Неравенства · урок 5 из 12

Изображение решения линейного неравенства и их систем на числовой прямой

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R07 · ALG8-075

0 мин · титул. Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Паспорт: R07 «Уравнения и неравенства. Неравенства» (12 ч), урок 5/12, единица R07.5. Тип — Н (новый материал). Предыдущий урок ALG8-074 — системы линейных неравенств; следующий ALG8-076 — практикум по числовым неравенствам.
Теория (14 мин): цели 1 (сл. 2) · точка 2 (сл. 5) · лучи 2 (сл. 7) · двойное неравенство 1 (сл. 8) · алгоритм 2 (сл. 11) · образец 2 (сл. 12) · система 2 (сл. 14) · четыре случая 2 (сл. 15).
Практика (31 мин): разминка 2 (сл. 3) · вспомним 1 (сл. 4) · «сами» после правил 2 + 2 + 3 + 2 (сл. 6, 9, 13, 16) · читаем рисунок 2 (сл. 10) · целые решения 2 (сл. 17) · найди ошибку 2 (сл. 18) · самопроверка 2 + 2 (сл. 19–20) · закрепление 3 (сл. 21) · самостоятельная 3 (сл. 22) · ОГЭ 2 (сл. 23) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 24).
На уроках 073–074 решения уже рисовали «по ходу»; сегодня — единые правила: точка, штриховка, запись промежутком, ответ системы как общая часть.
Если не успеваете: сл. 10 разобрать фронтально устно, задания 4–6 сл. 20 и задание 5 сл. 21 перенести в ДЗ.

R07.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Отмечать точку

закрашенную ● или выколотую ○ — по знаку неравенства (ПР-11)

Записывать промежуток

(a; b), [a; b], (−∞; a], [a; +∞) — по рисунку и обратно (ПР-11)

Изображать решение системы

двумя штриховками и находить их общую часть (ПР-11)

Читать ответ с прямой

целые решения, «нет решений», задание 13 ОГЭ (ПР-11)

1 мин · теория
ПР-11 (= REQ-3.4): «Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств». Сегодня — последняя часть: графическая иллюстрация. Элементы содержания EL-3.9, EL-3.10.
Вид деятельности ФРП: «Решать линейные неравенства с одной переменной, изображать решение неравенства на числовой прямой. Решать системы линейных неравенств, изображать решение системы неравенств на числовой прямой».

повторение: ALG8-071, ALG8-072

Разминка · устно

Отвечаем в уме — ответ по клику

1) Верно ли
$- 3 \geq - 3$ ?

да

2) Верно ли
$2 > 2$ ?

нет

3) Что правее на прямой:
$- 4$ или $- 1$ ?

−1

4) Что левее на прямой:
$0, 5$ или $- 0, 5$ ?

−0,5

5) Наименьшее целое число, большее $- 2, 5$

−2

6) Наибольшее целое число, меньшее $3$

2

7) Сколько целых чисел от $- 2$ до $2$ включительно?

5

8) Значение $3 - x$
при $x = - 2$

5

повторение: ALG8-073, ALG8-074

Вспомним

Решите устно — как показать ответ?

15x − 7 > 3x > 2

2−2x ≤ 8x ≥ −4

3x + 1 > 03 − x ≥ 0−1 < x ≤ 3

Решений — бесконечно много. Их не перечислить, но можно нарисовать.

R07.5

Правило 1 · граница

Выколотая или закрашенная точка

> < → ○ и ( )

строгий знак: точка выколота

≥ ≤ → ● и [ ]

нестрогий знак: точка закрашена

R07.5

Образец → сам · точка и сторона штриховки

Какая точка и куда штриховать?

Образец: $x < - 1$

1) знак строгий → точка

- 1

выколота ○

2) «меньше» → штриховка влево

$x \geq 2$ ● 2, вправо
$x < 0$ ○ 0, влево
$x \leq - 3$ ● −3, влево
$x > 1, 5$ ○ 1,5, вправо

R07.5

Правило 2 · одно неравенство

Решение x > a, x ≤ a — луч на прямой

У ∞ скобка всегда круглая: бесконечность — не число.

Читаем [a; +∞): «от a до плюс бесконечности, включая a».

R07.5

Правило 2 · двойное неравенство

a < x < b — промежуток между точками

−1 < x ≤ 3 ⇔ x ∈ (−1; 3]

Каждая скобка — по своему знаку: < → ( , ≤ → ]

R07.5

Образец → сам · числовые промежутки

Неравенство ⇄ промежуток

Запишите промежутком

а) $x > - 2$ (−2; +∞)
б) $x \leq 0, 5$ (−∞; 0,5]
в) $- 4 \leq x < 1$ [−4; 1)
г) $2 < x \leq 7$ (2; 7]

Запишите неравенством

д) $(- \infty; 3)$ x < 3
е) $[- 6; + \infty)$ x ≥ −6
ж) $(- 1; 4)$ −1 < x < 4
з) $[0; 2]$ 0 ≤ x ≤ 2

R07.5

Обратная задача · 2 минуты

Запишите неравенством и промежутком

а

x < 4 · (−∞; 4)

б

−2 ≤ x ≤ 1 · [−2; 1]

в

x ≥ −1 · [−1; +∞)

г

0 < x ≤ 3 · (0; 3]

R07.5

Алгоритм

Четыре шага: от неравенства к ответу

Проверка: возьмите число из штриховки, например 0: −2 · 0 = 0 ≤ 6 — верно

R07.5

Образец решения

Решите и изобразите: 3(x − 2) ≤ 5x + 4

3x − 6 ≤ 5x + 4 раскрыли скобки

3x − 5x ≤ 4 + 6 перенос

−2x ≤ 10 | : (−2)

x ≥ −5 знак сменили

Ответ: [−5; +∞)

R07.5

Образец → сам · по четырём шагам

Решите, изобразите, запишите ответ

база $2 x - 3 > 5$ x > 4 · (4; +∞)
база $5 - x \geq 2$ x ≤ 3 · (−∞; 3]
база $4 (x + 1) < 2 x - 6$ x < −5 · (−∞; −5)
повыш. $\frac{x}{3} \leq 2 - x$ x ≤ 1,5 · (−∞; 1,5]

Не забудьте

делите на отрицательное — смените знак

проверьте пробной точкой, например $0$

R07.5

Правило 3 · система

Решение системы — общая часть штриховок

2x − 1 > 3x + 4 ≥ 3x − 6

⇒ 2x > 4−2x ≥ −10 ⇒ x > 2x ≤ 5

Двойная штриховка — там, где верны оба неравенства.

Ответ: (2; 5]

R07.5

Все случаи

Где общая часть? Четыре системы с концами 2 и 5

x > 2x > 5x > 5

x < 2x < 5x < 2

x > 2x < 52 < x < 5

x < 2x > 5нет решений

R07.5

Образец → сам · общая часть

Нарисуйте обе штриховки и запишите ответ

${x > - 1 x \leq 2$ (−1; 2]
${x \geq 3 x > 0$ [3; +∞)
${x < - 2 x \leq 1$ (−∞; −2)
${x \geq 4 x < 1$ нет решений

Опора — сл. 15

«больше» и «больше» → больше большего

«меньше» и «меньше» → меньше меньшего

навстречу → между или нет решений

R07.5

Прямая помогает считать

Сколько целых решений у системы?

3x + 2 ≥ −74 − x > 1

x ≥ −3x < 3 ⇒ [−3; 3)

−3 закрашена — считаем; 3 выколота — не считаем. Целых решений: 6

R07.5

Осторожно

Найдите ошибку

Записано	Верно	Почему
x > 3 ⇒ точка 3 закрашена	○ 3 выколота	знак строгий
x ≤ 4 ⇒ (−∞; 4)	(−∞; 4]	4 входит — скобка квадратная
x ≥ 2 ⇒ [2; +∞]	[2; +∞)	у ∞ скобка круглая
x > 1 и x > 4 ⇒ x > 1	x > 4	нужна общая часть
x < −1 и x > 3 ⇒ (−1; 3)	нет решений	штриховки не пересекаются

R07.5

Задания с самопроверкой · база

Изобразите на прямой и ответьте

Промежутком: $x \geq - 2$ [−2; +∞)
Промежутком: $- 3 < x \leq 0$ (−3; 0]
Решите: $3 x + 1 \leq 10$ (−∞; 3]

Решите: $7 - 2 x < 1$ (3; +∞)
Наименьшее целое решение
$x > - 1, 5$ −1
Сколько целых чисел в $[- 2; 3)$ ? 5

R07.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Системы и целые решения

Решите: ${3 x - 2 > 4 10 - x \geq 6$ (2; 4]
Число целых решений: ${2 x + 5 \geq 1 x - 3 < 0$ 5
Наибольшее целое решение $\frac{x - 1}{2} < 3$ 6

Сумма целых решений: ${x + 4 > 0 2 x \leq 6$ 0
Одна сторона прямоугольника 5 см, периметр больше 20 и не больше 30 см. Другая сторона? (5; 10]
При каком $a$ у системы $x \geq a$ , $x \leq 3$ ровно одно решение? a = 3

R07.5

Закрепление · 3 минуты

Решите, изобразите на прямой, запишите ответ

1база

Изобразите и запишите промежутком:

x ≤ 3; −1 < x < 4

2база

Решите неравенство:

4x + 3 > 11

3повыш.

Решите систему:

5x − 2 ≥ 37 − 2x > 1

4повыш.

Решите систему:

x − 3 > 02x < 4

5практика

Такси: посадка 100 ₽ и 25 ₽ за 1 км. Поездка должна стоить от 300 до 500 ₽ включительно. Сколько километров можно проехать? Покажите на прямой.

R07.5

Самостоятельная работа · 3 минуты

Два варианта — ответы по клику

Вариант 1

Изобразите, запишите промежутком: $- 1 \leq x < 5$ [−1; 5)
Решите: $6 - 3 x > 0$ (−∞; 2)
Решите: ${x + 3 > 0 2 x \leq 4$ (−3; 2]
Сколько целых решений у системы 3? 5

Вариант 2

Изобразите, запишите промежутком: $- 4 < x \leq 2$ (−4; 2]
Решите: $2 x + 8 \geq 0$ [−4; +∞)
Решите: ${x - 1 \geq 0 3 x < 12$ [1; 4)
Сколько целых решений у системы 3? 3

R07.5

Формат ОГЭ · часть 1

Задание 13: решение системы на прямой

13Укажите решение системы неравенств x + 2,6 ≤ 0,x + 5 ≥ 1.

1)

2)

3)

4)

Решите каждое: x ≤ −2,6 и x ≥ −4.

Найдите рисунок, где штриховка — только общая часть.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя

Ответьте одной фразой

Когда точка выколотая, когда закрашенная?
Почему у ∞ всегда круглая скобка?
Как найти решение системы на прямой?

Домашнее задание

Решите и изобразите: 2 − 3x ≥ 8.
Решите систему и найдите число целых решений: 3x − 1 < 11, x + 5 ≥ 2.
Изобразите и запишите промежутком −5 < x ≤ 0.

Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-075 · Изображение решения линейного неравенства и их систем на числовой прямой

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R07 «Уравнения и неравенства. Неравенства», 12 ч · урок 5/12 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R07.5 «Изображение решения линейного неравенства и их систем на числовой прямой» → 2, 3–24 (теория: 2, 5, 7, 8, 11, 12, 14, 15; практика: 3, 4, 6, 9, 10, 13, 16–24)
Результаты	ПР-11 / REQ-3.4 (решать линейные неравенства и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений) → 3–23 · EL-3.9, EL-3.10
Вне урока	свойства числовых неравенств — R07.1 (ALG8-071, практикум ALG8-076); решение линейных неравенств и систем — R07.3, R07.4 (ALG8-073, ALG8-074) — только повторение; объединение промежутков, квадратные неравенства, метод интервалов — 9 класс
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Изображение решения линейного неравенства и их систем на числовой прямой

Сегодня вы научитесь

Отмечать точку

Записывать промежуток

Изображать решение системы

Читать ответ с прямой

Отвечаем в уме — ответ по клику

Решите устно — как показать ответ?

Выколотая или закрашенная точка

Какая точка и куда штриховать?

Образец: x<−1

Решение x > a, x ≤ a — луч на прямой

a < x < b — промежуток между точками

Неравенство ⇄ промежуток

Запишите промежутком

Запишите неравенством

Запишите неравенством и промежутком

Четыре шага: от неравенства к ответу

Решите и изобразите: 3(x − 2) ≤ 5x + 4

Решите, изобразите, запишите ответ

Не забудьте

Решение системы — общая часть штриховок

Где общая часть? Четыре системы с концами 2 и 5

Нарисуйте обе штриховки и запишите ответ

Опора — сл. 15

Сколько целых решений у системы?

Найдите ошибку

Изобразите на прямой и ответьте

Системы и целые решения

Решите, изобразите на прямой, запишите ответ

Два варианта — ответы по клику

Вариант 1

Вариант 2

Задание 13: решение системы на прямой

Проверьте себя

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-075 · Изображение решения линейного неравенства и их систем на числовой прямой

Образец: $x < - 1$