = b: b = 2 — две точки (−4 и 2); −1 ≤ b < 2 — три точки; −2 < b < −1 — две точки (правый конец графика (5; −1) ниже не опускается); b = −2 — одна точка. Ответ: −2 < b < −1 или b = 2.

R09.1 · ОГЭ 11

Формат ОГЭ

Графики и формулы

ОГЭ № 11Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

1)

y = 2 x - 3

2)

y = - 2 x + 3

3)

y = 2 x + 3

4)

y = - 2 x - 3

2 мин · практика
Ответ: А — 2, Б — 1, В — 4; в бланк: 214.
Как читать: точка пересечения с осью Oy даёт b (x = 0 → y = b); «идёт вверх» слева направо — k > 0, «вниз» — k < 0. А: b = 3, убывает → 2; Б: b = −3, возрастает → 1; В: b = −3, убывает → 4. Формула 3 лишняя.
Проверка точкой: А проходит через (1; 1): −2 · 1 + 3 = 1 ✓; Б — через (1; −1): 2 − 3 = −1 ✓; В — через (−1; −1): 2 − 3 = −1 ✓.
Линейная функция изучена в 7 классе; задание тренирует чтение графика: «пересечение с осью» и «возрастание/убывание».

R09.1

Самостоятельная работа · 3 минуты

Два варианта

Вариант 1 · $f (x) = x^{2} - 4 x$

Найдите $f (- 1)$ . $5$
Принадлежит ли графику точка $(3; - 3)$ ? да
Найдите нули функции. $0; 4$
Таблица при $x = 0; 1; 2; 3; 4$ , наименьшее значение.
$0; - 3; - 4; - 3; 0$ ; наим. $- 4$

Вариант 2 · $f (x) = x^{2} + 2 x$

Найдите $f (- 3)$ . $3$
Принадлежит ли графику точка $(2; 6)$ ? нет
Найдите нули функции. $- 2; 0$
Таблица при $x = - 3; - 2; - 1; 0; 1$ , наименьшее значение.
$3; 0; - 1; 0; 3$ ; наим. $- 1$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по графику найти $f (a)$ ?

Как решить $f (x) = b$ по графику?

Как проверить точку без рисунка?

Домашнее задание

Постройте по точкам $y = 4 - x^{2}$ при $- 2 \leq x \leq 2$ ; найдите нули и наибольшее значение.
Принадлежит ли графику $y = 4 - x^{2}$ точка (3; −5)?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_obratnaya.htm

1 мин · практика
Ответы на вопросы рефлексии: провести вертикаль через x = a до графика и прочитать ординату; провести прямую y = b и найти абсциссы всех точек пересечения; подставить x₀ в формулу и сравнить с y₀.
Ответы ДЗ: таблица при x = −2; −1; 0; 1; 2: y = 0; 3; 4; 3; 0; нули −2 и 2; наибольшее значение 4 при x = 0; (3; −5): 4 − 9 = −5 — принадлежит (точка вне построенного отрезка, но на графике функции y = 4 − x²).
Тренажёр строки R09 (функции y = k/x и графики) — к нему вернёмся на уроках ALG8-090 и далее; сегодня достаточно заданий на чтение графика.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-088 · Чтение и построение графиков функций

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), Алгебра 7–9 кл., Москва – 2025 · 8 класс
Строка, урок	R09 «Функции. Числовые функции», 9 ч · урок 1/9 · тип Н
Единицы → слайды	R09.1 «Чтение и построение графиков функций» → 3–12 (разминка, чтение графика, образцы, памятка, закрепление), 13–18 (построение по точкам, принадлежность точки, таблицы, построение), 19–23 (самопроверка, ошибки, ОГЭ, самостоятельная)
Результаты	ПР-12 / REQ-4.1 (значение функции по аргументу, свойства по графику) → 2–12, 16, 19, 21–23 · ПР-13 / REQ-4.2 (строить графики, описывать свойства) → 13–15, 17, 18, 23 · вид деятельности ФРП «находить по графику значение одной величины по значению другой» → 5–7, 12, 19, 21
ОГЭ	линия 11 (графики функций) → 22
Вне урока	графики реальных процессов — ALG8-089 (R09.2); прямая и обратная пропорциональность — ALG8-090 (R09.3); $y = x^{2}$ — ALG8-091 (R09.4); $y = x^{3}$ , $y = x$ , $y = ∣ x ∣$ , графическое решение уравнений — R09.5
Хронометраж	теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) · 24 видимых слайда
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Чтение и построение графиков функций

Сегодня вы научитесь

Читать график

Видеть свойства

Строить график по точкам

Проверять точку

Значение функции и координаты точки

График функции — все точки (x; f(x))

Дано x — найти y

Дано y — найти все x

По графику функции h

Нули функции и знаки

Возрастание, убывание, наибольшее и наименьшее

Свойства функции p по графику

Вопрос → что делаем на графике

По графику функции g

Строим график по точкам за 4 шага

Таблица значений функции

Точки → плавная линия

Принадлежит ли точка графику?

Заполните таблицы значений

Постройте график по точкам

Без рисунка — по формуле

Типичные ошибки

По графику функции q

Графики и формулы

Два варианта

Вариант 1 · f(x)=x2−4x

Вариант 2 · f(x)=x2+2x

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-088 · Чтение и построение графиков функций

Вариант 1 · $f (x) = x^{2} - 4 x$

Вариант 2 · $f (x) = x^{2} + 2 x$