Системы уравнений · урок 13 из 13 · обобщение

Уравнения с двумя переменными и их системы: обобщаем тему

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R06 · ALG8-070

0 мин · титул. Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Паспорт: R06 «Уравнения и неравенства. Системы уравнений» (13 ч), урок 13/13, единицы R06.1–R06.5. Тип урока — О (обобщение и систематизация). Неравенства в этой строке не изучаются — они начинаются со следующего урока ALG8-071 (R07).
Хронометраж по слайдам: цели 1 · разминка 2 + 2 (сл. 3–4) · карта темы 2 (сл. 5) · пять ветвей: теория 2 + практика «образец → сам» 2 на каждую (сл. 6–15) · сводная таблица 1 (сл. 16) · ошибки 2 (сл. 17) · задания с самопроверкой 3 + 3 (сл. 18–19) · самостоятельная работа 4 (сл. 20) · ОГЭ 4 (сл. 21) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 22).
Теория (учитель показывает и объясняет): сл. 2, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16 — 14 мин. Практика (работают ученики): сл. 3, 4, 7, 9, 11, 13, 15, 17–22 — 31 мин.
Если не успеваете: сл. 8 пройти устно (три способа уже знакомы), задание 6 со сл. 19 перенести в ДЗ, вариант 2 сл. 20 — в ДЗ тем, кто писал вариант 1.

R06.1–R06.5

Цели урока

Сегодня собираем тему в одну картину

Решать системы

линейные и простейшие нелинейные — удобным способом (ПР-8)

Исследовать

есть ли у системы решения и сколько, в том числе по графикам (ПР-9)

Составлять модель

переходить от условия задачи к системе и оценивать ответ (ПР-10)

Видеть связи

уравнение ↔ прямая, решение системы ↔ точка пересечения (ПР-9)

1 мин · теория
ПР-8 (= REQ-3.1): «Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух уравнений с двумя переменными».
ПР-9 (= REQ-3.2): «Проводить простейшие исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
ПР-10 (= REQ-3.3): «Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели с помощью составления уравнения или системы уравнений, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат». Элементы содержания EL-3.4, EL-3.5, EL-4.7.

R06.1–R06.3

Разминка · устно

Шесть быстрых вопросов — всё пригодится сегодня

1) Выразите $y$ :
$3 x + y = 8$

$y = 8 - 3 x$

2) Решите:
$5 x = - 15$

$x = - 3$

3) Корни по теореме Виета:
$x^{2} - x - 6 = 0$

$3$ и $- 2$

4) Найдите $2 x - 3 y$
при $x = 4, y = 1$

$5$

5) Угловой коэффициент
прямой $y = - 4 x + 7$

$k = - 4$

6) Раскройте скобки:
$3 - (2 - x)$

$1 + x$

2 мин · практика
Фронтально, ответы — с места, затем щелчком открываем ответ. Каждое задание — навык, нужный сегодня: выразить переменную (подстановка), решить линейное и квадратное уравнения, подставить пару, найти k, раскрыть скобки с минусом.
Ответы: 1) y = 8 − 3x. 2) x = −3. 3) x₁ + x₂ = 1, x₁ · x₂ = −6 → 3 и −2 (проверка: 9 − 3 − 6 = 0 ✓, 4 + 2 − 6 = 0 ✓). 4) 8 − 3 = 5. 5) k = −4. 6) 3 − 2 + x = 1 + x.
Типичная ошибка в 6): 3 − 2 − x — забыли поменять знак у x (та же ошибка, что при подстановке без скобок, сл. 17).

R06.1–R06.3

Разминка · верно или неверно?

Четыре утверждения — четыре быстрых ответа

Утверждение	Ответ
Пара $(1; 2)$ — решение уравнения $3 x + y = 5$	верно: $3 + 2 = 5$
График уравнения $x + y = 0$ проходит через начало координат	верно: $(0; 0)$
Уравнение $x^{2} + y = 3$ — линейное	неверно: есть $x^{2}$
Система двух линейных уравнений может иметь ровно два решения	неверно: $0$ , $1$ или $\infty$

R06.1–R06.5

Карта темы

Пять единиц — одна тема

R06.1

Ветвь 1 · линейное уравнение

Уравнение $2 x + 3 y = 12$ и его график

a x + b y = c

$a$ и $b$ не равны нулю одновременно

$x$	$0$	$3$	$6$
$y$	$4$	$2$	$0$

Целые решения — узлы сетки на прямой: шаг 3 по

x

, −2 по

y

.

R06.1

Образец → сам · линейное уравнение

Точки на осях, проверка точки, неизвестная координата

Образец

Где график $3 x - 2 y = 12$ пересекает оси?

$x = 0$ : $- 2 y = 12$ , $y = - 6$ → $(0; - 6)$

$y = 0$ : $3 x = 12$ , $x = 4$ → $(4; 0)$

Через эти две точки — прямая

Сам

Точки пересечения с осями: $2 x + 5 y = 10$ $(0; 2), (5; 0)$
Лежит ли $(- 2; 3)$ на графике $4 x + 3 y = 1$ ? да
Пара $(3; y)$ — решение $x - 2 y = 7$ . Найдите $y$ . $y = - 2$
повыш.Выразите $y$ и назовите $k$ : $4 x + 2 y = 6$ $y = 3 - 2 x, k = - 2$

R06.2, R06.4

Ветвь 2 · способы решения

Одна система — три способа, один ответ

{

x + y = 5

2 x - y = 1

Подстановка

y = 5 - x

2 x - (5 - x) = 1

3 x = 6; x = 2

y = 3 \to (2; 3)

Сложение

(x + y) + (2 x - y) = 5 + 1

3 x = 6; x = 2

2 + y = 5

y = 3 \to (2; 3)

График

2 мин · теория
Сначала — подстановка (щелчки по строкам), затем сложение целиком, затем график. Вопрос классу перед графиком: «Где на рисунке будет ответ?» — точка пересечения прямых (R06.4).
Проверка: 2 + 3 = 5 ✓; 4 − 3 = 1 ✓.
Вывод: графический способ наглядный, но даёт точный ответ только если координаты «хорошие»; алгебраические способы — всегда. Построение графиков можно проверить в цифровом ресурсе (ФРП: «в том числе используя цифровые ресурсы»).

R06.2

Образец → сам · подстановка и сложение

Выберите удобный способ и решите

Образец · сложение

${3 x + 2 y = 7 5 x - 2 y = 9$

сложим: $8 x = 16$ , $x = 2$

$6 + 2 y = 7$ , $y = 0, 5$

Ответ: $(2; 0, 5)$

Сам

$x + y = 7, x - y = 3$ $(5; 2)$
$y = 2 x - 1, 3 x + y = 9$ $(2; 3)$
$2 x + 3 y = 13, 2 x - y = 1$ $(2; 3)$
повыш. $3 x + 2 y = 8, 2 x + 3 y = 7$ $(2; 1)$

2 мин · практика
Перед решением спросить: «Каким способом удобнее?» 1) сложение (y и −y); 2) подстановка (y уже выражен); 3) вычитание (одинаковые 2x); 4) сложить и вычесть уравнения целиком.
Образец: проверка 3 · 2 + 2 · 0,5 = 7 ✓; 10 − 1 = 9 ✓.
Ответы: 1) 2x = 10, x = 5, y = 2; проверка 5 − 2 = 3 ✓. 2) 3x + 2x − 1 = 9 → x = 2, y = 3; проверка 6 + 3 = 9 ✓. 3) вычтем: 4y = 12, y = 3; 2x = 4, x = 2; проверка 4 + 9 = 13 ✓, 4 − 3 = 1 ✓. 4) сложим: 5x + 5y = 15 → x + y = 3; вычтем: x − y = 1 → x = 2, y = 1; проверка 6 + 2 = 8 ✓, 4 + 3 = 7 ✓.

R06.4

Ветвь 4 · исследование

Сколько решений? Сравните угловые коэффициенты

2 мин · теория
Пример к каждому случаю (устно): y = 2x + 1 и y = −x + 4 — k разные → одно решение (1; 3); y = 2x + 1 и y = 2x − 3 — параллельны, решений нет; 2x − y = −1 и 4x − 2y = −2 — оба дают y = 2x + 1 → бесконечно много.
Связь с алгебраическим решением: при исключении пропали обе переменные и получилось 0 = 4 → решений нет; 0 = 0 → бесконечно много.
Типичная ошибка: сравнивать коэффициенты, не выразив y (например, в 2x − y = −1 считать k = 2, b = −1; верно y = 2x + 1, b = 1).

R06.4

Практика · устно

Сколько решений? Без построения

${y = 2 x + 3 y = - x + 3$

$k$ разные → одно

${y = 4 x - 1 y = 4 x + 2$

$k$ равны, $b$ разные → нет

${x + y = 2 3 x + 3 y = 6$

одна прямая → бесконечно много

${y = - 3 x 6 x + 2 y = 5$

$y = - 3 x + 2, 5$ → нет

R06.3, R06.4

Ветвь 3 · нелинейная система

Парабола и прямая: решений может быть два

{

y = x^{2}

y = x + 2

x^{2} = x + 2

подставили

x^{2} - x - 2 = 0; D = 1 + 8 = 9

x_{1} = 2, x_{2} = - 1

y_{1} = 4, y_{2} = 1

из

y = x + 2

Ответ:

(2; 4), (- 1; 1)

R06.3, R06.4

Образец → сам · нелинейная система

Подстановка → квадратное уравнение → пары

Образец

${y = x^{2} y = 4 x - 3$

$x^{2} - 4 x + 3 = 0$

$x_{1} = 1, x_{2} = 3$ (Виет)

Ответ: $(1; 1), (3; 9)$

Сам

$y = x^{2}, y = 9$ $(- 3; 9), (3; 9)$
$y = x^{2}, y = 6 - x$ $(2; 4), (- 3; 9)$
$x + y = 5, x y = 6$ $(2; 3), (3; 2)$
повыш.Сколько решений у $y = x^{2}, y = 2 x - 1$ ? одно: $(1; 1)$

R06.5

Ветвь 5 · текстовые задачи

От условия к системе за 4 шага

2 кг яблок и 3 кг груш стоят 520 ₽, а 3 кг яблок и 1 кг груш — 360 ₽. Цена 1 кг яблок и груш?

$x$ ₽ — яблоки, $y$ ₽ — груши

{2 x + 3 y = 520; 3 x + y = 360}

y = 360 - 3 x \to - 7 x = - 560

x = 80, y = 120

80

₽ и

120

₽ — положительны ✓

R06.5

Образец → сам · текстовые задачи

Составьте систему и решите

Образец

Сумма двух чисел 30, разность 8. Найдите числа.

${x + y = 30 x - y = 8$

$2 x = 38$ , $x = 19$ , $y = 11$

Ответ: 19 и 11

Сам

В классе 28 учеников, девочек на 4 больше, чем мальчиков. Сколько девочек? 16
3 тетради и 2 ручки — 130 ₽, 1 тетрадь и 2 ручки — 70 ₽. Цена тетради? 30 ₽
Периметр прямоугольника 26 см, одна сторона на 3 см длиннее. Стороны? 8 и 5 см
повыш.Периметр прямоугольника 14 см, площадь 12 см². Стороны? 4 и 3 см

R06.1–R06.5

Схема-конспект

Сводная таблица темы

Что	Запись	Главное
Линейное уравнение	$a x + b y = c$	график — прямая
Решение системы	пара $(x; y)$	верна в обоих уравнениях
Подстановка	$y = \dots$ → в другое	есть коэффициент 1 или −1
Сложение	$\dots + 2 y \dots; \dots - 2 y \dots$	коэффициенты противоположны
Число решений	$y = k x + b$	$k_{1} \neq = k_{2}$ → 1; $k_{1} = k_{2}$ → 0 или ∞
Нелинейная	$\to a x^{2} + b x + c = 0$	решений может быть 2
Задача	2 неизвестных → 2 уравнения	проверить смысл ответа

R06.2–R06.5

Осторожно

Типичные ошибки по всей теме

Неверно	Верно	Где
$2 x - 5 - x = 1$	$2 x - (5 - x) = 1$	подстановка без скобок
$x = 2, y = 3 \to (3; 2)$	$(2; 3)$	сначала $x$ , потом $y$
$2 x - y = - 1$ : $k = 2, b = - 1$	$y = 2 x + 1$ : $b = 1$	сравнили, не выразив $y$
Ответ: $x = 2; x = - 1$	$(2; 4), (- 1; 1)$	нелинейная: нужны пары
скорость $- 3$ км/ч	отбросить корень	задача: смысл ответа

R06.1, R06.2, R06.4

Задания с самопроверкой · часть 1

Решите

1база

Найдите все пары натуральных чисел, для которых

$x + 2 y = 7$

$(5; 1), (3; 2), (1; 3)$

2база

{

3 x + y = 7

x - y = 1

любым способом

$(2; 1)$

3повыш.

Не решая, найдите число решений:

а)

{

y = 3 x - 2

6 x - 2 y = 4

б)

{

y = - x + 1

y = - x + 5

а) бесконечно много, б) нет

R06.1, R06.3, R06.5

Задания с самопроверкой · часть 2

Решите

4повыш.

{

y = x^{2} - 4

y = 3 x

подстановка → квадратное уравнение

$(4; 12), (- 1; - 3)$

5практика

Взрослый билет на 150 ₽ дороже детского. 2 взрослых и 3 детских стоят 1800 ₽. Цена каждого?

450 ₽ и 300 ₽

6база

При каком $a$ график уравнения

$a x + 2 y = 8$

проходит через точку (2; 1)?

$a = 3$

R06.2–R06.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта

Вариант 1

Решите: $x + y = 6, x - y = 2$ $(4; 2)$
Решите: $y = 3 x, 2 x + y = 10$ $(2; 6)$
Сколько решений: $y = 2 x - 1, 4 x - 2 y = 2$ ? бесконечно много
повыш.Решите: $y = x^{2}, y = x + 6$ $(3; 9), (- 2; 4)$

Вариант 2

Решите: $x + y = 8, x - y = 4$ $(6; 2)$
Решите: $y = 2 x, 3 x + y = 15$ $(3; 6)$
Сколько решений: $y = - x + 4, 2 x + 2 y = 3$ ? нет
повыш.Решите: $y = x^{2}, y = 2 x + 8$ $(4; 16), (- 2; 4)$

4 мин · практика (3 мин работа, 1 мин проверка по клику)
В-1: 1) 2x = 8, x = 4, y = 2; проверка 4 − 2 = 2 ✓. 2) 2x + 3x = 10 → x = 2, y = 6; проверка 4 + 6 = 10 ✓. 3) 2y = 4x − 2 → y = 2x − 1 — прямые совпадают, бесконечно много. 4) x² − x − 6 = 0 → x = 3 или x = −2: (3; 9), (−2; 4); проверка 9 = 3 + 6 ✓, 4 = −2 + 6 ✓.
В-2: 1) 2x = 12, x = 6, y = 2; проверка 6 − 2 = 4 ✓. 2) 3x + 2x = 15 → x = 3, y = 6; проверка 9 + 6 = 15 ✓. 3) 2y = 3 − 2x → y = −x + 1,5; k = −1 у обеих, b = 4 и 1,5 — нет решений. 4) x² − 2x − 8 = 0 → x = 4 или x = −2: (4; 16), (−2; 4); проверка 16 = 8 + 8 ✓, 4 = −4 + 8 ✓.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3». Взаимопроверка соседей по ответам на слайде.

R06.5

Формат ОГЭ · часть 2

Задание 21: задача на смеси через систему

21Первый сосуд содержит 40 кг, второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их смешать, получится раствор с 50 % кислоты. Если смешать равные массы этих растворов — 55 % кислоты. Сколько килограммов кислоты в первом сосуде?

40 x + 20 y = 60 \cdot 50

(x + y) : 2 = 55

4 мин · практика
Решение: x и y — концентрации (в %). 40x + 20y = 3000 → 2x + y = 150; x + y = 110. Вычитаем: x = 40; y = 70. Кислоты в первом сосуде: 40 · 0,4 = 16 кг. Ответ: 16.
Проверка: 40 · 0,4 + 20 · 0,7 = 16 + 14 = 30 кг кислоты в 60 кг — это 50 % ✓; равные массы: (40 + 70) : 2 = 55 % ✓.
Плашки справа открывать только после 2–3 минут самостоятельной работы. Критерии линии 21: 2 балла — верное решение с обоснованием; 1 балл — верная модель, вычислительная ошибка; 0 — иначе.
Типичная ошибка: ответить 40 (концентрацию), а не массу кислоты 16 кг — шаг 4 «проверить смысл».

рефлексия · ДЗ

Итог темы

Проверьте себя

Ответьте одной фразой

Что является графиком $a x + b y = c$ ?
Как узнать число решений, не решая?
Чем нелинейная система отличается в ответе?

Домашнее задание

${2 x - 3 y = 1 x + y = 3$
${y = x^{2} y = 2 x + 3$
Лодка: 2 ч по течению и 3 ч против — 64 км; 3 ч по и 2 ч против — 66 км. Скорости?

Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_uravneniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-070 · Обобщение и систематизация по теме «Уравнения и неравенства. Системы уравнений»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R06 «Уравнения и неравенства. Системы уравнений», 13 ч · урок 13/13 · тип О (обобщение)
Единицы → слайды	R06.1 → 3–4, 6–7, 16, 18–19 · R06.2 → 8–9, 16–18, 20 · R06.3 → 3–4, 12–13, 16–17, 19–20 · R06.4 → 8, 10–13, 16–18, 20 · R06.5 → 14–17, 19, 21 · карта всех единиц → 5 · хронометраж: теория 14 мин (сл. 2, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16), практика 31 мин (69 %)
Результаты	ПР-8 / REQ-3.1 (решать системы двух уравнений) → 8–9, 12–13, 18–20, 22 · ПР-9 / REQ-3.2 (есть ли решения, сколько; графически) → 4, 8, 10–11, 13, 18, 20 · ПР-10 / REQ-3.3 (модель задачи, смысл ответа) → 14–15, 19, 21 · EL-3.4, EL-3.5, EL-4.7
Вне урока	неравенства — R07 (с ALG8-071); признак a₁ : a₂ = b₁ : b₂ для числа решений — не включён (используется сравнение k и b); системы с параметром — не включены
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Уравнения с двумя переменными и их системы: обобщаем тему

Сегодня собираем тему в одну картину

Решать системы

Исследовать

Составлять модель

Видеть связи

Шесть быстрых вопросов — всё пригодится сегодня

Четыре утверждения — четыре быстрых ответа

Пять единиц — одна тема

Уравнение 2x+3y=12 и его график

Точки на осях, проверка точки, неизвестная координата

Образец

Сам

Одна система — три способа, один ответ

Подстановка

Сложение

График

Выберите удобный способ и решите

Образец · сложение

Сам

Сколько решений? Сравните угловые коэффициенты

Сколько решений? Без построения

Парабола и прямая: решений может быть два

Подстановка → квадратное уравнение → пары

Образец

Сам

От условия к системе за 4 шага

Составьте систему и решите

Образец

Сам

Сводная таблица темы

Типичные ошибки по всей теме

Решите

Решите

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Задание 21: задача на смеси через систему

Проверьте себя

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-070 · Обобщение и систематизация по теме «Уравнения и неравенства. Системы уравнений»

Уравнение $2 x + 3 y = 12$ и его график