Неравенства · урок 10 из 12 · практикум

Решения неравенств и систем на числовой прямой

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R07 · ALG8-080

0 мин · титул. Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), всего 45 мин.
Паспорт: R07 «Уравнения и неравенства. Неравенства» (12 ч), урок 10/12, единица R07.5 «Изображение решения линейного неравенства и их систем на числовой прямой». Тип урока — П (практикум). Новый материал по этой единице был на уроке ALG8-075; накануне — практикум по системам ALG8-079; следующий ALG8-081 — практикум по числовым неравенствам и их свойствам.
Хронометраж по слайдам: теория — цели 1 (сл. 2), образцы и правила 12 (сл. 5, 8, 9, 12, 14, 17); практика — разминка и блиц 3 (сл. 3–4), тип 1 5 (сл. 6–7), тип 2 5 (сл. 10–11), тип 3 2 (сл. 13), тип 4 4 (сл. 15–16), найди ошибку 2 (сл. 18), «проверьте себя» 3 (сл. 19), самостоятельная 4 (сл. 20), ОГЭ 2 (сл. 21–22), задача из жизни 1 (сл. 23), рефлексия 1 (сл. 24).
Если не успеваете: задания 4–6 со сл. 7, 11, 13, 16 оставить сильным, задачу со сл. 23 и задание 3 со сл. 19 перенести в ДЗ.

R07.5

Цели урока

Сегодня тренируемся

Изображать

решение линейного неравенства лучом: $x \leq - 4$

Находить общую часть

решений системы — «два этажа» штриховки

Записывать

ответ промежутком: $(2; 6]$ или «решений нет»

Читать рисунок

и считать целые решения системы

1 мин · теория
ПР-11 (= REQ-3.4): «Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств». Сегодня акцент — на графической иллюстрации.
Элементы содержания: EL-3.9 «Линейные неравенства с одной переменной», EL-3.10 «Системы линейных неравенств с одной переменной». Вид деятельности ФРП: «изображать решение неравенства на числовой прямой… изображать решение системы неравенств на числовой прямой».
Вопрос классу: «Зачем рисовать прямую, если можно сразу записать ответ?» — ответ к концу урока: рисунок не даёт ошибиться при поиске общей части.

R07.5

Разминка · устно

Назовите неравенство и промежуток

R07.5

Разминка · блиц

Промежутки и знак — без тетради

Запишите промежутком

$x > 5$ $(5; + \infty)$
$x \leq - 2$ $(- \infty; - 2]$
$- 1 < x \leq 4$ $(- 1; 4]$
$0 \leq x \leq 7$ $[0; 7]$

Решите устно

$- x > 3$ $x < - 3$
$2 x \leq - 8$ $x \leq - 4$
$- 5 x \geq 10$ $x \leq - 2$
Что больше: $- 2, 6$ или $- 4$ ? $- 2, 6$

R07.5

Тип 1 · образец

Решить неравенство и изобразить решение

R07.5

Тип 1 · ваша очередь

Решите, изобразите, запишите промежуток

1база

$5 x + 2 < 3 x - 6$

2база

$4 - 3 x \leq 10$

3повыш.

$\frac{x - 1}{2} > \frac{x + 2}{3}$

и наименьшее целое решение

Делите на отрицательное число — переверните знак. Потом точка и штриховка.

R07.5

Тип 1 · задания с самопроверкой

Решите и запишите ответ промежутком

база

$2 x - 5 > 7$ $(6; + \infty)$
$3 - x \geq 1$ $(- \infty; 2]$
$4 x + 1 \leq x - 8$ $(- \infty; - 3]$

повыш.

$2 (x - 3) < 5 x + 9$ $(- 5; + \infty)$
$\frac{x}{3} - 1 \geq \frac{x}{2}$ $(- \infty; - 6]$
$5 - 2 (x + 1) > x$ $(- \infty; 1)$

Проверка: подставьте в неравенство границу и одно число из ответа.

R07.5

Тип 2 · образец

Система неравенств: ищем общую часть

R07.5

Тип 2 · какие бывают ответы

Общая часть двух лучей

R07.5

Тип 2 · ваша очередь

Решите систему и изобразите решение

1база

{3 x + 2 \geq 8, x - 5 < 0

2база

{4 x - 3 < 1, 2 x + 6 > 0

3повыш.

{x + 3 > 5, 2 x \leq 2

4повыш.

{5 - x < 2, 3 x > 6

R07.5

Тип 2 · задания с самопроверкой

Найдите общую часть решений

1база

{x - 2 > 0, x \leq 5

(2; 5]

2база

{2 x \geq - 6, x < 1

[- 3; 1)

3база

{x + 1 > 3, x - 4 > 0

(4; + \infty)

4база

{3 x < 9, x - 1 < 0

(- \infty; 1)

5повыш.

{- 2 x \geq 4, x + 5 > 0

(- 5; - 2]

6повыш.

{4 - x \geq 1, 2 x - 7 \geq 0

решений нет

R07.5

Тип 3 · двойное неравенство

Три части — одни и те же действия

Ваша очередь:

1 \leq 3 - 2 x < 9

— изобразите и запишите ответ.

2 мин · теория
Двойное неравенство −3 < 2x + 1 ≤ 7 — это система {2x + 1 > −3; 2x + 1 ≤ 7}. Удобнее преобразовывать сразу все три части: −4 < 2x ≤ 6, −2 < x ≤ 3. Ответ (−2; 3].
Задание «Ваша очередь»: вычитаем 3: −2 ≤ −2x < 6; делим на −2 и меняем ОБА знака: 1 ≥ x > −3, то есть −3 < x ≤ 1. Ответ (−3; 1]. Проверка: x = 1: 3 − 2 = 1, 1 ≤ 1 < 9 ✓; x = −3: 9 < 9 ✗ — граница не входит.
Типичная ошибка — при делении на отрицательное число не переписать неравенство «меньшим числом влево» и записать (1; −3]. Меньшее число в промежутке всегда слева.

R07.5

Тип 3 · задания с самопроверкой

Двойные неравенства: решите и изобразите

база

$- 1 < x - 3 \leq 2$ $(2; 5]$
$- 6 \leq 3 x < 9$ $[- 2; 3)$
$1 < 2 x + 5 < 11$ $(- 2; 3)$

повыш.

$- 2 \leq \frac{x + 1}{2} \leq 1$ $[- 5; 1]$
$- 3 < 1 - 4 x \leq 9$ $[- 2; 1)$
Целых решений: $- 7 < 2 x - 1 \leq 5$ 6

R07.5

Тип 4 · образец

Сколько целых решений у системы?

R07.5

Тип 4 · ваша очередь

Читаем рисунок и считаем целые решения

абаза

По рисунку запишите систему и её решение:

бповыш.

Сколько целых решений у системы?

${2 x - 3 < 7, x + 1 > - 2$

вбаза

Наибольшее целое решение неравенства

$6 - 2 x > 1$

R07.5

Тип 4 · задания с самопроверкой

Целые решения: считаем по рисунку

база Сколько целых чисел в промежутке?

$[- 3; 2)$ 5
$(- 4; 1]$ 5
${2 x + 1 \geq - 3, x - 4 < 0$ 6

повыш. Найдите

Наименьшее целое: ${3 x > - 7, x \leq 5$ −2
Сумма целых: ${x + 3 > 0, 2 x \leq 6$ 3
Наибольшее целое: $5 x - 2 < 3 x + 9$ 5

R07.5

Осторожно

Типичные ошибки

Неверно	Верно	В чём ошибка
$- 2 x \geq 8 \to x \geq - 4$	$x \leq - 4$	делим на отрицательное — знак меняем
$x > 2$ и $x \leq 6 \to (2; + \infty)$	$(2; 6]$	нужна общая часть, а не одно решение
$x > 1$ и $x > 4 \to x > 1$	$x > 4$	«больше большего»
$x < 1$ и $x > 4 \to (4; 1)$	решений нет	штриховки не пересекаются
$- 2 < x \leq 3 \to [- 2; 3)$	$(- 2; 3]$	скобка — как у знака у этого числа

R07.5

Практика · найди ошибку

Ученик решил так. Где ошибка?

Решение ученика	Ошибка	Верно
$- 3 x < 12 \to x < - 4$	разделил на −3, знак не сменил	$x > - 4$
$x \geq 1$ и $x < 5 \to [1; 5]$	5 не входит: знак строгий	$[1; 5)$
$x < 2$ и $x < 6 \to (- \infty; 6)$	надо «меньше меньшего»	$(- \infty; 2)$
$- 4 \leq 2 x < 6 \to [- 8; 12)$	умножил на 2 вместо деления	$[- 2; 3)$

R07.5

Самостоятельно · 3 минуты

Проверьте себя

1база

Решите и изобразите на прямой:

$7 x - 4 \geq 2 x + 11$

2повыш.

Изобразите решение и укажите число целых решений:

${3 - 2 x < 9, 4 x - 5 \leq x + 4$

3практика

Ширина прямоугольника x см, длина на 3 см больше. Периметр больше 14 см, но не больше 30 см. Какой может быть ширина? Изобразите.

R07.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$3 x - 2 > x + 6$ $(4; + \infty)$
${x + 2 \geq 0, 3 x < 9$ $[- 2; 3)$
$- 1 \leq 2 x + 3 < 7$ $[- 2; 2)$
Целых решений: ${2 x - 1 > - 5, x \leq 4$ 6

Вариант 2

$5 x + 1 \leq 2 x - 8$ $(- \infty; - 3]$
${x - 1 > 0, 4 x \leq 20$ $(1; 5]$
$- 5 < 3 x + 1 \leq 10$ $(- 2; 3]$
Целых решений: ${3 x + 2 \geq - 4, x < 3$ 5

R07.5

Формат ОГЭ · часть 1

Задание 13: решение системы на прямой

13Укажите решение системы неравенств

${x + 2, 6 \leq 0, x + 5 \geq 1$

В ответе запишите номер рисунка.

R07.5

Формат ОГЭ · часть 1

Задание 13: какое неравенство на рисунке?

13Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

$4 x - 8 \geq 0$
$4 x - 8 \leq 0$
$8 - 4 x \leq 0$
$4 x + 8 \leq 0$

Ответ: 2

R07.5

Задача из жизни

Сколько минут можно ехать на самокате?

Аренда самоката: 50 ₽ за старт и 8 ₽ за минуту. На карте 290 ₽. Чтобы доехать до школы, нужно не меньше 15 минут. Сколько минут может длиться поездка? Сколько вариантов в целых минутах?

${50 + 8 x \leq 290, x \geq 15$

$15 \leq x \leq 30$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Что получилось

Ответьте одной фразой

Когда при решении меняют знак?
Где на рисунке решение системы?
Когда у системы нет решений?

Домашнее задание

Решите и изобразите: $2 (x - 3) > 5 x + 3$
Система $5 x - 1 > 4, 8 - x \geq 3$ : рисунок и число целых решений
Изобразите: $- 5 \leq 2 x - 1 < 3$

Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-080 · Практикум: Изображение решения линейного неравенства и их систем на числовой прямой

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R07 «Уравнения и неравенства. Неравенства», 12 ч · урок 10/12 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R07.5 «Изображение решения линейного неравенства и их систем на числовой прямой» → 2–24 (теория 13 мин: сл. 2, 5, 8, 9, 12, 14, 17; практика 32 мин: сл. 3–4, 6–7, 10–11, 13, 15–16, 18–24)
Результаты	ПР-11 / REQ-3.4 (решать линейные неравенства и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений) → 2–24 · EL-3.9 → 4–7, 20, 22 · EL-3.10 → 8–16, 18–21, 23
Вне урока	свойства числовых неравенств, сравнение и оценка — R07.1 (ALG8-081); понятие решения неравенства — R07.2 (ALG8-072, ALG8-077), только повторение на сл. 3–4; объединение промежутков — не вводится, только как ловушка на сл. 9, 21
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending