Практикум · урок 8 из 13

Системы нелинейных уравнений: четыре типа задач

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R06 · ALG8-065

0 мин · титул. Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Паспорт: R06 «Уравнения и неравенства. Системы уравнений» (13 ч), урок 8/13, единица R06.3 «Примеры решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными». Тип урока — П (практикум); новый материал был на уроке ALG8-060.
Теория (14 мин): цели 1 (сл. 2) · схема выбора способа 2 (сл. 5) · образцы типов 1–3 по 3 мин (сл. 6, 8, 10) · образец типа 4 — 2 (сл. 12). Теоретические слайды сохранены полностью.
Практика (31 мин): разминка 2 (сл. 3) · блиц 1 (сл. 4) · «сами» по типам 3 + 3 + 3 + 2 (сл. 7, 9, 11, 13) · найди ошибку 2 (сл. 14) · задания с самопроверкой 2 + 2 (сл. 15–16) · задача из жизни 3 (сл. 17) · самостоятельная работа 4 (сл. 18) · ОГЭ 3 (сл. 19) · рефлексия 1 (сл. 20).
Если не хватает времени — задачу 2 сл. 17 и задания 4–6 сл. 16 перенести в ДЗ.
На титуле: параболы y = x² − 4 и y = 4 − x² пересекаются в точках (−2; 0) и (2; 0) — разберём на сл. 12.

R06.3

Цели практикума

Сегодня тренируем четыре типа

1 · Подстановка

линейное уравнение и xy: выражаем, подставляем

2 · Сумма квадратов

x² + y² и линейное: раскрываем (a − b)² без ошибок

3 · Сложение и вычитание

x² и y² в обоих уравнениях: до четырёх пар

4 · Графики

сколько решений — по точкам пересечения

1 мин · теория
ПР-8 (REQ-3.1): «Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух уравнений с двумя переменными» — сл. 6–11, 15–19.
ПР-9 (REQ-3.2): «Проводить простейшие исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)» — сл. 12–14, 16, 18.
ПР-10 (REQ-3.3): ученик научится переходить от словесной формулировки задачи к системе уравнений — сл. 16 (задание 6), сл. 17.
Виды деятельности ФРП (R06): «Решать простейшие системы, в которых одно из уравнений не является линейным».

повторение: R05, R06.2

Разминка · устно

Отвечаем в уме — ответ по клику

1) Корни
$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

2; 3

2) Корни
$x^{2} = 25$

±5

3) Корни
$x^{2} - 4 x = 0$

0; 4

4) $D$ для
$x^{2} + 2 x + 5 = 0$

−16, корней нет

5) Выразите $y$ :
$x + y = 9$

$y = 9 - x$

6) Выразите $x$ :
$x - 3 y = 2$

$x = 3 y + 2$

7) Раскройте
$(x + 3)^{2}$

$x^{2} + 6 x + 9$

8) $(2; 3)$ — решение?
${x y = 6 x + y = 5$

да, к обоим

повторение: R05, R06.2, R06.3

Блиц · устно

Четыре быстрых вопроса

R06.3

Схема выбора способа

Как решать нелинейную систему?

R06.3

Тип 1 · образец · подстановка

Решим систему: x − 2y = 1, xy = 3

Ваша очередь {2x − y = 3xy = 2 выразите y из первого уравнения

3 мин · теория (образец разбирает учитель)
«Ваша очередь» здесь только показываем — решают её на следующем слайде (задание 1) вместе с похожими.
Вопрос: почему выражаем x, а не y? (x = 2y + 1 — без дробей; y = (x − 1)/2 — с дробью.) D = 1² − 4 · 2 · (−3) = 25, y = (−1 ± 5)/4: y = 1 или y = −1,5.
Проверка второй пары: −2 − 2 · (−1,5) = −2 + 3 = 1 ✓; (−2) · (−1,5) = 3 ✓.
Ответ «Ваша очередь»: y = 2x − 3, x(2x − 3) = 2, 2x² − 3x − 2 = 0, D = 9 + 16 = 25, x = 2 или x = −0,5; y = 1 или y = −4. Ответ: (2; 1), (−0,5; −4). Проверка: (−0,5) · (−4) = 2; 2 · (−0,5) − (−4) = 3.

R06.3

Образец → сам · тип 1 · подстановка

Выразите, подставьте, решите

база ${2 x - y = 3 x y = 2$ (2; 1), (−0,5; −4)
база ${x + y = 5 x y = 6$ (2; 3), (3; 2)
база ${x - y = 1 x y = 12$ (4; 3), (−3; −4)
повыш. ${x + 2 y = 5 x y = 3$ (3; 1), (2; 1,5)

Помните

выражайте ту переменную, где нет дроби

каждое $x$ — со своим $y$ : ответ — пары

3 мин · практика
1–3 — все в тетрадях, 4 — повышенный уровень. Ответы открывать по одному после проверки у доски.
1) y = 2x − 3 → 2x² − 3x − 2 = 0, D = 25 → x = 2; −0,5 → y = 1; −4. Ответ: (2; 1), (−0,5; −4). Проверка: 2 · 1 = 2, (−0,5)(−4) = 2.
2) y = 5 − x → x(5 − x) = 6 → x² − 5x + 6 = 0 → x = 2; 3 → (2; 3), (3; 2). Проверка: 2 · 3 = 6.
3) x = y + 1 → y² + y − 12 = 0, D = 49 → y = 3; −4 → x = 4; −3. Ответ: (4; 3), (−3; −4). Проверка: 4 − 3 = 1, (−3)(−4) = 12; −3 − (−4) = 1.
4) x = 5 − 2y → (5 − 2y)y = 3 → 2y² − 5y + 3 = 0, D = 25 − 24 = 1 → y = 1; 1,5 → x = 3; 2. Ответ: (3; 1), (2; 1,5). Проверка: 3 + 2 = 5, 3 · 1 = 3; 2 + 3 = 5, 2 · 1,5 = 3.

R06.3

Тип 2 · образец · сумма квадратов

Решим систему: x + y = 7, x² + y² = 25

Ваша очередь {x − y = 2x² + y² = 20 x = y + 2, затем (y + 2)²

3 мин · теория (образец разбирает учитель)
«Ваша очередь» решают на следующем слайде (задание 1).
Главная ловушка — квадрат разности. Спросите: чему равно (7 − x)² при x = 1? (36.) А 49 − x² при x = 1? (48.) Значит, (7 − x)² ≠ 49 − x².
Шаг 4: 2x² − 14x + 24 = 0 делим на 2. x² − 7x + 12 = 0: по теореме Виета x = 3 и x = 4 (сумма 7, произведение 12). Проверка: 9 + 16 = 25 ✓.
Ответ «Ваша очередь»: (y + 2)² + y² = 20 → 2y² + 4y − 16 = 0 → y² + 2y − 8 = 0 → y = 2 или y = −4 → x = 4 или x = −2. Ответ: (4; 2), (−2; −4). Проверка: 16 + 4 = 20; 4 + 16 = 20.
График x² + y² = 25 (окружность) — тема 9 класса; сегодня решаем только алгебраически.

R06.3

Образец → сам · тип 2 · сумма квадратов

Подстановка и квадрат разности

база ${x - y = 2 x^{2} + y^{2} = 20$ (4; 2), (−2; −4)
база ${x + y = 1 x^{2} + y^{2} = 25$ (4; −3), (−3; 4)
база ${x - y = 1 x^{2} + y^{2} = 41$ (5; 4), (−4; −5)
повыш. ${x + y = 4 x^{2} + y^{2} = 8$ одно: (2; 2)

Ловушка

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$

после приведения разделите на общий множитель

3 мин · практика
1–3 — все, 4 — повышенный уровень (D = 0 — одна пара). Ответы — по клику.
1) x = y + 2 → (y + 2)² + y² = 20 → 2y² + 4y − 16 = 0 → y² + 2y − 8 = 0 → y = 2; −4 → (4; 2), (−2; −4). Проверка: 16 + 4 = 20, 4 + 16 = 20.
2) y = 1 − x → x² + 1 − 2x + x² = 25 → 2x² − 2x − 24 = 0 → x² − x − 12 = 0 → x = 4; −3 → (4; −3), (−3; 4). Проверка: 16 + 9 = 25.
3) x = y + 1 → 2y² + 2y + 1 = 41 → y² + y − 20 = 0 → y = 4; −5 → (5; 4), (−4; −5). Проверка: 25 + 16 = 41; −4 − (−5) = 1.
4) y = 4 − x → 2x² − 8x + 16 = 8 → x² − 4x + 4 = 0 → (x − 2)² = 0 → x = 2, y = 2. Одно решение (2; 2). Проверка: 4 + 4 = 8.

R06.3

Тип 3 · образец · сложение

Решим систему: x² + y² = 13, x² − y² = 5

Ваша очередь {2x² + y² = 9x² + y² = 5 вычтите второе уравнение из первого

3 мин · теория (образец разбирает учитель)
Новое по сравнению с ALG8-060: здесь «±» и у x, и у y — получается четыре пары. «Ваша очередь» решают на следующем слайде (задание 1).
Вопрос: почему подходят все четыре пары? (В систему входят только x² и y², а (−3)² = 3² = 9, (−2)² = 2² = 4.) Проверка: 9 + 4 = 13, 9 − 4 = 5.
Ответ «Ваша очередь»: вычитаем — x² = 4; y² = 5 − 4 = 1. Ответ: (2; 1), (2; −1), (−2; 1), (−2; −1). Проверка: 8 + 1 = 9; 4 + 1 = 5.
Если y² окажется отрицательным — решений нет (сл. 11, задание 4; сл. 14).

R06.3

Образец → сам · тип 3 · сложение и вычитание

Сколько пар получится?

база ${2 x^{2} + y^{2} = 9 x^{2} + y^{2} = 5$ (±2; ±1) — 4 пары
база ${x^{2} + y^{2} = 10 x^{2} - y^{2} = 8$ (±3; ±1) — 4 пары
повыш. ${x^{2} + y^{2} = 4 x^{2} - y^{2} = 4$ (2; 0), (−2; 0)
повыш. ${x^{2} + y^{2} = 3 x^{2} - y^{2} = 5$ решений нет

Считаем пары

$x^{2} > 0, y^{2} > 0$ — 4 пары

$y^{2} = 0$ — только $y = 0$

$y^{2} < 0$ — решений нет

R06.3

Тип 4 · графики

Сколько решений? Смотрим на графики

2 мин · теория (образец разбирает учитель; правый рисунок — устный вопрос классу)
Левый рисунок — образец: y = x² − 4 — парабола ветвями вверх с вершиной (0; −4), y = 4 − x² — ветвями вниз с вершиной (0; 4). Приравниваем правые части: 2x² = 8, x = ±2, y = 0. Ответ: (−2; 0), (2; 0).
Правый рисунок: парабола y = x² и гипербола y = 8/x. Класс сначала считает точки пересечения сам; клик показывает точку. Ветвь гиперболы в III четверти (y < 0) не встречает параболу (y ≥ 0). В I четверти — одна точка: x² = 8/x → x³ = 8 → x = 2, y = 4. Проверка: 2² = 4, 8 : 2 = 4.
Вопрос: точные координаты можно прочитать с графика всегда? (Нет — график показывает число решений и примерное положение, точные значения находим вычислением.)

R06.3

Образец → сам · тип 4 · число решений

Сколько решений у системы?

$y = x^{2}$ и $y = 4$ 2 решения
$y = x^{2}$ и $y = 0$ 1 решение
$y = x^{2}$ и $y = - 1$ нет решений
повыш. $y = x^{2}$ и $y = 2 x - 1$ 1: (1; 1)
повыш. $y = x^{2} - 4$ и $y = x - 2$ 2

2 мин · практика
1–3 — по рисунку (устно), 4–5 — без рисунка: приравнять правые части и посмотреть на D.
1) x² = 4 → x = ±2: точки (−2; 4), (2; 4) — 2 решения. 2) x² = 0 → (0; 0) — 1 решение (прямая касается параболы в вершине). 3) x² = −1 — корней нет, прямая ниже параболы — решений нет.
4) x² = 2x − 1 → x² − 2x + 1 = 0, D = 4 − 4 = 0 → x = 1, y = 1 — одно решение (касание). Проверка: 1² = 1, 2 · 1 − 1 = 1.
5) x² − 4 = x − 2 → x² − x − 2 = 0, D = 1 + 8 = 9 > 0 → x = 2; −1 → (2; 0), (−1; −3) — 2 решения. Проверка: 4 − 4 = 0 = 2 − 2; 1 − 4 = −3 = −1 − 2.

R06.3

Осторожно

Найдите ошибку

Шаг решения	Неверно	Верно	Почему
(7 − x)²	49 − x²	49 − 14x + x²	квадрат разности
x² = 9, y² = 4	(3; 2)	(±3; ±2) — 4 пары	каждое x с каждым y
{x² + y² = 5x² − y² = 13	x = ±3, y = ±2	решений нет	y² = 5 − 9 = −4 < 0

Проверка пары (−3; −2) 9 + 4 = 13 ✓ 9 − 4 = 5 ✓ в оба уравнения

R06.3

Задания с самопроверкой · база

Решите системы — ответ по клику

база{x + y = 6xy = 8 (2; 4), (4; 2)
база{x + y = 4x² + y² = 10 (1; 3), (3; 1)
база{x² + y² = 17x² − y² = 15 (±4; ±1)

R06.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Для тех, кто готов

повыш.Решите систему {x − y = 2x² − y² = 16
повыш.Сколько решений у системы y = x² + 1, y = 2x?
практикаСумма двух чисел равна 9, а сумма их квадратов — 41. Найдите эти числа

к 4: x = y + 2 или x² − y² = (x − y)(x + y)

к 5: найдите D уравнения x² + 1 = 2x

к 6: x + y = 9, x² + y² = 41

ответы: 4) (5; 3) · 5) одно · 6) 4 и 5

2 мин · практика
Подсказки открываются по одной, только если класс застрял; последний клик — ответы для самопроверки.
4) x = y + 2 → (y + 2)² − y² = 16 → 4y + 4 = 16 → y = 3, x = 5. Или: (x − y)(x + y) = 16, 2(x + y) = 16, x + y = 8. Ответ: (5; 3) — одно решение. Проверка: 25 − 9 = 16.
5) x² − 2x + 1 = 0, D = 4 − 4 = 0 → x = 1, y = 2. Одно решение (1; 2): прямая касается параболы.
6) y = 9 − x → x² + (9 − x)² = 41 → 2x² − 18x + 40 = 0 → x² − 9x + 20 = 0 → x = 4 или x = 5. Ответ: числа 4 и 5 (16 + 25 = 41). Ответ задачи — два числа, а не две пары.

R06.3

Задача из жизни

Составьте систему и решите

базаУчасток под огород — прямоугольник: периметр $34$ м, площадь $60$ м². Найдите его длину и ширину.
$x + y = 17, x y = 60$ → 12 м и 5 м
повыш.Плитка — прямоугольник, одна сторона на $2$ см длиннее другой, диагональ $10$ см. Найдите стороны плитки.
$x - y = 2, x^{2} + y^{2} = 100$ → 8 см и 6 см

R06.3

Самостоятельная работа

Два варианта — ответы по клику

Вариант 1

${x + y = 7 x y = 12$ (3; 4), (4; 3)
${x - y = 1 x^{2} + y^{2} = 13$ (3; 2), (−2; −3)
${x^{2} + y^{2} = 29 x^{2} - y^{2} = 21$ (±5; ±2)
${y = x^{2} y = 4 x - 4$ сколько решений? 1

Вариант 2

${x + y = 8 x y = 15$ (3; 5), (5; 3)
${x + y = 1 x^{2} + y^{2} = 13$ (3; −2), (−2; 3)
${x^{2} + y^{2} = 20 x^{2} - y^{2} = 12$ (±4; ±2)
${y = x^{2} y = x - 1$ сколько решений? 0

4 мин · практика
Парты по вариантам; по окончании — взаимопроверка в парах, учитель открывает ответы кликом.
В-1: 1) x² − 7x + 12 = 0 → 3; 4 → (3; 4), (4; 3). 2) x = y + 1 → 2y² + 2y + 1 = 13 → y² + y − 6 = 0 → y = 2; −3 → (3; 2), (−2; −3); проверка 9 + 4 = 13. 3) 2x² = 50, x² = 25; y² = 4 → (5; 2), (5; −2), (−5; 2), (−5; −2); проверка 25 − 4 = 21. 4) x² − 4x + 4 = (x − 2)² = 0 → одно решение (2; 4).
В-2: 1) x² − 8x + 15 = 0 → 3; 5 → (3; 5), (5; 3). 2) y = 1 − x → 2x² − 2x + 1 = 13 → x² − x − 6 = 0 → x = 3; −2 → (3; −2), (−2; 3); проверка 9 + 4 = 13. 3) 2x² = 32, x² = 16; y² = 4 → (4; 2), (4; −2), (−4; 2), (−4; −2); проверка 16 − 4 = 12. 4) x² − x + 1 = 0, D = 1 − 4 = −3 < 0 → решений нет.

R06.3 · ОГЭ

В формате ОГЭ · линия 20

Задание из второй части

Решите систему уравнений {4x² − 3x = y8x − 6 = y

Левые части равны y — приравняйте правые

Ответ: (2; 10), (0,75; 0)

рефлексия · ДЗ

Итог практикума

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какой способ для x + y = 3, x² + y² = 5?
Сколько пар даёт x² = 4, y² = 1?
Как понять, что решений нет?

Домашнее задание

x − y = 3, xy = 10
x + y = 5, x² + y² = 13
x² + y² = 25, x² − y² = 7
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_uravneniya.htm

1 мин · практика (рефлексия — отвечают ученики)
Ответы: подстановка (есть линейное уравнение; решения (1; 2), (2; 1)); четыре пары; квадрат получился отрицательным, D < 0 или графики не пересекаются.
Ответы ДЗ: 1) x = y + 3 → y² + 3y − 10 = 0 → y = 2 или y = −5 → (5; 2), (−2; −5). 2) x² − 5x + 6 = 0 → (2; 3), (3; 2). 3) 2x² = 32, x² = 16, y² = 9 → (4; 3), (4; −3), (−4; 3), (−4; −3).
Предыдущий урок — ALG8-064 «Практикум: Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными». Следующий — ALG8-066 «Практикум: Графическая интерпретация уравнения с двумя переменными и систем линейных уравнений с двумя переменными».

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-065 · Практикум: Примеры решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R06 «Уравнения и неравенства. Системы уравнений», 13 ч · урок 8/13 · тип П
Единицы → слайды	R06.3 «Примеры решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными» → 2, 5–20 · повторение R05 (квадратные уравнения), R06.2 (подстановка) → 3, 4
Результаты	ПР-8 / REQ-3.1 (решать системы двух уравнений с двумя переменными) → 6–11, 15–19 · ПР-9 / REQ-3.2 (исследование систем, графические представления, число решений) → 12–14, 16, 18 · ПР-10 / REQ-3.3 (алгебраическая модель задачи) → 16, 17
Вне урока	графическая интерпретация систем линейных уравнений — ALG8-066; текстовые задачи с помощью систем — ALG8-067 (здесь задание 6 сл. 16 и задачи из жизни сл. 17); окружность x² + y² = r² и её график — 9 класс
Хронометраж	теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) · теоретические слайды сохранены полностью
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending