Системы уравнений · урок 12 из 13 · практикум

Практикум: решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R06 · ALG8-069

Паспорт: R06 «Уравнения и неравенства. Системы уравнений» (13 ч), урок 12/13, единица R06.2. Тип — П (практикум). Это второй практикум по R06.2: на уроке ALG8-064 отработали подстановку, сложение, домножение и «сколько решений». Сегодня — более сложные случаи; следующий урок ALG8-070 — обобщение по всей строке.
0 мин · титул. Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), всего 45 мин.
Теория (сл. 2, 5, 7, 9, 11, 13): цели 1 · образец с дробями 3 · образец с десятичными 2 · образец «прямая по двум точкам» 3 · система с параметром 2 · типичные ошибки 2. Все теоретические слайды сохранены полностью.
Практика: разминка 2 + блиц 2 (сл. 3–4) · тип 1 сами 3 (сл. 6) · тип 2 сами 3 (сл. 8) · тип 3 сами 3 (сл. 10) · параметр сами 2 (сл. 12) · найди ошибку 2 (сл. 14) · самопроверка база 3 и повыш. 3 (сл. 15–16) · ОГЭ 3 (сл. 17) · самостоятельная 4 (сл. 18) · рефлексия и ДЗ 2 (сл. 19).
Если не успеваете: сл. 16 — выборочно (задачи 1 и 4), задание ОГЭ (сл. 17) — в ДЗ.

R06.2

Цели урока

Сегодня — системы «посложнее»

Дробные коэффициенты

умножить на общий знаменатель — и решить (ПР-8)

Десятичные дроби

умножить на 10 и решить в целых числах (ПР-8)

Прямая $y = k x + b$

найти $k$ и $b$ по двум точкам с помощью системы (ПР-8)

Система с параметром

при каком числе решений нет или бесконечно много (ПР-9)

1 мин · теория
ПР-8 (= REQ-3.1): «Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух уравнений с двумя переменными».
ПР-9 (= REQ-3.2): «Проводить простейшие исследования уравнений и систем уравнений… (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
Практические задачи на сл. 16 и 18 опираются на ПР-10 (= REQ-3.3), подробно составление систем — урок ALG8-067. Элемент содержания EL-3.4.

R06.2

Разминка · устно

Каким способом? Найдите ответ

1

{y = x + 1 x + y = 5

подстановка

(2; 3)

2

{x + y = 7 x - y = 1

сложение

(4; 3)

3

{2 x + 3 y = 12 2 x - y = 4

вычитание

(3; 2)

А если в системе дроби? Сначала сделаем коэффициенты целыми.

R06.2

Разминка · блиц

Устно: на что умножить и что получится?

а) $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1$

$\cdot 6 : 3 x + 2 y = 6$

б) $\frac{x}{4} - \frac{y}{6} = 2$

$\cdot 12 : 3 x - 2 y = 24$

в) $0, 3 x + 0, 5 y = 2$

$\cdot 10 : 3 x + 5 y = 20$

г) $0, 12 x - 0, 5 y = 1$

$\cdot 100 : 12 x - 50 y = 100$

д) $\frac{x - 2}{3} \cdot 6 = ?$

$2 (x - 2) = 2 x - 4$

е) $y = k x + 3$ проходит через $(1; 5)$ . $k = ?$

$k = 2$

R06.2

Тип 1 · образец

Дробные коэффициенты: умножаем на общий знаменатель

R06.2

Тип 1 · решите сами

Избавьтесь от знаменателей и решите

база

1

⎩ ⎨ ⎧ \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5 x - 2 y = - 6

первое · 6, затем подстановка

$(6; 6)$

повыш.

2

⎩ ⎨ ⎧ \frac{x + 1}{2} - \frac{y}{3} = 1 \frac{x - 1}{2} + \frac{y + 1}{4} = 2

числитель — в скобки: $3 (x + 1)$

$(3; 3)$

R06.2

Тип 2 · образец

Десятичные коэффициенты: умножаем на 10

Зачем · 10?

Целые коэффициенты — меньше ошибок в счёте.

Ответ:

(3; 3, 5)

Знаков после запятой 2 — умножаем на 100.

R06.2

Тип 2 · решите сами

Перейдите к целым коэффициентам

база

3

{0, 2 x + 0, 3 y = 1, 3 0, 2 x - 0, 1 y = 0, 1

вычтите второе из первого

$(2; 3)$

повыш.

4

{1, 2 x - 0, 5 y = 0, 9 0, 4 x + 0, 3 y = 1, 7

· 10, затем второе · 3

$(2; 3)$

R06.2

Тип 3 · образец

Прямая $y = k x + b$ проходит через $A$ и $B$ . Найдите $k$ и $b$

A : 3 = k \cdot 1 + b

подставили

x

и

y

B : 7 = k \cdot 3 + b

{3 k + b = 7 k + b = 3

вычтем:

2 k = 4; k = 2; b = 1

y = 2 x + 1

R06.2

Тип 3 · решите сами

Найдите $k$ и $b$ прямой $y = k x + b$

база

5

$C (- 1; 5), D (2; - 1)$

$- k + b = 5$ и $2 k + b = - 1$

$y = - 2 x + 3$

повыш.

6

$M (2; 1), N (- 2; - 7)$

сложите уравнения — исчезнет $k$

$y = 2 x - 3$

Проверка: подставьте обе точки в найденное уравнение прямой.

R06.2

Тип 4 · исследование

При каком $c$ решений бесконечно много?

R06.2

Тип 4 · образец → сам

Исследуйте систему — ответ по клику

а) ${x + 2 y = 4 2 x + 4 y = c$
при каком $c$ решений бесконечно много?

$c = 8$

б) ${2 x - y = 1 4 x - 2 y = c$
при каких $c$ решений нет?

$c \neq = 2$

в) ${x - 3 y = 1 2 x - 6 y = 5$
сколько решений?

нет: $0 = 3$

г) ${x + y = 3 2 x + a y = 6$
при каком $a$ решений бесконечно много?

$a = 2$

д) ${3 x - y = 2 a x - 2 y = 4$
при каком $a$ решений бесконечно много?

$a = 6$

е) повыш. ${2 x + y = 3 a x + 3 y = b$
при каких $a$ и $b$ — бесконечно много?

$a = 6, b = 9$

2 мин · практика
Работают в парах по образцу сл. 11: домножить первое уравнение так, чтобы коэффициенты при x и y совпали со вторым, и сравнить правые части.
а) первое · 2: 2x + 4y = 8 → бесконечно много при c = 8. б) первое · 2: 4x − 2y = 2 → вычитаем: 0 = c − 2; решений нет при c ≠ 2. в) первое · 2: 2x − 6y = 2; вычитаем: 0 = 5 − 2 = 3 — неверно, решений нет.
г) первое · 2: 2x + 2y = 6; при a = 2 уравнения совпадают — бесконечно много; при a ≠ 2: (a − 2)y = 0, y = 0, x = 3 — одно решение. д) первое · 2: 6x − 2y = 4 — совпадает со вторым при a = 6.
е) первое · 3: 6x + 3y = 9 → совпадает со вторым при a = 6 и b = 9. Проверка: при этих a, b второе уравнение — первое, умноженное на 3.

R06.2

Осторожно

Типичные ошибки

Неверно	Верно	В чём ошибка
$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4 \cdot 6 \to 3 x + 2 y = 4$	$3 x + 2 y = 24$	не умножили правую часть
$\frac{x + 1}{2} \cdot 6 = 3 x + 1$	$3 (x + 1) = 3 x + 3$	числитель без скобок
$0, 5 x - 0, 2 y \cdot 10 \to 5 x - 0, 2 y$	$5 x - 2 y$	умножили не все члены
$A (1; 3) : 1 = 3 k + b$	$3 = k \cdot 1 + b$	перепутали $x$ и $y$ точки

R06.2

Найди ошибку

В какой строке ошибка? Исправьте

Решение Пети

${0, 2 x + 0, 3 y = 1, 2 x - y = 1$

$\cdot 10 : 2 x + 3 y = 12$
$x = y + 1$
$2 y + 1 + 3 y = 12$
$5 y = 11; y = 2, 2$

Строка 3:

2 (y + 1) = 2 y + 2

. Верно:

5 y = 10

, ответ

(3; 2)

Решение Оли

Прямая через $A (2; 1)$ и $B (4; 7)$

$1 = 2 k + b$
$7 = 4 k + b$
вычтем: $2 k = 6; k = 3$
$b = 1 + 6 = 7; y = 3 x + 7$

Строка 4:

b = 1 - 2 k = - 5

. Верно:

y = 3 x - 5

R06.2

Задания с самопроверкой · база

Решите в тетради — ответ по клику

база ${\frac{x}{2} + y = 5 x - y = 1$ $(4; 3)$
база ${\frac{x}{3} = y x + y = 8$ $(6; 2)$
база ${0, 1 x + 0, 2 y = 0, 8 x - y = 2$ $(4; 2)$

база ${0, 5 x + 0, 5 y = 4 x - y = 2$ $(5; 3)$
базапрямая через $(0; 2)$ и $(1; 5)$ $y = 3 x + 2$
базапрямая через $(1; 1)$ и $(2; 3)$ $y = 2 x - 1$

3 мин · практика
Каждый решает 1–4, быстрые — все шесть. Ответы открывать по одному, класс поднимает руку «совпало».
1) · 2: x + 2y = 10; x = y + 1 → 3y + 1 = 10; y = 3; x = 4. Проверка: 2 + 3 = 5 ✓; 4 − 3 = 1 ✓. 2) x = 3y; 4y = 8; y = 2; x = 6. Проверка: 6 : 3 = 2 ✓; 6 + 2 = 8 ✓. 3) · 10: x + 2y = 8; x = y + 2 → 3y + 2 = 8; y = 2; x = 4. Проверка: 0,4 + 0,4 = 0,8 ✓; 4 − 2 = 2 ✓.
4) · 2: x + y = 8; складываем с x − y = 2: 2x = 10; x = 5; y = 3. Проверка: 2,5 + 1,5 = 4 ✓. 5) b = 2 (x = 0), k + 2 = 5 → k = 3; y = 3x + 2. Проверка: 3 + 2 = 5 ✓. 6) k + b = 1; 2k + b = 3 → k = 2; b = −1; y = 2x − 1. Проверка: 2 − 1 = 1 ✓; 4 − 1 = 3 ✓.

R06.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Посложнее — ответ по клику

повыш. $⎩ ⎨ ⎧ \frac{x - 1}{2} + \frac{y}{3} = 2 \frac{x}{3} - \frac{y - 1}{2} = 0$ $(3; 3)$
повыш. ${0, 15 x - 0, 1 y = 0, 4 0, 3 x + 0, 2 y = 1, 6$ $(4; 2)$
повыш.прямая через $A (- 2; 7)$ и $B (3; - 3)$ $y = - 2 x + 3$

из жизни 4. В магазине

0,2 кг сыра и 0,5 кг колбасы стоят 340 ₽, а 0,4 кг сыра и 0,3 кг колбасы — 330 ₽. Сколько стоит 1 кг сыра и 1 кг колбасы?

сыр 450 ₽, колбаса 500 ₽

3 мин · практика
1) · 6: 3(x − 1) + 2y = 12 → 3x + 2y = 15; · 6: 2x − 3(y − 1) = 0 → 2x − 3y = −3. Первое · 3, второе · 2: 9x + 6y = 45, 4x − 6y = −6; 13x = 39; x = 3; y = 3. Проверка: 2/2 + 3/3 = 2 ✓; 3/3 − 2/2 = 0 ✓.
2) · 100: 15x − 10y = 40 → 3x − 2y = 8; · 10: 3x + 2y = 16. Складываем: 6x = 24; x = 4; y = 2. Проверка: 0,6 − 0,2 = 0,4 ✓; 1,2 + 0,4 = 1,6 ✓.
3) −2k + b = 7; 3k + b = −3 → 5k = −10; k = −2; b = 3. Проверка: 4 + 3 = 7 ✓; −6 + 3 = −3 ✓.
4) с — сыр, к — колбаса (₽ за 1 кг). · 10: 2с + 5к = 3400; 4с + 3к = 3300. Первое · 2: 4с + 10к = 6800; вычитаем: 7к = 3500; к = 500; 2с = 900; с = 450. Проверка: 90 + 250 = 340 ✓; 180 + 150 = 330 ✓.

R06.2

Формат ОГЭ · часть 2

Задание 20: система с дробями

20Решите систему уравнений

⎩ ⎨ ⎧ \frac{x - y}{4} + \frac{x + y}{2} = 4 \frac{x + y}{3} - \frac{x - y}{2} = 0

Полное решение — 2 балла.

Первое · 4, второе · 6.

Раскройте скобки, приведите к виду

a x + b y = c

.

Сделайте проверку, ответ — пара

(x; y)

.

Ответ:

(5; 1)

R06.2

Самостоятельная работа · 2 варианта

Решите свой вариант — проверка по клику

Вариант 1

${\frac{x}{2} = \frac{y}{3} x + y = 10$ $(4; 6)$
${0, 5 x + 0, 4 y = 3 0, 2 x - 0, 1 y = - 0, 1$ $(2; 5)$
$k$ и $b$ прямой через $(1; 4)$ и $(3; 8)$ $y = 2 x + 2$
0,5 кг конфет и 2 кг печенья — 520 ₽, 1 кг конфет и 1 кг печенья — 440 ₽. Цена 1 кг? 240 ₽ и 200 ₽

Вариант 2

${\frac{x}{3} = \frac{y}{2} x + y = 15$ $(9; 6)$
${0, 4 x + 0, 3 y = 2, 5 0, 1 x - 0, 2 y = - 0, 2$ $(4; 3)$
$k$ и $b$ прямой через $(1; 1)$ и $(3; - 5)$ $y = - 3 x + 4$
2 кг яблок и 0,5 кг груш — 330 ₽, 1 кг яблок и 1 кг груш — 300 ₽. Цена 1 кг? 120 ₽ и 180 ₽

4 мин · практика
Варианты по партам. Задания 1–2 обязательны, 3–4 — на «5». После взаимопроверки — ответы по клику.
В1: 1) · 6: 3x = 2y; y = 10 − x; 3x = 20 − 2x; x = 4; y = 6. Проверка: 4/2 = 2 = 6/3 ✓; 4 + 6 = 10 ✓. 2) · 10: 5x + 4y = 30; 2x − y = −1 → y = 2x + 1; 13x + 4 = 30; x = 2; y = 5. Проверка: 1 + 2 = 3 ✓; 0,4 − 0,5 = −0,1 ✓. 3) k + b = 4; 3k + b = 8 → k = 2; b = 2. Проверка: 2 + 2 = 4 ✓; 6 + 2 = 8 ✓. 4) 0,5к + 2п = 520; к + п = 440 → 220 − 0,5п + 2п = 520; 1,5п = 300; п = 200; к = 240. Проверка: 120 + 400 = 520 ✓.
В2: 1) · 6: 2x = 3y; y = 15 − x; 2x = 45 − 3x; x = 9; y = 6. Проверка: 9/3 = 3 = 6/2 ✓; 9 + 6 = 15 ✓. 2) · 10: 4x + 3y = 25; x − 2y = −2 → x = 2y − 2; 8y − 8 + 3y = 25; 11y = 33; y = 3; x = 4. Проверка: 1,6 + 0,9 = 2,5 ✓; 0,4 − 0,6 = −0,2 ✓. 3) k + b = 1; 3k + b = −5 → 2k = −6; k = −3; b = 4. Проверка: −3 + 4 = 1 ✓; −9 + 4 = −5 ✓. 4) я + г = 300; 2я + 0,5г = 330 → 600 − 2г + 0,5г = 330; 1,5г = 270; г = 180; я = 120. Проверка: 240 + 90 = 330 ✓. Составление систем — урок ALG8-067 (R06.5).

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя

Ответьте одной фразой

На что умножить уравнение с дробями?
Что неизвестно в задаче «найти $k$ и $b$ »?
Что значит « $0 = 0$ »?

Домашнее задание

${x /3 - y /2 = 0; x /2 + y /4 = 4}$
${1, 5 x - 0, 4 y = 2, 2; 0, 3 x + 0, 2 y = 1}$
прямая через $(1; - 1)$ и $(3; 5)$ : $k, b$ ?
${3 x + y = 2; 6 x + a y = 5}$ : при каком $a$ нет решений?

Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_uravneniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-069 · Практикум: решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными (второй)

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R06 «Уравнения и неравенства. Системы уравнений», 13 ч · урок 12/13 · тип П (практикум); продолжение ALG8-064
Единицы → слайды	R06.2 «Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными» → 2–19 (теория: 2, 5, 7, 9, 11, 13; практика: 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14–19)
Результаты	ПР-8 / REQ-3.1 (решать системы двух уравнений с двумя переменными) → 3–10, 13–19 · ПР-9 / REQ-3.2 (имеет ли система решения, сколько) → 11, 12, 19 · ПР-10 / REQ-3.3 — задачи из жизни на сл. 16 и 18 · EL-3.4
Вне урока	графическая интерпретация — R06.4 (ALG8-061, ALG8-066), только иллюстрации на сл. 9 и 11; нелинейные системы — R06.3 (ALG8-065); составление систем — R06.5 (ALG8-067); общий признак a₁ : a₂ = b₁ : b₂ ≠ c₁ : c₂ — не включён
Хронометраж	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %); теоретические слайды сохранены полностью, практика добавлена (сл. 4, 12, 14–16, 18)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными

Сегодня — системы «посложнее»

Дробные коэффициенты

Десятичные дроби

Прямая y=kx+b

Система с параметром

Каким способом? Найдите ответ

1

2

3

Устно: на что умножить и что получится?

Дробные коэффициенты: умножаем на общий знаменатель

Избавьтесь от знаменателей и решите

1

2

Десятичные коэффициенты: умножаем на 10

Зачем · 10?

Перейдите к целым коэффициентам

3

4

Прямая y=kx+b проходит через A и B. Найдите k и b

Найдите k и b прямой y=kx+b

5

6

При каком c решений бесконечно много?

Исследуйте систему — ответ по клику

Типичные ошибки

В какой строке ошибка? Исправьте

Решение Пети

Решение Оли

Решите в тетради — ответ по клику

Посложнее — ответ по клику

из жизни 4. В магазине

Задание 20: система с дробями

Решите свой вариант — проверка по клику

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-069 · Практикум: решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными (второй)

Прямая $y = k x + b$

Прямая $y = k x + b$ проходит через $A$ и $B$ . Найдите $k$ и $b$

Найдите $k$ и $b$ прямой $y = k x + b$

При каком $c$ решений бесконечно много?