Неравенства · урок 9 из 12 · практикум

Системы линейных неравенств с одной переменной

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R07 · ALG8-079

0 мин · титул. Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Паспорт: R07 «Уравнения и неравенства. Неравенства» (12 ч), урок 9/12, единица R07.4 «Системы линейных неравенств с одной переменной и их решение». Тип П (практикум). Новый материал по системам был на уроке ALG8-074; линейные неравенства отрабатывали на ALG8-078; следующий урок ALG8-080 — практикум по изображению решений на числовой прямой.
Теория (14 мин, учитель показывает и объясняет): цели 1 (сл. 2) · вспомним 2 (сл. 4) · четыре случая 1 (сл. 5) · образец типа 1 — 2 (сл. 6) · образец типа 2 — 2 (сл. 9) · деление на отрицательное 2 (сл. 11) · образец типа 3 — 2 (сл. 13) · образец задачи 2 (сл. 15). Теоретические слайды сохранены полностью.
Практика (31 мин, работают ученики): разминка 2 (сл. 3) · тип 1 сам 3 + 2 (сл. 7–8) · тип 2 сам 2 + 2 (сл. 10, 12) · тип 3 сам 2 (сл. 14) · задачи из жизни 3 (сл. 16) · найди ошибку 2 (сл. 17) · задания с самопроверкой 3 + 2 (сл. 18–19) · самостоятельная работа 5 (сл. 20) · ОГЭ 2 (сл. 21) · итог и ДЗ 1 (сл. 22).
Если не успеваете: сл. 19 перенести в ДЗ, на сл. 16 решить только задачу 1.

R07.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь уверенно

Решать системы

двух линейных неравенств: 2x − 1 > −3x ≤ 3

Решать двойные неравенства

−1 < 3x + 2 ≤ 11

Находить целые решения

считать их, искать наибольшее и наименьшее

Составлять систему

по условию задачи и отвечать на её вопрос

1 мин · теория
ПР-11 (= REQ-3.4): «Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств». Сегодня — отработка части «решать … их системы» и графическая иллюстрация.
Элемент содержания EL-3.10 «Системы линейных неравенств с одной переменной». Вид деятельности ФРП: «Решать системы линейных неравенств, изображать решение системы неравенств на числовой прямой».
Вопрос классу: «Чем решение системы отличается от решения одного неравенства?» — ответ на сл. 4.

R07.3 · повторение

Разминка · устно · 2 минуты

Решите устно

1

3 x > 12

x > 4

2

- x \leq 5

x \geq - 5

3

x + 7 < 2

x < - 5

4

- 2 x < 8

x > - 4

5Запишите промежутком

- 1 < x \leq 3

(- 1; 3]

6Входит ли 3 в промежуток

[- 2; 3)

?нет

R07.4

Вспомним · урок ALG8-074

Решение системы — общая часть решений

Фигурная скобка «{»

должны выполняться оба неравенства

Алгоритм

1) решить каждое
2) отметить на одной прямой
3) взять пересечение

Ответ: (−1; 3]

2 мин · теория
Определение (как в учебнике): решение системы неравенств с одной переменной — значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы. Решить систему — найти все её решения или доказать, что их нет.
Штриховку первого неравенства рисуем сверху прямой, второго — снизу: так видна общая часть (двойная штриховка).
Вопрос: «Почему −1 не входит, а 3 входит?» — x > −1 строгое (выколотая точка), x ≤ 3 нестрогое (закрашенная). Проверка: x = 3 → 3 > −1 и 3 ≤ 3 — оба верны.

R07.4

Схема · какие бывают ответы

Пересечение двух лучей: четыре случая

«>» и «>» — правее большего числа · «<» и «<» — левее меньшего · лучи «врозь» — решений нет

1 мин · теория (схема; класс называет ответы)
Перед каждым щелчком класс называет ответ сам, потом проверяем по рисунку. Числа одни и те же (−2 и 3) — меняются только знаки.
Случай 2: x > −2 и x > 3 — подходят только x > 3 (например, x = 0 удовлетворяет первому, но не второму). Случай 3 аналогично: x < −2.
Ещё один особый случай (сказать устно): система x ≥ 3, x ≤ 3 имеет единственное решение x = 3.
Типичная ошибка: в случае 2 записать (−2; +∞) — «объединили» вместо «пересекли».

R07.4

Тип 1 · образец решения

Система двух линейных неравенств

2(x − 1) ≥ x − 45x − 3 < 2x + 9

12x − 2 ≥ x − 4
x ≥ −2

23x < 12
x < 4

−2 ≤ x < 4

Ответ:[−2; 4)

R07.4

Тип 1 · решите сами · 3 минуты

Решите систему и изобразите решение

база · а) 4x + 1 > 2x − 53 − x ≥ 1

Ответ: ______________

повыш. · б) 6x − 2 ≤ 4x7 − 2x < 1

Ответ: ______________

R07.4

Тип 1 · образец → сам · 2 минуты

Решите системы по образцу

1база

{x + 3 > 1 2 x \leq 8

(- 2; 4]

2база

{5 x - 10 \geq 0 x < 7

[2; 7)

3база

{2 x - 1 > 5 x + 4 < 6

нет решений

4повыш.

{3 (x - 2) > 2 x - 9 4 - 3 x \geq x + 12

(- 3; - 2]

R07.4

Тип 2 · образец решения

Двойное неравенство — тоже система

Это система

3x + 2 > −13x + 2 ≤ 11

Ответ:(−1; 3]

R07.4

Тип 2 · образец → сам · 2 минуты

Решите двойные неравенства

1база

- 3 < x - 2 < 4

(- 1; 6)

2база

2 \leq 2 x < 10

[1; 5)

3база

- 5 < 2 x + 1 \leq 7

(- 3; 3]

4повыш.

- 1 \leq \frac{x + 1}{3} < 2

[- 4; 5)

R07.4

Тип 2 · коэффициент при x отрицательный

Делим на отрицательное — меняем оба знака

Переписываем «от меньшего к большему»: 2 > x ≥ −2 ⇔ −2 ≤ x < 2

ваша очередь

1 ≤ 5 − 2x < 9

Решите и изобразите на прямой

2 мин · теория (демонстрационный пример учителя; «ваша очередь» — устно, 20 секунд)
Расчёт: −4 − 2 = −6, 8 − 2 = 6; делим на −3: −6 : (−3) = 2, 6 : (−3) = −2, знаки «<» → «>», «≤» → «≥». Получаем 2 > x ≥ −2, т. е. −2 ≤ x < 2.
Проверка x = −2: 2 + 6 = 8 ≤ 8 ✓; x = 2: 2 − 6 = −4, −4 < −4 ✗ — не входит.
Ваша очередь: −4 ≤ −2x < 4 → делим на −2: 2 ≥ x > −2 → −2 < x ≤ 2. Ответ: (−2; 2]. Проверка x = 2: 5 − 4 = 1, 1 ≤ 1 ✓.
Типичная ошибка: поменять только один из знаков или не переставить части местами и записать промежуток (2; −2].

R07.4

Тип 2 · коэффициент при x отрицательный · 2 минуты

Не забудьте поменять оба знака

1база

- 6 < - 3 x \leq 9

[- 3; 2)

2база

- 1 < 3 - 2 x < 7

(- 2; 2)

3база

4 \leq 1 - x \leq 6

[- 5; - 3]

4повыш.

- 2 < \frac{4 - x}{2} \leq 3

[- 2; 8)

2 мин · практика
По образцу со сл. 11: при делении на отрицательное число меняем оба знака и переписываем «от меньшего к большему».
1) : (−3): 2 > x ≥ −3 → −3 ≤ x < 2. Ответ: [−3; 2). Проверка x = −3: 9 ≤ 9 ✓.
2) −3: −4 < −2x < 4; : (−2): 2 > x > −2. Ответ: (−2; 2).
3) −1: 3 ≤ −x ≤ 5; · (−1): −3 ≥ x ≥ −5. Ответ: [−5; −3]. Проверка x = −5: 1 + 5 = 6 ≤ 6 ✓.
4) · 2: −4 < 4 − x ≤ 6; −4: −8 < −x ≤ 2; · (−1): 8 > x ≥ −2. Ответ: [−2; 8). Проверка x = −2: 6/2 = 3 ≤ 3 ✓; x = 8: −4/2 = −2 > −2 ✗.
Типичная ошибка: записать промежуток «наоборот», например (2; −3].

R07.4

Тип 3 · образец решения

Сколько целых решений у системы?

целых6

наибольшее2

сумма−3

Ваша очередь: сколько целых решений?

2x + 3 > 0x − 4 ≤ 0

R07.4

Тип 3 · образец → сам · 2 минуты

Целые решения

1база · сколько целых?

{x > - 2 x \leq 3

5: −1; 0; 1; 2; 3

2база · наибольшее целое

- 3 \leq 2 x + 1 < 6

2

3база · наименьшее целое

{3 x - 1 < 8 2 x + 7 > 0

−3

4повыш. · сумма целых

{2 (x + 1) > x - 2 5 - x \geq 0

9

R07.4

Тип 4 · практическая задача

Составим систему по условию

Одна сторона прямоугольника x см, другая на 3 см длиннее. Периметр больше 30 см, но не больше 42 см. Какой может быть x?

14x + 6 > 304x + 6 ≤ 42

24x > 244x ≤ 36→x > 6x ≤ 9

36 < x ≤ 9(сторона больше 6 см, но не больше 9 см)

R07.4

Тип 4 · задачи из жизни · 3 минуты

Составьте систему и решите

база · 1

Поездка на такси: посадка 100 ₽ и 20 ₽ за каждый километр. Поездка стоила не меньше 300 ₽ и не больше 500 ₽. Какой могла быть длина поездки?

300 \leq 100 + 20 x \leq 500

200 \leq 20 x \leq 400

от 10 до 20 км включительно

повыш. · 2

Если натуральное число утроить и вычесть 4, получится больше 5, а если удвоить и прибавить 1 — меньше 15. Найдите все такие числа.

{3 x - 4 > 5 2 x + 1 < 15

3 < x < 7

4; 5; 6

R07.4

Разбор · типичные ошибки

Найдите ошибку

Задание	Ошибка	Верно	Правило
x > 1x > 4	(1; +∞)	(4; +∞)	общая часть, а не «все вместе»
−2x < 6	x < −3	x > −3	: (−2) — знак меняется
x < −1x > 2	(−1; 2)	нет решений	лучи не пересекаются
−1 < x + 3 < 5	−1 < x < 5	−4 < x < 2	−3 из всех трёх частей

R07.4

Задания с самопроверкой · база · 3 минуты

Проверьте себя

1база

Решите систему: 3x − 6 > 0x + 1 ≤ 6

(2; 5]

2база

Решите неравенство: −2 ≤ 4x + 2 < 10

[- 1; 2)

3повыш.

Сколько целых решений? 2(x + 1) − 3 < 5x + 87 − x ≥ 2x − 5

7 решений

4практика

3 тетради по x ₽ и ручка за 25 ₽ стоят больше 100 ₽, но меньше 130 ₽. Найдите возможную цену тетради.

от 25 до 35 ₽ (не включая)

3 мин · практика (2 мин работа, 1 мин проверка по клику)
1) 3x > 6 → x > 2; x ≤ 5. Ответ: (2; 5].
2) −4 ≤ 4x < 8 → −1 ≤ x < 2. Ответ: [−1; 2).
3) 2x + 2 − 3 < 5x + 8 → 2x − 1 < 5x + 8 → −3x < 9 → x > −3; 7 + 5 ≥ 3x → x ≤ 4. Промежуток (−3; 4], целые −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4 — 7 решений.
4) 100 < 3x + 25 < 130 → 75 < 3x < 105 → 25 < x < 35. Цена тетради больше 25 ₽, но меньше 35 ₽.
Ученики решают 2 минуты, затем щелчками открываем ответы — каждый отмечает «+» у верных. Кто закончил раньше — изобразить ответы 1–3 на координатной прямой.

R07.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень · 2 минуты

Чуть сложнее

1повыш. · решите систему

{\frac{x}{2} - \frac{x}{3} > 1 x - 10 \leq 0

(6; 10]

2повыш. · при каких

x

имеет смысл?

x + 3 + 5 - x

[- 3; 5]

3повыш. · наименьшее целое решение

- 7 < 1 - 4 x \leq 9

−2

4повыш.

При каких $x$ значения функции $y = 2 x - 3$ принадлежат отрезку $[- 1; 5]$ ?

[1; 4]

R07.4

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта

Вариант 1

${2 x - 4 > 0 x + 3 \leq 8$ $(2; 5]$
$- 4 \leq 3 x - 1 < 5$ $[- 1; 2)$
$- 3 < 5 - 2 x \leq 7$ $[- 1; 4)$
повыш.Число целых решений ${3 x + 1 \geq x - 5 6 - x > 2$ 7

Вариант 2

${3 x - 9 > 0 x - 2 \leq 4$ $(3; 6]$
$- 5 < 2 x + 1 \leq 9$ $(- 3; 4]$
$- 2 \leq 4 - 3 x < 10$ $(- 2; 2]$
повыш.Число целых решений ${4 x - 2 > 2 x - 8 7 - x \geq 3$ 7

R07.4

Формат ОГЭ · часть 1

Задание 13: решение системы на прямой

13Укажите решение системы неравенств x + 2,6 ≤ 0x + 5 ≥ 1

1)

2)

3)

4)

В ответе запишите номер.

Решите каждое неравенство системы

Знаки нестрогие — точки закрашены

Проверьте число внутри: x = −3

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Что мы отработали

Ответьте одной фразой

Как найти решение системы по рисунку?
Когда у системы нет решений?
Что делать со знаками при делении на −3?

Домашнее задание

5x + 4 < 3x + 102x − 1 ≥ x − 3
−3 < 1 − 2x ≤ 5
Целые решения: x − 1 > −43x ≤ 6

Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-079 · Практикум: системы линейных неравенств с одной переменной

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R07 «Уравнения и неравенства. Неравенства», 12 ч · урок 9/12 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R07.4 «Системы линейных неравенств с одной переменной и их решение» → 2–22 (теория: 2, 4–6, 9, 11, 13, 15; практика: 3, 7, 8, 10, 12, 14, 16–22)
Результаты	ПР-11 / REQ-3.4 (решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений системы неравенств) → 2–22 · EL-3.10 → 3–21 · EL-3.8 (равносильные преобразования, деление на отрицательное число) → 3, 7, 8, 11, 12, 17, 20
Вне урока	свойства числовых неравенств — R07.1 (ALG8-076, ALG8-081); решение одного линейного неравенства — R07.3 (ALG8-078), только как шаг внутри системы; изображение решений на числовой прямой как отдельный тип заданий — R07.5 (ALG8-080), здесь только иллюстрация ответа; объединение промежутков, системы с модулем и квадратные неравенства — вне ФРП 8 класса
Хронометраж	теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) · 22 видимых слайда
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending