Неравенства · урок 3 из 12

Линейные неравенства с одной переменной и их решение

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R07 · ALG8-073

Паспорт: R07 «Уравнения и неравенства. Неравенства» (12 ч), урок 3/12, единица R07.3. Тип — Н (новый материал). До этого: ALG8-071 (свойства числовых неравенств), ALG8-072 (неравенство с одной переменной, его решение). Дальше: ALG8-074 — системы неравенств.
0 мин · титул. Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), всего 45 мин.
Теория (13 мин): цели 1 (сл. 2), проблема 1 (сл. 5), определение 1 (сл. 6), правила 2 (сл. 8), почему меняется знак 1 (сл. 9), алгоритм 1 (сл. 11), образцы 1 + 2 + 1 (сл. 12, 14, 16), памятка 1 (сл. 18), особые случаи 1 (сл. 20).
Практика (32 мин): разминка 2 и свойства 2 (сл. 3–4), «линейное или нет» 1 (сл. 7), «меняем знак?» 1 (сл. 10), «образец → сам» 3 + 3 + 2 (сл. 13, 15, 17), запись ответа 1 (сл. 19), найди ошибку 2 (сл. 21), самопроверка 4 + 3 (сл. 22–23), самостоятельная 5 (сл. 24), ОГЭ 2 (сл. 25), рефлексия и ДЗ 1 (сл. 26).
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 23 — в ДЗ, сл. 19 — устно фронтально. Ответы на всех слайдах практики открываются по клику.

R07.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать

линейное неравенство: ax > b, ax ≤ b… (EL-3.9)

Решать

равносильными преобразованиями (ПР-11, EL-3.8)

Следить за знаком

делим на отрицательное — знак меняем (ПР-11)

Записывать ответ

промежутком и рисунком на прямой (ПР-11)

1 мин · теория
ПР-11 (= REQ-3.4), дословно ФРП: «Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств». Сегодня — часть «решать линейные неравенства с одной переменной» и иллюстрация решения.
Элементы кодификатора: EL-3.8 «Равносильность неравенств», EL-3.9 «Линейные неравенства с одной переменной».

повторение: R07.1–R07.2

Разминка · устно

Отвечаем в уме — ответ по клику

1) Вычислите
$- 3 \cdot (- 4)$

12

2) Вычислите
$- 12 : 3$

−4

3) Сравните
$- 5$ и $- 2$

$- 5 < - 2$

4) Раскройте
$- 2 (x - 3)$

$- 2 x + 6$

5) Решите
$3 x - 6 = 0$

$x = 2$

6) Решите
$- 2 x = 10$

$x = - 5$

7) Подходит ли
$x = 0$ к
$x - 3 < 1$ ?

да

8) Подходит ли
$x = - 1$ к
$2 x > 0$ ?

нет

повторение: R07.1–R07.2

Вспомним

Свойства числовых неравенств

a < b ⇒ a + c < b + c

a < b, c > 0 ⇒ ac < bc

a < b, c < 0 ⇒ ac > bc

Верно ли: −7 < −3?
a < b. Сравните a + 4 и b + 4.
a < b. Сравните −3a и −3b.
Является ли x = 5 решением 2x − 3 > 5?

R07.3

Проблема

Найдём все решения 2x − 3 > 5

x	0	2	4	4,5	5	10
2x − 3	−3	1	5	6	7	17
> 5 ?	нет	нет	нет	да	да	да

Решений бесконечно много — перебором не найти. Нужен способ!

R07.3

Определение

Линейное неравенство с одной переменной

ax > b · ax < b · ax ≥ b · ax ≤ ba и b — числа, x — переменная

5x > 15

линейное

7 − 2x ≤ 3x + 1

сводится к −5x ≤ −6

x^{2} < 9

нет: есть $x^{2}$

\frac{1}{x} > 2

нет: x в знаменателе

R07.3

Сам · линейное или нет?

Какие неравенства линейные?

а) $3 x - 1 > 0$

линейное

б) $x^{2} + x \leq 2$

нет: есть $x^{2}$

в) $5 - x < 2 x$

линейное: $- 3 x < - 5$

г) $\frac{2}{x} \geq 1$

нет: x в знаменателе

д) $\frac{x}{4} > 3$

линейное: $a = \frac{1}{4}$

е) $x (x - 1) < 0$

нет: $x^{2} - x$

R07.3

Равносильные преобразования

Два правила — как для уравнений, но со знаком

1. Перенос

слагаемое — в другую часть с противоположным знаком

x − 3 > 5 ⇔ x > 5 + 3

2. Деление на число

a > 0 — знак тот же; a < 0 — знак меняем

−x < 2 ⇔ x > −2

2x − 3 > 5

2x > 5 + 3правило 1

2x > 8

x > 4правило 2: делим на 2 > 0

Ответ: (4; +∞)

R07.3

Почему знак меняется

Умножение на −1 — «зеркало» относительно нуля

R07.3

Сам · меняем знак?

Сделайте последний шаг — разделите на коэффициент

а) $4 x > 20$

$x > 5$

б) $- x < 7$

$x > - 7$

в) $- 5 x \geq 15$

$x \leq - 3$

г) $2 x < - 8$

$x < - 4$
знак тот же!

д) $- 3 x \leq - 12$

$x \geq 4$

е) $\frac{1}{2} x > - 3$

$x > - 6$

R07.3

Алгоритм

Решаем линейное неравенство за 5 шагов

R07.3

Образец 1 · a > 0

Решите неравенство 3x − 7 < 2

3x − 7 < 2

3x < 2 + 7перенос: −7 → +7

3x < 9

x < 3: 3 > 0 — знак тот же

x = 3: 9 − 7 = 2, а 2 < 2 неверно → точка выколотая

Проверка: x = 0 → −7 < 2 верно

Ответ: (−∞; 3)

R07.3

Образец → сам · a > 0

Решите по образцу и запишите ответ промежутком

база $2 x + 5 < 11$ (−∞; 3)
база $5 x - 4 \geq 6$ [2; +∞)
база $4 x + 7 > 3$ (−1; +∞)
повыш. $7 x - 3 \leq 2 x + 12$ (−∞; 3]

Перенос: слагаемое — с противоположным знаком

Делим на a > 0 — знак тот же

Строгий знак — скобка ( ), нестрогий — [ ]

R07.3

Образец 2 · a < 0

Решите неравенство 5 − 2x ≥ 11

5 − 2x ≥ 11

−2x ≥ 11 − 5перенос: 5 → −5

−2x ≥ 6

x ≤ −3: (−2) < 0 — знак меняем!

x = −3: 5 + 6 = 11 ≥ 11 верно → точка закрашенная

Проверка: x = −5 → 15 ≥ 11 верно; x = 0 → 5 ≥ 11 неверно

Ответ: (−∞; −3]

R07.3

Образец → сам · a < 0

Решите по образцу — следите за знаком

база $- 4 x > 8$ (−∞; −2)
база $3 - x \leq 5$ [−2; +∞)
база $1 - 3 x < 10$ (−3; +∞)
повыш. $2 - 5 x \geq 3 x + 18$ (−∞; −2]

Делим на a < 0 — знак меняем: < ⇄ >, ≤ ⇄ ≥

Проверка: подставьте x = 0 — верно ли исходное неравенство?

R07.3

Образец 3 · со скобками

Решите 3(x − 2) − 4 ≤ 5x + 2

3x − 6 − 4 ≤ 5x + 2шаг 1

3x − 5x ≤ 2 + 6 + 4шаг 2

−2x ≤ 12шаг 3

x ≥ −6шаг 4: : (−2), знак ⇄

Иначе: x — вправо: −12 ≤ 2x, x ≥ −6. Знак менять не нужно

Ответ: [−6; +∞)

R07.3

Образец → сам · со скобками

Решите по алгоритму из 5 шагов

база $2 (x + 4) > 6$ (−1; +∞)
база $3 (x - 1) \leq x + 5$ (−∞; 4]
повыш. $5 - 2 (x + 1) < 3 x - 7$ (2; +∞)

1 скобки → 2 перенос → 3 подобные → 4 деление → 5 ответ

Минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых в ней

R07.3 (опора на R07.5)

Памятка

Как записать ответ

R07.3 (опора на R07.5)

Сам · запись ответа

Неравенство ⇄ промежуток ⇄ рисунок

а) $x > - 1$

$(- 1; + \infty)$

б) $x \leq 5$

$(- \infty; 5]$

в) $x \geq 0$

$[0; + \infty)$

г) $x < - 3, 5$

$(- \infty; - 3, 5)$

д) По рисунку:

$x \leq 7$

е) По рисунку:

$x > 2$

R07.3

Особые случаи · a = 0

Переменная «исчезла»: 0 · x > b

2(x + 1) > 2x − 3

0 · x > −5

0 > −5 — верно всегда

x — любое: (−∞; +∞)

3x + 1 ≤ 3(x − 1)

0 · x ≤ −4

0 ≤ −4 — неверно

Решений нет

R07.3

Найдите ошибку

Типичные ошибки

Задание	Неверно	Верно	Почему
−2x > 6	x > −3	x < −3	делили на −2
3x < −12	x > −4	x < −4	делили на 3 > 0
5x − 2 > 3x	2x > −2	2x > 2	перенос — со сменой знака
x ≥ 2	(2; +∞]	[2; +∞)	2 входит; у ∞ скобка «)»

R07.3

Задания с самопроверкой · база

Решите самостоятельно — ответ по клику

база4x > 12 (3; +∞)
база−3x ≤ 15 [−5; +∞)
повыш.2(x + 3) − 5 > 4x − 1 (−∞; 1)
повыш. $\frac{x}{2} - \frac{x}{3} \geq 1$ [6; +∞)

базаНаибольшее целое решение 7 − 2x > 0? 3
практикаТакси: 150 ₽ за посадку и 30 ₽ за 1 км. Сколько км можно проехать на 600 ₽? не более 15 км

R07.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Решите — ответ по клику

повыш.Решите неравенство $\frac{x - 1}{3} < \frac{x}{2}$ (−2; +∞)
повыш.Наименьшее целое решение $3 (2 - x) < 2 x + 1$ 2
повыш.При каких x значение выражения $5 - 2 x$ отрицательно? (2,5; +∞)
практикаВ копилке 350 ₽, каждую неделю Аня добавляет 120 ₽. Через сколько недель там будет не меньше 1500 ₽? через 10 недель

R07.3

Самостоятельная работа

Два варианта — ответы по клику

Вариант 1

$5 x - 3 > 12$ (3; +∞)
$4 - 3 x \leq 10$ [−2; +∞)
$2 (x - 3) \geq 5 x + 3$ (−∞; −3]
Наибольшее целое решение $3 x + 1 < 14$ 4

Вариант 2

$4 x + 1 < 13$ (−∞; 3)
$6 - 2 x \geq 14$ (−∞; −4]
$3 (x + 2) < 7 x - 2$ (2; +∞)
Наименьшее целое решение $2 x - 5 > 4$ 5

R07.3

Формат ОГЭ · линия 13

Укажите решение неравенства

134x + 5 ≥ 6x − 2

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда меняют знак неравенства?
Точка выколотая или закрашенная — от чего зависит?
Чем решение неравенства отличается от решения уравнения?

Домашнее задание

6x − 1 < 2x + 7; 3 − 5x ≥ 18; 4(1 − x) ≤ 2x − 8
Наименьшее целое решение 5x + 3 > 2x − 9
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-073 · Линейные неравенства с одной переменной и их решение

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R07 «Уравнения и неравенства. Неравенства», 12 ч · урок 3/12 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R07.3 «Линейные неравенства с одной переменной и их решение» → 2, 5–25 · повторение R07.1–R07.2 → 3–4 · практика: 3–4, 7, 10, 13, 15, 17, 19, 21–26 (32 из 45 мин, 71 %)
Результаты	ПР-11 / REQ-3.4 (решать линейные неравенства с одной переменной, давать графическую иллюстрацию множества решений) → 5, 8–25 · EL-3.8 (равносильность неравенств) → 8, 10, 11 · EL-3.9 (линейные неравенства с одной переменной) → 6–25
Вне урока	системы линейных неравенств — R07.4 (ALG8-074); изображение решений неравенств и систем на прямой подробно — R07.5 (ALG8-075), здесь только памятка и тренировка записи (сл. 18–19); доказательство свойств числовых неравенств — R07.1 (ALG8-071)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending