Неравенства · урок 2 из 12 · новый материал

Неравенство с одной переменной

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R07 · ALG8-072

Паспорт: R07 «Уравнения и неравенства. Неравенства» (12 ч), урок 2/12, единица R07.2 «Неравенство с одной переменной». Тип урока — Н (новый материал). Предыдущий урок ALG8-071 — числовые неравенства и их свойства; следующий ALG8-073 — линейные неравенства и их решение.
0 мин · титул. Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Теория (14 мин): цели 1 (сл. 2) · проблема 2 (сл. 5) · определения 2 (сл. 6) · образец проверки 2 (сл. 7) · изображение на прямой 2 (сл. 9) · числовые промежутки 2 (сл. 10) · сколько решений 2 (сл. 12) · типичные ошибки 1 (сл. 16). Теоретические слайды сохранены полностью.
Практика (31 мин): разминка 2 (сл. 3) · вспомним 1 (сл. 4) · «сами» после правил 3 + 3 (сл. 8, 11) · закрепление 3 + 2 (сл. 13–14) · устно 2 (сл. 15) · найди ошибку 2 (сл. 17) · задания с самопроверкой 2 + 2 (сл. 18–19) · проверьте себя 3 (сл. 20) · самостоятельная работа 3 (сл. 21) · ОГЭ 2 (сл. 22) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 23).
Если не успеваете: сл. 15 провести фронтально за 1 мин, задания 4–6 сл. 19 и задание 2 сл. 20 перенести в ДЗ.

R07.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать

неравенство с одной переменной: $2 x - 1 > 5$

Проверять

является ли число решением неравенства

Изображать

множество решений на координатной прямой

Записывать

решения числовым промежутком: $(3; + \infty)$

1 мин · теория
ПР-11 (= REQ-3.4): «Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств». Сегодня — первый шаг: понятие решения и графическая иллюстрация множества решений.
Элемент содержания EL-3.7 «Неравенство с одной переменной». Вид деятельности ФРП: «изображать решение неравенства на числовой прямой».
Вопрос классу: «Чем неравенство с переменной отличается от уравнения?» — вернёмся к нему на сл. 12.

повторение: R07.1

Разминка · устно

Отвечаем в уме — ответ по клику

1) Вычислите
$2 \cdot (- 3) - 1$

−7

2) Вычислите
$5 - 2 \cdot 4$

−3

3) Сравните
$- 7$ и $- 2$

−7 < −2

4) Сравните
$0, 4$ и $\frac{2}{5}$

равны

5) Верно ли
$3 \geq 3$ ?

да

6) Что правее на прямой:
$- 1, 5$ или $- 2$ ?

−1,5

7) Наименьшее целое число, большее $3, 7$

4

8) Значение $x^{2} + 1$
при $x = - 2$

5

R07.2

Вспомним · урок ALG8-071

Числовое неравенство — верное или неверное

Неравенство	Верно?
7 > 4	верно
−5 > −2	неверно
$0, 5 \leq \frac{1}{2}$	верно
6 ≥ 6	верно
6 > 6	неверно

>, < — строгие знаки; ≥, ≤ — нестрогие

R07.2

Проблема

Неравенство 2x − 1 > 5 верно или неверно?

R07.2

Новое · определения

Решение неравенства с одной переменной

Решение неравенства

значение переменной, при котором неравенство обращается в верное числовое неравенство

Решить неравенство

найти все его решения или доказать, что решений нет

Примеры неравенств с одной переменной: $3 a \leq a + 8$ , $x^{2} > 4$ , $5 - y \geq 0$

2 мин · теория
Определения — как в учебнике (Макарычев, Алгебра 8): «Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство». Попросить записать в тетрадь.
Вопрос: «А x = 3 — решение?» — 2 · 3 − 1 = 5, 5 > 5 неверно, нет.
Подчеркнуть слово «все»: найти одно-два решения — ещё не значит решить неравенство. Сравнить с уравнением: у уравнения обычно несколько корней, у неравенства — чаще бесконечно много решений.

R07.2

Образец

Является ли число решением?

3x − 4 ≤ 2x + 1

x	3x − 4	2x + 1	Сравниваем
5	11	11	11 ≤ 11	да ✓
6	14	13	14 ≤ 13	нет ✗
−1	−7	−1	−7 ≤ −1	да ✓

5 и −1 — решения, 6 — нет.

2 мин · теория (образец разбирает учитель)
Расчёт: x = 5: 15 − 4 = 11, 10 + 1 = 11, 11 ≤ 11 — верно (нестрогий знак!). x = 6: 18 − 4 = 14, 12 + 1 = 13, 14 ≤ 13 — неверно. x = −1: −3 − 4 = −7, −2 + 1 = −1, −7 ≤ −1 — верно.
Типичная ошибка: «11 ≤ 11 — неверно, ведь 11 не меньше 11». Вернуться к сл. 4: знак ≤ означает «меньше или равно».
Вопрос на будущее: «Как найти все решения, не перебирая числа?» — способ решения линейных неравенств будет на уроке ALG8-073 (здесь решения — все x ≤ 5).

R07.2

Образец → сам · является ли число решением

Подставьте, вычислите, сравните

база $x = 2$ для $3 x - 1 > 4$ да: 5 > 4
база $x = - 1$ для $5 - 2 x \leq 7$ да: 7 ≤ 7
база $x = 0$ для $4 x + 3 < 3$ нет: 3 < 3 неверно
повыш.Какие из чисел $- 2; 1; 3$ — решения $x^{2} - 2 x \geq 3$ ? −2 и 3

Помните

отрицательное число подставляйте в скобках

знаки ≤ и ≥ допускают равенство

R07.2

Новое · графическая иллюстрация

Множество решений — на координатной прямой

знак > или <, скобка ( )

знак ≥ или ≤, скобка [ ]

У ∞ скобка всегда круглая

R07.2

Новое · числовые промежутки

Как записать множество решений

2 мин · теория
Опорная таблица — переписать в тетрадь (или выдать распечаткой). Сначала лучи вправо, потом лучи влево, в конце интервал и отрезок.
Пример: решения неравенства 2x − 1 > 5 (сл. 5) — промежуток (3; +∞). Запись «x ∈ (3; +∞)» читается «x принадлежит промежутку от трёх до плюс бесконечности».
Есть ещё полуинтервалы [a; b) и (a; b] — один конец входит, другой нет. Двойные неравенства подробно — на уроке ALG8-074 (системы неравенств, R07.4).

R07.2

Образец → сам · числовые промежутки

Неравенство ⇄ промежуток

Запишите промежутком

а) $x > - 4$ (−4; +∞)
б) $x \leq 2, 5$ (−∞; 2,5]
в) $- 3 < x < 1$ (−3; 1)
г) $0 \leq x \leq 6$ [0; 6]

Запишите неравенством

д) $[- 1; + \infty)$ x ≥ −1
е) $(- \infty; 7)$ x < 7
ж) $[2; 5]$ 2 ≤ x ≤ 5
з) $(- \infty; 0]$ x ≤ 0

R07.2

Новое · исследуем

Сколько решений может быть?

2 мин · теория
Ключ ко всем карточкам: x² ≥ 0 при любом x (квадрат числа неотрицателен, x² = 0 только при x = 0).
Перед каждым щелчком спросить: «Сколько решений у неравенства x² ≥ 0? x² < 0? x² ≤ 0?» Попросить подобрать примеры чисел.
Ответ на вопрос со сл. 2: в отличие от уравнения, неравенство чаще всего имеет бесконечно много решений, поэтому их записывают промежутком. Если решений нет, пишут: «решений нет» (знак ∅ — пустое множество, можно не вводить).

R07.2

Закрепление · проверка решений

Какие из чисел — решения неравенства?

база

1

4 − x > 2x − 5

повыш.

2

x^{2} - 5 x + 6 \leq 0

Подставьте число в обе части и сравните. Помните про знак ≤.

R07.2

Закрепление · промежутки

Из записи — в рисунок и обратно

база

Изобразите на прямой и запишите промежутком:

а) x ≥ −2
б) x < 4
в) x > 0,5

R07.2

Закрепление · устно

Найдите все решения, рассуждая

1база

x + 7 > 7

2база

3x ≤ 12

3база

$x^{2} + 1 > 0$

4повыш.

0 · x > 2

5повыш.

−x > 0

6повыш.

2x > 7

наименьшее целое решение

R07.2

Осторожно

Типичные ошибки

Неверно	Верно	В чём ошибка
x ≥ 3 → (3; +∞)	[3; +∞)	3 входит — скобка квадратная
x < 5 → (−∞; 5]	(−∞; 5)	5 не входит — скобка круглая
[2; +∞]	[2; +∞)	у ∞ скобка всегда круглая
5 ≤ 5 — неверно	5 ≤ 5 — верно	≤ — «меньше или равно»
(5; 2)	(2; 5)	меньшее число — слева

R07.2

Найди ошибку

Что не так в решениях учеников?

Запись ученика	Ошибка и исправление
1) $x \leq - 2 \Rightarrow (- \infty; - 2)$	−2 входит: (−∞; −2]
2) «4 — решение $2 x - 3 > 5$ : $2 \cdot 4 - 3 = 5$ »	5 > 5 неверно — 4 не решение
3) это $x > 1$	точка закрашена — это x ≥ 1
4) целые числа из $(- 1; 3]$ : $- 1; 0; 1; 2$	−1 не входит, 3 входит: 0; 1; 2; 3

R07.2

Задания с самопроверкой · база

Числа и промежутки

Принадлежит ли $3$ промежутку $(3; 8)$ ? нет
Принадлежит ли $- 2$ отрезку $[- 2; 0]$ ? да
Наименьшее целое число из $[- 3, 5; + \infty)$ −3
Наибольшее целое число из $(- \infty; 4)$ 3
Сколько целых чисел в $[- 2; 2]$ ? 5
Все числа, не меньшие 7, — промежутком [7; +∞)

R07.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Рассуждаем по смыслу

Наименьшее целое решение $3 x > 10$ 4
Наибольшее целое решение $5 x \leq - 12$ −3
Все натуральные решения $x < 4$ 1; 2; 3
Сколько целых решений у $- 2 < x \leq 3$ ? 5
При каких $a$ число 2 — решение $x + a > 5$ ? a > 3
Неравенство с единственным решением $x = 1$ $(x - 1)^{2} \leq 0$

R07.2

Проверьте себя · 3 минуты

Проверьте себя

1база

Является ли число −3 решением неравенства

5 − 2x > x + 12 ?

2повыш.

Запишите все целые числа из промежутка

[−2; 3)

и изобразите его на прямой

3практика

Лифт поднимает не более 400 кг. Лифтёр (80 кг) везёт n ящиков по 35 кг. Составьте неравенство. Подходит ли n = 9? n = 10?

R07.2

Самостоятельная работа · 3 минуты

Два варианта — ответы по клику

Вариант 1

Является ли $- 2$ решением $3 - x > 2 x + 8$ ? да
Изобразите и запишите промежутком: $x \leq 1, 5$ (−∞; 1,5]
Все целые числа из $(- 3; 2]$ −2; −1; 0; 1; 2

Вариант 2

Является ли $- 1$ решением $2 x + 7 \geq 5 - x$ ? нет
Изобразите и запишите промежутком: $x > - 2, 5$ (−2,5; +∞)
Все целые числа из $[- 1; 4)$ −1; 0; 1; 2; 3

R07.2

Формат ОГЭ · часть 1

Задание 13: неравенство без решений

13Укажите неравенство, которое не имеет решений.

1)

x^{2} + 9 > 0

2)

x^{2} - 9 < 0

3)

x^{2} + 9 < 0

4)

x^{2} - 9 > 0

В ответе запишите номер.

x^{2} \geq 0

при любом

x

Подставьте x = 0 и x = 10

Нашлось решение — вариант не подходит

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Что мы узнали

Ответьте одной фразой

Что такое решение неравенства?
Когда точка выколотая?
Почему у ∞ круглая скобка?

Домашнее задание

Какие из чисел −1; 0; 2; 3 — решения $2 x + 1 \geq x + 3$ ?
Изобразите и запишите: $x < - 1, 5$ ; $x \geq 0$
Придумайте неравенство без решений

Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-072 · Неравенство с одной переменной

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R07 «Уравнения и неравенства. Неравенства», 12 ч · урок 2/12 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R07.2 «Неравенство с одной переменной» → 2, 4–23 (теория: 2, 5–7, 9, 10, 12, 16; практика: 3, 4, 8, 11, 13–15, 17–23)
Результаты	ПР-11 / REQ-3.4 (решать неравенства с одной переменной, давать графическую иллюстрацию множества решений) → 2, 5–23 · свойства числовых неравенств (повторение) → 3, 4 · EL-3.7
Вне урока	свойства числовых неравенств — R07.1 (ALG8-071), только повторение на сл. 3–4; равносильность и решение линейных неравенств — R07.3, EL-3.8 (ALG8-073), на сл. 15 и 19 только подбор «по смыслу»; системы и двойные неравенства — R07.4 (ALG8-074), интервал и отрезок только как вид промежутка на сл. 10, 11, 14, 18; изображение решений линейных неравенств и систем — R07.5
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending