Системы уравнений · урок 2 из 13 · новый материал

Решение систем
двух линейных
уравнений

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R06 · ALG8-059

1 мин · теория (тема урока)
Паспорт: R06 «Уравнения и неравенства. Системы уравнений» (13 ч), урок 2/13, единица R06.2 «Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными». Тип — Н (новый материал). Урок 1 строки (ALG8-058): линейное уравнение с двумя переменными, его решения и график.
Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %). Итого 45 мин.
Хронометраж: титул 1 т (сл. 1) · цели 1 т (сл. 2) · разминка 3 п (сл. 3) · проблема 1 т (сл. 4) · определение 2 т (сл. 5) · проверь пару 2 п (сл. 6) · алгоритм подстановки 1 т (сл. 7) · образец 2 т (сл. 8) · ваш ход 3 п (сл. 9) · подстановка с самопроверкой 2 п (сл. 10) · идея сложения 2 т (сл. 11) · домножение 2 т (сл. 12) · ваш ход 3 п (сл. 13) · домножение сами 3 п (сл. 14) · выбор способа 2 п (сл. 15) · особые случаи 1 т (сл. 16) · сколько решений 2 п (сл. 17) · найди ошибку 2 п (сл. 18) · задания разного уровня 3 п (сл. 19) · задача из жизни 2 п (сл. 20) · самостоятельная 4 п (сл. 21) · рефлексия и ДЗ 1 п (сл. 22). т — теория, п — практика.
Графический способ подробно — урок 4 (ALG8-061); здесь график только поясняет, что такое решение системы. Нелинейные системы — ALG8-060, текстовые задачи — ALG8-062.

R06.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Проверять решение

пара (x; y) верна для каждого уравнения системы (ПР-8, REQ-3.1)

Решать подстановкой

выразить одну переменную и подставить (ПР-8, REQ-3.1)

Решать сложением

уравнять коэффициенты и сложить уравнения (ПР-8, REQ-3.1)

Узнавать особые случаи

нет решений или бесконечно много (ПР-9, REQ-3.2)

1 мин · теория
ПР-n — номер предметного результата 8 класса по порядку в ФРП. ПР-8: «Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух уравнений с двумя переменными»; ПР-9: «Проводить простейшие исследования уравнений и систем уравнений… (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
Коды кодификатора: REQ-3.1, REQ-3.2; элемент содержания EL-3.4. Задача № 5 на сл. 19 и задача из жизни (сл. 20) — ПР-10 / REQ-3.3 (подробно — ALG8-062).
Вопрос классу: где в жизни две величины связаны сразу двумя условиями? (Цена двух товаров по двум чекам, сумма и разность чисел.)

R06.1 · актуализация

Разминка · устно

Вспомним: уравнение с двумя переменными

3 мин · практика
Фронтально, ответ — по клику. Повторение ALG8-058 (решение уравнения с двумя переменными — пара чисел) и 7 класса (линейное уравнение).
Строки 2–3 — заготовка для способа подстановки, строка 4 — для способа сложения, строка 5 — это уже «половина» решения системы на сл. 8.
Проверка строки 5: 3 · 2 + 2 · 5 = 6 + 10 = 16 ✓ (2x + 1 = 5). Ошибка: 3x + 4x + 1 = 16 — двойку не умножили на 1.
Вопрос: сколько решений у уравнения 2x + y = 7? (Бесконечно много: каждому x — своё y.)

R06.2

Проблема

Сумма двух чисел 10, разность 4. Какие это числа?

R06.2

Новое понятие

Система уравнений и её решение

2 мин · теория
Записать в тетрадь определение: решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему — найти все её решения или доказать, что их нет.
График: каждое уравнение — прямая (ALG8-058); решение системы — общая точка прямых. Подробно графический способ — урок ALG8-061, сейчас не углубляемся.
Вопрос: является ли (6; 4) решением системы? (Нет: 6 − 4 = 2 ≠ 4.) Ошибка — проверить только одно уравнение.
Ответ записываем парой: (7; 3) или x = 7, y = 3. На первом месте — x.

R06.2

Образец → сам · устно

Является ли пара решением системы?

$(3; 2)$ , ${x + y = 5 x - y = 1$ да
$(4; 1)$ , ${x + y = 5 x - y = 1$ нет
$(1; 3)$ , ${2 x + y = 5 x + 2 y = 7$ да

$(2; 1)$ , ${2 x + y = 5 x + 2 y = 7$ нет
$(0; - 2)$ , ${3 x - y = 2 x + y = - 2$ да
$(- 1; 3)$ , ${y = - 3 x x + y = 4$ нет

R06.2

Способ 1 · подстановка

Алгоритм способа подстановки

R06.2

Способ 1 · образец

Решим систему подстановкой

R06.2

Способ 1 · ваш ход

Решите способом подстановки

база

x = 3yx + y = 8

3y + y = 8, y = 2
Ответ: (6; 2)

база

x + y = 52x − y = 1

y = 5 − x, 3x − 5 = 1
Ответ: (2; 3)

повыш.

2x + 3y = 13x − 2y = −4

x = 2y − 4, 7y − 8 = 13
Ответ: (2; 3)

R06.2

Способ 1 · задания с самопроверкой

Ещё четыре системы — подстановкой

база ${y = x + 3 2 x + y = 9$ $(2; 5)$
база ${x = 2 y 3 x - y = 10$ $(4; 2)$

база ${x - y = 1 3 x + 2 y = 18$ $(4; 3)$
повыш. ${3 x - y = 7 5 x + 2 y = 8$ $(2; - 1)$

Подсказка: выражайте переменную с коэффициентом 1 или −1 и подставляйте в скобках.

R06.2

Способ 2 · сложение

Сложим уравнения — одна переменная исчезнет

R06.2

Способ 2 · образец

Коэффициенты не противоположные? Домножим!

R06.2

Способ 2 · ваш ход

Решите способом сложения

база

2x + y = 113x − y = 4

5x = 15, x = 3
Ответ: (3; 5)

база

x + 4y = 7x − 2y = 1

вычтем: 6y = 6
Ответ: (3; 1)

повыш.

4x + 3y = 63x + 2y = 5

· 2 и · 3, вычтем: x = 3
Ответ: (3; −2)

R06.2

Способ 2 · домножение · сами

Сначала уравняйте коэффициенты, потом сложите

база ${x + 3 y = 7 2 x - y = 7$ $(4; 1)$
база ${3 x + 2 y = 8 x - y = 1$ $(2; 1)$

повыш. ${2 x + 3 y = 1 3 x - 2 y = 8$ $(2; - 1)$
повыш. ${5 x + 3 y = 1 2 x + 5 y = - 11$ $(2; - 3)$

Умножайте обе части уравнения — и левую, и правую.

R06.2

Сравнение

Какой способ удобнее?

Система	Способ	Подсказка
y = 3x − 12x + y = 9	подстановка	y уже выражен
2x + 5y = 12−2x + y = 0	сложение	2x и −2x — противоположные
3x + 2y = 5x − 4y = 4	подстановка	у x коэффициент 1: x = 4 + 4y

Оба способа дают один ответ — выбираем тот, где меньше вычислений.

R06.2

Особые случаи

Сколько решений у системы?

1 мин · теория
Если при решении обе переменные исчезли: получилось неверное равенство (0 = 2) — решений нет; верное (0 = 0) — решений бесконечно много.
Панель A: (2; 1): 2 + 1 = 3 ✓, 2 − 1 = 1 ✓. Панель B: сумма не может быть одновременно 3 и 5 — прямые параллельны. Панель C: второе уравнение — первое, умноженное на 2, прямые совпадают; решения — любые (x; 3 − x).
Вопрос: при каком c система {x + y = 3; 2x + 2y = c} имеет бесконечно много решений? (c = 6.)
Подробно (по угловым коэффициентам) — урок ALG8-061.

R06.2

Образец → сам · устно

Одно, ни одного или бесконечно много?

${x + y = 4 x + y = 7$ нет решений
${x - y = 2 3 x - 3 y = 6$ бесконечно много
${x + y = 6 x - y = 0$ одно: $(3; 3)$

${2 x + 4 y = 5 x + 2 y = 3$ нет решений
${y = 2 x + 1 y = 2 x - 3$ нет решений
${y = 3 - x 2 x + 2 y = 6$ бесконечно много

2 мин · практика
Устно: ученик объясняет, что получится при сложении/вычитании или подстановке; ответ по клику.
1) Вычтем: 0 = 3 — неверно, решений нет.
2) Второе = первое · 3 → 0 = 0, решений бесконечно много: (x; x − 2).
3) Сложим: 2x = 6, x = 3, y = 3. Проверка: 3 + 3 = 6 ✓; 3 − 3 = 0 ✓.
4) Второе · 2: 2x + 4y = 6, а первое даёт 5: 0 = 1 — решений нет.
5) 2x + 1 = 2x − 3 → 1 = −3 — решений нет (прямые параллельны).
6) 2x + 2(3 − x) = 6 → 6 = 6 — верно при любом x: бесконечно много, (x; 3 − x).

R06.2

Найдите ошибку

Типичные ошибки

Система	Ученик пишет	Верно
y = 2x + 13x − y = 4	3x − 2x + 1 = 4	3x − (2x + 1) = 4, x = 5
x + 2y = 53x − y = 1первое · 3	3x + 6y = 5	3x + 6y = 15 — обе части
3x + y = 53x + 2y = 7	сложил: 6x + 3y = 12	вычесть: y = 2, x = 1
x + y = 6x − y = 2	Ответ: x = 4	Ответ: (4; 2) — пара

R06.2

Задания разного уровня · самопроверка

Решите

базаЯвляется ли пара (2; −1) решением системы x − y = 32x + y = 3 ? да
базаПодстановкой: y = x − 22x + y = 7 (3; 1)
базаСложением: 3x + y = 10x − y = 2 (3; 1)

повыш.5x − 2y = 13x + 4y = 11 (1; 2)
практикаСумма двух чисел 15, одно больше другого на 3. Составьте систему и найдите числа. 9 и 6
ОГЭ, линия 20Решите систему уравнений $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 3$ $x - y = 1$ (4; 3)

3 мин · практика
1) 2 − (−1) = 3 ✓; 2 · 2 + (−1) = 3 ✓ — да, является.
2) 2x + x − 2 = 7 → 3x = 9, x = 3, y = 1. Ответ (3; 1). Проверка: 6 + 1 = 7 ✓.
3) 4x = 12, x = 3; y = 10 − 9 = 1. Ответ (3; 1). Проверка: 3 − 1 = 2 ✓.
4) Первое · 2: 10x − 4y = 2; сложим со вторым: 13x = 13, x = 1; 5 − 2y = 1 → y = 2. Ответ (1; 2). Проверка: 3 + 8 = 11 ✓.
5) x + y = 15, x − y = 3 → 2x = 18, x = 9, y = 6. Числа 9 и 6 (9 + 6 = 15, 9 − 6 = 3).
6) Линия 20 (часть 2, развёрнутое решение, 2 балла). Первое · 6: 3x + 2y = 18; x = y + 1 → 3y + 3 + 2y = 18 → 5y = 15, y = 3, x = 4. Ответ (4; 3). Проверка: 4/2 + 3/3 = 2 + 1 = 3 ✓; 4 − 3 = 1 ✓. Ошибка: при умножении на 6 забыть правую часть (3x + 2y = 3).
Задания 1–3 — всем; 4–6 — по выбору. Ответы открываются по клику — взаимопроверка в парах.

R06.2 · задача из жизни

Задача из жизни

Два чека из канцелярского магазина

	тетради	ручки	сумма
Чек 1	2	3	120 ₽
Чек 2	3	1	110 ₽

Сколько стоит одна тетрадь и одна ручка?

$x$ ₽ — тетрадь, $y$ ₽ — ручка

Система:

${2 x + 3 y = 120 3 x + y = 110$

$y = 110 - 3 x$ ; $2 x + 3 (110 - 3 x) = 120$

$- 7 x = - 210$ , $x = 30$ , $y = 20$

Ответ: тетрадь 30 ₽, ручка 20 ₽

R06.2 · контроль

Самостоятельная работа · 2 варианта

Проверьте себя

Вариант 1

$(1; 2)$ — решение ${3 x + y = 5 x - y = - 1$ ? да
Подстановкой: ${y = 2 x - 1 x + y = 5$ $(2; 3)$
Сложением: ${x + y = 8 x - y = 2$ $(5; 3)$
${2 x + 3 y = 12 3 x - y = 7$ $(3; 2)$

Вариант 2

$(2; 1)$ — решение ${x + 3 y = 5 2 x - y = 4$ ? нет
Подстановкой: ${x = 3 y + 1 2 x - y = 7$ $(4; 1)$
Сложением: ${3 x + y = 11 x - y = 1$ $(3; 2)$
${3 x + 2 y = 4 5 x - 3 y = 13$ $(2; - 1)$

4 мин · практика
Каждому — свой вариант (по партам). 3 мин работы, 1 мин — ответы по клику, самопроверка.
В1: 1) 3 + 2 = 5 ✓; 1 − 2 = −1 ✓ — да. 2) x + 2x − 1 = 5 → x = 2, y = 3; проверка 2 + 3 = 5 ✓. 3) 2x = 10, x = 5, y = 3; проверка 5 − 3 = 2 ✓. 4) y = 3x − 7; 2x + 9x − 21 = 12 → x = 3, y = 2; проверка 6 + 6 = 12 ✓, 9 − 2 = 7 ✓.
В2: 1) 2 + 3 = 5 ✓; 4 − 1 = 3 ≠ 4 — нет. 2) 2(3y + 1) − y = 7 → 5y = 5, y = 1, x = 4; проверка 8 − 1 = 7 ✓. 3) 4x = 12, x = 3, y = 2; проверка 9 + 2 = 11 ✓, 3 − 2 = 1 ✓. 4) первое · 3, второе · 2: 9x + 6y = 12, 10x − 6y = 26 → 19x = 38, x = 2; 6 + 2y = 4 → y = −1; проверка 10 + 3 = 13 ✓.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что называют решением системы?
В чём суть способа подстановки?
Когда удобен способ сложения?
Что значит «получилось 0 = 2»?

Домашнее задание

подстановкой: 2x − 3y = 13x + y = 7
сложением: x + y = 73x − y = 9
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/
8_algebra_adv_uravneniya.htm

1 мин · практика (рефлексия — отвечают ученики)
Рефлексия 2 мин: «светофор» — зелёная карточка, если оба способа понятны; жёлтая — если один; красная — если ни одного.
Ответы ДЗ: 1) y = 7 − 3x; 2x − 3(7 − 3x) = 1 → 11x = 22, x = 2, y = 1. Ответ (2; 1); проверка: 4 − 3 = 1 ✓, 6 + 1 = 7 ✓. 2) 4x = 16, x = 4, y = 3. Ответ (4; 3); проверка: 12 − 3 = 9 ✓.
Дополнительно (по желанию): сколько решений у системы {2x − y = 1; 4x − 2y = 3}? (Ни одного: второе минус удвоенное первое даёт 0 = 1.)
Тренажёр «Уравнения» (8 класс) — к строке R06.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-059 · Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R06 «Уравнения и неравенства. Системы уравнений», 13 ч · урок 2/13 · тип Н
Единицы → слайды	R06.2 «Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными» → 2, 4–21 (понятие → 4–6, подстановка → 7–10, сложение → 11–14, выбор способа → 15, особые случаи → 16–17, ошибки → 18, задания разного уровня и ОГЭ → 19, задача из жизни → 20, самостоятельная → 21); R06.1 (повторение) → 3
Результаты	ПР-8 / REQ-3.1 → 2, 4–15, 18, 19, 21 · ПР-9 / REQ-3.2 → 16, 17 · ПР-10 / REQ-3.3 → 19 (№ 5), 20 · EL-3.4
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Вне урока	нелинейные системы — ALG8-060 (R06.3); графическая интерпретация систем — ALG8-061 (R06.4); текстовые задачи с помощью систем — ALG8-062 (R06.5)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Решение системдвух линейныхуравнений

Сегодня вы научитесь

Проверять решение

Решать подстановкой

Решать сложением

Узнавать особые случаи

Вспомним: уравнение с двумя переменными

Сумма двух чисел 10, разность 4. Какие это числа?

Система уравнений и её решение

Является ли пара решением системы?

Алгоритм способа подстановки

Решим систему подстановкой

Решите способом подстановки

Ещё четыре системы — подстановкой

Сложим уравнения — одна переменная исчезнет

Коэффициенты не противоположные? Домножим!

Решите способом сложения

Сначала уравняйте коэффициенты, потом сложите

Какой способ удобнее?

Сколько решений у системы?

Одно, ни одного или бесконечно много?

Типичные ошибки

Решите

Два чека из канцелярского магазина

Проверьте себя

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-059 · Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными

Решение систем
двух линейных
уравнений