Неравенства · урок 8 из 12 · практикум

Линейные неравенства с одной переменной и их решение

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R07 · ALG8-078

0 мин · титул. Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Паспорт: R07 «Уравнения и неравенства. Неравенства» (12 ч), урок 8/12, единица R07.3 «Линейные неравенства с одной переменной и их решение». Тип урока — П (практикум). Новый материал по этой единице был на уроке ALG8-073; предыдущий урок ALG8-077 — практикум «Неравенство с одной переменной»; следующий ALG8-079 — практикум по системам линейных неравенств (R07.4).
Теория (14 мин): цели 1 (сл. 2), вспомним правила 2 (сл. 4), алгоритм 2 (сл. 5), образцы типов 1–3 по 2 (сл. 6, 8, 10), особые случаи 2 (сл. 12), словарь «слова → знак» с образцом 1 (сл. 14). Все теоретические слайды сохранены полностью.
Практика (31 мин): разминка 2 (сл. 3), «образец → сам» 3 + 3 + 3 (сл. 7, 9, 11), сам · особые случаи 2 (сл. 13), сам · вопрос задачи 2 (сл. 15), найдите ошибку 1 (сл. 16), самопроверка 3 + 2 (сл. 17–18), «проверьте себя» 3 (сл. 19), самостоятельная работа 4 (сл. 20), ОГЭ 2 (сл. 21), рефлексия и ДЗ 1 (сл. 22).
Если не успеваете: на сл. 7 и 9 решить только половину заданий (а, в), задания 3–4 сл. 18 перенести в ДЗ. Ответы на слайдах практики открываются по клику.

R07.3

Цели урока

Сегодня отрабатываем

Решать

неравенства $a x > b$ , в том числе при $a < 0$

Упрощать

неравенства со скобками и дробями

Распознавать

особые случаи: $0 \cdot x > b$

Отвечать на вопрос

целые решения, «не больше», задачи

1 мин · теория
ПР-11 (= REQ-3.4): «Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств». Сегодня — решение линейных неравенств и запись ответа промежутком с рисунком.
Элементы содержания: EL-3.8 «Равносильность неравенств», EL-3.9 «Линейные неравенства с одной переменной». Вид деятельности ФРП: «Решать линейные неравенства с одной переменной, изображать решение неравенства на числовой прямой».
Вопрос классу: «Чем решение неравенства отличается от решения уравнения?» — ответ: тем, что при делении на отрицательное число меняется знак, а ответ — промежуток.

повторение: R07.1–R07.3

Разминка · устно

Отвечаем в уме — ответ по клику

1) Вычислите
$- 15 : (- 3)$

5

2) Решите
$- 4 x = 12$

$x = - 3$

3) Раскройте
$- 3 (x - 2)$

$- 3 x + 6$

4) Найдите
НОЗ $(4; 6)$

12

5) Сравните
$- 7$ и $- 3$

$- 7 < - 3$

6) Промежутком:
$x \geq 2$

[2; +∞)

7) Неравенством:
$(- \infty; 5)$

$x < 5$

8) Подходит ли
$x = - 2$
к $3 - x > 4$ ?

да

R07.3

Вспомним · урок ALG8-073

Равносильные преобразования

① Перенос

$x + 5 > 2 \Leftrightarrow x > 2 - 5$

② Делим на число > 0

$2 x < 8 \Leftrightarrow x < 4$

знак тот же

③ Делим на число < 0

$- 2 x < 8 \Leftrightarrow x > - 4$

знак меняем

2 мин · теория
Начать с рисунка: 2 < 3. Умножим обе части на −1: −2 и −3 — какое больше? −2 правее, значит −2 > −3. Отсюда правило ③.
Правила (учебник, свойства равносильности): ① слагаемое можно перенести из одной части в другую с противоположным знаком; ② обе части можно умножить или разделить на одно и то же положительное число; ③ на отрицательное — с заменой знака неравенства на противоположный.
Устно: x + 5 > 2 ⇔ x > −3; 2x < 8 ⇔ x < 4; −2x < 8 ⇔ x > −4. Спросить: «Что будет, если забыть сменить знак?» — получим x < −4, проверка x = −5: 10 < 8 неверно.

R07.3

Опора на урок

Алгоритм решения линейного неравенства

R07.3

Тип 1 · образец

Неравенство ax > b: смотрим на знак a

R07.3

Тип 1 · решите сами

Решите, изобразите, запишите промежуток

а)база

$4 x > 20$

(5; +∞)

б)база

$- 5 x \geq 15$

(−∞; −3]

в)база

$- x < 2, 5$

(−2,5; +∞)

г)база

$0, 2 x \leq - 1$

(−∞; −5]

д)повыш.

$- \frac{2}{3} x > 4$

(−∞; −6)

е)повыш.

$- 4 x < 0$

(0; +∞)

Перед делением спросите себя: какой знак у числа при x?

R07.3

Тип 2 · образец

Скобки и x в обеих частях

R07.3

Тип 2 · решите сами

Раскройте скобки и решите

а)база

$5 x - 7 \geq 2 x + 8$

[5; +∞)

б)база

$2 (3 - x) < 4 x - 9$

(2,5; +∞)

в)база

$4 (x + 1) - 3 (x - 2) \leq 7$

(−∞; −3]

г)повыш.

$(x + 2)^{2} - x^{2} > 12$

(2; +∞)

Минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых в ней

R07.3

Тип 3 · образец

Неравенство с дробями

R07.3

Тип 3 · решите сами

Избавьтесь от дробей и решите

а)база

$\frac{x}{3} - \frac{x}{4} < 1$

(−∞; 12)

б)база

$\frac{2 x + 1}{5} \leq x - 1$

[2; +∞)

в)повыш.

$\frac{x + 3}{2} - \frac{x - 1}{3} > 2$

(1; +∞)

Числитель — в скобки; правую часть тоже умножаем

R07.3

Тип 4 · особые случаи

Если x «исчез»: 0 · x > b

R07.3

Сам · особые случаи

Любое x или решений нет?

а)база

$4 (x - 1) > 4 x - 7$

x — любое: (−∞; +∞)

б)база

$3 x + 2 \leq 3 (x - 1)$

решений нет

в)повыш.

$2 (x + 5) - 2 x \geq 10$

x — любое: (−∞; +∞)

г)повыш.

$5 x - (5 x + 1) > - 1$

решений нет

R07.3

Тип 5 · вопрос задачи

Читаем вопрос внимательно

В условии	Знак
больше	$>$
не больше	$\leq$
не меньше	$\geq$
положительно	$> 0$
отрицательно	$< 0$

R07.3

Сам · вопрос задачи

Переведите слова в знак и решите

базаПри каких $x$ значение выражения $3 x - 6$ не больше 9? (−∞; 5]
базаПри каких $x$ выражение $8 - 4 x$ положительно? (−∞; 2)
повыш.Наименьшее целое решение $2 (x - 3) > x - 1$ 6
повыш.Сколько натуральных решений у $3 x - 1 \leq 11$ ? 4 (1, 2, 3, 4)

R07.3

Осторожно

Типичные ошибки

Неверно	Верно	В чём ошибка
$- 2 x > 6 \to x > - 3$	$x < - 3$	делим на −2 — знак меняем
$3 x < - 6 \to x > - 2$	$x < - 2$	делим на 3 > 0 — знак тот же
$5 - 2 (x - 1) = 5 - 2 x - 2$	$5 - 2 x + 2$	минус перед скобкой
$x /2 + 1 > x \to x + 1 > 2 x$	$x + 2 > 2 x$	× 2 — каждый член
$- x \geq 4 \to (- \infty; - 4)$	$(- \infty; - 4]$	≥ — скобка квадратная

R07.3

Задания с самопроверкой · база

Решите самостоятельно — ответ по клику

база $6 x < - 18$ (−∞; −3)
база $- 7 x \geq - 21$ (−∞; 3]
база $3 x - 4 > x + 6$ (5; +∞)

база $2 - 5 x \leq 3 x + 18$ [−2; +∞)
база $4 (x - 3) < x + 3$ (−∞; 5)
база $\frac{x}{4} > 2$ (8; +∞)

R07.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Решите — ответ по клику

повыш.Решите неравенство $\frac{2 x - 1}{3} - \frac{x + 2}{4} \leq 1$ (−∞; 4,4]
повыш.Решите неравенство $(x - 3)^{2} - x (x + 2) > 1$ (−∞; 1)
повыш.Наибольшее целое решение $0, 5 (4 - 6 x) \geq x - 10$ 3
практикаВызов мастера — 500 ₽, час работы — 400 ₽. Сколько полных часов можно оплатить, если есть 2300 ₽? не более 4 ч

R07.3

Самостоятельно · 3 минуты

Проверьте себя

1база

Решите и изобразите на прямой

$6 - 4 x \geq 2 x + 18$

(−∞; −2]

2повыш.

Найдите наибольшее целое решение

$\frac{x}{2} - \frac{x - 3}{5} < 3$

7

3практика

Такси: посадка 150 ₽ и 30 ₽ за 1 км. У вас 600 ₽. Сколько километров можно проехать?

не более 15 км

R07.3

Самостоятельная работа

Два варианта — ответы по клику

Вариант 1

$- 6 x > 24$ (−∞; −4)
$7 - 2 x \leq 3 x - 8$ [3; +∞)
$\frac{x + 1}{2} - \frac{x}{3} > 1$ (3; +∞)
$3 (x - 2) \geq 3 x + 1$ решений нет

Вариант 2

$- 8 x \leq 32$ [−4; +∞)
$5 - 4 x > 2 x - 13$ (−∞; 3)
$\frac{x}{2} - \frac{x - 1}{4} \leq 2$ (−∞; 7]
$2 (x + 4) > 2 x - 1$ x — любое

R07.3

Формат ОГЭ · часть 1

Задание 13: решение неравенства

13Укажите решение неравенства $4 x + 5 \geq 6 x - 2$

В ответе запишите номер рисунка.

Решите → посмотрите на знак (точка) → на направление (луч)

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Что мы отработали

Ответьте одной фразой

Когда меняется знак неравенства?
Что делать с дробями?
Что значит $0 \cdot x > - 1$ ?

Домашнее задание

$7 x - 2 < 4 x + 10$
$3 (2 - x) \geq 2 (x - 7)$
Наименьшее целое решение:
$\frac{x - 2}{4} - \frac{x + 1}{6} > 0$

Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_neravenstva.htm

1 мин · практика
Ответы ДЗ: 1) 3x < 12 ⇒ x < 4, (−∞; 4). 2) 6 − 3x ≥ 2x − 14 ⇒ −5x ≥ −20 ⇒ x ≤ 4, (−∞; 4]; проверка x = 4: −6 ≥ −6 ✓.
3) × 12: 3(x − 2) − 2(x + 1) > 0 ⇒ 3x − 6 − 2x − 2 > 0 ⇒ x > 8; наименьшее целое — 9. Проверка x = 9: 7/4 − 10/6 = 1,75 − 1,67 > 0 ✓; x = 8: 1,5 − 1,5 = 0 > 0 ✗.
Ответы на вопросы: знак меняется при умножении/делении на отрицательное число; дроби — умножить обе части на НОЗ; 0 · x > −1 верно при любом x. Следующий урок ALG8-079 — практикум по системам линейных неравенств (R07.4).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-078 · Практикум: линейные неравенства с одной переменной и их решение

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R07 «Уравнения и неравенства. Неравенства», 12 ч · урок 8/12 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R07.3 «Линейные неравенства с одной переменной и их решение» → 2–22 (теория: 2, 4–6, 8, 10, 12, 14; практика: 3, 7, 9, 11, 13, 15–22)
Результаты	ПР-11 / REQ-3.4 (решать линейные неравенства с одной переменной, давать графическую иллюстрацию множества решений) → 2, 5–22 · применять свойства числовых неравенств (равносильные преобразования) → 3, 4, 6, 16 · EL-3.8, EL-3.9 · хронометраж: теория 14 мин, практика 31 мин (69 %)
Вне урока	свойства числовых неравенств — R07.1 (ALG8-071, ALG8-076), только как правила преобразований на сл. 4; системы линейных неравенств и двойные неравенства — R07.4 (ALG8-074, ALG8-079); изображение решений систем — R07.5 (ALG8-075, ALG8-080)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending