Функции. Основные понятия · урок 2 из 5

Способы задания функций

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R08 · ALG8-084

Паспорт: R08 «Функции. Основные понятия» (5 ч), урок 2/5, единица R08.2 «Способы задания функций». Тип Н (новый материал). Предыдущий урок ALG8-083 — понятие функции; следующий ALG8-085 — график функции (построение по точкам).
0 мин · титул. Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Теория (14 мин): цели 1 (сл. 2) · свеча 2 (сл. 5) · формула 2 (сл. 6) · две задачи по формуле 2 (сл. 7) · формула → таблица 2 (сл. 9) · таблица 1 (сл. 11) · график 2 (сл. 12) · схема 1 (сл. 14) · итог 1 (сл. 23).
Практика (31 мин): разминка 2 (сл. 3) · вспомним 2 (сл. 4) · образец → сам 3 + 2 + 2 (сл. 8, 10, 13) · база 3 (сл. 15) · повышенный 3 (сл. 16) · график 2 (сл. 17) · такси 2 (сл. 18) · переходы 2 (сл. 19) · ОГЭ 2 (сл. 20) · найди ошибку 2 (сл. 21) · самостоятельная 4 (сл. 22).
Если не успеваете: пункты в) и г) на сл. 18 (такси) и сл. 19 — в ДЗ.

R08.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Различать способы задания

словами, формулой, таблицей, графиком

Вычислять по формуле

значение $f (a)$ и аргумент по значению функции

Составлять таблицу значений

функции, заданной формулой

Находить значения по графику

и переходить от одного способа к другому

1 мин · теория
ПР-12 (= REQ-4.1): «Понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические обозначения), определять значение функции по значению аргумента, определять свойства функции по ее графику». Сегодня — термины, символика f(x), значение функции по значению аргумента (формулой, таблицей, графиком).
Элемент содержания EL-4.1 «Понятие функции. Область определения и множество значений функции. Способы задания функций». Виды деятельности ФРП: «Использовать функциональную терминологию и символику. Вычислять значения функций, заданных формулами (при необходимости использовать калькулятор); составлять таблицы значений функции».
Вопрос классу: «Где в жизни вы видели зависимость одной величины от другой, записанную таблицей? графиком?»

повторение: действия с числами

Разминка · устно

Считаем в уме — ответ по клику

3 \cdot (- 4) + 5

−7

(- 3)^{2}

9

- 3^{2}

−9

5 - 2 \cdot (- 1, 5)

8

5^{2} - 2 \cdot 5

15

12 : (- 3)

−4

2 x - 1 = 9

найдите

x

x = 5

\frac{6}{0}

имеет смысл?нет

2 мин · практика
Ответы: 3 · (−4) + 5 = −12 + 5 = −7; (−3)² = 9; −3² = −(3²) = −9; 5 − 2 · (−1,5) = 5 + 3 = 8; 5² − 2 · 5 = 25 − 10 = 15; 12 : (−3) = −4; 2x − 1 = 9 → 2x = 10 → x = 5; 6 : 0 — на нуль делить нельзя, выражение смысла не имеет.
Темп: 15 секунд на карточку, ответ хором, затем клик. Это ровно те действия, которые сегодня понадобятся при подстановке в формулу (знаки, квадрат отрицательного числа, деление на 0).
Типичная ошибка: (−3)² и −3² считают одинаково. Разобрать: в −3² в квадрат возводится только 3.

R08.2 · повторение R08.1

Вспомним · урок ALG8-083

Функция: каждому x — ровно одно значение y

Найдите $f (2)$ .
Какая схема — А или Б — задаёт функцию?
Что такое область определения функции?

Сегодня: как можно задать это правило

R08.2

Проблема · одна зависимость

Как описать, сколько осталось от свечи?

2 мин · теория
Перед каждым щелчком спрашиваем класс: «Как записать это короче? А нагляднее?» — и открываем следующий способ.
Формула: за t часов свеча сгорает на 4t см, остаётся h = 20 − 4t. Условие 0 ≤ t ≤ 5 — свеча горит 20 : 4 = 5 ч; при t = 6 формула даёт −4 см — смысла нет.
Таблица: 20 − 4 · 3 = 8 и т. д. График — отрезок; строить графики по точкам будем на следующем уроке, сейчас только «читаем» его.
Вывод: одну и ту же функцию можно задать четырьмя способами — это и есть тема урока.

R08.2

Способ 2 · формула

Формула — правило вычисления y по x

$y = 2 x + 3$

$x$ — любое число

$y = \frac{6}{x}$

$x \neq = 0$ — на 0 делить нельзя

$y = x$

$x \geq 0$

Область определения не указана — это все x, при которых формула имеет смысл

2 мин · теория
Запись y = f(x) читают «y равно f от x». Буква f — имя правила, x — аргумент (независимая переменная), y — зависимая переменная, значение функции.
Если область определения функции, заданной формулой, не указана, считают, что она состоит из всех значений x, при которых выражение имеет смысл. У свечи (сл. 5) область задана условием: 0 ≤ t ≤ 5.
Вопрос: «Чему не может равняться x в y = 6/x? Почему?» Для √x: под знаком арифметического корня — только неотрицательные числа (R01).

R08.2

Формула · две задачи

По x найти y — и наоборот

Дан аргумент — найти значение

f (x) = x^{2} - 3 x, f (- 2) = ?

1подставить:

(- 2)^{2} - 3 \cdot (- 2)

2вычислить:

4 + 6 = 10

Ответ:

f (- 2) = 10

Дано значение — найти аргумент

g (x) = 2 x + 5, g (x) = 11, x = ?

1уравнение:

2 x + 5 = 11

2

2 x = 6, x = 3

Ответ:

x = 3

R08.2

Образец → сам

Значение функции и аргумент по формуле

Образец: $h (x) = 2 x^{2} - 5$ , $h (- 3) = ?$

h (- 3) = 2 \cdot (- 3)^{2} - 5

= 2 \cdot 9 - 5 = 18 - 5

h (- 3) = 13

Сам

$f (x) = 4 - 3 x$ . Найдите $f (- 2)$ . 10
$f (x) = x^{2} + x$ . Найдите $f (- 3)$ . 6
$g (x) = \frac{x + 6}{2}$ , $g (x) = 5$ , $x = ?$ 4
$y = 7 - 2 x$ , $y = - 3$ , $x = ?$ 5

R08.2

Формула → таблица

Составляем таблицу значений $y = x^{2} - 2 x$

1

выбрать значения x

2

подставить каждое в формулу

3

записать y под своим x

Одинаковые y при разных x — это нормально

R08.2

Образец → сам

Заполняем таблицу значений

Образец: $y = 3 x - 2$

x	−1	0	1	2	3
y	−5	−2	1	4	7

Сам 1: $y = x^{2} + 1$

x	−2	−1	0	1	2
y	5	2	1	2	5

Сам 2: $y = \frac{6}{x}$

x	−6	−2	1	2	3
y	−1	−3	6	3	2

R08.2

Способ 3 · таблица

Температура воздуха за сутки

+ удобно

значения уже вычислены, их видно сразу

− неполно

известны значения только в отдельных точках

Формулы может не быть

измерения, расписание, таблица квадратов

R08.2

Способ 4 · график

Значения функции — по графику

По x найти y

от x — вверх до графика, затем влево к оси

По y найти x

от y — по горизонтали до графика, затем вниз

Ответ по графику — приближённый

R08.2

Образец → сам

Читаем значения по графику

Образец: $f (- 1)$

от $x = - 1$ вверх до графика, затем к оси $y$ : $f (- 1) = 1$

Сам

а) база $f (- 2)$ , $f (1)$ , $f (3)$ 2; −1; 1
б) базавсе $x$ , при которых $f (x) = 2$ −2; 4
в) повыш.все $x$ , при которых $f (x) = 0$ −3; 0; 2
г) базаобласть определения $[- 4; 4]$

R08.2

Схема · сравнение и переходы

Четыре способа задать одну функцию

1 мин · теория
Итог нового материала. Спросить для каждого способа: «Когда он удобнее всего?» Формула — нужно значение при любом x (например, x = 1000). Таблица — нужны готовые значения. График — видно, где функция растёт и где больше.
Переходы: формула → таблица — подставить x (сл. 9, 10); таблица → график — отметить точки (урок ALG8-085); график → таблица — считать значения (сл. 12, 13); таблица → формула — найти правило (удаётся не всегда, сл. 16, 19).

R08.2

Задания с самопроверкой · база · 3 минуты

Вычислите и заполните таблицу

база1. Функция задана формулой

f (x) = 5 - 2 x

f (0) = ?

5

f (3) = ?

−1

f (- 1, 5) = ?

8

база2. Заполните таблицу для

y = x^{2} - 4

x	−2	−1	0	1	2	3
y	0	−3	−4	−3	0	5

R08.2

Задания с самопроверкой · повышенный · 3 минуты

Обратная задача и формула по таблице

повыш.3. а) При каком x значение функции равно 8?

$y = 3 x - 7$ $x = 5$

б) Найдите область определения функции и $y (5)$ :

$y = \frac{12}{x - 2}$ $x \neq = 2$ ; $y (5) = 4$

повыш.4. Функция задана таблицей:

x	0	1	2	3	4
y	1	4	7	10	13

Задайте её формулой. Найдите $y$ при $x = 10$ и $x$ , при котором $y = 40$ .

$y = 3 x + 1$ $y (10) = 31$ $x = 13$

R08.2

Задания с самопроверкой · график · 2 минуты

Найдите по графику

5. Функция задана графиком. Найдите:

а) база $f (- 2), f (2), f (5)$ 3; −1; 2
б) повыш.все x, при которых $f (x) = 1$ −4; 0; 4
в) базаобласть определения $[- 5; 5]$

Концы графика — закрашенные точки

R08.2

Задача из жизни · 2 минуты

Такси: от слов к формуле и таблице

практика6. Поездка стоит 150 ₽ за посадку и 25 ₽ за каждый километр.

а) Задайте стоимость y (₽) поездки на x км формулой. $y = 25 x + 150$
б) Заполните таблицу.
в) Сколько стоит поездка на 12 км? 450 ₽
г) Сколько км можно проехать на 400 ₽? 10 км

x, км	0	4	8
y, ₽	150	250	350

R08.2

Задания с самопроверкой · переходы между способами

Решите — ответы откроются по клику

базаКаждому числу $x$ поставлено в соответствие его утроенное значение, уменьшенное на 2. Задайте функцию формулой и найдите $y (4)$ . $y = 3 x - 2$ ; 10
базаНайдите область определения функции $y = \frac{5}{x + 3}$ . $x \neq = - 3$
базаПринадлежит ли точка $A (2; 5)$ графику $y = 3 x - 1$ ? да

повыш.Функция задана таблицей. Задайте её формулой.
x 1 2 3 4 6
y 12 6 4 3 2
$y = \frac{12}{x}$
практикаТариф: 300 ₽ в месяц и 2 ₽ за каждую минуту сверх пакета. Сколько стоит месяц, если сверх пакета 45 мин? 390 ₽

R08.2

Формат ОГЭ · задание 12

Расчёт по формуле

12Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^{2} R$ , где I — сила тока (в амперах), R — сопротивление (в омах).

Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 150 Вт, а сила тока равна 2,5 А. Ответ дайте в омах.

Ответ: ____________

1

Подставить известные величины

2

150 = 2, 5^{2} \cdot R

3

150 = 6, 25 R

4

R = 150 : 6, 25 = 24

Ответ — число без единиц

R08.2

Найди ошибку

Где ученик ошибся?

1) $f (x) = x^{2} + 1$ , $f (- 3) = - 9 + 1 = - 8$	ошибка: $(- 3)^{2} = 9$ , $f (- 3) = 10$
2) $y = \frac{8}{x - 4}$ определена при всех $x$	ошибка: $x - 4 \neq = 0$ , значит $x \neq = 4$
3) $g (x) = 2 x - 3$ ; $g (x) = 7$ при $x = 11$	ошибка: $2 x - 3 = 7$ , $x = 5$
4) По графику температуры: 0 °C было только в 8 ч	ошибка: ещё и в 22 ч — два ответа
5) $f (x) = 5 - 2 x$ , $f (- 1) = 7$	верно: $5 - 2 \cdot (- 1) = 5 + 2 = 7$

2 мин · практика
Ошибки в 1–4, запись 5 верна. 1) Отрицательное число подставляют в скобках: (−3)² + 1 = 10. 2) Знаменатель не может быть равен 0: x ≠ 4. 3) Ученик подставил 7 вместо x (2 · 7 − 3 = 11) — перепутал прямую и обратную задачи; на самом деле g(11) = 19. Нужно решить уравнение 2x − 3 = 7: x = 5 (проверка: 10 − 3 = 7 ✓). 4) На графике (сл. 12) прямая y = 0 пересекает кривую дважды: в 8 ч и в 22 ч. 5) 5 + 2 = 7 — верно.
Класс сначала показывает «верно/неверно» по каждой строке, затем учитель открывает объяснение.

R08.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта

Вариант 1

$f (x) = 3 x - 4$ . Найдите $f (- 2)$ . −10
$y = x^{2} - 3 x$ . Найдите $y (- 1)$ , $y (0)$ , $y (2)$ . 4; 0; −2
$y = 2 x + 7$ . При каком $x$ $y = - 1$ ? −4
Область определения $y = \frac{1}{x - 5}$ . $x \neq = 5$

Вариант 2

$f (x) = 4 x - 1$ . Найдите $f (- 3)$ . −13
$y = x^{2} + 2 x$ . Найдите $y (- 1)$ , $y (0)$ , $y (2)$ . −1; 0; 8
$y = 3 x + 5$ . При каком $x$ $y = - 4$ ? −3
Область определения $y = \frac{3}{x + 2}$ . $x \neq = - 2$

R08.2

Рефлексия · домашнее задание

Какой способ удобнее, если нужно…

?

узнать значение при $x = 1000$

?

увидеть, когда было теплее всего

?

записать результаты измерений

Формула · график · таблица

Домашнее задание

Таблица значений $y = 2 x - x^{2}$ для x от −2 до 4.
Придумайте зависимость из жизни и задайте её словами, формулой и таблицей.
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_obratnaya.htm

1 мин · теория (итоговая сводка способов; ДЗ записывают на перемене или по ссылке)
Рефлексия: класс отвечает хором, затем открываем ответ: формула, график, таблица. Продолжить фразу: «Сегодня я понял(а), что одну функцию можно…».
ДЗ 1 — ответы: x = −2: −8; −1: −3; 0: 0; 1: 1; 2: 0; 3: −3; 4: −8. Таблица пригодится на уроке ALG8-085 (построение графика).
ДЗ 2 — творческое (например, плата за мобильную связь, путь при постоянной скорости). Пункт учебника — «Способы задания функции» (по используемому УМК).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-084 · Способы задания функций

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R08 «Функции. Основные понятия», 5 ч · урок 2/5 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R08.2 «Способы задания функций» → 2, 3, 5–23 · повторение R08.1 «Понятие функции» → 4
Результаты	ПР-12 / REQ-4.1 (функциональные понятия и язык, символика f(x); значение функции по значению аргумента) → 2, 4, 6–13, 15–22 · EL-4.1 (понятие функции, область определения, способы задания функций) → 4–14, 16, 17, 19, 21, 22 · вид деятельности «вычислять значения функций, заданных формулами; составлять таблицы значений функции» → 7–10, 15, 18–20, 22
Вне урока	понятие функции — R08.1 (ALG8-083, ALG8-087), только повторение на сл. 4; построение графика по точкам — R08.3 (ALG8-085), здесь график только читается; свойства функции и множество значений — R08.4 (ALG8-086), на сл. 12 лишь вопрос в заметках; графики конкретных функций (обратная пропорциональность, y = x², квадратный корень, модуль) — R09
ОГЭ	линия 12 «расчёт по формуле» (банк ФИПИ) → 20
Хронометраж	теория 14 мин (сл. 2, 5–7, 9, 11, 12, 14, 23) · практика 31 мин (сл. 3, 4, 8, 10, 13, 15–22) — 69 %; теоретические слайды сохранены полностью
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Способы задания функций

Сегодня вы научитесь

Различать способы задания

Вычислять по формуле

Составлять таблицу значений

Находить значения по графику

Считаем в уме — ответ по клику

Функция: каждому x — ровно одно значение y

Как описать, сколько осталось от свечи?

Формула — правило вычисления y по x

По x найти y — и наоборот

Значение функции и аргумент по формуле

Образец: h(x)=2x2−5, h(−3)=?

Сам

Составляем таблицу значений y=x2−2x

Заполняем таблицу значений

Образец: y=3x−2

Сам 1: y=x2+1

Сам 2: y=x6​

Температура воздуха за сутки

+ удобно

− неполно

Формулы может не быть

Значения функции — по графику

По x найти y

По y найти x

Читаем значения по графику

Образец: f(−1)

Сам

Четыре способа задать одну функцию

Вычислите и заполните таблицу

Обратная задача и формула по таблице

Найдите по графику

Такси: от слов к формуле и таблице

Решите — ответы откроются по клику

Расчёт по формуле

Где ученик ошибся?

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Какой способ удобнее, если нужно…

Домашнее задание

ALG8-084 · Способы задания функций

Образец: $h (x) = 2 x^{2} - 5$ , $h (- 3) = ?$

Составляем таблицу значений $y = x^{2} - 2 x$

Образец: $y = 3 x - 2$

Сам 1: $y = x^{2} + 1$

Сам 2: $y = \frac{6}{x}$

Образец: $f (- 1)$