Функции. Основные понятия · урок 3 из 5

График функции

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R08 · ALG8-085

Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) · всего 45 мин.
Паспорт: R08 «Функции. Основные понятия» (5 ч), урок 3/5, единица R08.3 «График функции». Тип урока — Н. Было: ALG8-083 «Понятие функции», ALG8-084 «Способы задания функций»; дальше: ALG8-086 «Свойства функции, их отображение на графике».
Хронометраж (45 мин): цели 1 мин (сл. 2) · разминка и повторение 4 (сл. 3–4) · новый материал 14 вместе с практикой после каждого правила (сл. 5–14) · построение и ошибки 7 (сл. 15–17) · задания с самопроверкой, ОГЭ 8 (сл. 18–20) · самостоятельная работа 4,5 (сл. 21) · рефлексия и ДЗ 1,5 (сл. 22).
Теория (14 мин): сл. 2, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 16. Практика (31 мин): сл. 3, 4, 8, 10, 12, 14, 15, 17–22.
Если не успеваете: задания 4–5 со сл. 19 перенести в ДЗ; на сл. 18 решить только задания 1–4.

R08.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Понимать

что такое график функции $y = f (x)$

Строить по точкам

таблица → точки → плавная линия

Проверять

лежит ли точка на графике — подстановкой

Читать график

по $x$ находить $y$ и по $y$ — $x$

1 мин · теория
ПР-12 (= REQ-4.1): «Понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические обозначения), определять значение функции по значению аргумента, определять свойства функции по ее графику». Сегодня — термин «график функции» и значение функции по графику; свойства по графику — следующий урок.
Элемент содержания EL-4.2 «График функции. Чтение свойств функции по ее графику». Вид деятельности ФРП: «Вычислять значения функций, заданных формулами…; составлять таблицы значений функции. Строить по точкам графики функций».
Вопрос классу: «Вчера мы задавали функцию формулой, таблицей и графиком. Какой способ самый наглядный?»

повторение: ALG8-083, ALG8-084

Разминка · устно

Отвечаем хором — ответ появляется по клику

1

$3 \cdot (- 2) + 1$

- 5

2

$(- 3)^{2}$

9

3

$- 3^{2}$

- 9

4

$4 - (- 1)^{2}$

3

5

$∣ - 5∣ - 2$

3

6

$f (x) = 2 x - 1$ найдите $f (0)$

- 1

7

$f (x) = x^{2}$ найдите $f (- 4)$

16

8

$(0; - 3)$ на какой оси лежит точка?

на оси

O y

повторение: координаты, ALG8-084

Вспомним

Координаты точки и таблица значений

1. Назовите координаты точек A, B, C, D.

2. Заполните таблицу для $y = 2 x - 1$

$x$	−1	0	1	2
$y$	−3	−1	1	3

Каждый столбец таблицы — пара чисел

(x; y)

, то есть точка.

R08.3

Проблема

Как увидеть функцию $y = 4 - x^{2}$ целиком?

$x$	$y$
−3	−5
−2	0
−1	3
0	4
1	3
2	0
3	−5

1. Точки из таблицы

7 точек — 7 пар $(x; y)$

2. Ещё точки

$x = \pm 0, 5; \pm 1, 5; \pm 2, 5$

3. Плавная линия

через все точки — это и есть график

R08.3

Определение

Что называют графиком функции

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

точка

(x; y)

на графике

\Leftrightarrow y = f (x)

R08.3

Важно

Сколько точек нужно для графика?

Прямая $y = 2 x - 1$ : хватит двух

Кривая $y = x^{3} - 4 x$ : трёх мало

три точки на одной прямой — а график не прямая!

R08.3

Образец → сам · таблица значений

Составьте таблицу — получите точки графика

Образец: $y = x^{2} - 2 x$

$x$	−1	0	1	2	3
$y$	3	0	−1	0	3

$x = - 1$ : $(- 1)^{2} - 2 \cdot (- 1) = 1 + 2 = 3$

Точки: $(- 1; 3), (0; 0), (1; - 1), (2; 0), (3; 3)$

Сам · в тетради

$y = 3 - 2 x$ , $x = - 1; 0; 1; 2$
$5; 3; 1; - 1$
$y = x^{2} + 1$ , $x = - 2; - 1; 0; 1; 2$
$5; 2; 1; 2; 5$
$y = ∣ x - 1∣$ , $x = - 1; 0; 1; 2; 3$
$2; 1; 0; 1; 2$

R08.3

Без рисунка — подстановкой

Лежит ли точка на графике $y = 4 - x^{2}$ ?

Подставь

x

→ вычисли

f (x)

→ сравни с

y

A(1; 3)

4 - 1^{2} = 3

$= 3$ ✓

B(−2; 1)

4 - (- 2)^{2} = 0

$\neq = 1$ ✗

C(3; −5)

4 - 3^{2} = - 5

$= - 5$ ✓

R08.3

Образец → сам · подстановка

Лежит ли точка на графике?

Образец

Лежит ли $M (- 2; - 7)$ на графике $y = 2 x^{2} - 15$ ?

$2 \cdot (- 2)^{2} - 15 = 8 - 15 = - 7$

$- 7 = - 7$ ✓

Ответ: лежит

Сам · в тетради

$A (3; 4)$ и $y = 2 x - 2$ лежит
$B (- 1; 5)$ и $y = x^{2} + 3$ не лежит
$C (- 4; - 2)$ и $y = ∣ x ∣ - 6$ лежит
повыш.При каком $b$ точка $(2; 7)$ лежит на графике $y = x^{2} + b$ ? $b = 3$

R08.3

Читаем график $y = x^{2} - 2 x - 1$

По $x$ находим $y$ , по $y$ находим $x$

Найти $f (3)$

от $x = 3$ вверх до графика → влево к оси $O y$

f (3) = 2

Найти $x$ , при которых $f (x) = - 1$

горизонталь $y = - 1$ → все точки пересечения

x = 0

или

x = 2

R08.3

Сам · читаем график $y = x^{2} - 4 x + 3$

Найдите по графику

$f (0)$

3

$f (2)$

- 1

$f (5)$

8

$f (x) = 0$ при каких $x$ ?

x = 1

или

x = 3

$f (x) = 3$ при каких $x$ ?

x = 0

или

x = 4

повыш. $f (x) = - 2$ при каких $x$ ?

таких

x

нет

R08.3

Проверка вертикалью

Каждая ли линия — график функции?

каждому

x

— одно

y

\Leftrightarrow

любая вертикаль пересекает линию не более чем в одной точке

R08.3

Сам · проверка вертикалью

Какие линии — графики функций?

1 — да 2 — нет 3 — да 4 — нет

Ведите вертикаль: больше одной точки пересечения — не функция.

1 мин · практика
Класс показывает сигнальными карточками (или пальцами «да/нет») по каждой линии, затем щелчками открываются ответы.
1) парабола — любая вертикаль пересекает её в одной точке: функция. 2) вертикальная прямая — одному x соответствует бесконечно много y: не функция. 3) ломаная — каждая вертикаль пересекает её один раз: функция. 4) «уголок», открытый вправо, — вертикаль правее вершины пересекает его в двух точках: не функция.

R08.3

Строим сами

Постройте график $y = ∣ x ∣ - 2$

$x$	−3	−2	−1	0	1	2	3
$y$	1	0	−1	−2	−1	0	1

Точки легли на два луча: график — не всегда плавная кривая.

R08.3

Типичные ошибки

Как не ошибиться

Ошибка	Как правильно
Точку (2; 5) отметили как (5; 2)	первое число — по $O x$ , второе — по $O y$
Точки соединили ломаной «по линейке»	кривую ведём плавно; уточняем точками
Взяли три точки — и хватит	берём больше точек там, где линия поворачивает
По $y$ нашли одно $x$	ищем все пересечения горизонтали с графиком

R08.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

Лежит ли $(- 3; - 8)$ на графике $y = 1 - x^{2}$ ?

$1 - (- 3)^{2} = 1 + 9 = 10$ , не лежит ✗

$1 - 9 = - 8$ , лежит ✓

$(- 3)^{2} = 9$ , а минус перед квадратом остаётся

По графику $y = x^{2}$ найдите $x$ , если $y = 4$

$x = 2$ ✗

$x = - 2$ или $x = 2$ ✓

горизонталь $y = 4$ пересекает график в двух точках

Точка графика $y = 3 x - 1$ с абсциссой $2$

$(5; 2)$ ✗

$(2; 5)$ ✓

первой пишут абсциссу $x$ , второй — ординату $y$

R08.3

Задания с самопроверкой · база и повышенный

Решите в тетради, затем сверьте ответы

1

$y = 5 - 2 x$ найдите $y$ при $x = 3$

- 1

2

$y = x^{2} - 1$ лежит ли точка $(- 3; 8)$ ?

лежит

3

$y = - x + 4$ точка графика с абсциссой $- 2$

(- 2; 6)

4

$y = 2 x + 1$ при каком $x$ значение $y = 9$ ?

x = 4

5

$y = x^{2}$ при каких $x$ значение $y = 9$ ?

x = - 3

или

x = 3

6

$y = k x - 3$ проходит через $(2; 5)$ ; найдите $k$

k = 4

R08.3

Закрепление · с самопроверкой

Решите

базаЛежат ли на графике $y = 3 x - 5$ точки A(2; 1) и B(−1; −7)? A — да, B — нет
базаСоставьте таблицу для $y = x^{2} - 3$ при $x = - 2; - 1; 0; 1; 2$ . $1; - 2; - 3; - 2; 1$
повыш.Точка с абсциссой −3 лежит на графике $y = x^{2} - 4$ . Найдите её ординату. $5$

повыш.График $y = k x + 4$ проходит через точку (2; −2). Найдите $k$ . $k = - 3$
практикаПоездка на такси стоит $y = 100 + 30 x$ рублей ( $x$ — км). Лежит ли на графике точка (8; 340)? Сколько километров можно проехать за 520 рублей? да; 14 км

R08.3 · ОГЭ № 11

Формат ОГЭ

Задание 11: графики и формулы

11Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

1)

y = 2 x + 1

2)

y = 0, 5 x - 1

3)

y = - 2 x + 3

ответ: 231

R08.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решаем молча, ответы по клику

Вариант 1

Лежит ли точка $(- 2; 9)$ на графике $y = x^{2} + 5$ ? да
$y = 3 x - 4$ . Найдите $y$ при $x = - 2$ . $- 10$
$y = 2 x - 3$ . Найдите $x$ , если $y = 7$ . $5$
График $y = k x + 1$ проходит через $(3; - 5)$ . Найдите $k$ . $- 2$

Вариант 2

Лежит ли точка $(- 3; 4)$ на графике $y = x^{2} - 6$ ? нет
$y = 5 - 2 x$ . Найдите $y$ при $x = - 3$ . $11$
$y = 4 x + 1$ . Найдите $x$ , если $y = - 7$ . $- 2$
График $y = k x - 2$ проходит через $(2; 8)$ . Найдите $k$ . $5$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое график функции?
Как без рисунка проверить, лежит ли точка на графике?
Почему окружность — не график функции?

Домашнее задание

Постройте по точкам график $y = x^{2} - 4 x$ при $x$ от $- 1$ до $5$ .
Лежит ли на нём точка (−3; 21)? При каких $x$ $y = - 3$ ?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_obratnaya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-085 · График функции

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_baza.pdf, с. 54–61
Строка, урок	R08 «Функции. Основные понятия», 5 ч · урок 3/5 · тип Н
Единицы → слайды	R08.3 «График функции» → 5–21 (теория: 5, 6, 7, 9, 11, 13, 16; практика: 8, 10, 12, 14, 15, 17–21) · повторение → 3, 4
Результаты	ПР-12 = REQ-4.1 (функциональные понятия и язык; значение функции по значению аргумента) → 2, 3, 6, 9, 10, 11, 12, 17, 18, 19, 20, 21 · вид деятельности «составлять таблицы значений функции; строить по точкам графики функций» → 5, 7, 8, 13, 14, 15, 22 · EL-4.2
Вне урока	свойства функции по графику — ALG8-086; чтение и построение графиков, реальные процессы — R09 (ALG8-088, ALG8-089); графики y = x², y = x³, y = \|x\| — R09 (ALG8-091, ALG8-092)
ОГЭ	задание 11 (графики функций) → сл. 20
Время	теория 14 мин (сл. 2, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 16) · практика 31 мин (69 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

График функции

Сегодня вы научитесь

Понимать

Строить по точкам

Проверять

Читать график

Отвечаем хором — ответ появляется по клику

Координаты точки и таблица значений

Как увидеть функцию y=4−x2 целиком?

1. Точки из таблицы

2. Ещё точки

3. Плавная линия

Что называют графиком функции

Сколько точек нужно для графика?

Прямая y=2x−1: хватит двух

Кривая y=x3−4x: трёх мало

Составьте таблицу — получите точки графика

Образец: y=x2−2x

Сам · в тетради

Лежит ли точка на графике y=4−x2?

Лежит ли точка на графике?

Образец

Сам · в тетради

По x находим y, по y находим x

Найти f(3)

Найти x, при которых f(x)=−1

Найдите по графику

Каждая ли линия — график функции?

Какие линии — графики функций?

Постройте график y=∣x∣−2

Как не ошибиться

Где ошибся ученик?

Лежит ли (−3; −8) на графике y=1−x2?

По графику y=x2 найдите x, если y=4

Точка графика y=3x−1 с абсциссой 2

Решите в тетради, затем сверьте ответы

Решите

Задание 11: графики и формулы

Два варианта — решаем молча, ответы по клику

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-085 · График функции

Как увидеть функцию $y = 4 - x^{2}$ целиком?

Прямая $y = 2 x - 1$ : хватит двух

Кривая $y = x^{3} - 4 x$ : трёх мало

Образец: $y = x^{2} - 2 x$

Лежит ли точка на графике $y = 4 - x^{2}$ ?

По $x$ находим $y$ , по $y$ находим $x$

Найти $f (3)$

Найти $x$ , при которых $f (x) = - 1$

Постройте график $y = ∣ x ∣ - 2$

Лежит ли $(- 3; - 8)$ на графике $y = 1 - x^{2}$ ?

По графику $y = x^{2}$ найдите $x$ , если $y = 4$

Точка графика $y = 3 x - 1$ с абсциссой $2$