Неравенства · урок 12 из 12 · обобщение

Неравенства: всё о теме в одной схеме

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R07 · ALG8-082

0 мин · титул. Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Паспорт: R07 «Уравнения и неравенства. Неравенства» (12 ч), урок 12/12, единицы R07.1–R07.5. Тип урока — О (обобщение и систематизация).
Хронометраж по слайдам: цели 1 · разминка 2 + блиц 2 (сл. 3–4) · карта темы 1 (сл. 5) · пять блоков темы: повторение (теория) и сразу «образец → сам» или устная практика (сл. 6–18) · ошибки 2 (сл. 19) · задания с самопроверкой 3 + 3 (сл. 20–21) · самостоятельная работа 4 (сл. 22) · ОГЭ 2 + 2 (сл. 23–24) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 25).
Теория (учитель показывает и объясняет): сл. 2, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17 — 14 мин. Практика (работают ученики): сл. 3, 4, 9, 12, 15, 18–25 — 31 мин.
Если не успеваете: сл. 14 (особые случаи) пройти устно за 30 с, задания 5–6 со сл. 20 и 6 со сл. 21 перенести в ДЗ, вариант 2 сл. 22 — в ДЗ тем, кто писал вариант 1.

R07.1–R07.5

Цели урока

Сегодня соберём тему целиком

Сравнивать и оценивать

с помощью свойств числовых неравенств (ПР-11)

Решать линейные неравенства

с одной переменной (ПР-11)

Решать системы

линейных неравенств с одной переменной (ПР-11)

Изображать решения

на числовой прямой и записывать промежутком (ПР-11)

R07.1, R07.3 · повторение

Разминка · устно

Шесть быстрых вопросов — всё пригодится сегодня

1) Сравните:
$- 7$ и $- 4$

$- 7 < - 4$

2) Раскройте скобки:
$- 3 (x - 4)$

$- 3 x + 12$

3) Найдите $5 - 2 x$
при $x = - 3$

$11$

4) $a > b$ . Какой знак
у разности $a - b$ ?

$a - b > 0$

5) Решите уравнение:
$4 x - 3 = 9$

$x = 3$

6) Общий знаменатель
$\frac{x}{4}$ и $\frac{x}{6}$

$12$

2 мин · практика
Фронтально, ответы с места, затем щелчком открываем ответ. Каждый вопрос — навык, нужный сегодня: сравнение чисел (R07.1), раскрытие скобок с минусом и подстановка (R07.3), определение через разность, решение линейного уравнения, общий знаменатель для неравенств с дробями.
Ответы: 1) −7 левее −4, −7 < −4. 2) −3x + 12. 3) 5 − 2 · (−3) = 5 + 6 = 11. 4) по определению a − b > 0. 5) 4x = 12, x = 3; проверка 12 − 3 = 9 ✓. 6) НОК(4; 6) = 12.
Типичная ошибка во 2): −3x − 12 (не поменяли знак у второго слагаемого).

R07.1–R07.5 · повторение

Разминка · 5 минут

Блиц: верно или неверно?

№	Утверждение	Ответ
1	−3 > −5	верно
2	если a > b, то −a > −b	неверно
3	x = 2 — решение неравенства 3x − 1 > 5	неверно
4	число 5 принадлежит промежутку [2; 5)	неверно
5	$0, 3 < \frac{1}{3}$	верно

R07.1–R07.5

Карта темы

Пять шагов темы «Неравенства»

R07.1

1 · Числовые неравенства

Что значит «a больше b»

a > b, если a − b > 0 · a < b, если a − b < 0

Пример: $2, 7 - 2 \frac{2}{3} = \frac{1}{30} > 0$ , значит $2, 7 > 2 \frac{2}{3}$

R07.1

1 · Свойства числовых неравенств

Шесть свойств — сводная таблица

№	Свойство	Пример
1	a > b, b > c ⇒ a > c	5 > 3, 3 > 1 ⇒ 5 > 1
2	a > b ⇒ a + c > b + c	5 > 3 ⇒ 7 > 5
3	a > b, c > 0 ⇒ ac > bc	5 > 3 ⇒ 10 > 6
4	a > b, c < 0 ⇒ ac < bc знак меняется!	5 > 3 ⇒ −10 < −6
5	a > b, c > d ⇒ a + c > b + d	5 > 3, 2 > 1 ⇒ 7 > 4
6	a > b > 0, c > d > 0 ⇒ ac > bd	5 > 3, 2 > 1 ⇒ 10 > 3

R07.1

1 · Применение свойств

Оценка выражений

2 < a < 3, 1 < b < 4

сложили 3 < a + b < 7

·3 6 < 3a < 9

·(−1) −4 < −b < −1

сложили −2 < a − b < 2

значения a + b лежат в (3; 7)

Разность оценивают как сумму: a − b = a + (−b)

R07.1

Образец → сам · сравнение и оценка

Применяем свойства неравенств

Образец

$3 < x < 5$ . Оцените $2 x - 1$ .

·2 $6 < 2 x < 10$

−1 $5 < 2 x - 1 < 9$

все части умножаем и уменьшаем одинаково

Сам

$a < b$ . Сравните $a + 3$ и $b + 3$ $a + 3 < b + 3$
$a < b$ . Сравните $- 4 a$ и $- 4 b$ $- 4 a > - 4 b$
$2 < y < 6$ . Оцените $\frac{y}{2} + 1$ $2 < \frac{y}{2} + 1 < 4$
повыш. $1 < a < 2$ , $3 < b < 5$ . Оцените $a - b$ $- 4 < a - b < - 1$

R07.2

2 · Неравенство с одной переменной

Решение — значение x, дающее верное неравенство

2x − 1 > 3

x	2x − 1	> 3 ?
1	1	нет
2	3	нет
3	5	да
5	9	да

Равносильные неравенства имеют одни и те же решения

2x − 1 > 3 ⇔ 2x > 4 ⇔ x > 2

R07.5

5 · Числовые промежутки

Неравенство — рисунок — промежуток

Неравенство	Изображение	Промежуток
x > a		(a; +∞)
x ≥ a		[a; +∞)
x < a		(−∞; a)
x ≤ a		(−∞; a]
a < x < b		(a; b)
a ≤ x < b		[a; b)

R07.5

Практика · устно

Назовите промежуток или неравенство

1) $x \leq 7$

$(- \infty; 7]$

2) $x > - 2, 5$

$(- 2, 5; + \infty)$

3) $- 1 \leq x \leq 4$

$[- 1; 4]$

4)

$x < 3$ , $(- \infty; 3)$

5)

$- 2 \leq x < 1$ , $[- 2; 1)$

6)

$x \geq 2$ , $[2; + \infty)$

R07.3, R07.5

3 · Линейные неравенства · образец

Решаем по алгоритму

3(x − 2) − 5 ≥ 7x + 1

скобки 3x − 6 − 5 ≥ 7x + 1

перенос 3x − 7x ≥ 1 + 6 + 5

подобные −4x ≥ 12

: (−4) x ≤ −3

Делим на отрицательное число — знак меняем

Ответ: (−∞; −3]

R07.3

3 · Особые случаи

Когда x «исчезает»: 0 · x ∨ b

2(x + 3) > 2x + 1

0 · x > −5

0 > −5 верно при любом x

(−∞; +∞)

3x − 2 < 3(x − 1)

0 · x < −1

0 < −1 неверно ни при каком x

решений нет

R07.3, R07.5

Образец → сам · линейные неравенства

Дроби, скобки, смена знака

Образец

$\frac{x + 1}{3} - \frac{x}{2} < 1$

·6 $2 (x + 1) - 3 x < 6$

$2 x + 2 - 3 x < 6$ , $- x < 4$

·(−1) $x > - 4$ → $(- 4; + \infty)$

Сам

$3 x + 7 > 1$ $(- 2; + \infty)$
$2 - 5 x \geq 17$ $(- \infty; - 3]$
$4 (x - 1) \leq 6 x + 2$ $[- 3; + \infty)$
повыш. $\frac{x}{2} - \frac{x - 3}{5} > 3$ $(8; + \infty)$

R07.4, R07.5

4 · Системы неравенств

Решение системы — общая часть штриховок

{x > 1x > 4x > 4

{x < 1x < 4x < 1

{x > 1x < 4(1; 4)

{x < 1x > 4∅ — нет решений

R07.4, R07.5

4 · Системы · образец

Решаем систему и считаем целые решения

{2x − 3 < 75 − x ≤ 2x + 11

2x < 10, x < 5

−3x ≤ 6, x ≥ −2

Двойное неравенство — та же система:
−1 ≤ 2x + 3 < 9 ⇔ −4 ≤ 2x < 6 ⇔ −2 ≤ x < 3

Ответ: [−2; 5)

целые: −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 — 7 решений

R07.4, R07.5

Образец → сам · системы и двойные неравенства

Общая часть решений

Образец

$- 3 < 1 - 2 x \leq 5$

−1 $- 4 < - 2 x \leq 4$

: (−2) $2 > x \geq - 2$

$- 2 \leq x < 2$ → $[- 2; 2)$

Сам

${x - 2 > 0 x + 1 \leq 6$ $(2; 5]$
Число целых решений ${3 x \geq - 6 2 x < 8$ $6$
${4 - x > 1 2 x + 3 > 11$ нет решений
повыш. $- 1 \leq \frac{2 x - 1}{3} < 3$ $[- 1; 5)$

R07.1–R07.5

Работа над ошибками

Найдите ошибку

Неверно	Верно	Почему
−3x > 6 ⇒ x > −2	x < −2	делили на −3
x ≥ 4 ⇒ (4; +∞)	[4; +∞)	4 входит
(−∞; 3] → [−∞; 3]	(−∞; 3]	у ∞ скобка круглая
$\frac{x - 1}{2} > 3 \Rightarrow x - 1 > 3$	x − 1 > 6	умножаем обе части

R07.1–R07.5

Задания с самопроверкой · часть 1

Решите по всем единицам темы

1базаИзвестно, что a < b. Сравните a − 5 и b − 5; −2a и −2b

a - 5 < b - 5

;

- 2 a > - 2 b

2базаРешите: 5x − 2 ≤ 3x + 8

(- \infty; 5]

3базаНаименьшее целое решение {x + 4 > 13x ≤ 12

- 2

4повыш.Решите:

\frac{x - 1}{2} - \frac{x + 2}{3} > 1

(13; + \infty)

5повыш.

1, 4 < 2 < 1, 5

,

1, 7 < 3 < 1, 8

. Оцените

2 + 3

3, 1 < 2 + 3 < 3, 3

6практикаТакси: 150 р. за посадку и 30 р. за 1 км. Сколько км можно проехать на 600 р.?не более 15 км

R07.3–R07.5

Задания с самопроверкой · часть 2

Решите и проверьте

1базаРешите:

6 - x < 2 x + 15

(- 3; + \infty)

2базаПри каких

x

значение

\frac{3 x - 2}{4}

не больше 1?

(- \infty; 2]

3базаСколько целых решений у

- 2 < x \leq 3

?

5

4повыш.При каких

x

имеет смысл

8 - 2 x

?

(- \infty; 4]

5повыш.Наибольшее целое решение

{5 x - 1 < 2 x + 11 x + 3 \geq 0

3

6практикаСтороны прямоугольника 6 см и

x

см. При каких

x

периметр меньше 30 см, а площадь больше 24 см²?

4 < x < 9

R07.1, R07.3–R07.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — по рядам

Вариант 1

$5 x - 3 > 2 x + 9$ $(4; + \infty)$
$3 - 2 (x + 1) \geq 7$ $(- \infty; - 3]$
Число целых решений ${2 x + 1 > - 3 3 x - 4 \leq 5$ $5$
$2 < a < 3$ . Оцените $4 a - 1$ $(7; 11)$

Вариант 2

$7 x + 2 < 3 x - 10$ $(- \infty; - 3)$
$4 - 3 (x - 2) \leq 1$ $[3; + \infty)$
Число целых решений ${3 x - 2 \geq - 8 2 x + 5 < 9$ $4$
$1 < b < 4$ . Оцените $5 - 2 b$ $(- 3; 3)$

R07.3, R07.5 · ОГЭ

В формате ОГЭ

ОГЭ, линия 13: выберите рисунок

13Укажите решение неравенства 4x + 5 ≥ 6x − 2

1)

2)

3)

4)

В бланк записывают номер верного рисунка.

R07.4, R07.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ

ОГЭ, линия 13: система неравенств

13Укажите решение системы неравенств ${x + 2, 6 \leq 0 x + 5 \geq 1$

1)

(- \infty; - 4]

2)

[- 4; - 2, 6]

3)

[- 2, 6; + \infty)

4)система не имеет решений

Ответ: 2

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда при решении меняют знак неравенства?
Чем отличаются скобки [ и (?
Как найти решение системы на прямой?

Домашнее задание

Решите: 7 − 2x > 3(x − 1)
Число целых решений {3x − 1 > 52x + 1 ≤ 11
3 < a < 4, 5 < b < 6 — стороны прямоугольника. Оцените периметр
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-082 · Обобщение и систематизация по теме «Уравнения и неравенства. Неравенства»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R07 «Уравнения и неравенства. Неравенства», 12 ч · урок 12/12 · тип О (обобщение)
Единицы → слайды	R07.1 → 3, 4, 6–9, 20, 22 · R07.2 → 4, 10 · R07.3 → 3, 13–15, 19–23, 25 · R07.4 → 16–18, 20–22, 24, 25 · R07.5 → 5, 10–13, 15–18, 20–24
Результаты	ПР-11 / REQ-3.4 (свойства числовых неравенств для сравнения и оценки; линейные неравенства и их системы; графическая иллюстрация решений) → 2–25
Элементы	EL-3.6 → 6–9 · EL-3.7, EL-3.8 → 10 · EL-3.9 → 13–15 · EL-3.10 → 16–18
ОГЭ	линия 13 (неравенства и их системы) → 23–24
Вне урока	квадратные неравенства и метод интервалов — 9 класс; совокупности неравенств; функции — R08 (ALG8-083)
Хронометраж	теория 14 мин (сл. 2, 5–8, 10, 11, 13, 14, 16, 17) · практика 31 мин (69 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending