Функции. Основные понятия · урок 4 из 5

Свойства функции и их отображение на графике

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R08 · ALG8-086

0 мин · титул. Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), всего 45 мин.
Теория (13 мин): цели 1 (сл. 2) · проблема 2 (сл. 5) · D и E 2 (сл. 6) · нули 1 (сл. 8) · знак 2 (сл. 9) · возрастание и убывание 2 + 2 (сл. 11–12) · схема-конспект 1 (сл. 14).
Практика (32 мин): разминка 2 + 2 (сл. 3–4) · образец → сам 2 (сл. 7) · самопроверка 3 + 3 (сл. 10, 13) · образец по плану 2 (сл. 15) · найди ошибку 2 (сл. 16) · задания в тетрадях 4 (сл. 17) · ОГЭ 2 (сл. 18) · задача из жизни 2 (сл. 19) · обратная задача 2 (сл. 20) · самостоятельная работа 4 (сл. 21) · рефлексия и ДЗ 2 (сл. 22).
Паспорт: R08 «Функции. Основные понятия» (5 ч), урок 4/5, единица R08.4 «Свойства функции, их отображение на графике». Тип урока — Н (новый материал). До этого: ALG8-083 «Понятие функции», ALG8-084 «Способы задания функций», ALG8-085 «График функции»; следующий ALG8-087 — практикум по всей строке.
Один и тот же график f проходит через сл. 6–12: ученики «читают» его по одному свойству за раз. Попросите перерисовать его в тетрадь на сл. 6 (клетка = 1 единица).
Если не успеваете: сл. 20 (обратная задача) перенести в ДЗ, задание 5 со сл. 17 — тоже.

R08.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь читать по графику

Область определения и множество значений

$D (y)$ , $E (y)$

Нули функции и промежутки знакопостоянства

$y = 0$ , $y > 0$ , $y < 0$

Промежутки возрастания и убывания

график идёт вверх ↗ или вниз ↘

Наибольшее и наименьшее значения

$y_{наиб}$ , $y_{наим}$

1 мин · теория
ПР-12 (= REQ-4.1): «Понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические обозначения), определять значение функции по значению аргумента, определять свойства функции по ее графику». Часть ПР-13: «описывать свойства числовой функции по ее графику».
Элементы содержания: EL-4.2 «График функции. Чтение свойств функции по ее графику»; EL-4.1 «Область определения и множество значений функции». Вид деятельности ФРП: «Описывать свойства функции на основе ее графического представления».
Обозначения D(y), E(y) — как в учебниках (можно D(f), E(f)). Если в вашем учебнике их нет — говорите словами «область определения», «множество значений».

повторение: R08.1–R08.3

Вспомним · устно

Читаем график: значение по аргументу и обратно

Найдите $g (0)$ .
Найдите $g (4)$ и $g (- 1)$ .
При каких $x$ $g (x) = 1$ ?
Какие $x$ можно подставить в $g$ ?

2 мин · практика
Ответы: 1) g(0) = −2 (розовый пунктир по щелчку); 2) g(4) = 3, g(−1) = −3; 3) x = −3 и x = 3 (бирюзовая прямая y = 1 пересекает график в двух точках) — значений аргумента может быть несколько, а значение функции при каждом x одно; 4) от −4 до 4 включительно — мостик к области определения (сл. 6).
Алгоритм: «значение по аргументу» — от оси x вверх/вниз до графика, потом влево/вправо к оси y; «аргумент по значению» — наоборот.
Типичная ошибка: в вопросе 3 называют одно число. Спросите: «А слева график тоже проходит через y = 1?»

повторение

Разминка · блиц

Промежутки и значения — без тетради

Запишите промежутком

$- 2 \leq x \leq 3$ $[- 2; 3]$
$- 1 < x < 4$ $(- 1; 4)$
$0 \leq x < 5$ $[0; 5)$
Входит ли $3$ в $(- 1; 3)$ ? нет

Посчитайте

$f (x) = 3 x - 1$ ; $f (2) = ?$ $5$
При каком $x$ $2 x - 6 = 0$ ? $3$
Знак $5 - x$ при $x = 7$ ? минус
$f (x) = - 2 x$ . Что больше: $f (- 1)$ или $f (1)$ ? $f (- 1)$

R08.4

Проблема

Что можно узнать по графику, не зная формулы?

R08.4

Свойства 1–2

Область определения и множество значений

2 мин · теория
Область определения функции — множество всех значений аргумента x, при которых функция имеет смысл (на графике — все x, над или под которыми есть точки графика). Множество значений — все значения y, которые функция принимает.
Образ «тени»: включите фонарик сверху — тень графика на оси Ox; фонарик сбоку — тень на оси Oy. Концы графика закрашены — числа −5 и 6 входят, поэтому квадратные скобки.
Вопрос классу: «Почему E(y) не [−1; 2]?» (−1 и 2 — значения на концах, а самая низкая точка y = −2, самая высокая y = 4.)
Типичная ошибка: для E(y) берут значения функции на концах отрезка.

R08.4

Образец → сам · область определения и множество значений

Найдите $D (y)$ и $E (y)$ по графику

а) образец

$D (y)$ $[- 4; 4]$

$E (y)$ $[- 2; 3]$

б) сами

$D (y)$ $[- 3; 3)$

$E (y)$ $[- 2; 4]$

в) сами

$D (y)$ $[- 5; 5]$

$E (y)$ $[- 3; 2]$

2 мин · практика
а) — образец, разбираем вслух: «тень» на ось Ox — от −4 до 4, D(y) = [−4; 4]; «тень» на ось Oy — от самой низкой точки −2 до самой высокой 3, E(y) = [−2; 3] (а не [−2; 1] по концам!). б) и в) — в тетрадях, 1 минута, затем щелчок.
Ответы: б) D(y) = [−3; 3) — правый конец (3; 1) выколот, поэтому скобка круглая; E(y) = [−2; 4]: наименьшее −2 при x = 0, наибольшее 4 при x = −3 (точка закрашена). Выколотая точка с y = 1 на E(y) не влияет: значение 1 функция принимает при x ≈ −0,5. в) D(y) = [−5; 5]; E(y) = [−3; 2] — наибольшее 2 на всём отрезке [−3; 0], наименьшее −3 при x = 3.

R08.4

Свойство 3

Нули функции: где график пересекает ось Ox

1 мин · теория
Нули функции — значения аргумента, при которых значение функции равно нулю. Чтобы найти нули по формуле, решают уравнение f(x) = 0; по графику — смотрят точки пересечения с осью Ox и записывают их абсциссы.
Ответ записывают числами x, а не точками: «нули: −4; 1; 5», а не «(−4; 0)…».
Типичная ошибка (красный шаг): называть нулём точку пересечения с осью Oy. Здесь f(0) ≈ 1,5 — это значение функции при x = 0.
Вопрос: «Может ли у функции не быть нулей? Быть бесконечно много?» (Да и да: график целиком выше Ox; график, лежащий на оси Ox.)

R08.4

Свойство 4

Промежутки знакопостоянства

2 мин · теория
Промежутки знакопостоянства — промежутки, на которых функция сохраняет знак: y > 0 (график выше оси Ox) или y < 0 (ниже). Нули делят область определения на такие промежутки.
Нули не входят ни в один промежуток — в нуле y = 0, это не «больше» и не «меньше»; поэтому у −4, 1 и 5 круглые скобки. Концы −5 и 6 — входят (квадратные скобки), там y ≠ 0.
Вместо «и» можно записать объединение: (−4; 1) ∪ (5; 6] — если знак ∪ знаком классу.
Вопрос: «При каких x f(x) ≥ 0?» Ответ: [−4; 1] и [5; 6] — теперь нули входят.

R08.4

Нули и знак · задания с самопроверкой

Нули и промежутки знакопостоянства функции h

базаНайдите нули функции. $- 4; - 2; 1; 3$
базаПри каких $x$ $h (x) > 0$ ? $(- 4; - 2)$ и $(1; 3)$
базаПри каких $x$ $h (x) < 0$ ? $[- 5; - 4)$ , $(- 2; 1)$ и $(3; 5]$
повыш.Сколько корней у $h (x) = 1$ ? $3$
повыш.Сколько целых $x$ , при которых $h (x) > 0$ ? $2$

3 мин · практика
2 мин в тетрадях, затем проверка всем классом: щелчок открывает ответ к каждому заданию.
Ответы: 1) нули −4; −2; 1; 3 (график пересекает Ox в этих точках); 2) h(x) > 0 при x ∈ (−4; −2) и (1; 3); 3) h(x) < 0 при x ∈ [−5; −4), (−2; 1) и (3; 5] — концы −5 и 5 входят, h(±5) = −2; 4) три корня: прямая y = 1 пересекает график при x = −3,5 и x = −2,5 и касается его в вершине (2; 1); 5) целые x внутри (−4; −2) и (1; 3): x = −3 и x = 2 — два числа.
Типичные ошибки: включают нули в промежутки знака; в задании 4 не считают вершину (2; 1).

R08.4

Свойство 5 · определение

Возрастание и убывание: читаем слева направо

2 мин · теория
Функция возрастает на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; убывает — если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Образ: идём по графику слева направо, как по тропинке. Подъём — возрастает, спуск — убывает.
Вопрос: «Как на графике функции возрастают прямые y = 2x и y = −x?» (y = 2x возрастает на всей прямой, y = −x убывает.) Связь с 7 классом: у линейной функции y = kx + b при k > 0 — возрастает, при k < 0 — убывает.
Типичная ошибка — «читать» график справа налево и путать возрастание с убыванием.

R08.4

Свойства 5–6 на нашем графике

Где подъём, где спуск, где вершины

2 мин · теория
Промежутки возрастания и убывания записывают по оси Ox (значения x!), их границы — абсциссы «вершин» и концов графика. В большинстве учебников концы включают: возрастает на [−5; −2] — квадратные скобки.
Наибольшее значение — ордината самой высокой точки графика, наименьшее — самой низкой: y_наиб = 4 (при x = −2), y_наим = −2 (при x = 3). Сравните с E(y) = [−2; 4] со сл. 6: концы множества значений — это и есть наименьшее и наибольшее значения.
Типичная ошибка: «возрастает на [−1; 4]» — записали значения y, а не x.
Вопрос: «Почему нельзя сказать “функция возрастает на [−5; −2] и [3; 6] вместе”?» — f(−2) = 4 больше, чем f(3) = −2, хотя −2 < 3: на объединении функция не возрастает. Поэтому пишем «на каждом из промежутков».

R08.4

Возрастание, убывание, наибольшее · с самопроверкой

Прочитайте по графику функции p

базаПромежутки возрастания $[- 3; - 1]$ и $[2; 5]$
базаПромежутки убывания $[- 5; - 3]$ и $[- 1; 2]$
база $y_{наиб}$ и $y_{наим}$ $4 (x = - 1)$ ; $- 2 (x = - 3)$
повыш.Наибольшее значение на $[1; 5]$ $2 (x = 5)$
повыш.Сколько корней у $p (x) = 3$ ? $2$

3 мин · практика
2 мин в тетрадях, затем щелчками открыть ответы. Напоминание: границы промежутков — значения x.
Ответы: 1) возрастает на [−3; −1] и на [2; 5]; 2) убывает на [−5; −3] и на [−1; 2]; 3) y_наиб = 4 при x = −1, y_наим = −2 при x = −3, E(y) = [−2; 4]; 4) на отрезке [1; 5] функция сначала убывает до p(2) = −1, потом возрастает до p(5) = 2; p(1) = 2/3 < 2, поэтому наибольшее значение на отрезке равно 2 (при x = 5); 5) прямая y = 3 пересекает график дважды — на подъёме от (−3; −2) к (−1; 4) и на спуске от (−1; 4) к (2; −1): при x = −4/3 и x = −0,4.
Ошибка в 4): отвечают 4 — это наибольшее значение на всей области определения, а не на отрезке.

R08.4

Схема-конспект

Шесть вопросов к любому графику

1. Область определения

$D (y)$ — по оси Ox

2. Множество значений

$E (y)$ — по оси Oy

3. Нули

$y = 0$ — пересечение с Ox

4. Знак

$y > 0$ выше Ox, $y < 0$ ниже

5. Возрастание, убывание

↗ подъём, ↘ спуск

6. Наибольшее и наименьшее

самая высокая и низкая точки

R08.4

Образец · закрепление

Опишем свойства функции по плану

$D (y)$	$[- 3; 4]$
$E (y)$	$[- 2; 3]$
нули	$- 1; 3$
$y > 0$	$[- 3; - 1)$ и $(3; 4]$
$y < 0$	$(- 1; 3)$
↘ убывает	$[- 3; 1]$
↗ возраст.	$[1; 4]$
наиб.; наим.	$3 (x = - 3)$ ; $- 2 (x = 1)$

R08.4

Типичные ошибки · график f со сл. 6

Найдите ошибку

Свойство	Неверно	Верно
Нули	$(0; 1, 5)$	$- 4; 1; 5$
Множество значений	$E (y) = [- 5; 6]$	$E (y) = [- 2; 4]$
Убывает	на $[- 2; 4]$	на $[- 2; 3]$
$y > 0$	$x \in [- 4; 1]$	$x \in (- 4; 1)$ и $(5; 6]$

R08.4

Закрепление · в тетрадях

Опишите свойства функции q

базаНайдите $D (y)$ и $E (y)$ .
базаНайдите нули функции.
базаУкажите промежутки возрастания и убывания.
повыш.При каких $x$ $q (x) < 0$ ?
повыш.Сколько корней имеет уравнение $q (x) = 1$ ?

4 мин · практика
3 мин самостоятельно, затем 1 мин взаимопроверка в парах по ответам.
Ответы: 1) D(y) = [−4; 4], E(y) = [−3; 2]; 2) нули −3; 1; 3; 3) возрастает на [−4; −1] и [2; 4], убывает на [−1; 2]; 4) x ∈ [−4; −3) и (1; 3); 5) три корня: прямая y = 1 пересекает график на (−3; −1), на (−1; 1) и проходит через конец графика (4; 1).
Ошибка в 5): забывают корень x = 4 на конце. Ошибка в 4): ставят круглую скобку у −4, хотя −4 входит (q(−4) = −3 < 0); у нулей −3, 1, 3 скобки круглые.
Если не успевают — задание 5 в ДЗ.

R08.4

В формате ОГЭ · линия 11

Установите соответствие между графиками и утверждениями

1) функция принимает только положительные значения

2) функция убывает на всей числовой прямой

3) график пересекает ось Ox в двух точках

4) функция возрастает на всей числовой прямой

2 мин · практика
Формат задания 11 ОГЭ по математике (банк ФИПИ): соответствие «график — утверждение», ответ — последовательность цифр под буквами А, Б, В. Задание авторское.
Ответ: 321. А — график пересекает Ox в двух точках (3); Б — прямая идёт вниз слева направо (2); В — весь график выше оси Ox (1). Утверждение 4 лишнее.
Формулы (для учителя, классу не нужны): А y = 0,5x² − 2, Б y = −x + 1, В y = 0,25x² + 1. Квадратичную функцию проходят позже — здесь важно только чтение свойств по рисунку.

R08.4

Задача из жизни

Заряд телефона: $t$ — часы, по оси $y$ — заряд в %

базаНайдите $D (y)$ и $E (y)$ . $[0; 12]$ ; $[0; 80]$
базаКогда телефон заряжали? $[4; 6]$ и $[10; 12]$
базаНуль функции — что случилось? $t = 10$ : телефон разрядился
повыш.Сколько часов заряд был не меньше 60 %? 4 ч

2 мин · практика
Сюжет: t — часы после выхода из дома, функция — заряд в процентах. Свойства функции переводим на язык жизни.
Ответы: 1) D = [0; 12], E = [0; 80] — заряд от 0 % до 80 %; 2) заряд растёт (функция возрастает) на [4; 6] и [10; 12] — телефон был на зарядке; 3) нуль t = 10: заряд 0 %, телефон разрядился; 4) заряд ≥ 60 % при t ∈ [0; 2] (спуск с 80 до 40 за 4 ч, 60 % — через 2 ч) и при t ∈ [5; 7] (подъём до 80 % к t = 6 и спуск 20 % в час) — всего 2 + 2 = 4 часа.
Наибольшее значение 80 % достигается дважды: при t = 0 и t = 6.

R08.4

Практика · обратная задача

Нарисуйте график по свойствам

практика

$D (y) = [- 4; 4]$ , $E (y) = [- 2; 3]$
нули: $- 2$ и $2$
возрастает на $[- 4; 0]$
убывает на $[0; 4]$

Сравните с соседом: одинаковые ли графики?

2 мин · практика
Вид деятельности ФРП: «приводить примеры процессов и явлений с заданными свойствами».
Рассуждение: функция возрастает до x = 0, значит, наибольшее значение 3 достигается при x = 0, точка (0; 3). Значение −2 (наименьшее) — на одном из концов: f(−4) = −2 или f(4) = −2. По щелчку — один из возможных ответов: (−4; −2), (−2; 0), (0; 3), (2; 0), (4; −1).
Главный вывод: свойства не задают график однозначно — у соседей графики разные, но все верные, если выполнены все пять условий. Проверить: нет ли «лишних» нулей и «горок».

R08.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1 · $y = u (x)$

$D (y)$ и $E (y)$ $[- 4; 4]$ ; $[- 2; 2]$
Нули функции $- 3; 0; 2$
Где убывает? $[- 4; - 2]$ и $[1; 4]$
При каких $x$ $y < 0$ ? $(- 3; 0)$ и $(2; 4]$

Вариант 2 · $y = w (x)$

$D (y)$ и $E (y)$ $[- 4; 4]$ ; $[- 2; 2]$
Нули функции $- 2; 0; 3$
Где возрастает? $[- 4; - 1]$ и $[2; 4]$
При каких $x$ $y > 0$ ? $(- 2; 0)$ и $(3; 4]$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие свойства читаем по оси Oy?
Входят ли нули в промежутки, где $y > 0$ ?
Как по графику понять, что функция убывает?

Домашнее задание

Опишите по плану все свойства функции $T (t)$ — температуры со сл. 5.
Нарисуйте график: $D (y) = [- 3; 3]$ , нуль один $x = 0$ , функция возрастает.
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_obratnaya.htm

2 мин · практика
Рефлексия 1 мин: «светофор» — каждый поднимает карточку цвета, который про него. Ответы: E(y) и наибольшее/наименьшее значения; нет — в нулях y = 0; при движении слева направо график идёт вниз.
Ответы ДЗ (температура): D = [0; 24], E = [−5; 6]; нули t = 8 и t = 20; T > 0 при t ∈ (8; 20), T < 0 при t ∈ [0; 8) и (20; 24]; убывает на [0; 4] и [14; 24], возрастает на [4; 14]; T_наиб = 6 при t = 14, T_наим = −5 при t = 4. Второе задание — например, отрезок прямой y = x от (−3; −3) до (3; 3).
Тренажёр по строке R08 — раздел «Функции» 8 класса на reknow.ru (задания на графики и обратную пропорциональность); на следующем уроке ALG8-087 — практикум по всей строке R08.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-086 · Свойства функции, их отображение на графике

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R08 «Функции. Основные понятия», 5 ч · урок 4/5 · тип Н
Единицы → слайды	R08.4 «Свойства функции, их отображение на графике» → 2, 5–22 · повторение R08.1–R08.3 (значение функции по графику), запись промежутков → 3, 4
Результаты	ПР-12 = REQ-4.1 (функциональные понятия и язык, значение функции по значению аргумента, свойства функции по графику) → 3, 6–21 · ПР-13 (описывать свойства числовой функции по ее графику) → 14, 15, 17, 21 · элементы EL-4.1 → 3, 6, 7; EL-4.2 → 5–22; EL-4.3 (реальный процесс) → 5, 19, 22 · теория 13 мин / практика 32 мин (71 %)
Вне урока	практикум по строке R08 — ALG8-087; чтение и построение графиков, графики реальных процессов — ALG8-088, ALG8-089 (R09); графики y = k/x, y = x², y = x³, y = √x, y = \|x\| — строка R09
ОГЭ	линия 11 (графики функций) → сл. 18
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Свойства функции и их отображение на графике

Сегодня вы научитесь читать по графику

Область определения и множество значений

Нули функции и промежутки знакопостоянства

Промежутки возрастания и убывания

Наибольшее и наименьшее значения

Читаем график: значение по аргументу и обратно

Промежутки и значения — без тетради

Запишите промежутком

Посчитайте

Что можно узнать по графику, не зная формулы?

Область определения и множество значений

Найдите D(y) и E(y) по графику

а) образец

б) сами

в) сами

Нули функции: где график пересекает ось Ox

Промежутки знакопостоянства

Нули и промежутки знакопостоянства функции h

Возрастание и убывание: читаем слева направо

Где подъём, где спуск, где вершины

Прочитайте по графику функции p

Шесть вопросов к любому графику

1. Область определения

2. Множество значений

3. Нули

4. Знак

5. Возрастание, убывание

6. Наибольшее и наименьшее

Опишем свойства функции по плану

Найдите ошибку

Опишите свойства функции q

Установите соответствие между графиками и утверждениями

Заряд телефона: t — часы, по оси y — заряд в %

Нарисуйте график по свойствам

Два варианта — решите свой

Вариант 1 · y=u(x)

Вариант 2 · y=w(x)

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-086 · Свойства функции, их отображение на графике

Найдите $D (y)$ и $E (y)$ по графику

Заряд телефона: $t$ — часы, по оси $y$ — заряд в %

Вариант 1 · $y = u (x)$

Вариант 2 · $y = w (x)$