Системы уравнений · урок 5 из 13

Решение текстовых задач с помощью систем уравнений

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R06 · ALG8-062

1 мин · теория (орг. момент)
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Паспорт: R06 «Уравнения и неравенства. Системы уравнений» (13 ч), урок 5/13, единица R06.5 «Решение текстовых задач с помощью систем уравнений». Тип урока — Н (новый материал). Опора: способы решения систем (ALG8-059), нелинейные системы (ALG8-060).
Хронометраж (45 мин): орг. момент и цели 2 (сл. 1–2) · словарь и разминка 4 (сл. 3–4) · новый материал вперемежку с «образец → сам» 24 (сл. 5–14: теория 12 мин — проблема, алгоритм, три примера, проверка по смыслу; практика 12 мин — сл. 8, 10, 12, 14) · закрепление 12 (сл. 15–18) · самостоятельная работа 3 (сл. 19) · ОГЭ 3 (сл. 20) · итог и ДЗ 1 (сл. 21).
Все теоретические слайды (сл. 1–2, 5–7, 9, 11, 13) сохранены полностью; после каждого примера ученики сразу решают похожие задачи сами.
Если не успеваете: задачу ОГЭ (сл. 20) разобрать только до составления системы, решение — дома; № 4–5 со сл. 18 — в ДЗ.

R06.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Переводить

фразы условия на язык равенств: «на … больше», «в … раз», «всего»

Составлять систему

две неизвестные — два условия — два уравнения

Решать

подстановкой или сложением — как удобнее

Проверять смысл

подходит ли ответ к задаче и на тот ли вопрос он отвечает

1 мин · теория
ПР-10 (REQ-3.3): «Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели с помощью составления уравнения или системы уравнений, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат» — сл. 3, 5–20.
ПР-8 (REQ-3.1): «Решать … системы двух уравнений с двумя переменными» — сл. 4, 7–12, 15–20.
Элемент содержания EL-3.5 «Решение текстовых задач алгебраическим способом». Вид деятельности ФРП (R06): «Решать текстовые задачи алгебраическим способом».

повторение: R06.1–R06.2 (ALG8-058, ALG8-059)

Вспомним · словарь

Переведите фразу на язык математики

разминка · R06.2

Разминка · устно

Решите систему устно

{x + y = 10 x - y = 2

(6; 4)

{x + y = 12 x = 2 y

(8; 4)

{x + y = 11 x - y = 3

(7; 4)

{y = x + 5 x + y = 15

(5; 10)

{x + y = 20 x = 4 y

(16; 4)

{2 x + y = 9 y = x

(3; 3)

{3 x = 12 x + y = 6

(4; 2)

{x + y = 9 x y = 20

(4; 5), (5; 4)

R06.5

Проблема · одна переменная или две?

Две неизвестные — два условия

Карандаш и тетрадь вместе стоят 50 р. Тетрадь дороже карандаша на 14 р. Сколько стоит каждый предмет?

Одна переменная

$x + (x + 14) = 50$

Две переменные

{x + y = 50 y - x = 14

Каждое условие — своё уравнение. Ничего не надо выражать заранее.

R06.5

Новое · алгоритм

Четыре шага решения задачи системой

2 мин · теория
Шаг 1 — самый важный: записать, что такое x и y, с единицами (x р. — цена тетради, а не «x — тетради»).
Шаг 2: обычно одно предложение условия = одно уравнение. Если условий меньше двух — задачу двумя переменными не решить.
Шаг 4: длины, скорости, цены положительны; число людей и предметов — натуральное; в ответ пишем то, что спрашивали.
Вопрос классу: «Чем этот алгоритм отличается от решения уравнением?» — только шагом 2: уравнений два.

R06.5

Пример 1 · покупки · способ сложения

Сколько стоят тетрадь и ручка?

	тетради	ручки	всего
покупка 1	$3 x$	$2 y$	110 р.
покупка 2	$2 x$	$3 y$	115 р.

x

р. — цена тетради,

y

р. — цена ручки

{3 x + 2 y = 110 2 x + 3 y = 115

сложим: $5 x + 5 y = 225 \Rightarrow$ $x + y = 45$

вычтем: $x - y = - 5$

$x = 20, y = 25$

проверка: $60 + 50 = 110$ ✓ · $40 + 75 = 115$ ✓

R06.5

Образец → сам · покупки

Составьте систему по образцу примера 1

база2 тетради и 3 ручки стоят 80 р., а 3 тетради и 2 ручки — 95 р. Сколько стоит тетрадь?

{2 x + 3 y = 80 3 x + 2 y = 95

тетрадь — 25 р.

база4 булочки и 1 сок стоят 140 р., а 2 булочки и 3 сока — 220 р. Найдите цену булочки и сока.

{4 x + y = 140 2 x + 3 y = 220

20 р. и 60 р.

повыш.В копилке 30 монет по 2 р. и по 5 р., всего 96 р. Сколько в ней пятирублёвых монет?

{x + y = 30 2 x + 5 y = 96

12 монет

3 мин · практика
Каждый пишет шаг 1 (что такое x и y) и систему; по клику открываем систему, затем ответ. Сильным — все три, остальным — 1 и 2.
1) x р. — тетрадь, y р. — ручка. Сложим: 5x + 5y = 175 → x + y = 35; вычтем (второе минус первое): x − y = 15 → x = 25, y = 10. Проверка: 50 + 30 = 80 ✓, 75 + 20 = 95 ✓.
2) x р. — булочка, y р. — сок. y = 140 − 4x → 2x + 420 − 12x = 220 → 10x = 200 → x = 20, y = 60. Проверка: 80 + 60 = 140 ✓, 40 + 180 = 220 ✓.
3) x — двухрублёвых, y — пятирублёвых: 2(30 − y) + 5y = 96 → 3y = 36 → y = 12, x = 18. Проверка: 36 + 60 = 96 ✓. Число монет натуральное ✓.

R06.5

Пример 2 · движение по реке

Катер: 3 ч по течению — 60 км, 4 ч против — 64 км

{3 (v + u) = 60 4 (v - u) = 64

{v + u = 20 v - u = 16

сложим: $2 v = 36 \Rightarrow$ $v = 18$

$u = 20 - 18 =$ $2$

Катер — 18 км/ч, течение — 2 км/ч

2 мин · теория (учитель разбирает образец)
v км/ч — собственная скорость катера (в стоячей воде), u км/ч — скорость течения. По течению скорости складываются, против — вычитаются.
Формула пути s = vt: каждая строка таблицы — уравнение. Сначала делим: 60 : 3 = 20, 64 : 4 = 16 — система становится простой.
Проверка: 3 · (18 + 2) = 60 ✓; 4 · (18 − 2) = 64 ✓. Смысл: u < v — катер может плыть против течения ✓.
Вопрос: «Что было бы, если бы получилось u > v?» — катер не смог бы плыть против течения; ищем ошибку.

R06.5

Образец → сам · движение

Составьте систему по образцу примера 2

базаЛодка за 2 ч по течению проходит 36 км, а за 3 ч против течения — 42 км. Найдите скорость лодки и течения.

{2 (v + u) = 36 3 (v - u) = 42

16 км/ч и 2 км/ч

базаИз сёл, между которыми 30 км, навстречу вышли два пешехода и встретились через 3 ч. Первый идёт на 2 км/ч быстрее.

{3 x + 3 y = 30 x - y = 2

6 км/ч и 4 км/ч

повыш.За 5 ч по течению теплоход проходит столько же, сколько за 6 ч против течения, а за 4 ч против течения — 80 км. Найдите скорости.

{5 (v + u) = 6 (v - u) 4 (v - u) = 80

22 км/ч и 2 км/ч

R06.5

Пример 3 · периметр и площадь · нелинейная система

Прямоугольник: P = 26 см, S = 40 см². Найдите стороны

{x + y = 13 x y = 40

P : 2 = 13

$y = 13 - x \Rightarrow x (13 - x) = 40$

$x^{2} - 13 x + 40 = 0, D = 9$

$x = 8, y = 5 или x = 5, y = 8$

Две пары (8; 5) и (5; 8) — один прямоугольник 8 × 5 см

R06.5

Образец → сам · периметр и площадь

Найдите стороны прямоугольника

базаПериметр 30 см, площадь 56 см².

{x + y = 15 x y = 56

8 см и 7 см

базаОдна сторона на 3 см больше другой, площадь 70 см².

{x - y = 3 x y = 70

10 см и 7 см

повыш.Периметр 28 см, диагональ 10 см.

{x + y = 14 x^{2} + y^{2} = 100

8 см и 6 см

R06.5

Шаг 4 · интерпретация результата

Решение системы ≠ ответ задачи

2 мин · теория
Три фильтра шага 4 — это и есть «интерпретировать в соответствии с контекстом задачи» (ПР-10).
Пример: x — девочки, y — мальчики. x + y = 25, x − y = 6 → x = 15,5, y = 9,5. Математически система решена верно, но для задачи о людях это не ответ.
Вопрос классу: «Как поменять одно число в условии, чтобы ответ стал натуральным?» — например, 26 учеников (16 и 10) или «на 5 больше» (15 и 10). Подсказка: сумма и разность должны быть одной чётности.
Третий фильтр: в задаче могут спрашивать, например, «сколько всего заплатили», и тогда в ответ пишут не x, а нужное выражение.

R06.5

Шаг 4 · проверьте сами

Решение системы найдено. Что писать в ответ?

Задача	Решение системы	Ответ задачи
Сколько в классе мальчиков ( $x$ ) и девочек ( $y$ )?	$(12; - 2)$	не подходит: людей < 0
Найдите стороны прямоугольника	$(8; 5), (5; 8)$	8 см и 5 см — один ответ
Скорость катера $v$ и течения $u$	$v = 3, u = 5$	не подходит: $u > v$
Тетрадь $x$ р., ручка $y$ р. Сколько стоят 2 тетради и ручка?	$(20; 25)$	65 р.
Цена 1 кг яблок $x$ р. и груш $y$ р.	$(82, 5; 110)$	подходит: цена может быть дробной

R06.5

Закрепление · шаг 2

Составьте систему и решите

Условие	Система	Ответ
Сумма двух чисел 45, одно из них в 4 раза больше другого.	${x + y = 45 x = 4 y$	36 и 9
5 кг яблок и 3 кг груш стоят 690 р.; 1 кг груш на 30 р. дороже 1 кг яблок.	${5 x + 3 y = 690 y - x = 30$	75 р. и 105 р.
Велосипедист за 2 ч и пешеход за 3 ч вместе прошли 42 км; велосипедист быстрее на 11 км/ч.	${2 x + 3 y = 42 x - y = 11$	15 и 4 км/ч

R06.5

Найди ошибку

Четыре частые ошибки

Неверно	Верно
$x$ — тетради	$x$ р. — цена одной тетради
тетрадь дороже на 14: $y = x - 14$	дороже — больше: $y = x + 14$
по течению: $v - u$	по течению: $v + u$
спросили цену тетради — ответ: 18 р.	18 р. — карандаш; тетрадь — 32 р.

R06.5

Задания с самопроверкой · база и повышенный уровень

Решите — ответы по клику

базаСумма двух чисел 56, одно из них на 12 больше другого. Найдите числа. 34 и 22
база4 яблока и 3 груши стоят 170 р., груша на 10 р. дороже яблока. Сколько стоит груша? 30 р.
базаВ зале 40 столов на 4 и на 6 мест, всего 190 мест. Сколько шестиместных столов? 15

повыш.Сумма цифр двузначного числа 11. Если переставить цифры, число увеличится на 27. Найдите число. 47
повыш.Сумма двух чисел 200, а 10 % первого и 15 % второго вместе составляют 24. Найдите числа. 120 и 80
из жизниБилет взрослый — 300 р., детский — 150 р. Продали 50 билетов на 10 500 р. Сколько детских? 30

3 мин · практика
В тетрадях: 1–3 — всем, 4–6 — кто справился. Проверка всем классом по клику, ученики ставят «+» у верных.
1) x + y = 56, x − y = 12 → 2x = 68, x = 34, y = 22. 2) 4x + 3y = 170, y − x = 10 → 4x + 3x + 30 = 170 → x = 20, y = 30 (80 + 90 = 170 ✓). 3) x + y = 40, 4x + 6y = 190 → 160 + 2y = 190 → y = 15, x = 25 (100 + 90 = 190 ✓).
4) Число 10a + b: a + b = 11, (10b + a) − (10a + b) = 27 → b − a = 3 → a = 4, b = 7; число 47 (74 − 47 = 27 ✓). 5) x + y = 200, 0,1x + 0,15y = 24 → x + 1,5y = 240 → 0,5y = 40 → y = 80, x = 120 (12 + 12 = 24 ✓). 6) x — взрослых, y — детских: x + y = 50, 300x + 150y = 10 500 → 2x + y = 70 → x = 20, y = 30 (6000 + 4500 = 10 500 ✓).

R06.5

Тренировка · составьте систему

Решите задачи

базаСумма двух чисел 64, а их разность 18. Найдите числа. 41 и 23
базаВ классе 30 учеников, девочек на 4 больше, чем мальчиков. Сколько девочек? 17
база2 кг конфет и 3 кг печенья стоят 1200 р.; 1 кг конфет на 100 р. дороже 1 кг печенья. Найдите цену 1 кг конфет. 300 р.

повыш.Лодка за 2 ч по течению и 3 ч против течения прошла 39 км, а за 3 ч по течению — на 13 км больше, чем за 2 ч против. Найдите скорость течения. 1 км/ч
практикаПериметр прямоугольного участка 34 м, площадь 60 м². Найдите его стороны. 12 м и 5 м

3 мин · практика
1–3 — всем, 4–5 — кто справился (или в ДЗ). Взаимопроверка в парах: сначала сверяем системы, потом ответы по клику.
1) x + y = 64, x − y = 18 → 41 и 23. 2) x + y = 30, x − y = 4 → девочек 17 (мальчиков 13). 3) 2x + 3y = 1200, x − y = 100 → 2(y + 100) + 3y = 1200 → y = 200, x = 300; ответ 300 р. (проверка: 600 + 600 = 1200 ✓).
4) 2(v + u) + 3(v − u) = 39 → 5v − u = 39; 3(v + u) − 2(v − u) = 13 → v + 5u = 13. u = 5v − 39 → v + 25v − 195 = 13 → v = 8, u = 1. Ответ: 1 км/ч. Проверка: 2 · 9 + 3 · 7 = 39 ✓; 27 − 14 = 13 ✓.
5) x + y = 17, xy = 60 → x² − 17x + 60 = 0, D = 289 − 240 = 49 → 12 и 5. Ответ: 12 м и 5 м.

R06.5

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задачи

Вариант 1

Сумма двух чисел 80, разность 26. Найдите числа. 53 и 27
3 кг яблок и 2 кг груш стоят 520 р.; 1 кг груш на 60 р. дороже 1 кг яблок. Цена 1 кг груш? 140 р.
Катер за 2 ч по течению прошёл 44 км, за 3 ч против — 54 км. Скорость течения? 2 км/ч
Периметр прямоугольника 22 см, площадь 24 см². Стороны? 8 см и 3 см

Вариант 2

Сумма двух чисел 90, разность 34. Найдите числа. 62 и 28
4 кг картофеля и 2 кг моркови стоят 260 р.; 1 кг моркови на 40 р. дороже. Цена 1 кг моркови? 70 р.
Лодка за 3 ч по течению прошла 48 км, за 4 ч против — 48 км. Скорость лодки? 14 км/ч
Периметр прямоугольника 26 см, площадь 42 см². Стороны? 7 см и 6 см

R06.5

Формат ОГЭ · линия 21 (часть 2)

Задача о растворах

Смешав 20-процентный и 50-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 30-процентный раствор. Если бы вместо воды добавили 10 кг 40-процентного раствора, получили бы 34-процентный раствор. Сколько килограммов 20-процентного раствора использовали?

Баллы	Критерий
2	ход решения верный, получен верный ответ
1	ход верный, допущена одна вычислительная ошибка
0	не соответствует критериям

Подсказка: считайте массу чистой кислоты

3 мин · практика
Авторская задача в формате линии 21 ОГЭ (текстовая задача, часть 2, максимум 2 балла). Кислота в смеси: 0,2x + 0,5y.
Система: 0,2x + 0,5y = 0,3(x + y + 10); 0,2x + 0,5y + 0,4 · 10 = 0,34(x + y + 10). Вычтем первое из второго: 4 = 0,04(x + y + 10) → x + y + 10 = 100 → x + y = 90.
Тогда 0,2x + 0,5y = 0,3 · 100 = 30 → 2x + 5y = 300; с x + y = 90: 2x + 2y = 180 → 3y = 120 → y = 40, x = 50. Ответ: 50 кг.
Проверка: 10 + 20 = 30 кг кислоты в 100 кг — 30 % ✓; 30 + 4 = 34 кг в 100 кг — 34 % ✓.
Критерии — по образцу ФИПИ, сокращённо. Если нет времени — составить систему в классе, решить дома.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Сколько уравнений нужно для двух неизвестных?
Как записать «a на 5 больше b»?
Что проверяем после решения системы?

Домашнее задание

Катер за 4 ч по течению проходит 88 км, а за 5 ч против течения — 90 км. Найдите скорость катера и течения.
Сумма цифр двузначного числа 9; если переставить цифры, число уменьшится на 27. Найдите число.
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_uravneniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-062 · Решение текстовых задач с помощью систем уравнений

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R06 «Уравнения и неравенства. Системы уравнений», 13 ч · урок 5/13 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R06.5 «Решение текстовых задач с помощью систем уравнений» → 2–21 (перевод условия → 3; проблема → 5; алгоритм → 6; примеры → 7, 9, 11; образец → сам → 8, 10, 12; интерпретация → 13–14; закрепление → 15–18; самостоятельная работа → 19; ОГЭ → 20) · опора R06.2, R06.3 → 4, 7–12 · теория 14 мин / практика 31 мин (69 %)
Результаты	ПР-10 / REQ-3.3 (от словесной формулировки к системе уравнений, интерпретация результата) → 2–3, 5–21 · ПР-8 / REQ-3.1 (решать системы двух уравнений с двумя переменными) → 4, 7–12, 15, 17–20 · EL-3.5 · вид деятельности R06: «Решать текстовые задачи алгебраическим способом»
ОГЭ	слайд 20 — линия 21 (текстовая задача, часть 2)
Вне урока	способы решения систем — ALG8-059 · нелинейные системы — ALG8-060 · графическая интерпретация — ALG8-061 · практикум по задачам — ALG8-067 · обобщение по строке — ALG8-070
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending