Неравенства · практикум · урок 6 из 12

Практикум: числовые неравенства и их свойства

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R07 · ALG8-076

0 мин · титул. Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), всего 45 мин.
Паспорт: R07 «Уравнения и неравенства. Неравенства» (12 ч), урок 6/12, единица R07.1. Тип урока — П (практикум). Теория была на ALG8-071; после неё — ALG8-072…075 (неравенства с переменной, системы, изображение на прямой). Следующий урок ALG8-077 — практикум «Неравенство с одной переменной».
Хронометраж по слайдам: цели 1 т · карта свойств 2 т · разминка 2 п (сл. 2–4) · тип 1 «сравнение и доказательство через разность»: образец 3 т → сам 2 п, образец доказательства 2 т → задания 3 п (сл. 5–8) · тип 2 «свойства»: образец 2 т → сам 2 п → задания 3 п (сл. 9–11) · тип 3 «оценка»: образец 3 т → сам 2 п → задания 3 п (сл. 12–14) · найди ошибку 2 п (сл. 15) · задания с самопроверкой 3 + 3 п (сл. 16–17) · самостоятельная работа 4 п (сл. 18) · ОГЭ 2 п (сл. 19) · рефлексия и ДЗ 1 п (сл. 20). Теория 13 мин, практика 32 мин.
Если не успеваете: задание 4 (сл. 11) разобрать устно, задание 6 (сл. 14) и часть 2 самопроверки (сл. 17) перенести в ДЗ.

R07.1

Цели практикума

Сегодня вы научитесь уверенно

Сравнивать

числа и выражения по знаку разности (ПР-11)

Доказывать

неравенства: разность → квадрат ≥ 0 (ПР-11)

Применять свойства

и не терять смену знака при умножении на отрицательное (ПР-11)

Оценивать

значения выражений по границам чисел (ПР-11)

1 мин · теория
ПР-11 (= REQ-3.4): «Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств». Сегодня отрабатываем первую часть — сравнение и оценку. Элемент содержания EL-3.6.
Вид деятельности ФРП: «Формулировать свойства числовых неравенств, иллюстрировать их на координатной прямой, доказывать алгебраически. Применять свойства неравенств в ходе решения задач».

R07.1 · повторение

Вспомним · карта свойств

Что можно делать с неравенством a > b

R07.1 · повторение

Разминка · устно · 2 минуты

Известно: a > b. Верно ли?

1a + 5 > b + 5верно

2−a > −bневерно

3

\frac{a}{3} > \frac{b}{3}

верно

42 − a < 2 − bверно

5b − a > 0неверно

6a − 1 > b − 4верно

R07.1

Тип 1 · образец

Сравнить — значит найти знак разности

Сравните $\frac{4}{9}$ и $0, 44$

\frac{4}{9} - \frac{44}{100} =

= \frac{400 - 396}{900} = \frac{1}{225}

\frac{1}{225} > 0 \Rightarrow \frac{4}{9} > 0, 44

Сравните $(a - 3) (a + 5)$ и $(a + 1)^{2}$

(a - 3) (a + 5) - (a + 1)^{2} =

= a^{2} + 2 a - 15 - a^{2} - 2 a - 1 = - 16

- 16 < 0 \Rightarrow (a - 3) (a + 5) < (a + 1)^{2}

при любом a

R07.1

Тип 1 · образец → сам · 2 минуты

Сравните через разность

1база

\frac{3}{7}

и

0, 43

- \frac{1}{700} < 0 \Rightarrow \frac{3}{7} < 0, 43

2база

0, 6

и

\frac{5}{8}

- 0, 025 < 0 \Rightarrow 0, 6 < \frac{5}{8}

3база

(b - 1) (b + 1)

и

b^{2}

- 1 < 0 \Rightarrow (b - 1) (b + 1) < b^{2}

4повыш.

(a + 2) (a - 6)

и

(a - 2)^{2}

- 16 < 0 \Rightarrow (a + 2) (a - 6) < (a - 2)^{2}

R07.1

Тип 1 · образец доказательства

Докажите: $x^{2} + 10 > 6 x$

x^{2} + 10 - 6 x = x^{2} - 6 x + 9 + 1

= (x - 3)^{2} + 1

(x - 3)^{2} \geq 0 \Rightarrow (x - 3)^{2} + 1 \geq 1 > 0

x^{2} + 10 > 6 x

при любом

x

Подстановка чисел — только проверка, не доказательство.

R07.1

Тип 1 · самостоятельно · 3 минуты

Сравните и докажите

1база

Сравните через разность:

а)

\frac{5}{6}

и

0, 83

б)

(x + 4) (x - 2)

и

(x + 1)^{2}

2повыш.

Докажите, что при любом a:

a (a - 8) > - 17

Подсказка: перенесите −17 и выделите квадрат.

R07.1

Тип 2 · образец

a < b. Сравните 3 − 2a и 3 − 2b

2 мин · теория (демонстрационный пример учителя)
Строим выражение «по кирпичикам»: сначала умножение, потом сложение. Каждый шаг — одно свойство, и про каждый спрашиваем: «знак меняется?»
Проверка на числах подтверждает ответ: a = 1, b = 2: 3 − 2 = 1 и 3 − 4 = −1, 1 > −1. Порядок точек на нижней прямой поменялся.
Порядок шагов — как при вычислении значения 3 − 2a: сначала a умножают на −2, потом прибавляют 3. Ошибка: сменить знак ещё раз на шаге «+3» или не сменить на шаге «·(−2)».

R07.1

Тип 2 · образец → сам · 2 минуты

Известно: m < n. Поставьте знак < или >

1m + 4 n + 4m + 4 < n + 4

2−5m −5n−5m > −5n

37 − m 7 − n7 − m > 7 − n

42m − 1 2n − 12m − 1 < 2n − 1

5

\frac{m}{3}

\frac{n}{3}

\frac{m}{3} < \frac{n}{3}

61 − 4m 1 − 4n1 − 4m > 1 − 4n

R07.1

Тип 2 · самостоятельно · 3 минуты

Примените свойства

3база

Известно x > y. Сравните:

а) x − 7 и y − 7б)

- \frac{x}{4}

и

- \frac{y}{4}

в) 5 − 3x и 5 − 3y

4повыш.

Известно a > b. Верно ли, что $a^{2} > b^{2}$ ? Приведите пример.

R07.1

Тип 3 · образец

2 < a < 3, 1 < b < 4. Оцените a + b и a − b

+ 2 < a < 3
1 < b < 4

3 < a + b < 7

−4 < −b < −1 · (−1)

−2 < a − b < 2

Неравенства не вычитают: прибавляем −b.

R07.1

Тип 3 · образец → сам · 2 минуты

1 < x < 3, 2 < y < 5. Оцените

1база

x + y

3 < x + y < 8

2база

3 x

3 < 3 x < 9

3повыш.

y - x

- 1 < y - x < 4

4повыш.

x y

2 < x y < 15

R07.1

Тип 3 · самостоятельно · 3 минуты

Оцените значение выражения

5база

Известно 3 < x < 5. Оцените:

2 x + 1; - x; \frac{1}{x}

6практика

Стороны участка измерили с точностью 0,1 м (см. рисунок). Оцените периметр P и площадь S.

R07.1

Осторожно

Найдите ошибку

Рассуждение	Верно	Почему
2 < a < 3, 1 < b < 4 ⇒ 1 < a − b < −1	−2 < a − b < 2	неравенства не вычитают
a < b ⇒ 5 − a < 5 − b	5 − a > 5 − b	умножили на −1
$a > b \Rightarrow a^{2} > b^{2}$	−1 > −3, но 1 < 9	только для a > b > 0
$x^{2} - 4 x + 5 > 0$ : при $x = 0; 1; 2$ верно ⇒ доказано	$(x - 2)^{2} + 1 > 0$	подстановка — не доказательство

R07.1

Задания с самопроверкой · часть 1 · база

Решите и проверьте

1база

Сравните через разность:

0, 7

и

\frac{7}{11}

0, 7 > \frac{7}{11}

2база

Известно a > b. Поставьте знак:

−4a −4b

\frac{a}{5} + 1

\frac{b}{5} + 1

< и >

3база

Известно 4 < c < 6. Оцените:

3 c - 2; \frac{1}{c}

10 < 3 c - 2 < 16

\frac{1}{6} < \frac{1}{c} < \frac{1}{4}

R07.1

Задания с самопроверкой · часть 2 · повышенный уровень

Докажите и оцените

4повыш.

Докажите, что при любом a:

a^{2} + 5 > 4 a

(a - 2)^{2} + 1 \geq 1 > 0

5повыш.

Докажите, что при любых a и b:

a^{2} + b^{2} \geq 2 ab

(a - b)^{2} \geq 0

6практика

Яблоко весит от 150 до 200 г. Оцените массу M пакета с 6 яблоками, если пустой пакет весит 10 г.

910 < M < 1210

(г)

R07.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта

Вариант 1

Сравните $\frac{5}{9}$ и $0, 56$ $\frac{5}{9} < 0, 56$
x < y. Сравните 2 − 6x и 2 − 6y >
2 < a < 5, 1 < b < 3. Оцените a + b и a − b
3 < a + b < 8; −1 < a − b < 4
повыш.Докажите: $x^{2} - 8 x + 17 > 0$ $(x - 4)^{2} + 1 > 0$

Вариант 2

Сравните $\frac{7}{9}$ и $0, 78$ $\frac{7}{9} < 0, 78$
x > y. Сравните 4 − 5x и 4 − 5y <
3 < a < 4, 2 < b < 6. Оцените a + b и a − b
5 < a + b < 10; −3 < a − b < 2
повыш.Докажите: $y^{2} + 6 y + 10 > 0$ $(y + 3)^{2} + 1 > 0$

R07.1

Формат ОГЭ · часть 1

Задание 7: числа на координатной прямой

7На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?

a + 2 > 0
a + 3 > 0
−a < 2
$a^{2} < 4$

В ответе укажите номер верного утверждения.

По рисунку: −3 < a < −2.

Оцените каждое выражение свойствами: прибавьте число, умножьте на −1.

Проверка: a = −2,4.

Ответ: 2

рефлексия · ДЗ

Итог практикума

Проверьте себя

Ответьте одной фразой

С чего начинается сравнение выражений?
Как оценить разность a − b?
Чем опровергнуть неверное утверждение?

Домашнее задание

Сравните $\frac{7}{8}$ и $0, 87$ .
Докажите: $a^{2} + 2 a + 3 > 0$ .
1 < x < 2, 3 < y < 5. Оцените x + y, y − x, xy.

Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-076 · Практикум: Числовые неравенства и их свойства

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R07 «Уравнения и неравенства. Неравенства», 12 ч · урок 6/12 · тип П (практикум) · теория 13 мин / практика 32 мин (71 %)
Единицы → слайды	R07.1 «Числовые неравенства и их свойства» → 2–20 (теория: 2, 3, 5, 7, 9, 12; практика: 4, 6, 8, 10, 11, 13–20)
Результаты	ПР-11 / REQ-3.4 (применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки) → 3–19 · EL-3.6
Вне урока	неравенство с одной переменной — R07.2 (ALG8-077); линейные неравенства — R07.3 (ALG8-078); системы неравенств — R07.4 (ALG8-079); изображение решений на прямой — R07.5
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: числовые неравенства и их свойства

Сегодня вы научитесь уверенно

Сравнивать

Доказывать

Применять свойства

Оценивать

Что можно делать с неравенством a > b

Известно: a > b. Верно ли?

Сравнить — значит найти знак разности

Сравните 94​ и 0,44

Сравните (a−3)(a+5) и (a+1)2

Сравните через разность

Докажите: x2+10>6x

Сравните и докажите

a < b. Сравните 3 − 2a и 3 − 2b

Известно: m < n. Поставьте знак < или >

Примените свойства

2 < a < 3, 1 < b < 4. Оцените a + b и a − b

1 < x < 3, 2 < y < 5. Оцените

Оцените значение выражения

Найдите ошибку

Решите и проверьте

Докажите и оцените

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Задание 7: числа на координатной прямой

Проверьте себя

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-076 · Практикум: Числовые неравенства и их свойства

Сравните $\frac{4}{9}$ и $0, 44$

Сравните $(a - 3) (a + 5)$ и $(a + 1)^{2}$

Докажите: $x^{2} + 10 > 6 x$