Неравенства · урок 1 из 12

Числовые неравенства и их свойства

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R07 · ALG8-071

1 мин · теория
Паспорт: R07 «Уравнения и неравенства. Неравенства» (12 ч), урок 1/12, единица R07.1. Тип урока — Н (новый материал). Предыдущий урок ALG8-070 — обобщение по системам уравнений; следующий ALG8-072 — неравенство с одной переменной.
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %). Всего 45 мин.
Хронометраж: титул и цели 2 мин (сл. 1–2, теория) · разминка 3 (сл. 3, практика) · вспомним 2 (сл. 4, практика) · определение и образцы 4 (сл. 5–6, теория) · «ваш ход» 3 (сл. 7) · свойства 1–4: 4 (сл. 8–10, теория) · «ваш ход» 3 (сл. 11) · следствие и свойства 5–6: 3 (сл. 12–14, теория) · «ваш ход» 2 (сл. 15) · оценка: образец 1 (сл. 16, теория) + «ваш ход» 3 (сл. 17) · найди ошибку 2 (сл. 18) · задания с самопроверкой 4 + 3 (сл. 19–20) · самостоятельная работа 3 (сл. 21) · ОГЭ 2 (сл. 22) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 23).
Все теоретические слайды (определение, свойства 1–6, следствие, доказательства, образцы — сл. 5–6, 8–10, 12–14, 16) сохранены полностью; добавлена только практика.
Если не успеваете: сл. 12 (обратные числа) пройти устно, задание 5 со сл. 20 перенести в ДЗ.

R07.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Сравнивать числа

по знаку разности: $a > b$ , если $a - b > 0$ (ПР-11)

Применять свойства

прибавлять, умножать, складывать и умножать неравенства почленно (ПР-11)

Доказывать неравенства

алгебраически — через разность и квадрат (ПР-11)

Оценивать

значение выражения, если известны границы чисел (ПР-11)

1 мин · теория
ПР-11 (= REQ-3.4): «Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений…». Сегодня — первая часть: сравнение и оценка. Элемент содержания EL-3.6.
Вид деятельности ФРП: «Формулировать свойства числовых неравенств, иллюстрировать их на координатной прямой, доказывать алгебраически. Применять свойства неравенств в ходе решения задач».

повторение: действия с числами

Разминка · устно

Считаем в уме — пригодится на всём уроке

Вычислите: $- 7 - (- 3)$ $- 4$
Найдите $2, 5 - 2, 49$ $0, 01$
Вычислите: $(- 2) \cdot (- 5)$ $10$
Знак произведения $(- 3) \cdot 4$ ? минус

Вычислите: $- 12 : (- 4)$ $3$
Вычислите: $\frac{3}{4} - \frac{2}{3}$ $\frac{1}{12}$
Чему равно $(a - 3)^{2}$ при $a = 3$ ? $0$
Бывает ли квадрат числа отрицательным? нет

повторение: координатная прямая

Вспомним

Правее на прямой — больше

1

- 7 ? - 3

2

2, 5 ? 2, 49

3

\frac{1}{3} ? 0, 3

4

2 ? 1, 5

R07.1

Определение

Сравнить числа — узнать знак их разности

a > b

, если

a - b > 0

a - b > 0

$\Rightarrow a > b$

a - b = 0

$\Rightarrow a = b$

a - b < 0

$\Rightarrow a < b$

R07.1

Определение в работе

Сравниваем и доказываем через разность

> < строгие≥ ≤ нестрогие: «или равно»

Сравните $\frac{5}{7}$ и $\frac{7}{10}$

\frac{5}{7} - \frac{7}{10} = \frac{50 - 49}{70} = \frac{1}{70} > 0

\Rightarrow \frac{5}{7} > \frac{7}{10}

Докажите: $(a + 1)^{2} \geq 4 a$

(a + 1)^{2} - 4 a = a^{2} + 2 a + 1 - 4 a

= a^{2} - 2 a + 1 = (a - 1)^{2} \geq 0

\Rightarrow (a + 1)^{2} \geq 4 a

при любом

a

R07.1

Образец → сам · через разность

Сравните и докажите сами

базаСравните $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{7}$ $\frac{3}{4} > \frac{5}{7}$
базаСравните $\frac{4}{9}$ и $0, 45$ $\frac{4}{9} < 0, 45$
базаДокажите: $a^{2} + 1 \geq 2 a$ $(a - 1)^{2} \geq 0$
повыш.Докажите: $a (a - 4) \geq - 4$ $(a - 2)^{2} \geq 0$

1. Составьте разность левой и правой части

2. Упростите: общий знаменатель или квадрат

3. Определите знак — и сделайте вывод

R07.1

Свойства 1 и 2

Перевёртывание и транзитивность

1)

a > b \Leftrightarrow b < a

2)

a > b, b > c \Rightarrow a > c

Доказательство 2:

a - c = (a - b) + (b - c) > 0

— сумма двух положительных.

R07.1

Свойство 3

Прибавим одно и то же число — знак не меняется

a > b \Rightarrow a + c > b + c

c — любое число; оба числа сдвигаются на одно расстояние

Следствие: слагаемое переносим с противоположным знаком:

a + c > b \Leftrightarrow a > b - c

R07.1

Свойство 4 · главное

Умножаем на отрицательное — знак меняется

a > b, c > 0 \Rightarrow a c > b c

a > b, c < 0 \Rightarrow a c < b c

То же для деления: на положительное — знак сохраняем, на отрицательное — меняем.

R07.1

Образец → сам · свойства 3 и 4

Известно, что $a > b$ . Поставьте знак

1

a - 5 □ b - 5

>

2

- a □ - b

<

3

2 a □ 2 b

>

4

- \frac{a}{3} □ - \frac{b}{3}

<

5

7 - a □ 7 - b

<

6

Умножьте на $- 3$ :

- 2 < 5

6 > - 15

R07.1

Следствие

У положительных чисел обратные — в обратном порядке

a > b > 0 \Rightarrow \frac{1}{a} < \frac{1}{b}

\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab} < 0

числитель $b - a < 0$ , знаменатель $ab > 0$

R07.1

Свойство 5 · почленное сложение

Неравенства одного знака можно складывать

a > b, c > d \Rightarrow a + c > b + d

Вычитать неравенства почленно нельзя:

7 > 3

и

6 > 1

, но

7 - 6 < 3 - 1

.

R07.1

Свойство 6 · почленное умножение

Положительные неравенства можно перемножать

a > b > 0, c > d > 0 \Rightarrow a c > b d

a > b > 0 \Rightarrow a^{2} > b^{2}, a^{n} > b^{n}

Только для положительных чисел:

- 1 > - 2

и

- 3 > - 4

, но

3 < 8

.

R07.1

Образец → сам · свойства 5 и 6

Складываем и перемножаем почленно

Сложите: $3 > 1$ и $5 > 2$ $8 > 3$
Перемножьте: $2 < 7$ и $3 < 4$ $6 < 28$
Можно ли перемножить $- 2 < 1$ и $- 3 < 4$ ? нет

$1, 7 < 3 < 1, 8$ . Возведите в квадрат $2, 89 < 3 < 3, 24$
$3 < x < 5$ . Оцените $\frac{1}{x}$ $\frac{1}{5} < \frac{1}{x} < \frac{1}{3}$

R07.1

Применение · оценка выражения

$6 < a < 8$ и $2 < b < 3$ . Оцените выражения

Выражение	Как	Оценка
$a + b$	складываем	$8 < a + b < 11$
$3 a$	умножаем на 3	$18 < 3 a < 24$
$a - b$	$a + (- b)$ , где $- 3 < - b < - 2$	$3 < a - b < 6$
$ab$	перемножаем $(> 0)$	$12 < ab < 24$

R07.1

Образец → сам · оценка

$2 < a < 4$ и $1 < b < 3$ . Оцените выражения

Выражение	Оценка
$a + b$	$3 < a + b < 7$
$2 a + 1$	$5 < 2 a + 1 < 9$
$- 3 a$	$- 12 < - 3 a < - 6$

Выражение	Оценка
$a - b$	$- 1 < a - b < 3$
$ab$	$2 < ab < 12$

Подсказка для

a - b

: сначала оцените

- b

R07.1

Осторожно

Найдите ошибку

Рассуждение	Верно	Почему
$a < b \Rightarrow - 2 a < - 2 b$	$- 2 a > - 2 b$	умножили на отрицательное
$7 > 3, 6 > 1 \Rightarrow 7 - 6 > 3 - 1$	$1 < 2$	вычитать почленно нельзя
$- 1 > - 2, - 3 > - 4 \Rightarrow 3 > 8$	$3 < 8$	перемножаем только положительные
$2 > - 3 \Rightarrow \frac{1}{2} < - \frac{1}{3}$	$\frac{1}{2} > - \frac{1}{3}$	числа разных знаков

R07.1

Задания с самопроверкой · 1

Решите — ответ по щелчку

1база

Сравните через разность:

\frac{5}{8}

и

\frac{3}{5}

\frac{5}{8} > \frac{3}{5}

2база

Известно $a < b$ . Сравните:

a + 4

и

b + 4

;

- 3 a

и

- 3 b

;

\frac{a}{5}

и

\frac{b}{5}

<

;

>

;

<

3повыш.

Докажите неравенство:

a^{2} + 9 \geq 6 a

(a - 3)^{2} \geq 0

4повыш.

$3 < x < 4$ , $1 < y < 2$ . Оцените:

x + y, x - y, x y

(4; 6)

,

(1; 3)

,

(3; 8)

5практика

Сторону квадрата измерили: 4,1 см < $a$ < 4,2 см. Оцените периметр $P = 4 a$ и площадь $S = a^{2}$ квадрата.

16, 4 < P < 16, 8

см;

16, 81 < S < 17, 64

см²

R07.1

Задания с самопроверкой · 2

Решите и проверьте по щелчку

базаСравните через разность $0, 7$ и $\frac{5}{7}$ $0, 7 < \frac{5}{7}$
базаИзвестно, что $x > 3$ . Верно ли, что $- 2 x < - 6$ ? да
повыш.Сравните $(a - 1) (a + 1)$ и $a^{2}$ $(a - 1) (a + 1) < a^{2}$
повыш.Докажите: $(a + 2)^{2} > 4 a$ разность $a^{2} + 4 > 0$
практикаДлина комнаты $5, 2 м < a < 5, 3 м$ , ширина $3, 5 м < b < 3, 6 м$ . Оцените площадь пола. $18, 2 < S < 19, 08$ м²

R07.1

Самостоятельная работа · 3 минуты

По вариантам, в тетради

Вариант 1

Сравните $\frac{2}{3}$ и $\frac{5}{8}$ $\frac{2}{3} > \frac{5}{8}$
$a > b$ . Сравните $- 4 a$ и $- 4 b$ $- 4 a < - 4 b$
$1 < x < 2$ , $3 < y < 5$ . Оцените $x + y$ и $x - y$ $4 < x + y < 7$ ; $- 4 < x - y < - 1$

Вариант 2

Сравните $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{7}$ $\frac{3}{5} > \frac{4}{7}$
$a < b$ . Сравните $- 2 a$ и $- 2 b$ $- 2 a > - 2 b$
$2 < x < 3$ , $1 < y < 4$ . Оцените $x + y$ и $x - y$ $3 < x + y < 7$ ; $- 2 < x - y < 2$

3 мин · практика (2 мин работа, 1 мин — взаимопроверка соседа по ответам, открытым щелчком)
Вариант 1: 1) 2/3 − 5/8 = (16 − 15)/24 = 1/24 > 0 ⇒ 2/3 > 5/8. 2) умножаем на −4, знак меняется: −4a < −4b. 3) 1 + 3 = 4, 2 + 5 = 7 ⇒ 4 < x + y < 7; −5 < −y < −3, складываем с 1 < x < 2: −4 < x − y < −1.
Вариант 2: 1) 3/5 − 4/7 = (21 − 20)/35 = 1/35 > 0 ⇒ 3/5 > 4/7. 2) умножаем a < b на −2: −2a > −2b. 3) 2 + 1 = 3, 3 + 4 = 7 ⇒ 3 < x + y < 7; −4 < −y < −1, складываем с 2 < x < 3: −2 < x − y < 2.
Критерий: «5» — 3 задания верно (в № 3 обе оценки), «4» — 2,5, «3» — 2.

R07.1

Формат ОГЭ · часть 1

Задание 7: числа на координатной прямой

7На координатной прямой отмечены числа $a$ и $b$ . Какое из неравенств верно?

$a + b > 0$
$ab > 0$
$b - a > 0$
$- a < 0$

В ответе укажите номер верного неравенства.

Оцените по рисунку:

- 2 < a < - 1

,

0 < b < 1

.

Проверьте каждое неравенство свойствами или подставьте

a = - 1, 6

,

b = 0, 7

.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя

Ответьте одной фразой

Как сравнить два числа одним способом?
Когда знак неравенства меняется?
Какие неравенства можно перемножать?

Домашнее задание

Сравните через разность $\frac{7}{9}$ и $\frac{4}{5}$ .
Докажите: $x^{2} + 4 \geq 4 x$ .
$2 < a < 5$ . Оцените $3 a - 1$ и $- a$ .

Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-071 · Числовые неравенства и их свойства

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R07 «Уравнения и неравенства. Неравенства», 12 ч · урок 1/12 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R07.1 «Числовые неравенства и их свойства» → 2, 5–23 (теория: 5–6, 8–10, 12–14, 16; практика: 3–4, 7, 11, 15, 17–23)
Результаты	ПР-11 / REQ-3.4 (применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки; графическая иллюстрация) → 3–22 · EL-3.6
Вне урока	неравенство с одной переменной — R07.2 (ALG8-072); линейные неравенства — R07.3 (ALG8-073); системы неравенств — R07.4 (ALG8-074); изображение решений на прямой — R07.5; перенос слагаемого (сл. 9) — опора к ALG8-073
Проверки	хронометраж: теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) · автопроверка: pending · методист: pending

Числовые неравенства и их свойства

Сегодня вы научитесь

Сравнивать числа

Применять свойства

Доказывать неравенства

Оценивать

Считаем в уме — пригодится на всём уроке

Правее на прямой — больше

Сравнить числа — узнать знак их разности

Сравниваем и доказываем через разность

Сравните 75​ и 107​

Докажите: (a+1)2≥4a

Сравните и докажите сами

Перевёртывание и транзитивность

Прибавим одно и то же число — знак не меняется

Умножаем на отрицательное — знак меняется

Известно, что a>b. Поставьте знак

У положительных чисел обратные — в обратном порядке

Неравенства одного знака можно складывать

Положительные неравенства можно перемножать

Складываем и перемножаем почленно

6<a<8 и 2<b<3. Оцените выражения

2<a<4 и 1<b<3. Оцените выражения

Найдите ошибку

Решите — ответ по щелчку

Решите и проверьте по щелчку

По вариантам, в тетради

Вариант 1

Вариант 2

Задание 7: числа на координатной прямой

Проверьте себя

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-071 · Числовые неравенства и их свойства

Сравните $\frac{5}{7}$ и $\frac{7}{10}$

Докажите: $(a + 1)^{2} \geq 4 a$

Известно, что $a > b$ . Поставьте знак

$6 < a < 8$ и $2 < b < 3$ . Оцените выражения

$2 < a < 4$ и $1 < b < 3$ . Оцените выражения