Практикум · урок 11 из 12

Числовые неравенства и их свойства

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R07 · ALG8-081

0 мин · титул. Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), всего 45 мин.
Паспорт: R07 «Уравнения и неравенства. Неравенства» (12 ч), урок 11/12, единица R07.1. Тип — П (практикум), второй практикум по свойствам после ALG8-076. Перед этим ALG8-080 — изображение решений на числовой прямой; следующий ALG8-082 — обобщение по всей строке.
Хронометраж по слайдам: цели 1 т · разминка 2 + 2 п (сл. 3–4) · карта свойств 2 т (сл. 5) · тип 1: образец 2 т → сам 3 п (сл. 6–7) · тип 2: образец 2 т → сам 3 п (сл. 8–9) · тип 3: образец 2 т → сам 3 п, измерения 2 т (сл. 10–12) · тип 4: образец 2 т → сам 3 п (сл. 13–14) · найди ошибку 2 п (сл. 15) · задания с самопроверкой 3 + 4 п (сл. 16–17) · самостоятельная работа 4 п (сл. 18) · ОГЭ 2 п (сл. 19) · рефлексия и ДЗ 1 п (сл. 20). Теория 13 мин, практика 32 мин.
Карточки «Ваша очередь» на слайдах-образцах решают на следующем слайде «образец → сам» вместе с новыми заданиями.
Если не успеваете: сл. 17 (часть 2 самопроверки) — в ДЗ, самостоятельную работу сократить до заданий 1–3.

R07.1

Цели практикума

Сегодня вы научитесь

Сравнивать

числа с корнями — через квадраты (ПР-11)

Доказывать

неравенства через знак разности (ПР-11)

Оценивать

разность, частное, результаты измерений (ПР-11)

Определять знак

выражения по рисунку на прямой (ПР-11)

1 мин · теория
ПР-11 (= REQ-3.4): «Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств». Сегодня — первая часть: сравнение и оценка.
Вид деятельности ФРП: «Формулировать свойства числовых неравенств, иллюстрировать их на координатной прямой, доказывать алгебраически. Применять свойства неравенств в ходе решения задач».
Отличие от ALG8-076: там — прямое применение свойств; здесь — корни, доказательства, оценка частного и измерений, знак по рисунку.

R07.1

Разминка · устно

Известно: a > b. Поставьте знак

1

a - 7 ? b - 7

>

2

- 4 a ? - 4 b

<

3

\frac{a}{3} ? \frac{b}{3}

>

4

2 - a ? 2 - b

<

R07.1

Разминка · устно · 2 минуты

Вспомним: квадраты, корни, обратные числа

1

Вычислите

(32)^{2}

18

2

Вычислите

(23)^{2}

12

3

Между какими целыми?

50

7 < 50 < 8

4

Раскройте скобки

(a - 3)^{2}

a^{2} - 6 a + 9

5

2 < x < 3. Оцените

\frac{1}{x}

\frac{1}{3} < \frac{1}{x} < \frac{1}{2}

6

Вычислите

5, 2 \cdot 3, 1

16, 12

R07.1

Опора · карта свойств

Что делает с неравенством a > b каждое действие

+ c, любое c

a + c > b + c

знак тот же

· c, c > 0

a c > b c

знак тот же

· c, c < 0

a c < b c

знак меняется

a > b > 0

\frac{1}{a} < \frac{1}{b}

знак меняется

+ почленно, c > d

a + c > b + d

можно

− почленно

a - c ? b - d

нельзя

· почленно, все > 0

a c > b d

можно

a > b > 0

a^{2} > b^{2}

можно

R07.1

Тип 1 · сравнение чисел с корнями

Внесём множитель под корень и сравним квадраты

Образец: сравните $25$ и $32$

(25)^{2} = 4 \cdot 5 = 20, (32)^{2} = 9 \cdot 2 = 18

20 > 18

, числа положительны

\Rightarrow 25 > 32

Ваша очередь

а)

33

и

27

б)

5

и

26

R07.1

Тип 1 · образец → сам · 3 минуты

Сравните числа: возведите в квадрат

1

33

и

27

27 < 28 \Rightarrow 33 < 27

2

5

и

26

25 > 24 \Rightarrow 5 > 26

3

23

и

32

12 < 18 \Rightarrow 23 < 32

4

43

и

7

48 < 49 \Rightarrow 43 < 7

5

35

и

211

45 > 44 \Rightarrow 35 > 211

6

52

и

213

50 < 52 \Rightarrow 52 < 213

3 мин · практика (2 мин в тетради, 1 мин проверка по клику)
Задания 1–2 — «Ваша очередь» со сл. 6. Алгоритм по образцу: внести множитель под корень (возвести в квадрат), сравнить квадраты, оба числа положительны — вывод.
1) 9 · 3 = 27, 4 · 7 = 28 ⇒ 3√3 < 2√7. 2) 25 и 4 · 6 = 24 ⇒ 5 > 2√6. 3) 4 · 3 = 12, 9 · 2 = 18 ⇒ 2√3 < 3√2. 4) 16 · 3 = 48 и 49 ⇒ 4√3 < 7. 5) 9 · 5 = 45, 4 · 11 = 44 ⇒ 3√5 > 2√11. 6) 25 · 2 = 50, 4 · 13 = 52 ⇒ 5√2 < 2√13.
Проверка приближённо: 3√3 ≈ 5,196 < 2√7 ≈ 5,292; 2√6 ≈ 4,899; 4√3 ≈ 6,928; 3√5 ≈ 6,708 > 2√11 ≈ 6,633; 5√2 ≈ 7,071 < 2√13 ≈ 7,211.

R07.1

Тип 2 · доказательство неравенства

Докажите: $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$

a^{2} + b^{2} - 2 ab

= (a - b)^{2} \geq 0

\Rightarrow a^{2} + b^{2} \geq 2 ab

при любых a и b

Ваша очередь

Докажите:

2 (a^{2} + 1) \geq (a + 1)^{2}

2 мин · теория (демонстрационный пример учителя)
Алгоритм: 1) составить разность левой и правой частей; 2) упростить; 3) выяснить знак (часто это квадрат); 4) сделать вывод.
Рисунок (a = 7, b = 3): из квадрата a² вырезаем две полосы площадью ab; угол b² при этом вырезан дважды, поэтому его возвращаем: a² − 2ab + b² = (a − b)² — площадь розового квадрата, она не бывает отрицательной.
Равенство — только при a = b.
Ответ «Ваша очередь»: 2a² + 2 − (a² + 2a + 1) = a² − 2a + 1 = (a − 1)² ≥ 0.
Ошибка: проверить на a = 1, 2, 3 и считать доказанным. Подстановка — не доказательство.
«Ваша очередь» решают на сл. 9 (задание 1).

R07.1

Тип 2 · образец → сам · 3 минуты

Докажите через знак разности

1база

2 (a^{2} + 1) \geq (a + 1)^{2}

2 a^{2} + 2 - (a + 1)^{2} = (a - 1)^{2} \geq 0

2база

a^{2} + 9 \geq 6 a

a^{2} - 6 a + 9 = (a - 3)^{2} \geq 0

3повыш.

(a + 3) (a - 5) < (a - 1)^{2}

(a - 1)^{2} - (a + 3) (a - 5) = 16 > 0

4повыш.

Сравните $a (a + 4)$ и $(a + 1) (a + 3)$

разность

= - 3 < 0

a (a + 4) < (a + 1) (a + 3)

R07.1

Тип 3 · оценка выражения

2 < a < 4, 5 < b < 6. Оцените 2a − 3b

Проверка:

a = 3, b = 5, 5 \Rightarrow 2 a - 3 b = - 10, 5

✓

Ваша очередь · те же a и b

Оцените

3 a - 2 b

R07.1

Тип 3 · образец → сам · 3 минуты

2 < a < 4, 5 < b < 6. Оцените

1

3 a - 2 b

- 6 < 3 a - 2 b < 2

2

a + b

7 < a + b < 10

3

b - a

1 < b - a < 4

4

ab

10 < ab < 24

5

4 a + b

13 < 4 a + b < 22

6

\frac{1}{a}

\frac{1}{4} < \frac{1}{a} < \frac{1}{2}

3 мин · практика (2 мин в тетради, 1 мин проверка по клику)
Задание 1 — «Ваша очередь» со сл. 10. Схема по образцу: каждое неравенство умножить на свой коэффициент, затем сложить почленно.
1) 6 < 3a < 12, −12 < −2b < −10 ⇒ −6 < 3a − 2b < 2. 2) 2 + 5 = 7, 4 + 6 = 10 ⇒ 7 < a + b < 10. 3) −4 < −a < −2, складываем с 5 < b < 6 ⇒ 1 < b − a < 4. 4) все числа положительны: 2 · 5 = 10, 4 · 6 = 24 ⇒ 10 < ab < 24. 5) 8 < 4a < 16 ⇒ 13 < 4a + b < 22. 6) a > 0, знак меняется: 1/4 < 1/a < 1/2.
Проверка числами a = 3, b = 5,5: 1) 9 − 11 = −2; 2) 8,5; 3) 2,5; 4) 16,5; 5) 17,5; 6) 1/3 — все внутри оценок.

R07.1

Тип 3 · практика: результат измерений

Оцените периметр и площадь прямоугольника

Стороны в сантиметрах.

P = 2 (a + b), S = ab

8, 3 < a + b < 8, 7

\Rightarrow 16, 6 < P < 17, 4

5, 2 \cdot 3, 1 < ab < 5, 4 \cdot 3, 3

\Rightarrow 16, 12 < S < 17, 82

2 мин · теория (демонстрационный пример учителя)
Сначала складываем почленно и умножаем на 2 > 0. Для площади перемножаем почленно — можно, все числа положительны.
Рисунок: истинный прямоугольник лежит между наименьшим (сплошной) и наибольшим (пунктир), поэтому и площадь — между их площадями. Полоса между ними — погрешность измерения.
Проверка вычислений: 5,2 + 3,1 = 8,3; 5,4 + 3,3 = 8,7; 5,2 · 3,1 = 16,12; 5,4 · 3,3 = 17,82 (см²).
Вопрос классу: на сколько может отличаться площадь? (17,82 − 16,12 = 1,7 см².)

R07.1

Тип 4 · знак выражения по рисунку

Оцените числа по прямой — и определите знак

Выражение	Знак	Почему
$b - a$	$> 0$	b правее a
$ab$	$< 0$	разные знаки
$a + b$	$< 0$	a от нуля дальше, чем b

Ваша очередь

а)

a + 2

б)

b - 2

в)

a^{2} - b^{2}

2 мин · теория (демонстрационный пример учителя)
Приём: сначала записать оценки чисел по рисунку (−3 < a < −2, 1 < b < 2), потом применять свойства. Запасной путь — подставить «похожие» числа: a = −2,4, b = 1,3.
a + b: складываем почленно: −2 < a + b < 0 ⇒ отрицательно.
Ответы: а) a + 2 < 0 (a < −2); б) b − 2 < 0 (b < 2); в) 4 < a² < 9, 1 < b² < 4 ⇒ a² − b² > 0. Для a²: умножаем −3 < a < −2 на −1: 2 < −a < 3, затем возводим положительные числа в квадрат.
Этот тип — линия 7 ОГЭ (сл. 19). «Ваша очередь» — устно в начале сл. 14.

R07.1

Тип 4 · образец → сам · 3 минуты

Определите знак выражения

1

c + d

> 0

2

c d

< 0

3

c - d

< 0

4

c + 1

< 0

5

c^{2} - 4

< 0

6

d^{2} - c^{2}

> 0

R07.1

Осторожно

Найдите ошибку

Рассуждение	Верно	Почему
$- 3 < 2 \Rightarrow 9 < 4$	$9 > 4$	в квадрат — только положительные
$2 < 3 \Rightarrow 25 < 32$	$25 > 32$	сравнивают квадраты: 20 и 18
$2 < a < 4, 5 < b < 6 \Rightarrow \frac{2}{5} < \frac{a}{b} < \frac{4}{6}$	$\frac{1}{3} < \frac{a}{b} < \frac{4}{5}$	делить почленно нельзя
«Проверили a = 1, 2, 3 — доказано»	знак разности	нужно для всех a

R07.1

Задания с самопроверкой · часть 1 · база

Решите и проверьте

1база

Сравните:

30

и

27

30 > 28 \Rightarrow 30 > 27

2база

Известно a < b. Сравните:

3 - 4 a

и

3 - 4 b

3 - 4 a > 3 - 4 b

3практика

Ребро куба: $2, 1 < a < 2, 2$ (дм). Оцените:

S = 6 a^{2}

,

V = a^{3}

26, 46 < S < 29, 04

9, 261 < V < 10, 648

R07.1

Задания с самопроверкой · часть 2 · повышенный уровень

Сравните, докажите, оцените

4база

Сравните:

42

и

33

32 > 27 \Rightarrow 42 > 33

5база

Известно a > b. Сравните:

5 - a

и

5 - b

;

- \frac{a}{2}

и

- \frac{b}{2}

5 - a < 5 - b; - \frac{a}{2} < - \frac{b}{2}

6повыш.

Докажите:

(a - 2) (a + 6) < (a + 2)^{2}

(a + 2)^{2} - (a - 2) (a + 6) = 16 > 0

7повыш.

$3 < x < 5$ , $2 < y < 4$ . Оцените:

3 x - 2 y

и

\frac{x}{y}

1 < 3 x - 2 y < 11; \frac{3}{4} < \frac{x}{y} < \frac{5}{2}

R07.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта

Вариант 1

Сравните $26$ и $33$ $26 < 33$
$a > b$ . Сравните $1 - 3 a$ и $1 - 3 b$ <
Докажите: $a^{2} + 4 \geq 4 a$ $(a - 2)^{2} \geq 0$
$1 < x < 3$ , $2 < y < 4$ .
Оцените $2 x - y$ $- 2 < 2 x - y < 4$

Вариант 2

Сравните $52$ и $43$ $52 > 43$
$a < b$ . Сравните $2 - 5 a$ и $2 - 5 b$ >
Докажите: $b^{2} + 9 \geq 6 b$ $(b - 3)^{2} \geq 0$
$2 < x < 5$ , $1 < y < 3$ .
Оцените $3 x - 2 y$ $0 < 3 x - 2 y < 13$

R07.1

Формат ОГЭ · часть 1

Задание 7: свойства числовых неравенств

7О числах a и b известно, что a < b. Какое из следующих неравенств неверно?

$a - 2 < b - 2$
$- 5 a < - 5 b$
$\frac{a}{7} < \frac{b}{7}$
$a + 9 < b + 9$

В ответе запишите номер выбранного варианта.

Для каждого варианта назовите действие.

Знак меняется только при умножении на отрицательное.

Проверка числами:

a = 1, b = 2

.

Ответ: 2

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя

Ответьте одной фразой

Как сравнить $27$ и $33$ ?
Как доказать неравенство?
Как оценить разность $a - b$ ?

Домашнее задание

Сравните $27$ и $33$ .
Докажите: $(a + 5)^{2} > 10 a$ .
$1 < a < 2$ , $3 < b < 5$ . Оцените $a - b$ и $\frac{a}{b}$ .

Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-081 · Практикум: Числовые неравенства и их свойства

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R07 «Уравнения и неравенства. Неравенства», 12 ч · урок 11/12 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R07.1 «Числовые неравенства и их свойства» → 2–20 (теория: 2, 5, 6, 8, 10, 12, 13; практика: 3, 4, 7, 9, 11, 14–20)
Результаты	ПР-11 / REQ-3.4 (применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки) → 3–19
Вне урока	неравенство с одной переменной — R07.2; линейные неравенства — R07.3; системы — R07.4; изображение решений на прямой — R07.5 (обобщение — ALG8-082)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Числовые неравенства и их свойства

Сегодня вы научитесь

Сравнивать

Доказывать

Оценивать

Определять знак

Известно: a > b. Поставьте знак

Вспомним: квадраты, корни, обратные числа

Что делает с неравенством a > b каждое действие

Внесём множитель под корень и сравним квадраты

Образец: сравните 25​ и 32​

Ваша очередь

Сравните числа: возведите в квадрат

Докажите: a2+b2≥2ab

Ваша очередь

Докажите через знак разности

2 < a < 4, 5 < b < 6. Оцените 2a − 3b

Ваша очередь · те же a и b

2 < a < 4, 5 < b < 6. Оцените

Оцените периметр и площадь прямоугольника

Оцените числа по прямой — и определите знак

Ваша очередь

Определите знак выражения

Найдите ошибку

Решите и проверьте

Сравните, докажите, оцените

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Задание 7: свойства числовых неравенств

Проверьте себя

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-081 · Практикум: Числовые неравенства и их свойства

Образец: сравните $25$ и $32$

Докажите: $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$