Системы уравнений · урок 10 из 13 · практикум

Практикум: решение текстовых задач с помощью систем уравнений

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R06 · ALG8-067

0 мин · титул. Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин. Теория — цели, опорные формулы, план и три образца (сл. 2, 3, 5, 6, 9, 12); всё остальное — работа учеников.
Паспорт: R06 «Уравнения и неравенства. Системы уравнений» (13 ч), урок 10/13, единица R06.5 «Решение текстовых задач с помощью систем уравнений». Тип урока — П (практикум). Продолжение урока ALG8-062 (новый материал по R06.5: покупки, движение по реке, площадь прямоугольника, растворы). Сегодня — новые типы: движение навстречу и вдогонку, совместная работа, проценты.
Хронометраж (45 мин): цели 1 (сл. 2) · опорные формулы 2 (сл. 3) · разминка 2 (сл. 4) · план 2 (сл. 5) · тип 1: образец 3, задание 3, сам 2 (сл. 6–8) · тип 2: образец 3, задание 2, сам 2 (сл. 9–11) · тип 3: образец 3, задание 2, сам 2 (сл. 12–14) · найди ошибку 2 (сл. 15) · самопроверка: база 3, повышенный 2 (сл. 16–17) · задачи из жизни 2 (сл. 18) · ОГЭ 3 (сл. 19) · самостоятельная 3 (сл. 20) · итог 1 (сл. 21).
Если не успеваете: в заданиях «сам» (сл. 8, 11, 14) и в задачах из жизни (сл. 18) — только составить систему, ответы открыть кликом; задачу ОГЭ (сл. 19) довести до квадратного уравнения, решение — дома.

R06.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить модель

переходить от условия задачи к системе двух уравнений (ПР-10)

Узнавать тип задачи

движение, работа, проценты — и брать нужную формулу (ПР-10)

Решать систему

подстановкой или сложением, в том числе нелинейную (ПР-8)

Проверять ответ

отбрасывать посторонние корни по смыслу задачи (ПР-10)

1 мин · теория
ПР-10 (REQ-3.3): «Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели с помощью составления уравнения или системы уравнений, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат» — сл. 3–20.
ПР-8 (REQ-3.1): «Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух уравнений с двумя переменными» — сл. 6–14, 16–20.
Элемент содержания EL-3.5 «Решение текстовых задач алгебраическим способом». Вид деятельности ФРП (R06): «Решать текстовые задачи алгебраическим способом».

повторение: R06.5 (ALG8-062)

Вспомним · три формулы

Три опорные формулы

Пешеходы идут навстречу: 5 и 4 км/ч. На сколько сближаются за 1 ч?
Велосипедист 15 км/ч догоняет пешехода 5 км/ч. Скорость сближения?

Мастер делает 12 деталей в час. Сколько за 6 ч?
Число 80 увеличили на 10 %. Что получили?

повторение: единицы, проценты, R06.2

Разминка · устно

Отвечаем в уме — ответ по клику

1) 30 мин —
это сколько часов?

$0, 5$ ч

2) 1 ч 20 мин —
это сколько часов?

$\frac{4}{3}$ ч

3) 15 % — какой
десятичной дробью?

$0, 15$

4) $x$ уменьшили
на 30 % — стало…

$0, 7 x$

5) 25 % от 80

20

6) Выразите $y$ :
$x + y = 12$

$y = 12 - x$

7) 60 км/ч, 2,5 ч.
Путь?

150 км

8) 120 деталей
за 8 ч. Сколько в час?

15

R06.5

План практикума

Три типа задач — одна схема решения

R06.5

Тип 1 · движение навстречу · образец

Встретились через 2 ч

Из двух сёл, расстояние между которыми 18 км, одновременно навстречу вышли два пешехода и встретились через 2 ч. Первый за 2 ч проходит столько же, сколько второй за 2,5 ч. Найдите их скорости.

{2x + 2y = 182x = 2,5y

x + y = 9, x = 1,25y

2,25y = 9 ⇒ y = 4, x = 5

5 и 4 км/ч · 2 · 9 = 18 ✓

R06.5

Тип 1 · навстречу и вдогонку · ваша очередь

Одни и те же 10 км — две скорости сближения

Между велосипедистом и пешеходом 10 км. Если они пойдут навстречу, встретятся через 0,5 ч; если в одну сторону — велосипедист догонит пешехода через 1 ч. Найдите их скорости.

R06.5

Образец → сам · движение

Составьте систему и решите

базаРасстояние 24 км. Два пешехода вышли навстречу и встретились через 2 ч. Первый быстрее на 2 км/ч. Скорости? 7 и 5 км/ч
базаМежду велосипедистами 12 км. Навстречу — встретятся через 0,5 ч, в одну сторону — первый догонит второго через 2 ч. Скорости? 15 и 9 км/ч
повыш.Расстояние между городами 450 км. Поезда вышли навстречу и встретились через 3 ч. За 2 ч первый проходит на 20 км больше второго. Скорости? 80 и 70 км/ч

R06.5

Тип 2 · совместная работа · образец

Мастер и ученик: 136 деталей

Мастер за 1 ч делает на 4 детали больше ученика. Мастер работал 6 ч, ученик 8 ч, вместе они сделали 136 деталей. Сколько деталей в час делает каждый?

	p, дет./ч	t, ч	A, дет.
мастер	x	6	6x
ученик	y	8	8y

{x − y = 46x + 8y = 136

6(y + 4) + 8y = 136

14y = 112 ⇒ y = 8, x = 12

12 и 8 деталей в час · 72 + 64 = 136 ✓

R06.5

Тип 2 · ваша очередь

Заполните таблицу и составьте систему

Первая бригада за день изготавливает вдвое больше изделий, чем вторая. Первая работала 3 дня, вторая 2 дня, всего изготовили 240 изделий. Сколько изделий в день делает каждая бригада?

	p, изд./день	t, дни	A, изд.
1-я бригада	x	?	?
2-я бригада	y	?	?
всего			240

R06.5

Образец → сам · работа

Таблица p · t = A — и система

базаПервый кран за 1 ч поднимает на 5 т больше второго. Первый работал 4 ч, второй 3 ч, вместе подняли 125 т. Сколько тонн в час поднимает каждый? 20 и 15 т
базаДве машинистки вместе печатают 30 страниц в час. Первая за 2 ч печатает столько же, сколько вторая за 3 ч. Сколько страниц в час у каждой? 18 и 12
повыш.Первый насос за 3 мин и второй за 2 мин накачивают 70 л, а первый за 2 мин и второй за 3 мин — 80 л. Сколько литров в минуту даёт каждый? 10 и 20 л

	p	t	A
1-й	x	4	4x
2-й	y	3	3y
всего			125

таблица к заданию 1

R06.5

Тип 3 · проценты · образец

Было 150 человек — стало 141

В двух цехах работало 150 человек. В первом число работников увеличили на 10 %, во втором уменьшили на 20 %, и всего стало 141 человек. Сколько человек было в каждом цехе?

{x + y = 1501,1x + 0,8y = 141

1,1x + 0,8(150 − x) = 141

0,3x = 21 ⇒ x = 70, y = 80

70 и 80 человек · 77 + 64 = 141 ✓

R06.5

Тип 3 · ваша очередь

Доля от каждой части

В двух пачках 80 тетрадей. Из первой взяли 25 % тетрадей, из второй — 10 %, всего 17 тетрадей. Сколько тетрадей было в каждой пачке?

25 % от x = ? · x

10 % от y = ? · y

Составьте систему, решите, проверьте: ответ — натуральные числа?

R06.5

Образец → сам · проценты

Проценты — от того, что было

базаСумма двух чисел 90, причём 20 % первого числа равны 40 % второго. Найдите числа. 60 и 30
базаВ двух корзинах 60 яблок. Из первой взяли 50 %, из второй 25 % — всего 21 яблоко. Сколько яблок было в каждой корзине? 24 и 36
повыш.Два товара вместе стоили 1000 р. Первый подорожал на 10 %, второй подешевел на 10 %, и вместе они стали стоить 980 р. Цены до изменения? 400 и 600 р.

R06.5

Найди ошибку

Пять частых ошибок

Ситуация	Неверно	Верно
вдогонку, скорости x и y	сближение x + y	сближение x − y
увеличили на 10 %	x + 0,1	1,1x
шли 40 мин со скоростью x км/ч	40x	$\frac{2}{3} x$ (40 мин = $\frac{2}{3}$ ч)
первая делает вдвое больше	y = 2x	x = 2y
корни x = 18 и x = −60	ответ: 18 и −60	скорость > 0 → 18

R06.5

Задания с самопроверкой · все три типа

Решите задачи — ответ по клику

базаРасстояние 30 км, велосипедист и пешеход вышли навстречу и встретились через 1,5 ч. Велосипедист быстрее на 10 км/ч. Найдите их скорости. 15 и 5 км/ч
базаДва станка за 1 ч сделали 50 деталей. Первый за 3 ч делает столько же, сколько второй за 2 ч. Сколько деталей в час делает каждый? 20 и 30
базаКуртка и шапка стоили 6000 р. После скидки 20 % на куртку и 10 % на шапку за них заплатили 4900 р. Сколько стоила куртка? 5000 р.

повыш.Через 1 ч после велосипедиста вслед выехал мотоциклист и догнал его через 0,5 ч. Мотоциклист быстрее на 30 км/ч. Найдите скорость велосипедиста. 15 км/ч
практикаДля школы купили 20 мячей: волейбольные по 600 р. и футбольные по 900 р., заплатили 14 700 р. Сколько купили футбольных мячей? 9

3 мин · практика
1–3 — всем, 4–5 — кто справился. Взаимопроверка в парах: сначала системы, потом ответы — учитель открывает кликом.
1) 1,5(x + y) = 30, x − y = 10 → x + y = 20 → x = 15, y = 5. Ответ: 15 км/ч и 5 км/ч.
2) x + y = 50, 3x = 2y → x = 20, y = 30 (проверка: 60 = 60 ✓). Ответ: 20 и 30 деталей.
3) x + y = 6000, 0,8x + 0,9y = 4900 → 0,8x + 5400 − 0,9x = 4900 → 0,1x = 500 → x = 5000, y = 1000. Ответ: 5000 р. (проверка: 4000 + 900 = 4900 ✓).
4) x — велосипедист, y — мотоциклист: до встречи велосипедист ехал 1,5 ч, мотоциклист 0,5 ч: 1,5x = 0,5y, y − x = 30 → 1,5x = 0,5x + 15 → x = 15. Ответ: 15 км/ч (y = 45; 22,5 = 22,5 ✓).
5) x — волейбольные, y — футбольные: x + y = 20, 600x + 900y = 14 700 → 6(20 − y) + 9y = 147 → 3y = 27 → y = 9. Ответ: 9 мячей (x = 11; 6600 + 8100 = 14 700 ✓).

R06.5 · опора R06.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Нелинейные системы в задачах

повыш.Площадь прямоугольника 48 см², периметр 28 см. Найдите его стороны. 6 и 8 см
повыш.Два автомобиля проезжают 120 км. Первый едет на 20 км/ч быстрее и приезжает на 1 ч раньше. Найдите скорости. 60 и 40 км/ч
повыш.Вместе две бригады выполняют работу за 6 дней. Первой одной нужно на 5 дней меньше, чем второй. За сколько дней сделает работу каждая? 10 и 15 дней

	v	t
1-й	x	$\frac{120}{x}$
2-й	y	$\frac{120}{y}$

к заданию 2; в задании 3 вся работа = 1, за день — $1/ x$ и $1/ y$

2 мин · практика
Для тех, кто быстро справился с базой; остальным — составить систему к заданию 1. Ответы — по клику.
1) x + y = 14, xy = 48 → x² − 14x + 48 = 0, D = 196 − 192 = 4 → x = 6 или 8 → стороны 6 см и 8 см. Проверка: 2 · 14 = 28 ✓, 6 · 8 = 48 ✓.
2) x − y = 20, 120/y − 120/x = 1 → 120x − 120(x − 20) = x(x − 20) → x² − 20x − 2400 = 0, D = 400 + 9600 = 10 000 → x = 60 (x = −40 не подходит), y = 40. Проверка: 3 − 2 = 1 ч ✓.
3) x — дни первой, y = x + 5 — второй: 1/x + 1/(x + 5) = 1/6 → 6(2x + 5) = x(x + 5) → x² − 7x − 30 = 0, D = 49 + 120 = 169 → x = 10 (x = −3 не подходит), y = 15. Проверка: 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 1/6 ✓.

R06.5

Задачи из жизни

Кино, такси и вклады

практикаБилет в кино: взрослый 400 р., детский 250 р. Семья из 5 человек заплатила 1550 р. Сколько было детских билетов? 3
практикаТакси: посадка + оплата за каждый км. Поездка на 10 км стоила 500 р., на 16 км — 740 р. Сколько стоит посадка и 1 км? 100 р. и 40 р.
повыш.50 000 р. положили в два банка под 8 % и 10 % годовых. За год доход составил 4400 р. Сколько положили под 8 %? 30 000 р.

2 мин · практика
Составить системы всем; решить 1 и 2 в парах, задача 3 — для быстрых или в ДЗ. Ответы — по клику.
1) x — взрослых, y — детских: x + y = 5, 400x + 250y = 1550 → 8x + 5y = 31 → 8x + 25 − 5x = 31 → 3x = 6 → x = 2, y = 3. Проверка: 800 + 750 = 1550 ✓.
2) a — посадка, b — цена 1 км: a + 10b = 500, a + 16b = 740 → 6b = 240 → b = 40, a = 100. Проверка: 100 + 640 = 740 ✓. На графике: стоимость растёт по прямой, посадка — точка на оси.
3) x + y = 50 000, 0,08x + 0,1y = 4400 → 0,08x + 5000 − 0,1x = 4400 → 0,02x = 600 → x = 30 000, y = 20 000. Проверка: 2400 + 2000 = 4400 ✓.

R06.5

Формат ОГЭ · линия 21 (часть 2)

Задача на движение с нелинейной системой

Из двух городов, расстояние между которыми 60 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста и встретились через 2 ч. Первый проезжает весь путь на 1 ч 40 мин быстрее второго. Найдите скорость первого велосипедиста.

	v, км/ч	s, км	t, ч
первый	x	60	$\frac{60}{x}$
второй	y	60	$\frac{60}{y}$

1 ч 40 мин = ? ч

разность времён: $\frac{60}{y} - \frac{60}{x}$

Баллы	Критерий
2	ход решения верный, получен верный ответ
1	ход верный, допущена одна вычислительная ошибка
0	не соответствует критериям

3 мин · практика
Решают сами 2 мин, затем учитель по клику открывает таблицу и подсказки. Авторская задача в формате линии 21 ОГЭ (текстовая задача, часть 2, максимум 2 балла). Критерии — по образцу ФИПИ, сокращённо.
1 ч 40 мин = 1⅔ ч = 5/3 ч. Система: 2(x + y) = 60 → x + y = 30; 60/y − 60/x = 5/3.
y = 30 − x; умножим на 3x(30 − x): 180x − 180(30 − x) = 5x(30 − x) → 360x − 5400 = 150x − 5x² → x² + 42x − 1080 = 0; D = 42² + 4 · 1080 = 1764 + 4320 = 6084 = 78²; x = (−42 + 78)/2 = 18 или x = −60 (не подходит: скорость положительна).
Ответ: 18 км/ч (второй — 12 км/ч). Проверка: 60/12 − 60/18 = 5 − 3⅓ = 1⅔ ч ✓; 2 · (18 + 12) = 60 ✓.
Если не успеваете — в классе довести до уравнения x² + 42x − 1080 = 0, решить дома.

R06.5

Самостоятельная работа

Два варианта — ответы по клику

Вариант 1

Расстояние 36 км, пешеходы вышли навстречу и встретились через 2 ч. Первый быстрее на 2 км/ч. Скорости? 10 и 8 км/ч
Первый станок в час делает на 15 деталей больше второго. Первый работал 2 ч, второй 3 ч — всего 130 деталей. Сколько в час каждый? 35 и 20
В двух ящиках 50 кг. 20 % первого и 30 % второго — это 12 кг. Сколько кг в каждом ящике? 30 и 20 кг

Вариант 2

Расстояние 40 км, велосипедисты выехали навстречу и встретились через 2 ч. Второй быстрее на 4 км/ч. Скорости? 8 и 12 км/ч
Первая бригада в день делает на 10 изделий больше второй. Первая работала 3 дня, вторая 2 дня — всего 230. Сколько в день каждая? 50 и 40
В двух бочках 80 л. 25 % первой и 50 % второй — это 26 л. Сколько литров в каждой бочке? 56 и 24 л

3 мин · практика
Парты по вариантам; в тетради — система и ответ. По окончании — взаимопроверка в парах, учитель открывает ответы кликом.
В-1: 1) 2(x + y) = 36, x − y = 2 → x + y = 18 → x = 10, y = 8. 2) x − y = 15, 2x + 3y = 130 → 2y + 30 + 3y = 130 → y = 20, x = 35; проверка 70 + 60 = 130 ✓. 3) x + y = 50, 0,2x + 0,3y = 12 → 0,2x + 15 − 0,3x = 12 → 0,1x = 3 → x = 30, y = 20; проверка 6 + 6 = 12 ✓.
В-2: 1) 2(x + y) = 40, y − x = 4 → x + y = 20 → x = 8, y = 12. 2) x − y = 10, 3x + 2y = 230 → 3y + 30 + 2y = 230 → y = 40, x = 50; проверка 150 + 80 = 230 ✓. 3) x + y = 80, 0,25x + 0,5y = 26 → 0,25x + 40 − 0,5x = 26 → 0,25x = 14 → x = 56, y = 24; проверка 14 + 12 = 26 ✓.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда скорости складывают, а когда вычитают?
Как записать «уменьшили на 20 %»?
Почему корень −60 не подошёл?

Домашнее задание

Две трубы за 1 мин наливают 40 л; первая за 2 мин и вторая за 3 мин — 105 л. Сколько литров в минуту даёт каждая?
В двух классах 55 учеников; 20 % первого и 40 % второго ходят в кружок — всего 16. Сколько учеников в каждом классе?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_uravneniya.htm

1 мин · практика
Рефлексия — ученики отвечают сами: навстречу — складывают, вдогонку — вычитают; 0,8x; скорость не может быть отрицательной.
ДЗ 1: x + y = 40, 2x + 3y = 105 → 2x + 120 − 3x = 105 → x = 15, y = 25. Ответ: 15 л/мин и 25 л/мин (проверка: 30 + 75 = 105 ✓).
ДЗ 2: x + y = 55, 0,2x + 0,4y = 16 → 0,2x + 22 − 0,4x = 16 → 0,2x = 6 → x = 30, y = 25. Ответ: 30 и 25 (проверка: 6 + 10 = 16 ✓).
Для сильных (по желанию): расстояние 40 км, велосипедисты встретились через 1 ч 20 мин; первый проезжает весь путь на 2 ч быстрее. Ответ: 20 км/ч и 10 км/ч (x² + 10x − 600 = 0, D = 2500).
Следующий урок — ALG8-068 (практикум по R06.1); обобщение по строке R06 — ALG8-070.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-067 · Практикум: решение текстовых задач с помощью систем уравнений

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R06 «Уравнения и неравенства. Системы уравнений», 13 ч · урок 10/13 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R06.5 «Решение текстовых задач с помощью систем уравнений» → 2–21 (опорные формулы → 3; разминка → 4; план → 5; тип 1 движение → 6–8; тип 2 работа → 9–11; тип 3 проценты → 12–14; ошибки → 15; самопроверка → 16–17; задачи из жизни → 18; ОГЭ → 19; самостоятельная → 20) · опора R06.2, R06.3 → 6–14, 17, 19 · хронометраж: теория 14 мин, практика 31 мин (69 %)
Результаты	ПР-10 / REQ-3.3 (от словесной формулировки к системе уравнений, интерпретация результата) → 2–20 · ПР-8 / REQ-3.1 (решать системы двух уравнений с двумя переменными, рациональные уравнения) → 6–14, 16–20 · EL-3.5 · вид деятельности R06: «Решать текстовые задачи алгебраическим способом»
ОГЭ	слайд 19 — линия 21 (текстовая задача, часть 2)
Вне урока	новый материал по R06.5 (покупки, движение по реке, площадь, растворы) — ALG8-062 · способы решения систем — ALG8-059 · нелинейные системы — ALG8-065 · практикум по R06.1 — ALG8-068 · обобщение по строке — ALG8-070
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending