Неравенства · урок 7 из 12 · практикум

Практикум: неравенство с одной переменной

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R07 · ALG8-077

0 мин · титул. Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), всего 45 мин.
Паспорт: R07 «Уравнения и неравенства. Неравенства» (12 ч), урок 7/12, единица R07.2 «Неравенство с одной переменной». Тип урока — П (практикум). Теория была на уроке ALG8-072; предыдущий урок ALG8-076 — практикум по числовым неравенствам; следующий ALG8-078 — практикум по решению линейных неравенств.
Хронометраж (45 мин): цели 1 (сл. 2, теория) · устная разминка 3 и «найдите пару» 2 (сл. 3–4) · тип 1 «решение или нет»: образец 3 (теория), сами 3, самопроверка 2 (сл. 5–7) · тип 2 «целые решения»: образец 3 (теория), сами 3, самопроверка 2 (сл. 8–10) · тип 3 «из слов — в неравенство»: образцы 3 + 3 (теория), сами 3, самопроверка 2 (сл. 11–14) · найди ошибку 2 (сл. 15) · проверьте себя 2 (сл. 16) · самостоятельная работа 4 (сл. 17) · ОГЭ 1 + 2 (сл. 18–19) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 20).
Теория (13 мин) — цели и разбор образцов учителем (сл. 2, 5, 8, 11, 12); практика (32 мин) — всё остальное, ученики работают сами.
Если не успеваете: на сл. 7, 10, 14 решить только задания 1–4, сл. 16 перенести в ДЗ.

R07.2

Цели урока

Сегодня тренируемся

Проверять

является ли число решением неравенства

Считать

целые решения, наибольшее и наименьшее

Переводить

«не больше», «неотрицательно» — в знаки $\leq$ , $\geq$

Изображать

множество решений на прямой и промежутком

1 мин · теория
ПР-11 (= REQ-3.4): «Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств». Сегодня — отработка понятия «решение неравенства» и графической иллюстрации множества решений.
Элемент содержания EL-3.7 «Неравенство с одной переменной». Попутно — ПР-1 (сравнение действительных чисел, изображение на координатной прямой): сл. 3, 6, 9, 10.
План урока: три типа заданий, каждый — образец (учитель), затем решаем сами и проверяем себя по клику.

повторение

Разминка · устно

Отвечаем в уме — ответ по клику

1) Значение $3 - 2 x$
при $x = - 2$

7

2) Верно ли
$- 5 > - 3$ ?

нет

3) Верно ли
$4 \leq 4$ ?

да

4) Наибольшее целое число, меньшее $- 1, 2$

−2

5) Между какими целыми числами лежит $7$ ?

2 и 3

6) Значение $x^{2} - x$
при $x = - 1$

2

7) Сравните
$10$ и $3$

$10 > 3$

8) Сколько целых чисел от $- 2$ до $2$ включительно?

5

R07.2

Разминка · урок ALG8-072

Найдите пару: неравенство — рисунок — промежуток

R07.2

Тип 1 · образец

Какие числа — решения неравенства $x (x - 4) < 0$ ?

$x$	$x (x - 4)$	$< 0$ ?
$- 1$	$(- 1) \cdot (- 5) = 5$	нет ✗
$0$	$0 \cdot (- 4) = 0$	нет ✗
$1$	$1 \cdot (- 3) = - 3$	да ✓
$2$	$2 \cdot (- 2) = - 4$	да ✓
$3$	$3 \cdot (- 1) = - 3$	да ✓
$4$	$4 \cdot 0 = 0$	нет ✗
$5$	$5 \cdot 1 = 5$	нет ✗

3 мин · теория
Алгоритм тот же, что на уроке ALG8-072: подставить → вычислить → сравнить → вывод. Строки открываются по одной, перед щелчком спрашивать ответ у класса.
Ключевые случаи: x = 0 и x = 4 дают 0, а 0 < 0 — неверно (неравенство строгое). x = −1 даёт 5 — «минус на минус».
Вывод «похоже, решения — числа между 0 и 4» верен: при 0 < x < 4 множитель x положителен, а x − 4 отрицателен; вне промежутка множители одного знака или один из них равен 0. Проверка дробного числа: x = 0,5: 0,5 · (−3,5) = −1,75 < 0 ✓.

R07.2

Тип 1 · решаем сами

Решение или нет?

1база

$5 - 2 x \geq x - 4$

Какие из чисел $- 2; 0; 3; 4$ — решения?

2повыш.

$x^{2} - 3 x + 2 < 0$

Является ли решением число $2$ ?

3повыш.

$a x > 6$

Подберите $a$ , при котором число $2$ — решение

Подставьте число и сравните части. Равенство при

\geq

— тоже «да».

R07.2

Задания с самопроверкой · тип 1

Решение или нет? Ответ по клику

Является ли $3$ решением $2 x - 1 > 5$ ? нет
Является ли $- 2$ решением $x^{2} \geq 4$ ? да
Является ли $0$ решением $5 - x \leq 3 x$ ? нет
Является ли $- 1$ решением $\frac{x + 3}{2} < 1$ ? нет
повыш. Какие из чисел $- 3; 1; 2$ — решения $x^{2} < 2 x + 3$ ? 1; 2
повыш. Является ли $3$ решением $x^{2} + x > 4$ ? да

R07.2

Тип 2 · образец

Целые решения: рисуем и считаем

R07.2

Тип 2 · решаем сами

Целые решения

1база

Запишите все целые решения

$- 1 \leq x < 3$

2база

Наибольшее целое решение

$x \leq - 2, 7$

3повыш.

Сколько целых чисел в промежутке

$(- 10; 5)$ ?

4практика

Наименьшее натуральное решение

$3 x > 10$

R07.2

Задания с самопроверкой · тип 2

Целые решения — ответ по клику

Все целые решения $- 2 < x \leq 1$ −1; 0; 1
Наименьшее целое решение $x > - 4, 2$ −4
Наибольшее целое решение $x < 0, 5$ 0
Сколько целых чисел в отрезке $[- 3; 3]$ ? 7
повыш. Наибольшее целое решение $4 x \leq 13$ 3
повыш. Сколько целых чисел в $(- 3; 8]$ ? 4

R07.2

Тип 3 · образец

Из слов — в неравенство

Слова	Знак
больше	$>$
меньше	$<$
не меньше	$\geq$
не больше, не более	$\leq$
положительно	$> 0$
отрицательно	$< 0$
неотрицательно	$\geq 0$

R07.2

Тип 3 · образец

При каких $x$ выражение имеет смысл?

a

имеет смысл ⇔

a \geq 0

R07.2

Тип 3 · решаем сами

Запишите неравенством и промежутком

1база

Число $x$ не меньше $- 4$

2база

Удвоенное число $a$ не больше $9$

3повыш.

При каких $x$ имеет смысл

$2 x + 6$ ?

4практика

Такси: 150 ₽ посадка + 30 ₽ за 1 км. У Маши не более 600 ₽. Неравенство для $s$ км. Хватит ли на 15 км?

R07.2

Задания с самопроверкой · тип 3

Неравенством и промежутком — ответ по клику

Число $y$ положительно $y > 0$ ; $(0; + \infty)$
Разность $x - 3$ не больше $2$ $x \leq 5$ ; $(- \infty; 5]$
Утроенное число $b$ меньше $- 6$ $b < - 2$ ; $(- \infty; - 2)$
При каких $x$ имеет смысл $x + 1$ ? $[- 1; + \infty)$
повыш. При каких $x$ имеет смысл $- x$ ? $(- \infty; 0]$
практика Заряд 20 %, +5 % в минуту. Через $t$ минут станет не меньше 80 %. Найдите $t$ . $t \geq 12$

R07.2

Найди ошибку

Типичные ошибки практикума

Неверно	Верно	Почему
$x < 4$ : наибольшее целое $4$	$3$	4 не входит
$x > - 2, 5$ : наименьшее целое $- 3$	$- 2$	−3 левее −2,5
«не больше 5» → $x < 5$	$x \leq 5$	5 тоже подходит
$x - 5$ : $x > 5$	$x \geq 5$	$0 = 0$ имеет смысл

Сомневаетесь? Подставьте граничное число в неравенство.

R07.2

Проверьте себя · 2 минуты

Проверьте себя: по заданию на каждый тип

1тип 1

Является ли $- 1, 5$ решением

$4 x + 7 > 2 - x$ ?

нет

2тип 2

Сколько целых решений

$- 2, 5 \leq x < 4$ ?

6

3тип 3

При каких $x$ значение $6 - 3 x$ неотрицательно? Ответ — промежутком.

$(- \infty; 2]$

R07.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — ответы по клику

Вариант 1

Является ли $- 2$ решением $3 x + 4 < x$ ? нет
Все целые решения $- 1, 5 < x \leq 2$ −1; 0; 1; 2
«Число $x$ не больше $- 1$ » — промежутком $(- \infty; - 1]$
При каких $x$ имеет смысл $x - 2$ ? $[2; + \infty)$

Вариант 2

Является ли $- 3$ решением $x + 7 > - x$ ? да
Все целые решения $- 2 \leq x < 1, 5$ −2; −1; 0; 1
«Число $x$ не меньше $3$ » — промежутком $[3; + \infty)$
При каких $x$ имеет смысл $4 - 2 x$ ? $(- \infty; 2]$

R07.2

Формат ОГЭ · часть 1

Задание 13: неравенство по рисунку

13Укажите неравенство, множество решений которого изображено на рисунке.

1)

x + 2 \geq 0

2)

x + 2 \leq 0

3)

x - 2 \geq 0

4)

x - 2 \leq 0

- 2

закрашена → входит

x = - 2

: подходит?

x = 0

: подходит?

R07.2

Формат ОГЭ · часть 1

Задание 13: рисунок по неравенству

13На каком рисунке изображено множество решений неравенства $x - 3 \leq 0$ ?

1)

2)

3)

4)

x = 3

:

0 \leq 0

— входит

x = 0

:

- 3 \leq 0

— подходит

Ответ: 2

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как проверить, что число — решение?
Как не потерять граничное число?
Что значит «неотрицательно»?

Домашнее задание

Целые решения $- 4 < x \leq 1$
При каких $x$ имеет смысл $4 - x$ ?
Является ли 2 решением $x^{2} - 5 > x - 4$ ?
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-077 · Практикум: неравенство с одной переменной

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R07 «Уравнения и неравенства. Неравенства», 12 ч · урок 7/12 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R07.2 «Неравенство с одной переменной» → 2–20 (разминка 3–4; типы заданий: 5–7, 8–10, 11–14; контроль 15–19) · теория 13 мин / практика 32 мин (71 %)
Результаты	ПР-11 = REQ-3.4 (решения неравенства, графическая иллюстрация множества решений) → 4–20 · ПР-1 (сравнение действительных чисел, координатная прямая) → 3, 6, 9, 10 · EL-3.7 → 4–20
Вне урока	решение линейных неравенств по свойствам — ALG8-073, ALG8-078 · системы — ALG8-074, ALG8-079 · равносильность неравенств (EL-3.8) — ALG8-073
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: неравенство с одной переменной

Сегодня тренируемся

Проверять

Считать

Переводить

Изображать

Отвечаем в уме — ответ по клику

Найдите пару: неравенство — рисунок — промежуток

Какие числа — решения неравенства x(x−4)<0?

Решение или нет?

Решение или нет? Ответ по клику

Целые решения: рисуем и считаем

Целые решения

Целые решения — ответ по клику

Из слов — в неравенство

При каких x выражение имеет смысл?

Запишите неравенством и промежутком

Неравенством и промежутком — ответ по клику

Типичные ошибки практикума

Проверьте себя: по заданию на каждый тип

Два варианта — ответы по клику

Вариант 1

Вариант 2

Задание 13: неравенство по рисунку

Задание 13: рисунок по неравенству

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-077 · Практикум: неравенство с одной переменной

Какие числа — решения неравенства $x (x - 4) < 0$ ?

При каких $x$ выражение имеет смысл?