Системы уравнений · практикум · урок 6 из 13

Практикум:
линейное уравнение
с двумя переменными,
его график,
решения в целых числах

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R06 · ALG8-063

0 мин · титул. Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), всего 45 мин
Паспорт: R06 «Уравнения и неравенства. Системы уравнений» (13 ч), урок 6/13, единица R06.1. Тип урока — П (практикум). Теория была на уроке ALG8-058; здесь — пять типов заданий.
Теория (сл. 2, 5, 7, 10, 12, 15, 17): цели 1 · образец «пара — решение?» 1 · образец графика 3 · особые случаи a = 0, b = 0 — 3 · образец целых решений 3 · точка и коэффициент 1 · сводка ошибок 1.
Практика: разминка 2 (сл. 3) · блиц 2 (сл. 4) · тип 1 сами 2 (сл. 6) · график сами 3 (сл. 8) · оси 2 (сл. 9) · прямые x = k, y = k 2 (сл. 11) · табуретки 2 (сл. 13) · целые решения сами 3 (сл. 14) · коэффициент сами 2 (сл. 16) · найди ошибку 2 (сл. 18) · задания с самопроверкой 3 (сл. 19) · самостоятельная в 2 вариантах 5 (сл. 20) · ОГЭ 1 (сл. 21) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 22).
Если не хватает времени — сл. 13 разобрать устно, задание 5 со сл. 19 перенести в ДЗ.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Проверять и находить решения

уравнения ax + by = c: подставлять пару (x; y) (ПР-8)

Строить график

линейного уравнения по двум точкам, в том числе при a = 0 или b = 0 (ПР-9)

Решать в целых числах

находить все натуральные решения перебором (ПР-8)

Составлять модель

записывать условие задачи уравнением с двумя переменными (ПР-10)

1 мин · теория
ПР-8 (REQ-3.1): «решать линейные, квадратные уравнения… системы двух уравнений с двумя переменными»; ПР-9 (REQ-3.2): «проводить простейшие исследования уравнений… с применением графических представлений»; ПР-10 (REQ-3.3): «переходить от словесной формулировки задачи к её алгебраической модели… интерпретировать полученный результат». Элемент EL-3.4.
Сказать классу: сегодняшние умения — фундамент для систем (следующий урок ALG8-064).

R06.1

Разминка · устно

Линейное уравнение с двумя переменными или нет?

ax + by = c a, b, c — числа; x, y — переменные

3x − 2y = 7

да

xy = 6

нет: произведение

x^{2} + y = 1

нет:

x^{2}

y = 5x

да: 5x − y = 0

\frac{2}{x} + y = 3

нет: x в знаменателе

0 · x + y = 4

да: a = 0

R06.1

Блиц · устно

Отвечаем быстро — по одному

1) Подходит ли $(1; 2)$
к $x + y = 3$ ?

да

2) Подходит ли $(2; 1)$
к $3 x - y = 4$ ?

нет: 5

3) Выразите $y$ :
$x + y = 8$

$y = 8 - x$

4) Выразите $y$ :
$2 x - y = 1$

$y = 2 x - 1$

5) $3 x + 4 y = 12$ ,
$x = 0$ . Найдите $y$ .

$y = 3$

6) $3 x + 4 y = 12$ ,
$y = 0$ . Найдите $x$ .

$x = 4$

7) Натуральное ли число $0$ ?

нет

8) Лежит ли $(0; - 3)$
на прямой
$2 x - y = 3$ ?

да

R06.1

Тип 1 · образец

Является ли пара решением уравнения 2x − y = 5?

Пара (x; y)	Подставляем	Итог
(3; 1)	2 · 3 − 1 = 5	да
(1; −3)	2 · 1 − (−3) = 5	да
(0; 5)	2 · 0 − 5 = −5 ≠ 5	нет

Задание: найдите a, если пара (a; 7) — решение этого уравнения.

R06.1

Тип 1 · сами

Уравнение $3 x + 2 y = 8$ : проверьте и найдите

базаРешение ли пара $(2; 1)$ ? да: 6 + 2 = 8
базаРешение ли пара $(4; - 1)$ ? нет: 12 − 2 = 10
базаРешение ли пара $(- 2; 7)$ ? да: −6 + 14 = 8
повыш.Найдите $b$ , если $(b; - 2)$ — решение. $b = 4$
повыш.Найдите ещё одно решение с $x = 0$ . $(0; 4)$

R06.1

Тип 2 · образец

Строим график уравнения 2x + 3y = 12

1

Пусть x = 0: 3y = 12, y = 4

2

Пусть y = 0: 2x = 12, x = 6

x	0	6	3
y	4	0	2

третья точка — проверка

3

Отмечаем точки, проводим прямую

R06.1

Тип 2 · сами

Постройте график уравнения x − 2y = 4

x	0	?	2
y	?	0	?

x	0	4	2
y	−2	0	−1

Лежит ли на графике точка (10; 3)?

R06.1

Тип 2 · сами

Найдите точки пересечения графика с осями

Уравнение	с осью y (x = 0)	с осью x (y = 0)
база $3 x + y = 6$	$(0; 6)$	$(2; 0)$
база $5 x - 2 y = 10$	$(0; - 5)$	$(2; 0)$
повыш. $- x + 4 y = 8$	$(0; 2)$	$(- 8; 0)$
повыш. $2 x + 3 y = - 6$	$(0; - 2)$	$(- 3; 0)$

R06.1

Тип 3 · особые случаи

Если один коэффициент равен нулю

0 · x + 2y = 6 → y = 3

x — любое: прямая параллельна оси x

3x + 0 · y = −6 → x = −2

y — любое: прямая параллельна оси y

Обе прямые проходят через точку (−2; 3) — она решение обоих уравнений.

R06.1

Тип 3 · сами

Какая прямая — график какого уравнения?

а) $0 \cdot x + 3 y = - 3$ → 3, $y = - 1$

б) $2 x = 6$ → 2, $x = 3$

в) $4 y - 8 = 0$ → 1, $y = 2$

г) $- x + 0 \cdot y = 4$ → 4, $x = - 4$

Сами: запишите уравнение прямой, параллельной оси $x$ и проходящей через $(5; - 3)$ .

R06.1

Тип 4 · образец

Натуральные решения уравнения 3x + 5y = 31

x = \frac{31 - 5 y}{3}

Перебираем y, пока 31 − 5y > 0:

y	1	2	3	4	5	6
x	$\frac{26}{3}$	7	$\frac{16}{3}$	$\frac{11}{3}$	2	$\frac{1}{3}$

Ответ: (7; 2), (2; 5)

R06.1

Тип 4 · задача

Табуретки и стулья: всего 25 ножек

Есть хотя бы одна табуретка и один стул. Сколько их?

y	1	2	3	4	5
x	7	$\frac{17}{3}$	$\frac{13}{3}$	3	$\frac{5}{3}$

7 табуреток и 1 стул или 3 табуретки и 4 стула

R06.1

Тип 4 · сами

Найдите все пары натуральных чисел — решения уравнения

база $x + 2 y = 9$ (7; 1), (5; 2), (3; 3), (1; 4)
база $5 x + 2 y = 14$ (2; 2)
повыш. $4 x + 3 y = 29$ (5; 3), (2; 7)
повыш. $6 x + 9 y = 20$ решений нет

R06.1

Тип 5 · точка на прямой

Принадлежит ли точка графику? Найдите коэффициент

A(−1; 4): 2 · (−1) + 4 = 2 — лежит

B(2; 1): 2 · 2 + 1 = 5 ≠ 2 — не лежит

Прямая ax + 3y = 6 проходит через (2; −2). Найдите a.

2a + 3 · (−2) = 6 → 2a = 12 → a = 6

R06.1

Тип 5 · сами

Точка на прямой: проверьте и найдите коэффициент

базаЛежит ли точка $C (3; - 1)$ на прямой $2 x + 5 y = 1$ ? да
базаПри каком $b$ прямая $3 x + b y = 7$ проходит через $(1; 2)$ ? $b = 2$
повыш.При каком $c$ прямая $4 x - y = c$ проходит через $(- 2; 3)$ ? $c = - 11$
повыш.Точка $(k; k)$ лежит на прямой $3 x - y = 10$ . Найдите $k$ . $k = 5$

R06.1

Типичные ошибки

Где чаще всего ошибаются

Порядок в паре

(3; 1) — это x = 3, y = 1, а не наоборот

Деление на коэффициент

3y = 12 − 2x
y = 4 − 2x
$y = 4 - \frac{2 x}{3}$

Натуральные числа

0, дроби и отрицательные — не натуральные. Проверяйте каждое значение

R06.1

Найди ошибку

Ученики решили так. Где ошибка?

Решение ли $(- 1; 2)$
для $4 x - y = - 6$ ?

ученик $4 \cdot (- 1) - 2 = - 2$ ,
значит, нет

верно $- 4 - 2 = - 6$ —
да, решение

Точка на оси $y$
для $2 x - 5 y = 10$

ученик $x = 0$ : $- 5 y = 10$ , $y = 2$ ;
точка $(0; 2)$

верно $y = - 2$ ; точка $(0; - 2)$

Натуральные решения
$x + y = 3$

ученик $(0; 3)$ , $(1; 2)$ , $(2; 1)$ , $(3; 0)$

вернотолько $(1; 2)$ и $(2; 1)$ :
$0$ — не натуральное

R06.1

Задания с самопроверкой · база и повышенный

Решите и проверьте

базаЯвляется ли пара (−2; 3) решением уравнения 5x + 4y = 2? да
базаНайдите точки пересечения графика 4x − 3y = 12 с осями координат. (3; 0), (0; −4)
повыш.При каком a прямая ax − 2y = 10 проходит через точку (4; 1)? a = 3

повыш.Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению 2x + 7y = 30. (8; 2), (1; 4)
практикаВзрослый билет стоит 200 ₽, детский — 150 ₽. На 1300 ₽ купили хотя бы по одному билету каждого вида. Сколько каких? 2 взр. + 6 дет. или 5 взр. + 2 дет.

R06.1

Самостоятельная работа · 2 варианта

Решите в тетради

Вариант 1

Решение ли $(2; - 1)$ для $3 x + 4 y = 2$ ? да
Точки пересечения $2 x + 5 y = 10$ с осями. (5; 0), (0; 2)
При каком $a$ прямая $a x + 2 y = 8$ проходит через $(3; 1)$ ? $a = 2$
Натуральные решения $3 x + 2 y = 13$ . (1; 5), (3; 2)

Вариант 2

Решение ли $(- 1; 3)$ для $2 x + 3 y = 6$ ? нет
Точки пересечения $3 x - 4 y = 12$ с осями. (4; 0), (0; −3)
При каком $b$ прямая $5 x + b y = 3$ проходит через $(1; - 2)$ ? $b = 1$
Натуральные решения $2 x + 5 y = 19$ . (7; 1), (2; 3)

R06.1

В формате ОГЭ · линия 12

Расчёт по формуле: такси

Стоимость поездки на такси C (в рублях) вычисляют по формуле

C = 150 + 11t

где t — длительность поездки в минутах. Сколько минут длилась поездка стоимостью 524 рубля?

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Сколько точек нужно для графика?
Как выглядит график x = 5?
Как найти натуральные решения?

Домашнее задание

График 3x + 2y = 6
Натуральные решения x + 3y = 10
Найдите b: точка (−3; b) на прямой 2x − 5y = 4
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_uravneniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-063 · Практикум: Линейное уравнение с двумя переменными, его график, примеры решения уравнений в целых числах

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R06 «Уравнения и неравенства. Системы уравнений», 13 ч · урок 6/13 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R06.1 «Линейное уравнение с двумя переменными, его график, примеры решения уравнений в целых числах» → 2–22 (уравнение и решения → 3–6, 15, 16, 18; график → 7–11, 15, 16; целые решения → 12–14, 18–20). Теория 13 мин (сл. 2, 5, 7, 10, 12, 15, 17), практика 32 мин (71 %)
Результаты	ПР-8 / REQ-3.1 (решать уравнения… с двумя переменными) → 3–6, 12, 14, 18–20 · ПР-9 / REQ-3.2 (графические представления) → 7–11, 15, 16 · ПР-10 / REQ-3.3 (алгебраическая модель задачи) → 13, 19, 21 · элемент EL-3.4
Вне урока	системы линейных уравнений — ALG8-064, ALG8-069; нелинейные системы — ALG8-065; графическая интерпретация систем — ALG8-066; текстовые задачи системами — ALG8-067
ОГЭ	линия 12 (расчёт по формуле) → сл. 21
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:линейное уравнениес двумя переменными,его график,решения в целых числах

Сегодня вы научитесь

Проверять и находить решения

Строить график

Решать в целых числах

Составлять модель

Линейное уравнение с двумя переменными или нет?

Отвечаем быстро — по одному

Является ли пара решением уравнения 2x − y = 5?

Уравнение 3x+2y=8: проверьте и найдите

Строим график уравнения 2x + 3y = 12

Постройте график уравнения x − 2y = 4

Найдите точки пересечения графика с осями

Если один коэффициент равен нулю

Какая прямая — график какого уравнения?

Натуральные решения уравнения 3x + 5y = 31

Табуретки и стулья: всего 25 ножек

Найдите все пары натуральных чисел — решения уравнения

Принадлежит ли точка графику? Найдите коэффициент

Прямая ax + 3y = 6 проходит через (2; −2). Найдите a.

Точка на прямой: проверьте и найдите коэффициент

Где чаще всего ошибаются

Порядок в паре

Деление на коэффициент

Натуральные числа

Ученики решили так. Где ошибка?

Решение ли (−1;2)для 4x−y=−6?

Точка на оси yдля 2x−5y=10

Натуральные решенияx+y=3

Решите и проверьте

Решите в тетради

Вариант 1

Вариант 2

Расчёт по формуле: такси

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-063 · Практикум: Линейное уравнение с двумя переменными, его график, примеры решения уравнений в целых числах

Практикум:
линейное уравнение
с двумя переменными,
его график,
решения в целых числах

Уравнение $3 x + 2 y = 8$ : проверьте и найдите

Решение ли $(- 1; 2)$
для $4 x - y = - 6$ ?

Точка на оси $y$
для $2 x - 5 y = 10$

Натуральные решения
$x + y = 3$